转动惯量和切变模量的测量

转动惯量和切变模量的测量DH4601A三线摆和扭摆实验仪实验讲义杭州大华科教仪器研究所杭州大华仪器制造有限公司横梁转动杆图1横梁转动杆图1三线摆示意图转动惯量和切变模量的测量转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于形状简单的均匀刚体，测出其外形尺寸和质量，就可以计算其转动惯量。对于形状复杂、质量分布不均匀的刚体，通常利用转动实验来测定其转动惯量。三线摆法和扭转摆法是其中的两种办法。为了便于与理论计算值比较，实验中的被测刚体均采用形状规则的刚体。［实验目的］1．加深对转动惯量概念和平行轴定理等的理解；2．了解用三线摆和扭摆测转动惯量的原理和方法；3．掌握周期等量的测量方法［实验装置和原理简介］一、三线摆图1是三线摆示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。横梁由立柱和底座（图中未画出）支承着。三根对称分布的等长悬线将两圆盘相连。拨动转动杆就可以使上圆盘小幅度转动，从而带动下圆盘绕中心轴00'作扭摆运动。当下圆盘的摆角0很小，并且忽略空气摩擦阻力和悬线扭力的影响时，根据能量守恒定律或者刚体转动定律都可以推出下圆盘绕中心轴00＇的转动惯量Jo为1）j=m^^

0 4冗2H1）式中，m为下圆盘的质量；r和R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离;Ho为平衡时上下圆盘间的垂直距离；To为下圆盘的摆动周期，g为重力加速度。北京地区的重力加速度为9.80ms-2。将质量为m的待测刚体放在下圆盘上，并使它的质心位于中心轴00'上。测出此时的摆动周期T和上下圆盘间的垂直距离H,则待测刚体和下圆盘对中心轴的总转动惯量J1为

”（m+m）gRr_J= 0 T21 4兀2H待测刚体对中心轴的转动惯量J与J0和J］的关系为J=J1－J0利用三线摆可以验证平行轴定理。平行轴定理指出：（2）（3）如果一刚体对通过质心的某一转轴的转动惯量为J（2）（3）如果一刚体对通过质轴的转动惯量Jx为xJx=Jc+md2式中，m为刚体的质量。实验时，将二个同样大小的圆柱体放置在对称分布于半径为叫的圆周上的二个孔上，如图2所示。测出二个圆柱体对中心轴00'的转动惯量J。X如果测得的Jx值与由（4）式右边计算得的结果比X较时的相对误差在测量误差允许的范围内（W5%）,则平行轴定理得到验证。二、扭摆将一金属丝上端固定，下端悬挂一刚体就构成扭摆。图3表示扭摆的悬挂物为圆盘。在圆盘上施加一外力矩，使之扭转一角度e。由于悬线上端是固定的，悬线因扭转而产生弹性恢复力矩。外力矩撤去后，在弹性恢复力矩M作用下圆盘作往复扭动。忽略空气阻尼力矩的作用，根据刚体转动定理有M=J』 ⑸式中，j为刚体对悬线轴的转动惯量，e为角加速度。弹性恢复力矩m转角e0的关系为m=-ke （6）K=扭摆的运动微分方程为nGd432L7)8)可见，圆盘作简谐振动。其周0期K=扭摆的运动微分方程为nGd432L7)8)可见，圆盘作简谐振动。其周0期T为 0JT=2n o-0 K

若悬线的扭摆模量K已知，则测出圆盘的摆动周期T0后，由（9）式就可计算出圆盘的转动惯量。若K未知，可利用一个对其质心轴的转动惯量J］已知的物体将它附加到圆盘上，并使其质心位于扭摆悬线上，组成复合体。此复合体对以悬线为轴的转动惯量为J°+J］复合体的摆动周期T为10)由（9）式和（10）式可得11)1211)12)0JT2—T2 104兀2JT2—T2 10测出T和T后就可以计算圆盘的转动惯量J和悬线的切变模型G。圆环对悬线轴的转动惯量J1有以下计算J1式中，m1为圆环的质量；=1（D2+J1式中，m1为圆环的质量；812D1和D2分别为圆环的内直径和外直径。实验任务］1、 用三线摆测定下圆盘对中心轴00'的转动惯量和圆柱体对其质心轴的

转动惯量。要求测得的圆柱体的转动惯量值与理论计算值（J二1mr2,片为圆21柱体半径）之间的相对误差不大于5%。2、 用三线摆验证平行轴定理。3、 用扭摆测定圆盘的转动惯量和切变模量。实验仪器］三线摆及扭摆实验仪、水准仪、米尺、游标卡尺、物理天平及待测物体等。仪器使用］1、 打开电源，程序预置周期为T=30（数显），即：挡光杆来回经过光电门的次数为T=2n+1次。2、 据具体要求，若要设置10次，先按“置数”开锁，再按下调（或上调）改变周期T,再按“置数”锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态，这时显示的是计数的次数；当物体经过光电门的周期次数达到设定值，数显将显示具体时间，单位“秒”。须再执行“10”周期时，无须重设置，只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“10”，再按“执行”键，便可以第二次计时。（当断电再开机时，程序从头预置30次周期，须重复上述步骤）［实验注意事项］1、 测量前，根据水准泡的指示，先调整三线摆底座台面的水平，再调整三线摆下圆盘的水平。测量时，摆角0尽可能小些，以满足小角度近似。防止三线摆和扭摆在摆动时发生晃动，以免影响测量结果。2、 测量周期时应合理选取摆动次数。对三线摆，测得R、r、叫和H0后，由（1）式推出J0的相对误差公式，使误差公式中的2AT0/T0项对AJ0/J0的影响比其它误差项的影响小作为依据来确定摆动次数。估算时，Am取0.02g，时间测量误差At取0.03s，AR、Ar和AH°可根据实际情况确定。对于扭摆，先由（13）式估算人的相对误差，然后由（11）式推出J0的相对误差公式。根据使T0或（T）的相对误差项对AJ0/J0的贡献比J］的相对误差贡献小的原则，确定摆动次数。估算时，Am1取0.02g，AD］和AD2均取0.04mm，J°取400g・cm2，At取0.03s，T0和T1可先大概测出。［思考题］1、 三线摆在摆动过程中要受到空气的阻尼，振幅会越来越小，它的周期是否会随时间而变？2、 在三线摆下圆盘上加上待测物体后的摆动周期是否一定比不加时的周期大？试根据（1）式和（2）式分析说明之。3、 如果三线摆的三根悬线与悬点不在上、下圆盘的边缘上，而是在各圆盘内的某一同心圆周上，则（1）式和（2）式中的r和R各应为何值？4、 证明三线摆的机械能为!je2+丄吗匹e2，并求出运动微分方程，从20 2H而导出（1）式。动力学综合设计性实验装置—双线摆(DH4605DP)实验讲义杭州大华科教仪器研究所

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双线摆实验讲义0下，将自由摆动，在无阻尼状态下，系统的动能和势能将相互转化，但总量将保持为一恒定的值，可视为一无休止的循环运动。设双线摆摆锤运动至最低点时横杆的中心位置为直角坐标系的原点，并以此时原点所在的平面为零势能面。双线摆运动系统的几何关系图如图2所示。根据该图可得a=arccos'，式中S为以d/2为半径，园心为9所对应的弦。所以有:Ld9h=L-Lsina=L[1-sinarccos(sin—)]L2如果我们取L=d,则

00h=L(1-cos—)=2Lsin2— '24由于，当摆角0很小时，可近似认为0.sin0，则2)0h=L(1-cos—)=2)23)杆的转动动能为E=mp0gh1mgL028004)1d0

E=I( )23)杆的转动动能为E=mp0gh1mgL028004)1d0

E=I( )2，k20dt根据能量守恒定律，得5)d0 1 __I( )2+一mgL02=mgh0dt 8 0 0 0 0式中h为初始摆的最大高度。两边对t求一阶导数,0并除以d0，得:

dtd20 mgL0+0 0—=0，dt2 4I0(7)(7)式是一简谐振动方程，有O20人％，所以4I08)I8)T=4兀 0—，0 'mgL0mgLI= 0T2，0 16兀2 0根据(9)式，实验时先调节摆线长等于两线间的距离，即d=L0，并测出L0,旋转一小角度，测量周期T°,代入(9)式，求细杆的转动惯量。2.测量待测物体的转动惯量将质量为m的待测物体固定在细杆上，由(9)式知系统总的转动惯量为10)I=(m0+mx)叭T10)待测物的转动惯量为(m0+mx)gL0T2-I16兀2 0(m0+mx)gL0T216兀22,(ii)16兀2 0根据(11)式，实验时先测出待测物体的质量，固定在细杆的质心处，调节摆线长等于两线间的距离，即d=L0，并测出L°,旋转一小角度，测量周期T,代入(9)式，求细杆的转动惯量Ix。x//m图3平行轴定理x图3平行轴定理用双线摆验证平行轴定理用双线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为m1的物体绕过其质心轴的转动惯量为I，当转轴平行移c动距离x时(如图3所示)，则此物体对新轴oo，的转动惯量为i=i+mx2。这一结论称为转动惯量的平xc1行轴定理。实验时将质量均为m，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置2在均匀细杆上。按同样的方法，测出两小圆柱体和细杆的转动周期T，则可求x出每个柱体对中心转轴OO，的转动惯量：TOC\o"1-5"\h\z(m+2m)gL (m+2m)gL mgL (12)I= 0 rlT2—I= 0 1 lT2—-0 lT2， (丄2)x 32兀2 x 0 32兀2 x 16兀2 0如果测出小圆柱中心与细杆质心之间的距离x以及小圆柱体的半径R，则由平x行轴定理可求得(丄3)(丄3)I'=mx2+mR2 ，x121x比较I与厂的大小，可验证平行轴定理。xx二、实验内