全国III卷理数2016－2018分类汇编及2019年数学备考策略

全国高考数学考什么高考数学压轴题全解全析

全国HI卷理科数学2016-2018年高考分析

及2019年高考预测

2019年高考，除北京、天津、上海、江苏、浙江等5省市自主命题外，其他26个省市区全

部使用全国卷.

研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性.每个题型考查的知识

点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定.掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷

命题的灵魂.基于此，笔者潜心研究近3年全国高考理科数学III卷和高考数学考试说明，精心分

类汇总了全国卷近3年所有题型.为了便于读者使用，所有题目分类（共22类）列于表格之中，

按年份排序.高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对

照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看.

一、集合与常用逻辑用语小题：

1.集合小题：

3年3考，每年1题，都是交并补子运算为主，多与不等式交汇，新定义运算也有较小的可

能，但是难度较低；每年的送分题.

年份题目答案

2018年1.已知集合/={x|x-12O},8={0,1,2},则/D8=()C

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,21

2017年1.已知集合人/无/犷+丁曰｝,3=｛&/）｝=灯，则AflB中元素的个数为B

A.3B.2C.1D.0

2016年D

(1)设集合S={x口(x—2)(x—3)20},T={x|x〉0},则sf]T=

(A)[2,3](B)(-oo,2]U[3,+oo)(C)[3,+oo)(D)(0,2]U[3,+oo)

2.常用逻辑用语小题：

3年0考.这个考点一般与其他考点交汇命题，不单独出

题.二、复数小题：

3年3考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小.一般涉及考查概

念：实部、虚部、共辗复数、复数的模、对应复平面的点坐标等.

年份题目答案

2018年2.(l+z)(2-z)=()D

A.—3—iB・—3+iC.3—iD・3+f

2017年2.设复数z满足(l+i)z=2i,则|z|=C

A.1B.正C.JZD.2

22

2016年C

(2)若z=l+2i,贝(_____=

zz-1

(A)l(B)-1(C)i(D)-i

1

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三、平面向量小题：

3年3考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，一般不侧重

于与其它知识交汇，难度不大（与全国其它省份比较）.但2017年也作为第12题考过。

年份题目答案

2018年£

13.已知向量。=(1,2),b=(2,-2),c=(l,A).若c〃伽+〃)，则义=_________.

2

2017年12.在矩形A8CO中，AB=1,AO=2,动点P在以点。为圆心且与30相切的圆上.若A

AP^AAB+jaAD,则几+〃的最大值为

A.3B.2/C./D.2

2016年A

(3)已知向量而'=(1,卫)，炭=(且,1则ZABC=

2222

(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°

四、线性规划小题:

3年2考，全国3卷线性规划题考的比较基本，一般不与其它知识结合.2018年没有考。

年份题目答案

2017年x-y>0,-1

13.若无,＞满足约束条件x+y-2<0,则z=3x—4y的最小值为_______.

1

)，20

2016年

x-y+1>03

2

（13）若x,y满足约束条件＜x-2y<0，则z=x+y的最大值为_____________.

x+2y-2<0

五、三角函数小题:

3年7考.题目难度较小，主要考察公式熟练运用，平移，由图像性质、化简求值、解三角

形等问题（含应用题），基本属于“送分题”.三角不考大题时，一般考三个小题，三角函数的图

象与性质、三角恒等变换、解三角形各考一个.三角考大题时，一般考一个小题，

年份题目答案

2018年B

4.若sina=L则cos2a=()

3

A87「7c8

A.-nB.—C.——D.——

9999

2018年2，22C

9.△49C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若A43c的面积为二~~二-，则C=()

4

A.-B.-C.-D.-

2346

年

201815.函数/（x）=cos（3x+?）在［0,句的零点个数为________.3

2

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2017年6.设函数/（x）=cosa+£）,则下列结论错误的是（）D

3

Qjr-

A./（x）的一个周期为-2〃B.y=/（x）的图像关于直线对称

3

TTTT

C./（尤+乃）的一个零点为x=_D./（x）在（_,4）单调递减

62

年3,

2016(5)若tan。=二,贝ijcos2a+2sin1a=A

4

644816

(A)_(B)—(C)1(D)_

252525

2016年(8)在△ABC中，B8c边上的高等于LBC,则cosAC

43

(A)W(B)JEZ(C)匹(D)如

10101010

2016年（14）函数y=sinx—Zcosx的图像可由函数y=sinx+_3cosx的图像至少向右平

移

六、立体几何小题：

3年6考，每年2题，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积.球体是基本的几何体,

是发展空间想象能力的很好载体，是课标全国卷的热点.

年份题目答案

A

2018年A

P

3.中国古建筑借助桦卯将木构件连接起米，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫/

I

卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼

的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）-----------

..........,_____1--------------------

________________________:_______1____________

ABCD

2018年10.设4,8,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，A48c为等边三角形且其面积为9",则B

三棱锥D-/BC体积的最大值为（）

A.12币B.185/3C.24bD.54^3

2017年8.己知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱B

的

体积为（）

〜Q，7k4*7TTF/TCT

A.nB.C.D.

2017年16.6为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形A8C的直角边AC所在直线与②③

。乃都垂直，斜边A3以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与。成60°角时，AB与力成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与匕成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确

的是__（填写所有正确结论的编号）

3

全国高考数学考什么高考数学压轴题全解全析

2016年(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出B

的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

(A)18+36^

(B)54+1^5

I-二

K

^1

(C)90—V

(D)81H

M

K

pM

B

BB

I

2016年(10)在封闭的直三棱柱A8C-481G内有一个体积为V的球，若A8_L8C,AB=6,808,AAi=3,

则V的最大值是

(A)4H(B)9”(C)6兀(D)以"

七、推理与证明小题：

3年0考，但是2014年全国1卷、2016年和2017年全国2卷考了，但也不是常规的数学考

法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题，但这是个信号.

八、概率小题：

3年1考，难度较小，全国卷概率小题一般考查古典概型和几何概型，但2018年全国3卷却

是考的二项分布，这是一个信号。

年份题目答案

2018年8.某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10B

位成员中使用移动支付的人数，DX=1A,尸(X=4)<P(X=6),则0=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

九、统计小题：

3年2考.2018年没有考，2016年考了课本上没有的一种统计图，值得关注.

年份题目答案

2017年--3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至A-

2016

根据该折线图，下列结论错误的是A.月接

待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增

加C.各年的月接待游客量高峰期大致在

7,8月

4

全国高考数学考什么高考数学压轴题全解全析

2016年(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最D

低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15°C,B点表示四月的平均最低

气温约为5°C。下面叙述不正确的是

一月

——平均最低气温——平均最高气温

(A)各月的平均最低气温都在0°C以上

(B)七月的平均温差比一月的平均温差大

(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同

(D)平均气温高于2O°C的月份有5个

十、数列小题:

3年3考，数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，数列考解答题时一般不再考小题，

不考解答题时，一般就考两个小题，等差数列和等比数列考各一个。交错考法不一定分奇数年或

偶数年.

年份题目答案

2017年9.等差数列｛%｝的首项为1,公差不为0.若出，。3，。6成等比数列，则｛4｝前6项的和A

为A.-24B.-3C.3D.8

2017年14.设等比数列｛。〃｝满足q+a2=-1吗一/=一3，则。4=________.-8

2016年(12)定义"规范01数列"｛而如下：｛而共有2m项，其中m项为0,m项为1,且对任意C

k<2m,0,生,…，6中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共

有

(A)18个(B)16个(C)14个(D)12个

十一、框图〃趣：

3年2考，2018年没有考！考含有循环体的较多，都比较简单，一般与数列求和联系较多.

5

全国高考数学考什么高考数学压轴题全解全析

2016年(7)执行下图的程序框图，如果输入的。=4,b=6,那么输出B

的"=

(A)3(B)4(C)5(D)6

1~

叫-o]

$

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十二、圆锥曲线小题：

3年7考，每年2-3题！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题

侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一，一般一个容易的，一个较难的.

年份题目答案

2018年6.直线x+y+2=0分别与x轴，1•轴交于4,B两点，点P在阳x-2『+j/=2上，则A48尸面积的A

取值范围是()

A.[2,6]B.[4,8]C.[VI，30]D.120,3点]

2018年C

11.设£,F,是双曲线C:]-1=1(a>0,分>0)的左，右焦点，。是坐标原点.过尸，作C的一条

a、b”

渐近线的垂线，垂足为P.若|珍卜卡|凹，则C的离心率为()

A.>/5B.2C.>/3D.>/2

2018年16.己知点用(-1,1)和抛物线C：/=4x,过C的焦点且斜率为K的直线与C交于力，B两点.若2

N4MB=90°,则〃=_______.

2017年B

5.已知双曲线C：———=1(。>0力〉0)的一条渐近线方程为y=V_x,且与椭圆

a2b22

e+£=1有公共焦点.则C的方程为。

123

22222222

A.-一上=1B.工一上=1C.工一E=1D.二一上=1

810455443

2017年10.已知椭圆C：e+£=1(。>6>0)的左、右顶点分别为A,A,且以线段AA为A

2

ab21212

直径的圆与直线区-殴+2"=0相切，则C的离心率为()

A.史B.2C.£D.1

V~TV3

6

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2016年A

(11)已知。为坐标原点，F是椭圆C：工+21=1(4>/>>0)的左焦点，A,B分别为C

a2b1

的左，右顶点.P为C上一点，且PF_Lx轴.过点A的直线/与线段PF交于点M,与y轴交

于点E.若直线BM经过。E的中点，则C的离心率为

1、123

(A)(B)(C)(D)

32T4

2016年(16)已知直线1:mx+y+3m-J~=0与圆x?+y2=12交于A,B两点，过A,B分4

别做1的垂线与x轴交于C,D两点，若AB=23,则CD=______________.

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十三、函数小题：

3年7考，每年2-3道，可见其重要性！主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、

最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、零点等，分段函数是重要载体!

函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？

年份题目答案

2018年D

7.A函•数>--/+工'+2的干图像大致为""J答

2018年B

12.设a=log()20.3,b=log20.3,则()

A.a-^h<ah<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.abv0va+b

2018年-3

14.曲线夕=(奴+l)e'在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则“=_________.

2017年11.已知函数/(xAd—Zx+aST+er+i)有唯一零点，贝但=()C

111

A.--B.-C.-D.1

232

2017年lx+l,x<0,1,1

15.设函数/(幻=《则满足/(©+/。一_)>1的％的取值范围是(一一,+8)

[2X,x>024

2016年43A

(6)已知。=2"Z?=4T,c=25"则

(A)b<a<c(B)a<b<c(C)b<c<a(D)c<a<b

2016年(15)已知f(x)为偶函数,当xVO时,fx=In-x+3x,则曲线y=f(x),在点

y=-2x-1

(1,-3)处的切线方程是_______________o

十四、科&列组合、二项式定理小题：

3年2考，在全国各卷中二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统

计和分布列中考查.排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间(无底洞)，而且排列组合难题

无数，只要处理好分配问题及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多.

7

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年份题目答案

2018年5.卜+：］的展开式中f的系数为（）C

A.10B.20C.40D.80

2017年4.(x+y)(2x-y)s的展开式中dy3的系数为()C

A.-80B.-40C.40D.80

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十五、三角函数大题：在全国卷中三角函数大题和数列大题每年只考一个类型，交错考法不一

定分奇偶数年.三角函

数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理.

年份题目及答案

2017年17.（12分）

A4BC的内角A,3,C的对边分别为。，"c,已知sinA/cosA=0,a==2

（1）求c；

（2）设。为8C边上一点，且A。，AC,求△ABO的面积.

L2万

解：（1）由已知可得tanA=—旨，所以A=——

在AA8C中，由余弦定理得28=4+c2—4ccos,即c2+2c—24=0

3

解得c=-6（舍去），c=4

n7i

（2）由题设可得NC4O=,所以N84O=N84C—NC4O=

26

1万

AfflAODsin

故AABD面积与MCD面积的比值为2―--------1

ACCAD

2

又A4BC的面积为1x4x2sin/84C=23,所以AA8D的面积为3

2

8

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十六、数列大题：在全国卷中三角函数大题和数列大题每年只考一个类型，交错考法不一定分

奇偶数年.数列一

般考求通项、求和.数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小.

年份题目及答案

2018年17.（12分）

等比数列｝中，flj=1»as=4a3.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵记5”为｛4｝的前〃项和.若鼠=63,求〃1.

Ih（1）&｛q｝的公比为9,由题设得4=g-

由已知得9'=好，解得9=0（舍去），9=-2或9=2.

故可=（-2）"1或对=2*~'.

（2）若4=（-2广'，则S"="（；2）：由s.=63得（-2尸=-188,此方程没有正整数解•

若4=2"',则S.=2"-l.由S.=63得2"=64,解得m=6.

综t»m=6.

2016年（17）（本小题满分12分）

已知数列an的前n项和Sn=l+a,Sn=1+/lan,其中；Iwo

（1）证明an是等比数列，并求其通项公式

（II）若S=21，求4

532

解：（I）由题意得。=S=1+助,故a=],。w0.

1

1111i-2

由Sn=1+Aan,Sfl+i=1+助用得氏+]=Aa,J+l-Aarl,即4+[（/1-1）=九/〃.由。产0,XwO得

aHO,所以%+i='.

"aA-l

"iJi2

因此｛a｝是首项为二公比为，L的等比数列，于是a=（尸.

"1-A2-1"1—44—1

（n）由（I）得s=1-（Ar，由s=3得i-（2）5J1,BP（A）5=J,

”A-1332A-132A-132

解得；1=一1.

9

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十七、立体几何大题:

3年3考，每年1题.第1问多为证明平行垂直问题，第2问多为计算问题，求空间角较多.

年份题目及答案

2018年19.(12分)

如图，边长为2的正方形所在平面与半圆弧。。所在平面垂比，M是C£>上异乎。，。的点.

⑴证明：平面AMD_L平面BMC；

⑵当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

HZU.，向CWD±¥面,交视为CD.因为SCICD.BCa'KlfllABCD.所以8CJ_

f.11,HlBC1DM.

«tWCD1Fc.D的点,且DC为直径,所以DM1CM.

newC,所以。Ml平面助UC.

FCMcfit]<MD.故平面41GL平面BMC.

11n为W林版由，)的方向为x轴正方向，建0如图所小的空间也用坐标系Q.RZ.

;怜根A，X8C体枳最大时,A,为而的中点,由题设得，

/HO,0,0k.4(2.0.015(2.2.0),C(0.2.0),A/(().l.l).

U(2,1.11AB-(0.2,0).D5=(2.0,0).

设n=(t,v.;)ftTift)的法向量,则

"竺=a即一+.y+z=0.

f9-AB=0,2v=0.

可取，=(1.0.2).

DA是平面.WC0的法向量.因此

\DA石

COS'■,4/>=------=5-=,

\n\\DA\5

SID(A,DA).

5

所以面M4B与面ASC。所成二面角的正弦值是及

10

全国高考数学考什么高考数学压轴题全解全析

2017年19.(12分)如图，四面体ABC。中，/XABC是正三角形,

△ACD是直角三角形.ZABD=NCBD，A8BD.

(1)证明：平面平面ABC；

(2)过AC的平面交BO于点E,若平面AEC把四面

体A88分成体积相等的两部分.求二面角

DAEC的余弦值.

解：

(1)由题设可得，WSD=bCBD*从而AD=DC

又AA8是直角三角形，所以NADC=90°

取AC的中点O,连结

则DOJ_AC,DO-AO

又由于A48C是正三角形，故5O_LAC

所以ZDOB为二面角D-AC-B的平面角

在R/AAO3中，BO2+AO2^AB2

又AB=BD,所以

BO2+DOr=BO2+AO2=AB2=BCr

ZDOB=90a

所以平面AC。，平面ABC

(2)由题设及(1)知，Q4,08,。□两两垂直，以。为坐标原点，QA的方向为x轴正方向，|。4|

为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z,则

A(l,0,0),B(0,^,0),C(-l,0,0),D(0,0,l)

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体

ABCD的体积的L,从而E到平面ABC的距离

2

1

为。到平面A3C的距离的一，即E为。8的中

_2

点，得E(0,五,l)，故

22

AD=(-1,0,l),AC=(-2,0,0),AE=(-1,—,-)x

22

m-AC=0,二

设〃=(x,y,z)是平面的法向量，贝吗；一同理可取加=(0,-1,我

[m-AE=0

nDmJT

则cos<n,m>=------=——

|n\\m\7

所以二面角。—AE—C的余弦值为立。

7

11

全国高考数学考什么高考数学压轴题全解全析

2016年(19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P-A8C。中，地面ABCD,AD〃BC,

AB=AD=AC=3,PA=BCM,M为线段AO上一点，AM^2MD,

N为PC的中点.

(1)证明MN〃平面PAB;

(II)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值./«

解：(I)由已知得AM=2AD=2,取BP的中点T,

连接AT,TN,由N为PC中点知TN//BC,/♦'__

1

TN=BC=2.'——.

7

又ADHBC,故77V平行且等于AM,四边形AMNT为平行四边形，干是MN/I