黑龙江省大庆市2021年中考数学试卷

黑龙江省大庆市2021年中考数学试卷

阅卷人

、单选题（共10题；共20分）

得分

1.（2分）在兀，1,-3,3这四个数中，整数是（）

A.7TB.C.-3D.

【答案】C

【考点】有理数及其分类

【解析】【解答】解：A.n是无理数，不符合题意；

B.j是分数，不符合题意；

C.-3是负整数，符合题意；

D.i是分数，不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据整数的定义对每个选项一一判断求解即可。

2.（2分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

【答案】A

【考点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意;

B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意.

故答案为：A.

【分析】在平面内,把一个图形绕着某个点旋转18（）。,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这

个图形叫做中心对称图形。在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重

合，这样的图形叫做轴对称图形。根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行求解即可。

3.（2分）北京故宫的占地面积约为720000加，将720000用科学记数法表示为（）.

A.72x104B.7.2x105C.7.2x106D.0.72x106

【答案】B

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2x105.

故答案为：B.

【分析】科学记数法的应用：把一个数表示成a与10的n次幕相乘的形式，（理间<10,n为整数）。

4.（2分）下列说法正确的是（）

A.|x|<xB.若—+2取最小值，贝x=0

C.若%>1>y>—1,则|x|<|y|D.若+1|W0,则x=-1

【答案】D

【考点】绝对值及有理数的绝对值；绝对值的非负性

【解析】【解答】解：A.当％=0时，因=%,故该项不符合题意；

B.-1|20,.♦.当％=1时1%-1|+2取最小值，故该项不符合题意；

C.x>1>y>-1,|x|>1,|y|<1,|x|>|y|,故该项不符合题意；

D....|x+1|S0且|久+1|20,...Ix+ll=0,Ax=-1,故该项符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据绝对值的定义对每个选项一一判断即可。

5.（2分）已知b>a>0,则分式g与得的大小关系是（）

A£<^±1B-=-cD不能确定

b^h+1bb+1b^b+1'

【答案】A

【考点】分式的加减法

【解析“解答】解：圻甯=选辘等凶=舄，

b>a>0,

.aa4-1_a—bn

一「中二b（b+l）<U'

.aQ+1

••万〈讦T'

故答案为：A.

【分析】根据b>a>0,比较大小即可。

6.（2分）已知反比例函数y=：,当x<0时，y随x的增大而减小，那么一次的数y=—kx+

k的图像经过第（）

A.一,二，三象限B.一,二，四象限

C.一，三，四象限D.二，三，四象限

【答案】B

【考点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】解：•••反比例函数yJ,当x<0时，y随x的增大而减小，

zX

>0,

Ay=-kx+k的图像经过第一，二，四象限，

故答案为：B.

【分析】先求出k>0，再判断求解即可。

7.（2分）一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小

正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能符合题意表示该几何体的主视图的是（）

【答案】B

【考点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：由已知条件可知：主视图有3歹IJ,每列小正方形的数目分别为4,2,3,根据

此可画出图形如下：

故答案为：B.

【分析】先求出主视图有3歹U，每列小正方形的数目分别为4,2,3,再求解即可。

8.（2分）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ZDF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋

转90°,得到XABE.连接EF交AB于点H.下列结论正确的是（）

A.Z.EAF=120°B.AE-.EF=1:V3

C.AF2=EHEFD.EB:AD=EH:HF

【答案】D

【考点】正方形的性质；旋转的性质

【解析】【解答】解：根据旋转的性质知：NEA尸=90。，故A选项不符合题意;

根据旋转的性质知：NEAF=90。，EA=AF,则△EAF是等腰直角三角形，

：.EF=&AE,即AE：EF=l：a,故B选项不符合题意；

若C选项符合题意，则AF2=AE2=EH»EF,即爵=嚣，

NAE尸=N4EA=45°,

Z.△EAF-△EHA,

：.ZEAH=ZEFA,

而NE£4=45°,ZEAH*45°,

/.ZEAH^ZEFA,

，假设不成立，故C选项不符合题意；

:四边形45C。是正方形，

J.CD//AB,即AD=BC,

：.EB：BC=EH：HF,EREB：AD=EH：HF,故。选项符合题意；

故答案为：D

【分析】根据旋转的性质和正方形的性质对每个选项一一判断求解即可。

9.(2分)小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了

2成，则下列说法正确的是()

2019年总支出情况2020年总支出情况

A.2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；

B.202()年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；

C.2020年总支出比2019年总支出增加了2%；

D.2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同.

【答案】A

【考点】扇形统计图

【解析】【解答】解：设2019年总支出为«元，则2020年总支出为1.2a元，

A.2019年教育总支出为0.34，2020年教育总支出为1.2ax35%=0.42a,0.42a+0.3a=

1.4,故该项符合题意；

B.2019年衣食方面总支出为0.3a,2020年衣食方面总支出为1.2ax40%=0.48a,(0.48a-

0.3cz)-0.3a«53%,故该项不符合题意；

C.2020年总支出比2019年总支出增加了20%,故该项不符合题意；

D.2020年其他方面的支出为1.2ax15%=0.18a,2019年娱乐方面的支出为0.15a,故该项不符

合题意；

故答案为：A.

【分析】根据扇形统计图中的数据对每个选项一一判断求解即可。

10.(2分)已知函数y=ax2-(a+l)x+1,则下列说法错误的个数是()

①若该函数图像与%轴只有一个交点，则a=1

②方程a/-(a+1)%+1=0至少有一个整数根

③若<x<1，贝y=ax2-(a+l)x+1的函数值都是负数

④不存在实数a,使得ax2-(a+l)x+1<0对任意实数x都成立

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【考点】二次函数y=ax八2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况

【解析】【解答】解：对于①：当。=0时・，函数变为y=—x+l,与x只有一个交点，

当"0时,4=(a+I)2—4a=(a—l)2=0»/.a=1，

故图像与x轴只有一个交点时，a=1或a=0,①不符合题意；

对于②：当a=0时，方程变为一%+1=0,有一个整数根为x=l,

当存0时，方程ax2—(a4-l)x+1=0因式分解得到：(ax—1)(%—1)=0>其中有一个根为

x=l,故此时方程至少有一个整数根，故②符合题意；

对于③：由已知条件1得到存0,且a>l或a<0

当a>l时，y=a/-(a+i)x+i开口向上，对称轴为久=竽1=鼻上，自变量离对称轴越

远，其对应的函数值越大，

111

,.4~+-_2+.2R,

：.x=ix=1离对称轴的距离一样，将久=1代入得到y=0,此时函数最大值小于0；

当a<0时，y=a/-(a+l)x+l开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，

Ax=鼻3■时，函数取得最大值为v=4a-(a+l)2=-a2+2a-l=_(a-1],

乙乙a74a4a4a

最大值"TV〉。,即有一部分实数x,其对应的函数值y>0,故③不符合题意；

4a

对于④：4=0时，原不等式变形为：-x+lW0对任意实数X不一定成立，故4=0不符合；

存0时，对于函数y=ax2—(a+l)x+1，

当a>0时开口向上，总有对应的函数值y>0,此时不存在a对ax2-(a+l)x4-1<0对任意

实数X都成立；

当。<0时开口向下，此时函数的最大值为4a-9+1）2=-a2+2a-1=（a-l、,

4a4a4a

Va<Of

2

，最大值_（aT）>o,即有一部分实数x,其对应的函数值y>0,

4a

此时不存在a对ax2一（a+l）x+1<0对任意实数x都成立；故④符合题意；

综上所述，②④符合题意，

故答案为：C.

【分析】根据函数y=ax2—（a+l）x+1的性质对每种说法---判断即可。

阅卷人

-----------------二、填空题（共8题；共8分）

得分

11.（1分）J（_2）4=

【答案】4

【考点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：J（—2）4

=V2x2x2x2

=V16

=4

故答案是：4.

【分析】利用二次根式的性质化简求值即可。

12.（1分）已知5=4=梳大0，贝U"+町=

Zo4yz---------

【答案】I

【考点】比例的性质

【解析】【解答】解：设*=与=左=搂0,

则x—2k,y=3k,z=4k,

场x2+xy(2/c)2+2fcx3/c4k2+6k210k2

故苗=3kxM

故答案为：|

o

【分析】先求出％=2k,y=3k,z=4k,再化简求值即可。

13.（1分）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2.高是5cm.如果用这个橡皮泥的一半，把它

捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是cm2

【答案】18

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：匕附七=Sh=12x5=60cm2,

这个橡皮泥的一半体积为：1/=1x60=30cm2，

把它捏成高为5cm的圆锥，则圆锥的高为5cm,

-1

故^Sh=30,

即1s-5=30,

解得S=18（cm?）,

故填：18.

【分析】先求出1/=1x60=30cm2,再求出/S・5=30,最后解方程求解即可。

14.（1分）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样

的规律，则20条直线两两相交最多有个交点

【考点】探索数与式的规律；探索图形规律

【解析】【解答】解：2条直线相交有1个交点；

3条直线相交最多有1+2=3=/X3X2个交点；

4条直线相交最多有1+2+3=6=；X4X3个交点;

5条直线相交最多有1+2+3+4=10=2/5x4个交点;

20条直线相交最多有Jx20x19=190.

故答案为：190.

【分析】结合图形，找出规律，计算求解即可。

15.（1分）三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角

形，则a的取值范围为

【答案】一3<a<—2

【考点】三角形三边关系

【解析】【解答】解：：3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列，

3<1—a<1—2a,解得a<—2,

•.•这三个数为边长能构成三角形，

•*.1—a+3>l—2a,解得a〉—3,

综上所述，a的取值范围为—3<a<-2,

故答案为：—3<a<—2.

【分析】先求出3<1—a<1-2a,再根据三角形的三边关系计算求解即可。

16.（1分）如图，作。。的任意一条直经FC,分别以FX为圆心，以FO的长为半径作弧，

与。。相交于点E.A和D、B,顺次连接AB.BC,CD.DE,EF.FA,得到六边形ABCDEF,则

。0的面积与阴影区域的面积的比值为；

【答案】3磬

【考点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法

【解析】【解答】解：连接OE,OD,OB,OA,

由题可得：EF=OF=OE=FA=OA=AB=OB=BC=OC=CD=OD

EFO,AOFA,LOAB,LOBC心OCDAODE为边长相等的等边三角形

可将图中阴影部分的面积转化为XODE和40AB的面积之和，如图所示:

设。O的半径与等边三角形的边长为a,

OO的面积为S=nr2=na2

v等边4OED与等边△04B的边长为a

__V3d2

SAOED=SAOAB=-~

__43a2

S阴=S^OED+S^OAB=-2

STta22y/3n

。。的面积与阴影部分的面积比为亍二=万@=于

阴港-

故答案为：空.

【分析】先求出EF=OF=0E=FA=0A=AB=OB=BC=OC=CD=0D,再求出。O的面积

为S=nr2=na2,最后利用三角形的面积公式计算求解即可。

17.(1分)某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双

人间140元/间.为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该

酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿

费131()元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共间；

【答案】18

【考点】一元一次方程的实际应用-配套问题

【解析】【解答】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房竺拜间，由题意，

得：

46—

150x0.5%+140x0,5x\二⑶。，

解得：¥=10,

所以，这个旅游团住了三人间普通客房10间，住了两人间普通客房8间，共18间.

故答案为：18.

【分析】先求出150x0.5%+140x0.5x46~3x=1310,再求出x=10,最后求解即可。

18.（1分）已知，如图1,若/。是a/lBC中ABAC的内角平分线，通过证明可得第=等，

同理，若4E是△力BC中乙BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息，

求解如下问题：如图2,在4ABC中，BD=2,CD=3,AD是4ABC的内角平分线，则4ABe

的BC边上的中线长I的取值范围是

图1图2

【答案】

【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如图，反向延长中线AE至F,使得AE=EF,连接CF,

•••BD=2,CD=3,AD是4ABC的内角平分线，

AB2

'AC=3

DE=EC

•・•Z.AEB=Z.CEF

.AE=EF

/.△ABE=△FEC(SAS)

・・・AB=CF

由三角形三边关系可知，

AC-CF<AF<AC+CF

：.1<AF<5

15

**•vyVAE<

乙乙

故答案为：1</<|.

【分析】先求出AABE三△FEC(SAS),再求出4C-CF<4尸V4C+CF,最后求取值范围即可。

阅卷人

三、解答题(共10题；共93分)

得分

19.(5分)计算|V2-2|+2sin45°-(-1)2

【答案】解:|V2-2|+2sin45°-(-1)2

72

=2-V24-2xT-1

=1

故答案是：1.

【考点】实数的运算

【解析】【分析】利用绝对值，特殊角的锐角三角函数和有理数的乘方计算求解即可。

20.(5分)先因式分解，再计算求值：2炉一8%,其中x=3.

【答案】解：2x3—8x=2x(x2-4)=2x(%+2)(%—2),

当％=3时，原式=2x3x5x1=30.

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【分析】先求出2/-8x=2x(%2-4)=2x(x+2)(%-2),再将x=3代入计算求解即

可。

21.(5分)解方程：右^+/^=4

【答案】解：方程变为：方三--=4,

方程两边乘以2x-3得：x-5=4（2x-3）,

解得：x=l,

检验：把x=l代入2x-3W0,

，x=l是原方程的解.

即原方程的解是x=l.

【考点】解分式方程

【解析】【分析】先去分母化成整式方程，求出其解，然后再检验方程的根.

22.（5分）小明在A点测得C点在A点的北偏西75。方向，并由A点向南偏西45°方向行走到

达B点测得C点在B点的北偏西45。方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在

D点的北偏东22.5°方向，求A,C两点之间的距离.（结果保留0.1km,参数数据百〜

1.732）

由题意可知：NEAC=75。，NFAB=NNBA=45。，ZCBN=45°,DB=2km,ZMDC=22.5°,

在^BCD中，ZCDB=90°-ZMDC=90o-22.5o=67.5°,

ZCBD=90o-ZCBN=90°-45o=45°,

ZDCB=180°-ZCDB-ZCBD=180o-67.5o-45o=67.5°,

ZDCB=ZCDB,△CDB为等腰三角形，

，CB=DB=2,

在^CBA中，ZCBA=ZCBN+ZNBA=45o+45°=90°,

...△CBA为直角三角形，

又NCAB=NCAG+NGAB=(90°-NEAC)+NGAB=(90°-75°)+45°=60°,

...△CBA为30。，60°,90。直角三角形，

,',sinzCXB=sin60°=黑=亨，代入CB=2,

-AC=竽=2.3(km),

故4c两点之间的距离为2.3km.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。

23.(8分)如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中

(圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽

中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：

图o

(1)(6分)图②中折线EDC表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB

表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为cm.

(2)(2分)注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？(请写出必要的计算过程)

【答案】(1)乙；甲；16

(2)解：设甲槽中水的深度为乃=的％+打，把71(0,14)，B(7,0)代入，可得

(61=14

(7加+%=0解得

...甲槽中水的深度为=-2X+14,

根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在DE段,

设乙槽DE段水的深度为y2=k2x+b2,把E（0,4）,0（4,16）代入，可得

｛优轼解得窗

•••甲槽中水的深度为y2=3x+4,

...甲、乙两个水槽中水的深度相同时，—2x+14=3x+4,解得x=2,

故注入2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同.

【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用

【解析】【解答］解：（1）图②中折线EDC表示乙槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB

表示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系；

铁块的高度为16cm.

【分析】（1）根据函数图象计算求解即可；

（2）利用待定系数法求出甲槽中水的深度为丫1=-2%+14,甲槽中水的深度为巧=3%+4,再

求出—2x+14=3x+4,最后解方程求解即可。

24.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，48=3,点E为线段AB的三等分点（靠近点

A）,点F为线段CD的三等分点（靠近点C,且CEJ.4B.将4BCE沿CE对折，BC边与

AD边交于点G,且OC=DG.

（1）（5分）证明：四边形AECF为矩形；

（2）（5分）求四边形AECG的面积.

【答案】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,

•••点E为线段AB的三等分点（靠近点A）,点F为线段CD的三等分点（靠近点C）,

：.AE=^AB,CF=，

：.AE=CF,

四边形AECF为平行四边形，

'：CE1AB,

四边形AECF为矩形；

（2）解：•.SB=3,点E为线段AB的三等分点（靠近点A）,

：.AE=1,BE=2,

•.•将&BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G,

：.BB'=2BE=4,乙B=^B',

'：DC=DG,

J./.DGC=Z.DCG,

•:AB"CD,

，乙B'=乙DCG,/.B'AG=NO=NB=乙B',

：.ZB'AG=NB'=AB'GA,

J.^B'AG是等边三角形，△B'BC是等边三角形，

作B'HIAG于H,

■"•B'H=与AB'=亨，CE=空8。=2百，

"，SAECG=S&CEB，~S.AB'=x2遮X2-/x坐Xl=•

【考点】平行四边形的性质；矩形的判定；几何图形的面积计算-割补法

【解析】【分析】(1)先求出AE=^AB，CF=|tD，再求出AE=CF,最后证明求解即

可；

(2)先求出4E=1,BE=2,再求出AB'/IG是等边三角形，△B'BC是等边三角形，最后

利用三角形的面积公式计算求解即可。

25.(15分)某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们

的成绩(成绩均为整数，单位：分)如下：

甲：92,95,96,88,92,98,99,100

乙：100,87,92,93,9,，95,97,98

由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清,

（1）（5分）求甲成绩的平均数和中位数；

（2）（5分）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；

（3）（5分）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加

数学竞赛.

【答案】（1）解：甲成绩的平均数为：92+95+96+88!92+98+99+100=95；

O

甲成绩从小到大排列为：88,92,92,95,96,98,99,100,

•••甲成绩的中位数为：匹#=95.5;

（2）解：设乙成绩模糊不清的分数个位数为a,（a为0-9的整数）

则乙成绩的平均数为：l00+87+92+93+90+a+95+97+98_752+a

当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即警^<95,

O

解得a<8,

；.a的值可以为0〜7这8个整数

•••P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数)=1;

(3)解：当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，至答=95,解得a=8,

此时乙的平均数也为95,

甲的方差为：s1=/[(92-95)2+(95-95)2+(96-95)2+(88-95)2+(92-95)2+

(98-95)2+(99-95)2+(100-95)2]

1

=言(9+0+1+49+9+9+16+25)=14.75;

222

乙的方差为：S；=([(100-95)+(87-95)2+(92-95)2+(93—95)+(98-95)+

(95-95)2+(97-95/+(98-95)2]=/(25+64+9+4+9+1+4+9)=15.5,

,•S2VS?

♦d甲、。乙，

工甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛.

【考点】分析数据的集中趋势

【解析】【分析】（1）利用平均数和中位数的定义计算求解即可;

（2）先求出道±£<95，再求出a的值可以为。〜7这8个整数,最后求概率即可；

O

（3）先求出a=8,再利用方差公式计算求解即可。

26.（10分）如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A,与反比例函数y=g的

图像交于P,D两点.以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知△BOD的

面积与AAOB的面积之比为1:4.

（1）（5分）求一次函数y=kx+b的表达式：

（2）（5分）求点P的坐标及&CPD外接圆半径的长.

【答案】（1）解：过D点作DE〃y轴交x轴于H点，过A点作EF〃x轴交DE于E点，过B作

BF〃y轴交EF于F点，如下图所示：

F

,：4B0D与4A0B有公共的底边BO,其面积之比为1:4,

.•.DH:OA=1:4,

设O(a,，)(a>0),则DH=，0A=^'OH=AE=a,

•；ABCD为正方形，

，AB=AD,ZBAD=90°,

.,.ZBAF+ZEAD=90°,

,.,ZBAF+ZFBA=90°,

.'.ZFBA=ZEAD,

2F=ZE=90°

在△ABF和△DAE中：z,FBA=Z.EAD,

,AB=AD

.*.△ABF经△DAE(AAS),

：.BF=AE=OA=a

又04=竺，

a

99~~=Q，解得Q=4(负值舍去)，

A71(0,4),。(4,1),代入y=kx+b中,

・14=0+b解得k

*,11=4k+b［=-l

(b=4

.,•一次函数的表达式为y=-,x+4;

(y——+4

(2)解：联立一次函数与反比例函数解析式：44,

整理得到：3/-16x+16=0,

解得打=g>%2=4,

•••点P的坐标为(*3)；D点的坐标为(4,1)

：四边形ABCD为正方形，

•：DC=AD=ylAE2+DE2=V42+32=5，

且PD2=(1-4)2+(3-1)2=苧，

在RMPCD中，由勾股定理：Pf2=pc?+P"=25+挈=浮，

yy

•DC5同

••PC=-—，

又4CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，

.•.△CPD外接圆的半径为空.

【考点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的综合

【解析】【分析】(1)先求出ABFDAE(AAS),再求出a=4,最后利用待定系数法计算求解

即可；

(2)先求出3支2―16%+16=0,再求出点P的坐标为(1,3);D点的坐标为(4,1),最后

利用勾股定理计算求解即可。

27.(15分)如图，已知48是。。的直径.BC是。。的弦，弦ED垂直AB于点F,交

BC于点G.过点C作。0的切线交ED的延长线于点P

(1)(5分)求证：PC=PG；

(2)(5分)判断PG2=PDPE是否成立？若成立，请证明该结论；

(3)(5分)若G为BC中点，0G=遥，sinB=当，求DE的长.

【答案】(1)证明：如图：连接0C

BOC为等腰三角形

:，Z-B=Z.OCB

vED1AB,PC切。0于点C

・•・乙OCP=乙BFG=90°

:.Z-OCB+Z.PCG=90°,ZB+乙BGF=90°

・・.乙BGF=乙PCG

•・•乙BGF=乙PGC

••・乙PGC=(PCG

・・・PC=PG

(2)解：结论成立；理由如下；

如图：连接EC,CD,CO并延长CO交。O于点H,连接DH

••CH为。O的直径

•・・乙HDC=90°

-PC切。O于点C

・・・乙HCP=90°

・•・乙H+乙HCD=90。，乙PCD+乙HCD=90°

・・・乙H=乙PCD

vZ.H=Z-E

・•・Z.E=乙PCD

・•・△PCD~SPEC

PCPD

'PE=~PC

VPC=PG

：.PG2=PD-PE

(3)解：如图：连接OD,OG,

p

B

VG为BC中点

•••OG1BC

乙BGO=90°

厂75

•・,OG—V5,sinB=舌"

OG4s4s

心皿=诙=砺=可

・・・OB=5

.・.OB=OD=5

vED1AB与点F

・•.ED=2FD

・•・Z.OFG=90,>・.・乙BOG+cFGO=90。"+(BOG=90°

・•・乙B=乙FGO

V5OFOF

slnzFG°=~5=0G=^

：.OF=1

在RtAOFD中有

OD123=OF2+FD2

52=l2+FD2

FD=2V6

DE=4>/6

【考点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】(1)先求出/B=/OCB,再求出/PGC=/PCG,最后求解即可；

(2)先求出NH=NPCD,再证明三角形相似，最后证明求解即可；

(3)先求出NBGO=90。，再求出0B=5,最后利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。

28.(15分)如图，抛物线y-ax2+bx+c与x轴交于除原点0和点A,且其顶点B关于x

轴的对称点坐标为(2,1).

(1)(5分)求抛物线的函数表达式；

(2)(5分)抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定

点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等.

①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线1与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点.证明：当直线1绕点F旋转时,

端+焦是定值，并求出该定值；

(3)(5分)点C(3,m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P,Q,使四边形

PQBC周长最小，直接写出P,Q的坐标.

【答案】(1)解：••・点B关于x轴对称点的坐标为(2,1)

•・•点B的坐标为(2,-1)

设抛物线的解析式为y=a(x-27一1

•••抛物点过原点

・・・0=Q(o-2)2-1

解得a=J

4

:，抛物线解析式为：y=(x—2)2—1即y—^x2—x

(2)解：①设点F坐标为(2,b),点G坐标为(a4a2一。)

由题意可得：J(a-2猿+(〃a2-a-b)=a2-a+2

整理得：蜷-2a—b)=0

b=0

:.点、F的坐标为(2,0)

②设直线1的解析式为y=k(久-2),直线/与抛物线交于点M,N

1

y=-X27

4

y=X

1y+-2)y+

-2/c22/c

y=4k

o

整理得:

+

yMyjv

由①得MF=J/”+2,NF=+2

1111

',而+而=可平+次平

整理得:1।1=小丫小

MF十NFyMyN+2(yM+yN)+4

11_4k2+4

■-MF+NF=^^

⑶P(”),Q(0,_&)

【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用

【解析】【解答］解：(3)・・•点C(3,M)在抛物线y=%上,

13

Am=-4yX9—3=—4

3

如图：作点C关于x轴的对称点C.点B关于y轴的对称点B1

则点C（3,1），点目（一2,-1），连接B'C'，交x轴于点P,交y轴于点Q,则此时四边形PQ5C

周长最小

设直线BC的解析式为y=kx+b

（-2k+b=-l

3

I4

（,___3_

解得一一”

、k=20

••・直线BC的解析式为y=9-磊

.••点P坐标为（1,0）,点Q坐标为（0,-命

【分析】（1）先求出点B的坐标为（2,-1）,再求出a=7,最后求函数解析式即可;

4

（2）①先求出,再求出b=0,最后求点的坐标即可;

②先求出（,再求出,最后证明求解即可;

MF柳一'为++y*)+4

（3）先求出m=Jx9—3=—税，再求出直线BC的解析式为y=^x-条最后求点的坐标即

44

可。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：121分

客观题（占比）21.0(17.4%)

分值分布

主观题（占比）100.0(82.6%)

客观题（占比）11(39.3%)

题量分布

主观题（占比）17(60.7%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题8(28.6%)8.0(6.6%)

解答题10(35.7%)93.0(76.9%)

单选题10(35.7%)20.0(16.5%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(75.0%)

2容易(10.7%)

3困难(14.3%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1实数的运算5.0(4.1%)19

2有理数及其分类2.0(17%)1

3分式的加减法2.0(1.7%)5

4