平面向量-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)(解析版)

专题07平面向量

1.(2021.辽宁沈阳二中高三月考)已知润，工均为单位向量，且打九若72=3,则上4=()

411

A3R3„4新

4554

【答案】D

【解析】因为Z,反"均为单位向量，且加

所以设a=(l,0),5=(0,l),「=(cosasin，),

3

则行•3=cos0=—,

4

所以W•c卜|sin0\=.

故选：D

2.(2021.辽宁实验中学高三期中)若平面向量B满足同咽=£4=2,则对于任意实数;I,2+(1-/1)4

的最小值是()

A.73B.1C.26D.2

【答案】A

【解析】由题意，

Ra+(1—4)W=yl(2a+(1-\CI\~+(1—A)~|b|'+2A(1—A.)ci-b

=74/t2+4(1-2)2+4/1(1-2)=V4A2-4A+4

=MT+3z石

当且仅当/=；时等号成立

故西+(1-㈤.的最小值是6

故选：A

3.(2021・重庆八中高三月考)四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB=4,

CD=2,ZA=45°,M为线段“L上一动点，则赤•丽的最小值为()

A.-8B.-16C.-24D.-32

【答案】D

【解析】由题意，以C为原点建立如图所示的平面直角坐标系

则A（Y,2）,F（0,-2）,G（4,-2）

M为线段上一动点，设M（2,y）,其中04y44

.-.AF=(4,-4),GM=(-2,y+2)

.•.通•丽=4x(-2)+(T)x(y+2)=-4y-16,0<y<4

二当y=4时，AF.GM=-32

而.诉的最小值为-32.

故选：D.

4.（2021•重庆九龙坡一中高三期中）已知4瓦_1瓯，|0蜀=|0因=1,/=而；+瓯，|OP卜天则|OA|

的取值范围（）

A.（今拘B.咚近

C.母,后

【答案】B

【解析】由题设，四边形83以尸为矩形，构建以A为原点的直角坐标系，如下图,

x2+(y-n)2=1,(x-/n)2+y2=1且04(元一根f+(y-n)2<—

4

又|0乂|2=1+y2-2-[(x-/n)2+(y-M)2],

.\-<|tt4|2<2,即也<|次区友.

42

故选：B

5.（2021・江苏如皋中学高三月考）如图，已知。4=2,08=3,OC=1,ZAOB=「，NBOC=90,，若

()

\_「石

L«---D

~23-1

【答案】C

【解析】如图所示：以0C为x负半轴,08为了正半轴建立直角坐标系,

则4(6,1),3(0,2),C(-l,0),

OB=xOA+yOC,即(0,2)=尤(\/^,1)+1,0)=^\/3x—y,x),

解得x=2,丫=2百，故土=^^.

y3

6.（2021•江苏海安高级中学高三月考）已知单位向量£,b，且|£-28=",贝iJcos<2,B>（）

A.!B.—C.-D.—

2244

【答案】D

【解析】由题意，单位向量入b，且|12昨太，

可得Ia-2Al=",BPa'-4ab+4b'=|«|-4aB+4M=6,ah=,

故选：D.

7.（2021.广东普宁市华侨中学高三期中）已知非零向量£花满足同=咽=0且侬。），（&+5）,则£与加

的夹角为（）

A.[B.-D.一

64c-72

【答案】D

【解析】•••（2i-B）_L®+5）

[2a-b^-{a+b）=la2+ab-h=2+a-5-2=0,

•••万石=0,7与B的夹角为

故选：D

8.(2021•广东肇庆一中模拟)如图，在平行四边形ABC。中，AE=^AD,BF=：BC,CE与DF交于点、0.

设而=£，AD=b»若AO=2a+〃B,则％+〃=()

11

D.

17

【答案】B

【解析】连接AF,AC,

・・・D。,尸三点共线，，可设=则x+y=l,

AO=xAD+y+yAB+-

4

・・・E,O,C三点共线，.•.可设/荏+〃/，则〃2+〃=1,

AO=yAD+〃(AD+/45)=(3+〃)〃+〃〃：

x+y=1

9

m-\-n=\x——

17.•8-11rRn481119

•―1tn,解得：八,AO=­。+—b,即2+〃=-----F—=—

x+—y=—+〃81717171717

4,3y=­

17

y=〃

故选：B.

9.(2021•广东惠州一中高三月考)已知直线/：方—y+2=0(aeR)与圆M：/+/一分+3=0的交点为A,

8,点C是圆用上一动点，设点尸(0,-1),则照+而+园的最大值为()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】圆M：f+y2-4y+3=0化成d+(y-2)2=1,

故点P（O,-1）,M（o,2）,

直线/：ar-y+2=0（awR）恒过圆心M（0,2）,

所以中+方=2丽，

所以国+丽+园=〔2丽+罔42|两卜附卜6+|罔46+|PM|+l=10,

当且仅当丽和无同向共线，且C点为圆上最高点时，等号成立

故选：B

10.（2021•湖南长郡中学高三月考）已知A8CO是边长为2的正方形，P为平面A8CO内一点，则

（说+而）.正的最小值是（）

A.—2B.C.—3D.—4

2

【答案】B

【解析】MCD是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线A8,4。分别为x轴，y轴建立平面直角坐标

系，如图:

则4(0,0),8(2,0),C(2,2),设点P(x,y),

PA=(-x,-y),PB=(2-x,-y),PC=(2-x,2-y),

于是得：(而+丽)•斤=(2-2x,-2y)-(2-x,2-y)=2(x-1)(x-2)+2y(y-2)=2(x-+2(y-1)2-5,

3______5

当x=4,y=l时，(尸4+28＞尸(7取得最小值-二，

22

所以(回4+PB)-PC的最小值是--.

2

故选：B

11.(2021.湖南株洲一中高三月考)若向量〃=(2,6),/?=(1,-2),c=(m,m),1=万+2,且则m=()

【答案】A

【解析】因为2=石+工=（加+1,%-2）,且£而，所以2（机-2）=6（6+1）,解得机=-：.

故选：A.

12.（2021・湖北武汉外国语高三月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股

定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,

如图所示.在“赵爽弦图”中，若配=£,BA=b,而=3而，则乔=（）

4-3-3-4-

C.-a+-bD.-a+-b

5555

【答案】B

【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，旦配=£,BA=b,

BE=3EF^

所以而=就+而=前+』丽

4

—•3——

=BC+-(EB+BA)

4

=BC+^~BF+BA)

―-9—•3—►

=BC——BF+-BA,

164

—16—12——16-12-

^BF=—BC+—BAKPBF=—a+—b,

25252f525

故选：B

13.(2021•福建省龙岩一中高三月考)已知平面向量£与坂的夹角为60°,£=(2,0),同=1,则衿2,的值为

()

A.叵B.2C.4D.J

【答案】B

【解析】因为£=（2,0）,所以问=2,

所以a・B=忖•忖cos60=2x1xg=1,

所以|12邛=0-24=7+4厂一防不

=|a|+4忖-4a-b=22+4-4x\=4,

所以卜-2耳=2,

故选：B.

14.（2021•河北唐山市十中高三期中）已知点A（l,l）,若圆P：（x-4p+（y-5）2=六，（厂>0）上存在两点

M,N,使得前=2丽，贝I，•的取值范围是（）

A.（0,5）B.6，5）。,［石9D.［1,5）

【答案】D

【解析】由圆P：（x-4/+（y—5）2=，，（/>0）可得圆心p（4§,

AP=>/（4-1）2+（5-1）2=5,

取MN的中点Q,连接24,PD,

因为丽7=2丽，所以AO=5M£>,

设PD=d,在中，由勾股定理可得：AD=yjAF^-PD2=^25-d2>

在RtAPA〃）中，由勾股定理可得：MD7PM2-PDJ於-普，

所以而二7=577^筋，整理可得：相遥（‘_］）,

因为dvr,所以屋=青--1）〈/，解得：r<5,

因为五｝2T"0'所以rW所以1口<5,

故选：D.

15.（2021・湖北武汉二中高三期中）如图，AOA百，AAA2B2,是全等的等腰直角三角形，0A=2,

41=1,2,3）处为直角顶点，且o,A，4,人3四点共线.，若点匕，P>P\,分别是边AA，A2B2,上

的动点（包含端点），记4=函•函，4=砾•砥，，3=砥•西，则（）

A.A=6B.I3"C.I,<I2D.5</2<6

【答案】ABC

【解析】如图，以。为原点，建立直角坐标系，则4（1,1）,鸟（6-屈m）,所以4=西•苗=（1,1）•（6-八m）=6,

A正确；其中四（5,1）,/?（2-n,n）,0<n<l

/3=0^0^=（5,l）-（2-n,n）=10-4ne[6,10],所以。B正确;其中2（3,1）,R,（4-x,x）,04x41,

/2=Oft0^=（3,l）（4-x,x）=12-2xe[10,12],所以人4乙，C正确，D错误；

故选：ABC

16.（2021•山东德州一中高三期中）如图，梯形A8C。中，AB±BC,AB//CD,AB=BC=2,AC.BD^-2,

若点〃为边A8上的动点，则研.丽的最小值是.

【答案】47

4

【解析】以8为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图:

C（2,0）M（0,2）,B（0,0）,

设£>（2,x）,衣=（2,-2）,而=（2,x）,

■.■ACBD=-2>则4-2x=-2,解得x=3,

r.£）（2,3）,•.•点”为边A8上的动点，

设M（0,f）,Ze[0,2],MC=（2,-t）,MD=（2,3-t）,

:.MCMD=4-t（3-t）=t2-3t+4,

当时3，取得最小值，代入可得祝.砺的最小值是：7.

7

故答案为：—

4

17.（2021•福建福州三中高三月考）已知@=（1,间，5=（—3,4）,若1-5）,则机=.

【答案】2

【解析】已知&=。,加），6=（-3,4）,

所以e一5=（4,m-4）,

由不工,一万）可得4+机（加-4）=0,解得机=2.

故答案为：2.

18.（2021•河北保定一中高三月考）在AABC中，43=6,AC=6石,BC=12,动点P自点C出发沿CB运动，

到达点B时停止，动点。自点8出发沿BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的3倍.若二

者同时出发，且当其中一个点停止运动时.另一个点也停止运动，则该过程中成.晶的最大值是

【答案】72

［解析］因为AB=6,AC=6瓜8c=12,AB2+AC2=BC2,

所以ZBAC=90°,且ZACB=30°,

建立平面直角坐标系xAy,如图所示.

设点P(x,6G-A/3X),xe[0,2],则CP=2x,80=6x,

从而可得。(6-3x,3jir),

所以AXG=x(6—3x)+3&(66-6x)=—12(x—g)+75.

因为y=-12（x-』）+75在［0,2］上单调递增,

所以当x=2时，筋.检取得最大值，且最大值为72.

故答案为：72

19.（2021•辽宁实验中学高三期中）在锐角AABC中，cosA=-,若点P为“ABC的外心，且亦=了4豆+\，4（?,

4

则x+y的最大值为.

【答案】|4

【解析】AP=xAB+yAC=x^AP+PB）+y（AP+PC）,整理得：-x-y）AP=xPB+yPC

设锐角AABC外接圆的半径为R,所以卜4=|Pq=怛。=R,则上式两边平方得：

7

（1