圆锥曲线的相关最值范围问题

PAGE2.圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。（1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。（2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。一、解题策略与方法直线与曲线相交问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）二、根据条件等价转化常有以下类型：①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”>0；③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）；④“共线问题”（如：数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；⑤“点、线对称问题”坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；细节问题不忽略：①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.三、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；题型一：圆锥曲线最值问题（1）利用基本不等式求最值，例1、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点，求△PAB面积的最大值。（2）利用函数求最值，例2.如图，轴，点M在DP的延长线上，且．当点P在圆上运动时。（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。题型二：圆锥曲线范围问题对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。例3、已知直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点A、B，且，求的取值范围．利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围.例4、已知点，，若动点满足．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求直线斜率的取值范围.(3)利用基本不等式求参数的取值范围例5（1）、已知点P、Q为椭圆：上的一动点，点的坐标为，求的取值范围．（2）已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.（I）求椭圆的方程.（II）设直线与椭圆相交于不同的两点.当时，求的取值范围.（3）.如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.（I）求曲线的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围.高题真题再现1.（2017浙江）如图，已知抛物线，点，，抛物线上的点，过点B作直线AP垂线，垂足为Q，（1）求直线AP斜率的取值范围，（2）求的最大值.2.（2017山东）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率为，椭圆C截直线所得线段的长度为.（1）求椭圆C的方程；（2）动直线交椭圆C于A，B两点，交轴于点M，点N是M关于原点O的对称点，的半径为，设D为AB的中点，DE、DF与分别相切于点E，F，求最小值.3.（2017湖北模拟）已知动圆C过定点，并且内切于定圆：.（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）若上存在两个点M，N.（1）问曲线上有两个点P，Q并且M，N，三点共线，P，Q，三点共线，，求四边形PMQN的面积最小值.4.（2017韶关模拟）设椭圆C：