基本初等函数

第1页（共1页）2024年高考数学复习新题速递之基本初等函数（2023年12月）一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝log3（2x+1），则f（﹣1）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，则＝（）A． B． C． D．3．已知，对任意的x∈[1，+∞），均有f（mx）+mf（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．0＜m＜1 C．﹣1＜m＜0 D．m＜﹣1或0＜m＜14．已知函数y＝f（x）是偶函数，且对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，若f（a+2）＞f（a﹣3），则实数a的取值范围是（）A． B． C．{a|a＜1} D．{a|a＞1}5．已知函数f（x）＝sinx﹣2ax﹣axcosx，∀x≥0，f（x）≤0，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．6．设lg3＝a，10b＝5，则＝（）A． B． C．3a﹣2b﹣1 D．3a+2b﹣27．已知，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a8．设a＝log32，b＝log53，c＝log85，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二．多选题（共4小题）（多选）9．若x＞0，y＞0，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y） B． C．lgx2＝（lgx）2 D．（多选）10．下列说法中正确的为（）A．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1] B．若幂函数f（x）的图象经过点（9，3），则函数f（x）为偶函数 C．若函数，且f（m）＝4，则实数m的值为 D．在R上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，﹣2]（多选）11．设a＝log63，b＝log62，则下列结论正确的是（）A．a+b＝1 B．log32＝b﹣a C．log6＝﹣2a D．log624＝1+b2（多选）12．在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值．天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，南极星的星等是﹣0.72，则（）A．天狼星的星等大约是南极星星等的2倍 B．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是10.1 C．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是10﹣10，1 D．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是10﹣0，292三．填空题（共5小题）13．函数f（x）＝bx﹣1+3（b＞0且b≠1）的图象过的定点坐标为．14．已知a、b均为正数，化简：＝．15．若函数的图像与x轴有交点，则实数b的取值范围是．16．已知a＞1，b＜0，若，则ab﹣a﹣b的值为．17．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即当n为非负整数时，若，则〈x〉＝n（如〈0〉＝〈0.48〉＝0，〈0.64〉＝〈1.493〉＝1）．给出下列关于〈x〉的结论：①若x，y为非负实数，则〈x+y〉＝〈x〉+〈y〉；②若〈2x﹣1〉＝3，则实数x的取值范围为；③当x≥0，m为非负整数时，有〈x+m〉＝m+〈x〉．其中，正确的结论有（填写所有正确的序号）四．解答题（共5小题）18．计算：（1），（2）lg25+lg2lg50+（lg2）2．19．已知函数，且f（1）＝3．（1）求实数a的值，并用单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若当x∈[1，m]（m＞1）时，函数f（x）的最大值为，求实数m的值．20．已知k是实数，命题α：对任意x∈R，函数的图象始终在x轴上方；命题β：关于x的不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜k的解集为空集．若α为假命题且β为真命题，求k的取值范围．21．已知f（x）为偶函数、g（x）为奇函数，且满足f（x）﹣g（x）＝21﹣x．（1）求f（x），g（x）；（2）若方程mf（x）＝[g（x）]2+2m+9有解，求实数m的取值范围．22．设a∈R，函数f（x）＝（a﹣x）|x|．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若函数y＝f（x+2023）的图象关于点（﹣2023，0）对称，且对于任意的x∈[﹣2，2]，不等式mx2+m＞f[f（x）]恒成立，求实数m的范围．

2024年高考数学复习新题速递之基本初等函数（2023年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝log3（2x+1），则f（﹣1）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】利用奇函数性质代入数据计算得到答案．【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝log3（2x+1），所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣log3（2+1）＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了奇函数的定义，函数值的求法，是基础题．2．已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，则＝（）A． B． C． D．【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的值．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】先由奇函数条件可得b＝﹣1，然后根据函数的对称性可知函数的周期为4，再利用函数的周期性和奇偶性计算即可．【解答】解：因为f（x）为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，所以f（0）＝1+b＝0，解得：b＝﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，又因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）＝f（2﹣x），且f（x）＝﹣f（﹣x）则f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f[2﹣（x﹣2）]＝﹣f（4﹣x）＝f（x﹣4），即函数f（x）是以4为周期的周期函数，故．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．3．已知，对任意的x∈[1，+∞），均有f（mx）+mf（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．0＜m＜1 C．﹣1＜m＜0 D．m＜﹣1或0＜m＜1【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】由题意把恒成立问题转化为恒成立，分类讨论，分离参数求解函数最值即可求解．【解答】解：当x∈[1，+∞）时，由f（mx）+mf（x）＜0得，化简得，即，易知m≠0，当m＞0时，，由题意，而函数y＝x2在x∈[1，+∞）上无最大值，所以不合题意；当m＜0时，，由题意，因为函数y＝x2在x∈[1，+∞）上的最小值为1，所以，即m2＞1，解得m＞1（舍去）或m＜﹣1，所以m＜﹣1；综上，实数m的取值范围是m＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．4．已知函数y＝f（x）是偶函数，且对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，若f（a+2）＞f（a﹣3），则实数a的取值范围是（）A． B． C．{a|a＜1} D．{a|a＞1}【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据函数的单调性和奇偶性化简不等式f（a+2）＞f（a﹣3），从而求得a的取值范围．【解答】解：依题意，对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，所以f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，由于f（x）是偶函数，所以f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增．所以由f（a+2）＞f（a﹣3）可得|a+2|＜|a﹣3|，两边平方得a2+4a+4＜a2﹣6a+9，解得．所以a的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查利用函数的单调性的定义判断函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．5．已知函数f（x）＝sinx﹣2ax﹣axcosx，∀x≥0，f（x）≤0，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】函数恒成立问题．【专题】分类讨论；转化思想；分类法；转化法；导数的综合应用；数学运算．【答案】C【分析】由条件，可得对∀x≥0恒成立，记，则g（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，利用导数说明函数的单调性，分、、a≤0三种情况讨论，再求出参数a的取值范围．【解答】解：∀x≥0，f（x）≤0等价于，记，则g（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，．当，即时，g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以当x≥0时，g（x）≤g（0）＝0，即f（x）≤0恒成立．当时，记，则，当时，单调递减，又，，所以存在，使得h′（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）＞h（0）＝0，即，所以当x∈（0，x0）时，，即f（x）＞0，不符合题意；当a≤0时，，不符合题意．综上，a的取值范围是．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．6．设lg3＝a，10b＝5，则＝（）A． B． C．3a﹣2b﹣1 D．3a+2b﹣2【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】根据已知条件，结合对数的法则，即可求解．【解答】解：10b＝5，则b＝lg5，故＝lg27﹣lg4＝3lg3﹣2lg2＝3lg3﹣2（lg10﹣lg5）＝3lg3﹣2（1﹣lg5）＝3a+2b﹣2．故选：D．【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．7．已知，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】利用对数函数的单调性得到a＜0，0＜b＜l，c＞1，得到答案．【解答】解：；0＜log31＜b＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，所以a＜b＜c．故选：A．【点评】本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题．8．设a＝log32，b＝log53，c＝log85，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据已知条件，结合对数函数的单调性，即可求解．【解答】解：a＝log32＞＝，，＝，，c＝log85＞，，综上所述，a＜b＜c．故选：B．【点评】本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．若x＞0，y＞0，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y） B． C．lgx2＝（lgx）2 D．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】BD【分析】根据对数运算法则和性质即可判断．【解答】解：对于A：lgx+lgy＝lg（xy），故选项A不正确；对于B，根据对数的运算法则得，故B正确；对于C：lgx2＝2lgx，故选项B不正确；对于D：，故选项D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．（多选）10．下列说法中正确的为（）A．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1] B．若幂函数f（x）的图象经过点（9，3），则函数f（x）为偶函数 C．若函数，且f（m）＝4，则实数m的值为 D．在R上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，﹣2]【考点】幂函数的性质；命题的真假判断与应用；函数的定义域及其求法；函数单调性的性质与判断．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】AD【分析】A根据函数定义域的定义直接求解；B先求出幂函数，再用偶函数的定义判断；C先求出f（x），再判断；D利用分段函数是增函数的性质直接求即可．【解答】解：对于A，若函数f（x）的定义域为[0，2]，函数f（2x）的定义域满足2x∈[0，2]，则x∈[0，1]，故函数f（2x）的定义域为[0，1]，故A正确；对于B，设幂函数f（x）＝xα，因为幂函数f（x）的图象经过点（9，3），所以，则，当x＜0时，函数无意义，故B错误；对于C，设，则，因为f（m）＝4，所以，故C错误；对于D，因为在R上是增函数，则，解得a∈[﹣3，﹣2]，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于中档题．（多选）11．设a＝log63，b＝log62，则下列结论正确的是（）A．a+b＝1 B．log32＝b﹣a C．log6＝﹣2a D．log624＝1+b2【考点】对数的运算性质；对数值大小的比较．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】AC【分析】由已知结合对数的运算性质检验各选项即可判断．【解答】解：因为a＝log63，b＝log62，所以a+b＝log63+log62＝log66＝1，A正确；log32＝＝，B错误；log6＝﹣log69＝﹣2log63＝﹣2a，C正确；log624＝log6（4×6）＝1+2log62＝1+2b，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了对数的运算的应用，属于基础题．（多选）12．在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值．天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，南极星的星等是﹣0.72，则（）A．天狼星的星等大约是南极星星等的2倍 B．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是10.1 C．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是10﹣10，1 D．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是10﹣0，292【考点】对数的运算性质；根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】AC【分析】利用已知条件结合每个选项的条件计算可判断其正误．【解答】解：对于A：由天狼星的星等是﹣1.45，南极星的星等是﹣0.72，可得﹣1.45÷（﹣0.72）≈2，所以天狼星的星等大约是南极星星等的2倍，故A正确；对于B：由，可得，因此＝1，根据题意得m1＝﹣26.7，m2＝﹣1.45，所以＝1，所以太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1，故B错误；对于C：由B可知天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是10﹣10，1，故C正确；对于D：由，可得，因此＝1，根据题意南极星的星等是m2＝﹣0.72，天狼星的星等是﹣1.45，＝1＝100.292，所以天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是100.292，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查对数的运算，属基础题．三．填空题（共5小题）13．函数f（x）＝bx﹣1+3（b＞0且b≠1）的图象过的定点坐标为（1，4）．【考点】指数函数的单调性与特殊点；指数函数的图象与性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1，4）．【分析】根据指数型函数图象过定点的知识即令x﹣1＝0，求得正确答案．【解答】解：当x﹣1＝0时，即x＝1，f（1）＝b0+3＝4，故f（x）的图像恒过点（1，4）．故答案为：（1，4）．【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．14．已知a、b均为正数，化简：＝a．【考点】有理数指数幂及根式．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】a．【分析】由已知结合根式与指数幂的转化及指数幂的运算性质即可求解．【解答】解：＝＝a．故答案为：a．【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．15．若函数的图像与x轴有交点，则实数b的取值范围是[﹣1，0）．【考点】指数函数的图象与性质；函数与方程的综合运用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】[﹣1，0）．【分析】结合指数函数的性质，以及分离常数法，即可求解．【解答】解：∵函数f（x）＝2|x﹣1|+b的图象与x轴有交点，∴函数﹣b＝2|x﹣1|的图象与x轴有交点，∴﹣b＝2|x﹣1|∈（0，1]，解得﹣1≤b＜0．故实数b的取值范围是[﹣1，0）．故答案为：[﹣1，0）．【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．16．已知a＞1，b＜0，若，则ab﹣a﹣b的值为﹣2．【考点】有理数指数幂及根式．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】﹣2．【分析】由已知结合指数幂的运算性质即可求解．【解答】解：因为a＞1，b＜0，所以0＜ab＜1，a﹣b＞1．又因为（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2＝8，所以a2b+a﹣2b＝6，所以（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4，所以ab﹣a﹣b＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．17．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即当n为非负整数时，若，则〈x〉＝n（如〈0〉＝〈0.48〉＝0，〈0.64〉＝〈1.493〉＝1）．给出下列关于〈x〉的结论：①若x，y为非负实数，则〈x+y〉＝〈x〉+〈y〉；②若〈2x﹣1〉＝3，则实数x的取值范围为；③当x≥0，m为非负整数时，有〈x+m〉＝m+〈x〉．其中，正确的结论有②③（填写所有正确的序号）【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】②③．【分析】取x＝y＝0.5验证①错误，根据定义确定，解得②正确，m为非负整数时，不影响四舍五入，③正确，得到答案．【解答】解：对①：取x＝y＝0.5，则〈x+y〉＝1，〈x〉+〈y〉＝2，错误；对②：〈2x﹣1〉＝3，则，解得，正确；对③：x≥0，m为非负整数时，不影响四舍五入，正确．故答案为：②③．【点评】本题主要考查新定义，属于基础题．四．解答题（共5小题）18．计算：（1），（2）lg25+lg2lg50+（lg2）2．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）11；（2）2．【分析】（1）根据指数幂和对数的运算法则计算即可；（2）根据对数的运算法则计算．【解答】解：（1）原式＝．（2）原式＝2lg5+lg2⋅（1+lg5）+（lg2）2＝2lg5+lg2+lg2⋅lg5+（lg2）2＝2lg5+lg2+lg2（lg5+lg2）＝2（lg5+lg2）＝2．【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．19．已知函数，且f（1）＝3．（1）求实数a的值，并用单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若当x∈[1，m]（m＞1）时，函数f（x）的最大值为，求实数m的值．【考点】函数单调性的性质与判断；函数的最值及其几何意义；函数的值．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）a＝1，证明见解析（2）2．【分析】（1）由单调性的定义即可求解，（2）利用单调性即可求解最值．【解答】解：（1）由f（1）＝4﹣a＝3得a＝1，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则＝．由x2＞x1＞0，得x1﹣x2＜0，，所以，所以f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）由（1）知f（x）在[1，m]上单调递增，所以，即，解得m＝2或（舍去），所以m＝2．【点评】本题主要考查了函数单调性的定义在单调性判断中的应用，还考查了函数的单调性在最值求解中的应用，属于中档题．20．已知k是实数，命题α：对任意x∈R，函数的图象始终在x轴上方；命题β：关于x的不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜k的解集为空集．若α为假命题且β为真命题，求k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；复合命题及其真假．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（﹣∞，0）．【分析】先由对任意x∈R，函数的图象始终在x轴上方，求出k的取值范围，再求出其补集，可得α为假命题k的取值范围，利用绝对值的性质求出|x﹣4|+|x﹣3|的最小值，从而可求出β为真命题k的取值范围，进而可求得结果．【解答】解：因为对任意x∈R，函数的图象始终在x轴上方，所以当k＝0时，，符合题意；当k≠0时，则，解得0＜k＜3，综上，0≤k＜3，因为命题α为假命题，所以k＜0或k≥3，只要k不大于|x﹣4|+|x﹣3|的最小值，则|x﹣4|+|x﹣3|＜k的解集为空集，因为|x﹣4|+|x﹣3|＝|4﹣x|+|x﹣3|≥|（4﹣x）+（x﹣3）|＝1，当且仅当（4﹣x）（x﹣3）≥0，即3≤x≤4时取等号，所以当3≤x≤4时，|x﹣4|+|x﹣3|的最小值为1，所以k≤1，即命题β为真命题时，k≤1，因为α为假命题且β为真命题，所以，得k＜0，即k的取值范围是（﹣∞，0）．【点评】本题考查函数恒成立问题，转化的数学思想方法，命题真假判断，是中档题．21．已知f（x）为偶函数、g（x）为奇函数，且满足f（x）﹣g（x）＝21﹣x．（1）求f（x），g（x）；（2）若方程mf（x）＝[g（x）]2+2m+9有解，求实数m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；数学运算．【答案】（1）f（x）＝2x+2﹣x，g（x）＝2x﹣2﹣x；（2）{m|m≥10}．【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组来求得f（x），g（x）．（2）利用分离常数法、构造函数法，结合基本不等式求得正确答案．【解答】解：（1）依题意，f（x）为偶函数、g（x）为奇函数，且满足f（x）﹣g（x）＝21﹣x，所以，则，解得f（x）＝2x+2﹣x，g（x）＝2x﹣2﹣x．（2）若方程mf（x）＝[g（x）]2+2m+9有解，即m（2x+2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2+2m+9有解，即[（2x+2﹣x）﹣2]m＝22x+2﹣2x+7＝（2x+2﹣x）2+5，对于方程[（2x+2﹣x）﹣2]m＝（2x+2﹣x）2+5①，当x＝0时，方程左边为0，右边为9，所以x＝0不是①的解．当x≠0时，令t＝2x+2﹣x，由于，所以t＞2，则方程①可化为＝，当且仅当时等号成立，所以{m|m≥10}．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．22．设a∈R，函数f（x）＝（a﹣x）|x|．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若函数y＝f（x+2023）的图象关于点（﹣2023，0）对称，且对于任意的x∈[﹣2，2]，不等式mx2+m＞f[f（x）]恒成立，求实数m的范围．【考点】函数恒成立问题；函数的单调性及单调区间．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（1）单调递减区间为；单调递增区间为；（2）．【分析】（1）将f（x）写出分段函数性质，结合二次函数性质画出f（x）的图象，数形结合判断单调区间即可；（2）由题意知f（x）为奇函数，结合奇函数性质求得a＝0，进而有f（x）＝﹣x|x|，则f[f（x）]＝x3|x|，将问题化为在x∈[﹣2，2]恒成立，再由及对勾函数性质求右侧最大值，即可得参数的范围．【解答】解：（1）由题设，所以，f（x）的图象如下：由图知：f（x）在上递减，在上递增，所以f（x）单调递减区间为；单调递增区间为．（2）由y＝f（x+2023）的图象关于点（﹣2023，0）对称，即f（x）关于原点对称，所以f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），所以（a+x）|﹣x|＝﹣（a﹣x）|x|，即（a+x）|x|＝（x﹣a）|x|在x∈R上恒成立，所以a+x＝x﹣a，故a＝0，则f（x）＝﹣x|x|，故f[f（x）]＝﹣（﹣x|x|）|﹣x|x||＝x3|x|，所以x∈[﹣2，2]，则恒成立，由，令t＝x2+1∈[1，5]，结合对勾函数的单调性知在[1，5]上递增，所以，故，综上，，即m的取值范围是（，+∞）．【点评】本题考查含绝对值的函数的性质，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．

考点卡片1．复合命题及其真假【知识点的认识】含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：关键词等于（＝）大于（＞）小于（＜）是能都是没有至多有一个至少有一个至少有n个至多有n个任意的任两个P且QP或Q否定词不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不能不都是至少有一个至少有两个一个都没有至多有n﹣1个至少有n+1个某个某两个¬P或¬Q¬P且¬Q若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．2．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．3．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．4．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．5．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．6．函数的最值及其几何意义【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．7．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．8．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．9．函数恒成立问题【知识点的认识】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单【解题方法点拨】一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．解：由题意可知：a≤恒成立即a≤x++2⇒a≤2+2【命题方向】恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．10．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域解：f′（x）＝﹣1＝∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．11．幂函数的性质【知识点的认识】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．12．有理数指数幂及根式【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解题方法点拨】例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a•{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正确；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正确；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am•an＝am•nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．13．指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称．【解题方法点拨】利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．14．指数函数的单调性与特殊点【知识点的认识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．15．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．16．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）17．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．18．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常