2022-2023学年内蒙古阿拉善盟高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年内蒙古阿拉善盟高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k＝（）A．﹣ B．0 C．3 D．3．（5分）下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则存在唯一实数λ使得 C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为4．（5分）已知，则＝（）A． B． C． D．5．（5分）已知向量满足，则与所成角为（）A． B． C． D．6．（5分）工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产的产品数量（单位：件）进行抽样调查，整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的为（）①该车间工人上月产量的极差恰好为50件；②车间约有120名工人上月产量低于65件；③该车间工人上月产量的平均数低于64件；④该车间工人上月产量的中位数低于63件．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④7．（5分）已知正三棱锥S﹣ABC的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（）A． B．﹣ C． D．﹣8．（5分）为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究．当地有一座山，高度为OT，同学们先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北21.7°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走140米后到达地面B处，测得该山在西偏北81.7°方向，山顶T处的仰角为60°．同学们建立了如图模型，则山高OT为（）A．米 B．米 C．米 D．米二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题中正确的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β B．如果m⊂α，α∥β，那么m∥β C．如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l D．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β（多选）10．（5分）如图，已知点O为正六边形ABCDEF中心，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．（多选）11．（5分）函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图像如图所示，则（）A．该函数的解析式为y＝2sin（x+） B．该函数图像的对称中心为（kπ﹣，0），k∈Z C．该函数的增区间是[3kπ﹣，3kπ+]，k∈Z D．把函数y＝2sin（x+）的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像（多选）12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的有（）A．平面PB1D⊥平面ACD1 B．A1P∥平面ACD1 C．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是（0，] D．三棱锥D1﹣APC的体积不变三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若z是纯虚数，|z|＝1，则的实部为．14．（5分）已知α，β满足tanα+tanβ＝3，，则sin（α+β）＝．15．（5分）如图，A，B，C，D为平面内的四个点，，E为线段BC的中点，若，则λ+μ＝．16．（5分）已知函数（ω＞0，）的最小正周期为4π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴方程是，则φ的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设两个非零向量与不共线．（1）若＝+，＝2+8，＝3（﹣）．求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA＝2bcosB．（1）求B；（2）若b＝2，△ABC的面积为2，求△ABC的周长．19．（12分）已知函数．（1）利用“五点法”，完成以下表格，并画出函数f（x）在区间上的图象；0πxf（x）000（2）求出函数f（x）的单调减区间；（3）当时，f（x）﹣a＝0有解，求实数a的取值范围．20．（12分）某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个．为挑选优秀团队，现用分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个．（1）应从大三中抽取多少个团队？（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试，甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛．从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．22．（12分）如图，四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，PA＝PD，AD＝2BC．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若△PAB是面积为的等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

2022-2023学年内蒙古阿拉善盟高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：因为，所以对应点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第二象限．故选B．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．2．（5分）已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k＝（）A．﹣ B．0 C．3 D．【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）∴2﹣3＝（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•＝0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）＝0，解得，k＝3．故选：C．【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．3．（5分）下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则存在唯一实数λ使得 C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为【分析】对A，向量模相等，则向量不一定有共线关系；对B，向量共线定理判断；对C，利用向量平行（或共线）的性质判断，对D利用非零向量的单位向量的求解方法求解．【解答】解：若，则与不一定有共线关系，所以选项A错误；若，此时λ不存在，选项B错误；若，由，，不一定得到，选项C不正确；由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．4．（5分）已知，则＝（）A． B． C． D．【分析】根据三角函数的诱导公式可得出，然后得出，从而根据二倍角的余弦公式即可求出答案．【解答】解：∵＝，∴＝＝．故选：D．【点评】本题考查了诱导公式，二倍角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）已知向量满足，则与所成角为（）A． B． C． D．【分析】根据向量模的运算得，进而结合向量夹角公式求解即可．【解答】解：因为向量满足，所以，解得，所以，因为，所以，即与所成角为．故选：A．【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，考查转化能力，属于中档题．6．（5分）工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产的产品数量（单位：件）进行抽样调查，整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的为（）①该车间工人上月产量的极差恰好为50件；②车间约有120名工人上月产量低于65件；③该车间工人上月产量的平均数低于64件；④该车间工人上月产量的中位数低于63件．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率以及平均数、方差和中位数的计算方法，逐项判定，即可求解．【解答】解：①中，根据频率分布直方图，可得该车间工人上月产量的极差大约为50件，所以①不正确；②中，根据频率分布直方图，可得低于65件的频率为（0.020+0.040）×10＝0.6，所以月产量低于65件的人数为200×0.6＝120，所以②正确；③中，根据频率分布直方图，可得平均数为：（50×0.020+60×0.040+70×0.025+80×0.010+90×0.005）×10＝64，所以③不正确；④中，根据频率分布直方图，设中位数为x，可得，所以④正确．故选：D．【点评】本题考查根据频率分布直方图确定平均数、中位数、极差等数据，属基础题．7．（5分）已知正三棱锥S﹣ABC的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】利用正三棱锥的性质和二面角的定义、等边三角形的性质即可求出．【解答】解：如图所示，过点S作SO⊥底面ABC，点O为垂足，连接OA、OB、OC，则Rt△OAB≌Rt△OBC≌Rt△OCA，∴OA＝OB＝OC，∴点O为等边△ABC的中心．延长AO交BC于点D，连接SD．则AD⊥BC，再根据三垂线定理可得BC⊥SD．∴∠ODS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角．根据重心定理可得：OD＝AD＝．在Rt△SOD中，cos∠ODS＝＝，故选：C．【点评】熟练掌握正三棱锥的性质和二面角的定义、等边三角形的性质是解题的关键．8．（5分）为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究．当地有一座山，高度为OT，同学们先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北21.7°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走140米后到达地面B处，测得该山在西偏北81.7°方向，山顶T处的仰角为60°．同学们建立了如图模型，则山高OT为（）A．米 B．米 C．米 D．米【分析】设山高为h米，利用仰角的正切表示出AO、BO，在△AOB中利用余弦定理列方程求得h的值．【解答】解：设山OT的高度为h，在Rt△AOT中，∠TAO＝30°，AO＝＝h，在Rt△BOT中，∠TBO＝60°，BO＝＝h，在△AOB中，∠AOB＝81.7°﹣21.7°＝60°，由余弦定理得，AB2＝AO2+BO2﹣2•AO•BO•cos60°；即1402＝3h2+h2﹣2×h×h×，化简得h2＝×1402；又h＞0，所以解得h＝140×＝20；即山OT的高度为20（米）．故选：C．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，考查了余弦定理的应用问题，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题中正确的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β B．如果m⊂α，α∥β，那么m∥β C．如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l D．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β【分析】根据线面平行，垂直的定义和有关判定定理，性质定理以及结论即可逐项判断其真假．【解答】解：对A，当m⊥n，m⊥α时，n⊂α或n∥α，当n⊂α，当n⊥β时，a⊥β，显然正确，当n∥α时，∃l⊂α，使得n∥l，而n⊥β，所以l⊥β，即有a⊥β，综上，总有a⊥β，正确；对B，根据线面平行的定义可知，正确；对C，∵m∥α，m∥β，∴m⊄α，m⊄β．∃m⊂γ，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，由线面平行的性质定理可知，m∥a，m∥b∴a∥b，当a，b，l三线重合时，显然有m∥l，当a，b，l三线不重合时，∴a∥β，而a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，即有m∥l，正确；对D，当m⊥n，m⊥α时，n⊂α或n∥α，而n∥β，那么α⊥β不一定成立，错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查线面平行，垂直的定义和有关判定定理，性质定理以及结论的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．（多选）10．（5分）如图，已知点O为正六边形ABCDEF中心，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据正六边形的性质，运用平面向量的运算法则逐项判断即可．【解答】解：对于A，，故选项A错误；对于B，，故选项B正确；对于C，由平面向量公式可知，，故选项C正确；对于D，，，显然，故选项D错误．故选：BC．【点评】本题考查平面向量的加减混合运算，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．（多选）11．（5分）函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图像如图所示，则（）A．该函数的解析式为y＝2sin（x+） B．该函数图像的对称中心为（kπ﹣，0），k∈Z C．该函数的增区间是[3kπ﹣，3kπ+]，k∈Z D．把函数y＝2sin（x+）的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像【分析】对于选项A：根据图像和已知条件求出A和最小正周期T，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出ω，通过代点求出φ即可；对于选项BC：结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解．【解答】解：由题图可知A＝2，周期T＝＝4（π﹣）＝3π，解得ω＝，则y＝2sin（x+φ），因为当x＝时，y＝2sin（×+φ）＝2，即sin（+φ）＝1，又0＜φ＜π，所以φ＝，所以y＝2sin（x+），故A正确；令x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣+kπ，k∈Z，故B错误；令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，得﹣+3kπ≤x≤+3kπ，k∈Z，故C正确；函数y＝2sin（x+）的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到y＝2sin（x+）的图像，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图像确定其解析式，正弦函数的图像与性质，三角函数的图像变换，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的有（）A．平面PB1D⊥平面ACD1 B．A1P∥平面ACD1 C．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是（0，] D．三棱锥D1﹣APC的体积不变【分析】利用项目垂直判断平面与平面垂直判断A；平面与平面平行的性质判断B；求出异面直线所成角的范围判断C；几何体的体积判断D．【解答】解：对于A，易知B1D⊥平面ACD1，B1D⊂平面PB1D，从而平面PB1D⊥平面ACD1，A正确；对于B，易知平面BA1C1∥平面ACD1，A1P⊂平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正确；对于C，A1P与AD1所成角即为A1P与BC1的所成角，BA1＝BC1＝A1C1，当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故A1P与AD1所成角的范围是，故C不正确；对于D，由选项B得BC1∥平面ACD1，故BC1上任意一点到平面ACD1的距离均相等，所以以P为顶点，三角形ACD1为底面，则三棱锥P﹣ACD1的体积不变，又＝，所以三棱锥D1﹣APC的体积不变，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，空间几何体的体积以及直线与平面的位置关系的应用，是中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若z是纯虚数，|z|＝1，则的实部为1．【分析】根据已知条件，先求出z，再结合复数的四则运算，以及实部的定义，即可求解．【解答】解：z是纯虚数，|z|＝1，则z＝±i，当z＝i时，则＝，实部为1，当z＝﹣i时，则，实部为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及实部的定义，属于基础题．14．（5分）已知α，β满足tanα+tanβ＝3，，则sin（α+β）＝．【分析】利用和差角的余弦公式得到，再根据同角三角函数的基本关系将切化弦，通分、再由两角和的正弦公式计算可得．【解答】解：因为，所以，所以，又因为tanα+tanβ＝3，则，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．15．（5分）如图，A，B，C，D为平面内的四个点，，E为线段BC的中点，若，则λ+μ＝．【分析】根据向量的线性运算即可结合平面向量基本定理求解．【解答】解：因为，即，所以，即，又E为线段BC的中点，所以，又，所以，，则．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量基本定理，属基础题．16．（5分）已知函数（ω＞0，）的最小正周期为4π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴方程是，则φ的值为0．【分析】根据函数的周期求出ω，利用函数图象变换求出函数解析式，利用函数的对称性进行求解即可．【解答】解：∵f（x）的最小正周期为4π，∴T＝＝4π，即，∴．将f（x）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为，∵图象的一条对称轴方程是，∴，k∈Z，得φ＝﹣kπ，k∈Z，又，∴当k＝0时，φ＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，根据函数的周期以及图象变换关系求出函数的解析式，利用函数的对称性进行求解是解决本题的关键，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设两个非零向量与不共线．（1）若＝+，＝2+8，＝3（﹣）．求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．【分析】（1）根据所给的三个首尾相连的向量，用其中两个相加，得到两个首尾相连的向量，根据表示这两个向量的基底，得到两个向量之间的共线关系，从而得到三点共线．（2）两个向量共线，写出向量共线的充要条件，进而得到关于实数k的等式，解出k的值，有两个结果，这两个结果都合题意．【解答】解：（1）∵＝＝＝，∴与共线两个向量有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）∵和共线，则存在实数λ，使得＝λ（），即，∵非零向量与不共线，∴k﹣λ＝0且1﹣λk＝0，∴k＝±1．【点评】本题考查向量共线定理，是一个基础题，本题从两个方面解读向量的共线定理，一是证明向量共线，一是根据两个向量共线解决有关问题．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA＝2bcosB．（1）求B；（2）若b＝2，△ABC的面积为2，求△ABC的周长．【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出B；（2）根据余弦定理可得到（a+b）2﹣3ab＝12，再根据三角形面积公式得到ab＝8，即可求出a+b＝6，进而求出△ABC的周长．【解答】解：（1）∵acosC+ccosA＝2bcosB，由正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosB，整理得：sin（A+C）＝2sinBcosB＝sinB，∵在△ABC中，0＜B＜π，∴sinB≠0，即2cosB＝1，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴（a+c）2﹣3ac＝12，∵，∴ac＝8，∴（a+c）2﹣24＝12，∴a+c＝6，∴△ABC的周长为．【点评】本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数．（1）利用“五点法”，完成以下表格，并画出函数f（x）在区间上的图象；0πxf（x）000（2）求出函数f（x）的单调减区间；（3）当时，f（x）﹣a＝0有解，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用“五点法”即可作出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（2）令，k∈Z，解得x的范围即可得解函数的单调递减区间；（3）求出f（x）的值域，即可得到a的范围．【解答】解：（1）列表、画图如下：0π2πxf（x）000（2）由，k∈Z，得：，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为：，，k∈Z，（3）∵，∴，0]，∴，．∴，1]．∵f（x）﹣a＝0有解，即a＝f（x）有解，∴，1]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图，难度不大，属于基础题．20．（12分）某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个．为挑选优秀团队，现用分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个．（1）应从大三中抽取多少个团队？（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试，甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛．从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？【分析】（1）根据分层抽样的概念及方法，即可求解；（2）求得甲组、乙组的平均数和方差，结合平均数和方差，得出结论．【解答】解：（1）由题意知，大三团队个数占总团队个数的，则用分层随机抽样的方法，应从大三中抽取（个）团队．（2）乙组成绩的平均数，甲组成绩的平均数，乙组数据的方差+（116﹣131）2+（140﹣131）2+（140﹣131）2+（116﹣131）2+（140﹣131）2]＝128.8，甲组数据的方差+（114﹣130）2+（119﹣130）2+（139﹣130）2+（121﹣130）2+（142﹣130）2]＝104.2，选甲组理由：甲、乙两组平均数相差不大，但，甲组成绩波动小．选乙组理由：，在竞技比赛中，高分团队获胜的概率大．【点评】本题主要考查统计的知识，属于基础题．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，由BG＝PG，得GH∥PD，由此能证明GH∥平面PAD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面PAC，进而