多功能题典初中数学竞赛章代数式

22.1.1★化简1x1xx2x322.1.1★化简1x1xx2x3xn1，其中n1原式1xx2x3 xn1xx2x3xn1xn1xnaban1an2babn2bn1anbn（1）abcdcadb（2）x2yx2yx416y48x2cbd2c2b2d22bd2bc2cda2（2）x2yx2y的结果是x48x2y216y4x24y2原式x24y2x24y22x24y2x223x224y23x24y224y2x612x4y248x2y464y62.1.3gxfxx33x21，求gxfx所得的商qx及余rx2x1x 3x22x1x33x2xx32x21 7x24x1 7x214x 26x 因此，所求的商q1x 3x22x1x33x2xx32x21 7x24x1 7x214x 26x 因此，所求的商qx1x7，余式rx26x2 x为3次多项式，首项系数gx2次，首项系数为3，故商qx1次，首项系1，112，于是可设商式q xa，余式rxbxc数必为，而余式次数33根据fxqxgxrxx33x2x 3x2x xabx2 2 1 x3a xb2a xac32 3 3 3a23b2a13ac解得a7b26c2，故商式qx1x7，余式rx26x2999 2.1.4x7时，代数式ax5bx84x7ax5bx3 x7ax5bx31ax5bx8 2147922.1.5xyzxyz12，试求2x3y4z 解 y2x，z3x，代xyzx2y4z6，所以2xxyzx2y4z6，所以2x3yz4402.1.6★★试确定a和bx4ax2bx2x23x23x2x1x2，因此fxx4ax2bx2f10x1x2x11ab20f20x2164a2b20ab2.1.7★若x1x1x5x3bx2cxd，求bd解析x1x1x5x21x5x35x2x5，所以bd5．bd02.1.8★将3x25x7表示成ax22bx2c3x25x 2 x25x23x2217x2152.1.9★已知a2a10，求a32a22的值．解析1 由a2a1，有a32a22a3a2a2aa2aa2aa22122由a21a．a32a22a2a221aa22aa224a4a1a4a1a2.1.10xymx3y3nm0x2y2的值．解析因为xym，所以m3xy3x3y33xyx2.1.10xymx3y3nm0x2y2的值．解析因为xym，所以m3xy3x3y33xyxyn3mxy所以xy nx2y2xy2mn2m2 ． 2.1.11★★若x2xyy14y2xyx28，求xy把两个方程相加，得xy2xy42xy6xy70xy6xy72.1.12xy1x2y22x7y72，所以1xy2x2y22xy22xyxy1x22x3y3xy33xyxy1513 1 2 2x4y4x2y222x217222 2 1故x7y7x3y3x4y4x3y3xy 2 82.1.13★★已知a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002a2b2c2abbcca解 由a2b2c2abbc多项式1ab2bc2ca22又因为ab1bc1ca2，原式1121222322.1.14★★已知实数a、b、x、y满足abx原式1121222322.1.14★★已知实数a、b、x、y满足abxy2，axby5，求a2b2xyabx2y2的abxy2，得abxyaxbyaybx4．因为axby5aybxa2b2xyabx22.1.15★★已知3xax7ax6ax5 axa，试求aaa aa的值765 fx的系数和，就是f1 多项3127aaaa ．x，它x12；被x2除8x12.1.16★★求一个关于xffxax2bxc则f1abc2①②③f24a2bc8f1abc04ac6④⑤aca53c235x2x233x2y2m22yxnmy2n20m2x2m2y22mxym2x2m2y22mxy2mnyy2n20即mxy2myn20所以mxy0,mynnn因为m0，所以y ，x mxyzxyzxyzx1y21z2y1x21z2z1x21y24xyz解 因为xyzxyz，所左边x1z2y2y2z2y1z2x2x2z2z1y2x2x2y2xyzxz2xy2xy2z2yz2yx2yx2z2zy2zx2zx2xyzxyyxxzxzyzyzxyzxyyzxyzxyxyzzxzxyzyyzxyzxxyzxyyzxyzxyzxyz4xyz★已知a2b2c2abbcca，证明abc．解析因为a2b2c2abbcca，所以2a2b2c22abbcca0，即ab2bc2ca20，因此abbcca0，abcyz2x3zx2y3xy2z3yz2xzx2yxy2zyz2xazx2ybxy2zc①②③则要证的等式变为a3b3则要证的等式变为a3b3c3a3b3c3abca2b2c2abbc，abcyz2xzx2yxy2z0，所以a3b3c33abc0，所以yz2x3zx2y3xy2z3yz2xzx2yxy2z2.1.21★★已知a4b4c4d44abcda、b、c、dabcda4b4c4d44abcd0a2b22c2d222a2b22c2d24abcd0，a2b22c2d222abcd20a2b220c2d220abcd20，所a2b2c2d2abcd0所以ababcdcd0又因为a、b、c、d都为正数，所以ab0cd0ab，cdabcda2c2acac0，所以ac．故abcd成立．2.1.22★★已知abc02a4b4c4a2b2c22 用作差法，注意利用abc0的条件．左右2a4b4c4a2b2c2a4b4c42a2b22b2c2a2b2c22a2b2c22bca2b2c2a2bc2a2bc2abcaabcabcabcab0（1）2x5n1yn4x3n1yn22xn1yn4（2）x38y3z36xyz（3）a2b2c22bc2ca2ab（4）a7a5b2a2b5b7解析（1）原式2xn1ynx4n2x2ny2y42xn1ynx2n22x2ny2y222xn1ynx2ny22xn1ynxny2xny2（2）原式x32y3z33x2yzx2yzx24y2z22xyxz2yza22abb22bc2caab22cabc2ab．a2b2c22bc2ca2aab．（4）原式a7a5b2a2b5b7a5a2b2b5a2b2a2b2a5b5abababa4a3ba2b2ab3b4ab2aba4a3ba2b2ab3b4原式x32y3x3y3x3y3xyx2xyy2x3y3x3y3xyx2xyy2xyx2xyy2原式x23y2．x2y2x22x2y2y22xyxyx2y22x2y2xyxyx2y2xyx2y22x4x2y2y4x2y2xyx2y2222222x2y2 z2x2y2z2原式中与a3b3ab33abab原式x2y2z2x233x2y2z2x2x2y2z2x2y2z2y2z233x2y2z2x2y2z2y2z23x2y2zxzxy2z2原式ab33ababc3ab3c33abababcab2cabc23abababca2b2c2abbcca评 a3b3c31abc2a22b22c22ab2bc2ca21abcab2bc2ca22显然，当abc0时，则a3b3c33abc；abc0时，则a3b3c33abc0a3b3c3≥3abc，而且，当且仅当abcxa3b3c3≥3abc，而且，当且仅当abcxa20yb3≥0zc30xy≥3xyz3x15x14x13x2x解 公式anbnx161x1x15x14x13x2x1x1x15x14 x2x原式x xx81x41x21x1xxx81x41x21x1评注在本题分解过程中，用到先乘以x1，再除以x的技巧，这一技巧在等式变形中很常用 方法 将常数项8拆成19．原式x39x1x319xx1x2x19xx1x2x8方法 将一次项9x拆成x8x．原式x3x8xx3x8xxx1x18xx1x2x8方法 将三次项x3拆成9x38x3原式9x3原式9x38x39x9x39x8x39xx1x18x1x2xx1x2x 添加两项x2x2x39xx3x2x29x原式x2x1x8x1x1x2x（1）x9x6x33（2）m21n214mn（3）x14x212x14（4）a3bab3a21（1）将3拆成111．原式x9x6111x91x61x3x31x6x31x31x31x3x31x62x3x1x2x1x62x33（2）将4mn2mn原式m21n212mn2mnm2n2m2n212mnmn12m原式x142x212x21原式x142x212x212x 2 4 224 x 2xx x x212 222 x1x x22x222x2123x21x23（4）添加两项abab原式a3bab3a2b21aba3bab3a2ababb2abababaababb2aabbab1abb2aab1abb2a2ab1b2ab评注（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加abab，而且添加2.2.8x42x32x21．解析原式x42x212x3x2122xx2x21x21x21xbcbccacaabab．解原式bcbccabcabababcbccabccaababacbcabaabcabbccax3x3yzy3zxz3xy．解原式x3yy3xy3zx3zz3xz3xyx2y2zx3y3z3xxyxyxyzx2xyy2z3xyx2yzxyyzzy2z2xyyzx2xyzyz2xyyzzxxyz原式1xx222x31xx2x61xx222x31xx2x3x31xx21xx22x3x3x1xx21xx2x3x4x2x1x2x212母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．x2xy原式y1y212y23yy2y5x2x2x2xx1x2x2x5x2x1x2x1u，可以得到同样的结果，有兴趣的同学不x23x24x28x390原式x1x22x12x原式x1x22x12x390y2x25x2原式yy190y2yy10y2x25x122x25x2x25x122x7x1对多项式适当的恒等变形是我们找到新元的基ab2abab21ab2．yabxabx22xy2x4yy22yx22xy1y 2xyxy12所以，原式abab1212aa2baa1．解a1x12aa2a122a2x22a2原式x22a2bax2b2x2b2a2b2ab2xx2bax2ab2xababa2ab1272．解析令yx2，则原式y14y14272y22y12y22y12y44y214y32y24yy44y214y32y24y2y412y22y46y22y29y22y3y3y215所以，原式2x5x1x24x19x24x823xx24x82x2解 设x24x8y，原式y23xy2x2y2xyx26x8x25xx2x4x25x82.2.186x47x336x27x原式6x417xx216x42x212x27xx216x2122x27xx216x2127xx212x213x3x212x23x23x28x2x1x22x213x3x212x23x23x28x2x1x23x1x3 本解法实际上是将x21看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，76原式 6x7x36 222xx2 1 1x6x 7x 362 2x x令x1t，则x2 t22，于1x原式x26t227tx26t27t24x22t33t2 1 1x2xx33xx ＝2x23x23x28x2x1x23x1x3x2xyy224xyx2y2元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令uxyvxy2原式xy2xy4xyxy22xyxyuxyv原式u2v24vu2u2u46u2vx22xyy23xy2x2xyy22 2xy3y22x10y8原式x3yxy2x10y解x3y4xy2xx4x2abxabxx4x2abxababx2acbdxcd十字相乘法把它分解成xaxb或axdbxc的形于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．6x213xy6y222x23y20解析原式2x3y3x2y22x23y2x3y43x2y5．其十字相乘图-45-6x27xy3y2xz7yz2z2原式2x3y3xyxz7yz2x3yz3xy2z．其十字相乘图-zy-x1x2x3x424原式x25x4x25x6x25x4x25xx25x4x25x42＝x25x422x25x4x25x46x25x4xx5x25x10对于形如exaxbxcxdf（a、b、cd、ef为常数abcdxaxb与xcxd分别相乘后，构成有相同部分：x2abxx2cdx的项x2x3x8x124x2．解原式x214x24x211x24x214x24x214x243xx214x2423xx214x24x214x244xx214x24x210x24x215xx4x6x15129x1512922对地形如exaxbxcxdfx2（a、b、c、d、e为常数abcdxaxb与xcxdx2abx2cdx23y28z22xy2xz14yzx22xy3y2x3yxyx23y28z22xy2xz14yzx3ymzxynzx22xy3y2mnxzx22xy3y2mnxz3nmyzmnz2mn2,3nm14mnm2，n4所以，原式x3y2zxy4z2.2.26x4x34x23x5x4x34x23xx2ax1x2bxx4abx3ab6x25abxabab645ab解之，得a1b2所以，原式x2x1x22x式x2ax1x2bx5．2.2.27kx2y23x7kx2y2xyxyx2y23x7yk那么它的两个一次因式一定是xym与xyn的形式，其中mnx2y23x7y设xymxynx2y23x7yx2xymxxyy2mynxnyx2y2mnxnmymnmnnmmnmmnnmmnm5,解之，得nk10x2y23x7yk可以分解成两个一次因式的乘积xy5xy2因此，当k102.2.28a4ab4b4解 因为a4b4ab44a3b6a2b2ab44abab22ab2所以，原式a4b4aab44abab22ab2a2ab42abab2ab222ab22a2b2ab2xyz5x5y5z5 这个式子是关于x、y、z的五次齐次对称式，令xy，则原式0故原式有因式xy．同理，亦有因式yz，zx．这样原式还有一个二次齐次对称式kx2y2z2lxyyzzx．所以，可原式xyyzzxkx2y2z2lxyyzzx．xy1z0时，得152kl①x2y1z0355k2lk5，l5所以，原式5xyyzzxx2y2z2xyyzzx2.2.30★★分aba2b2bcb2c2cac2a2② 当ab时，易知原式0，所以原式有因式ab．同理，bc与ca也都是原式的因式．但四次多项式应有四个一次因式，由对称性余下的一个因式必有为abc 当ab时，易知原式0，所以原式有因式ab．同理，bc与ca也都是原式的因式．但四次多项式应有四个一次因式，由对称性余下的一个因式必有为abc，故可设aba2b2bb2c2cac2a2kabcabbcca233k112．解得ka0b1c21．所以，原式＝abcabbccaa2bc2b2ca2c2ab2abcabca2b2c2abbcca解析所给的式子是一个四次对称式．若令ab，则原式b2bc2b2cb2b2c22b2b2bc2cb2c2c22b2b2b2c22bcb22bcc22c22b20所以，原式含有因式ab同理，原式含有因式bcca于是，原式含有因式abbcca由于原式为四次对称式，故还有因式kabc，其中k为待定系数．所以，原式kabbccaabc．比较等式两边a3b的系数，得k所以，原式abbccaabc（1）a9ba3b a6．a23a a2aa a 解析 2 a6a23a a2aa6a1a a2aa1a26aa1a2aa29aa1a2a a10a a10．a1a2aa2（1）x；（2）2xyxyxyxyxx1x1 解析（1）xa29aa1a2a a10a a10．a1a2aa2（1）x；（2）2xyxyxyxyxx1x1 解析（1）x1 xxx 1（2）xyxyx2xyx22xyxy xx x 2x2x．x x2a23a2a2a53a24a52a28a．aaaa解 2a22aa11a22a3a63a26a2a4 2a26a2a6原式aaaa2a11a313a212a21aa2a2a2a1a33a22a21111aa a1111 a a a a1a1a a2aa2a3a1aa1a2a2a8aa1a2a2a．11248 1 1 1 1 1 1a2ababa2原式1a1a2481a11 1 1 122481 111248 1 1 1 1 1 1a2ababa2原式1a1a2481a11 1 1 122481 1 1 1 121a221a2481a21a21 1 14481 1 1 1881 1 1 1 1．1 12ab2bc2ca．a2abac b2abbc c2acbc解 本题如果直接通分化为同分母去处较繁而通过分子拆项分母分解之后利用xy11 原式abacbcbacacaba bcb cac111111a a b b c c02.3.6x23x10x21x21x3x10x0x13x 22xx 11x2 x 27x评 这里利用x与1互为倒数的特点．巧妙地运用乘法公式加以变形，使问题变得较简单．同x 11x3 x x12 x2 x37118 x4 x2247x22x3xy2x1x2xy xy 11x3 x x12 x2 x37118 x4 x2247x22x3xy2x1x2xy xy5xy5xy2x3xy2y2xy3xy25xy3xy1xyx2xy5xy xyz．zxz xyxz yxyz 直接通分比较繁，考虑到这里主要涉及xy，yz，zx三个式子，不妨用换元法．使所求xyayzbzxc，则abc0原式bcacab a3b3ab33abab c33abc32.3.9xyz1xyz2x2y2z216求 xy yz zx2解 因为xyz2两边平方得x2y2z22xy2yz2zx4已知x2y2z216所以1x2y11xyyzzx6．又z2xy．xyxy42x211y2z11z2x，yzzx2111原式x2y y2z z2xx2y2zx2y2zxyzzyx2xyyzzx4xyz24 1128 2.3.10★★若abc1abcaba bcb cac原式因为abc1a、b、caababcaba abcb abcacaaba abcxyzzyx2xyyzzx4xyz24 1128 2.3.10★★若abc1abcaba bcb cac原式因为abc1a、b、caababcaba abcb abcacaaba abcab abcaabca1aba11ab a1aab11aba 因为abc1，所以a0，b0，c0abbc原式aba bcb bcac1bb1 bcb bcabc1bb1 bcb11bc1由abc1，得a 1bc原式 1b1bcbc1c 1bb1 bcb11bc111．x23x x25x x27x111原式x2x x2x x3x111111x x2x x3x x411 ．x x x25x1xnxn11与x xn2.3.12xyzx14y11z17xyzyz 解 因为4x1xy1zz11与x xn2.3.12xyzx14y11z17xyzyz 解 因为4x1xy1zzx1z7x xx7x371 4x44x3x4x37x34x212x902x320x3z5y2xyz2352.3.13xyz3a（a0xyz不全相等xayayazazaxxa2ya2zxa，yaxau，yav，zaw，则分式uvvwwu，且由已知有uvw0．将uvwu2v2u2v2w22uvuwwu0xyz不全相等，所以u、vw不全为零，所以u2v2w20uvvwwu1u2v2 即所求分式的值为122.3.14xyz，求xyza b cxyzk设a b cxabk，ybck，zcak．xyzabkbckcak0a xyz2.3.15★★已知 1， 0， xabk，ybck，zcak．xyzabkbckcak0a xyz2.3.15★★已知 1， 0， 的值 解 令xu，yv，zw，于是条件变uvw