河南省周口市固城中学2023年高三数学理联考试卷含解析

河南省周口市固城中学2023年高三数学理联考试卷含

解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.设随机变量4〜且当二次方程--2x+《=°无实根时的4的取值概率

为0.5,则〃=()

A.0B.0.5C.1D.2

参考答案：

C

•I•

2.在AABC所在的平面内，点4'F满足'”-彳々5,丽=火前，且对于任意实数

4,恒有产3・FC之鸟3•鸟C,则()

A.ZA5C=90°B.

Z5AC=90°c,AC=BCD.AB=AC

参考答案：

C

略

3.在复平面内，复数'=不五的共辗复数的模为

(A)~5~(B)T(C)5(D)垢

参考答案：

A

4.储油30n?的油桶，每分钟流出n?的油，则桶内剩余油量Q(n?)以流出时间t(分)为自

变量的函数的定义域为

()

45

A.[0,+8)B.[0,2]

C.(-8,40]D.[0,40]

参考答案：

D

5.设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)上

的导函数为f"(x),若在区间(a,b)上f"(x)>0,则称函数f(x)在区间(a,

11

b)上为“凹函数”，已知f(x)=茹(-岳x'-2x2在区间(1,3)上为“凹函数”，

则实数m的取值范围为()

3131

A.(-8,9)B.[9,5]C.(-8,-3]D.(-8,5]

参考答案:

C

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m的取值范

围，得到本题结论.

11

【解答】解：..丫6)=而始-通mx"-2xz,

...f'(x)=4x'-3mx3-4x,

/.f"(x)=x3-mx2-4.

11

Vf(x)=而£-&mx'-2x2在区间(1,3)上为“凹函数”，

二亡’(x)>0.

x!-mx2-4>0,x£(1,3).

m<x--y

/.x,

_4

x~~

・；x”在(1,3)上单调递增，

44

x--x~~2

x在(1,3)上满足：x>1-4=-3.

.'.mW-3.

故答案为：C.

1

6.已知函数f(x)=2x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共

点，且在该点处的切线相同，则ae(0,+8)时，实数b的最大值是()

3223172

A.2e3B.Te6C.6e6D.2e3

参考答案：

A

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】导数的综合应用.

【分析】设公共点为P(xo,y。)，分别求出f'(x)和g'(x),由题意可得f'(xo)

=g'(x°),列出方程求出解出x。，再由f(x。)=g(xo)得到b关于a的函数，求出函数

的导数，由a的范围和导数的符号求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值.

【解答】解：设曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点(x。，y。)处的切线相同，

3a2

因为f'(x)=x+2a,g'(x)=X,且(Xo)=g'(Xo),

Q2

迎2_2_

所以x0+2a=X。，化简得x。+2ax()-3a=0,

解得xo=a或-3a,又x(.>0,且a>0,则xo=a,

122

因为f(X。)=g(X。)，所以9X。+2ax°=3alnx0+b,

52_o2,

则b(a)=2a&lna(a>0),

所以b'(a)=5a-3(2alna+a)=2a-6alna=2a(1-31na),

2

由bz(a)=0得，a二屋，

所以当OVaVe?时，bz(a)>0；当a>e%j,b'(a)<0,

即b(a)在(0,e3)上单调递增，b(a)在(e?,+8)上单调递减，

2

1133

所以当a=e?时，实数b的取到极大值也是最大值b(e3)=2e.

故选：A.

【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的单调区间、极值和最值，以

及对数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题.

7.数码/,出•内•…•丹)06中有奇数个9的2007位十进制数为生与…的个数为

1。0皿+8血)l(io^-g^)皿3蜘加哂

A.2B.2C.lO^+S^D.lO3®6-^

参考答案：

(B)

解析：出现奇数个9的十进制数个数有月二或«9秋$++.••+嗡9。又由

2006X0«

(9+1产=Z(9-D30*=£服(-炉〃

于仁以及？，从而得

工=服产+服9叫…+嗡9=；(103・泮)

8.抛物线M的顶点是坐标原点0,抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与

曲线x2+y2-6x+4y-3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若标?菽=-4,则

点A的坐标是()

A.(-1,2)或(-1,-2)B.(1,2)或(1,-2)C.(1,2)

D.(1,-2)

参考答案：

B

【考点】抛物线的简单性质.

2

【分析】先求出抛物线的焦点F(1,0),根据抛物线的方程设A(.~T~,y0),则怎=

22

y。y。

(4,yo),AF=(1-4,-yo),再由0A?AF=-4,可求得y。的值，最后可得答

案.

【解答】解：x'+y~-6x+4y-3=0,可化为(x-3)2+(y+2)'=16,圆心坐标为(3,-

2),半径为4,

•••抛物线M的准线与曲线x2+y2-6x+4y-3=0只有一个公共点，

P

.♦.3+2=4,：.p=2.

：.F(1,0),

2

yp

设A(3T,y„)

一”2兀2

则0A=(4,yo),AF=(1-4,-y0),

由永？正=-4,，yo=±2,AA(1,±2)

故选B

2

2x-5M

9.设X'/满足，若目标函数z-ox+4a>0,瓦、)的最小值为2,则她的最大值

为

白I

A.4B.2C.lD.2

参考答案：

A

a=2!**bC=IOR«-

10.设'2*10,贝ija,〃，c的大小关系是

A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

参考答案：

D

CQ

Q,

S^la=2e(L2),b=lg-e(P,I).c--logJ—<0

解析:210,故选D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.等差数列W、等比数列也［首项都是1,公差与公比都是2,则

+a»,+%+a&+。与=

参考答案：

57

12.如图，已知椭圆G的中点在原点0,长轴左、右端点M,N在x轴上，椭圆金的短轴为

MN,且G,&的离心率都为e,直线1_LMN,1与G交于两点，与以交于两点，这四点按

纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.,若存在直线1,使得B0〃AN,求椭圆离心率的取值

范围•

参考答案:

因为c,&的离心率相同，故依题意可设

CCAcC

Ci：、+搭=1,C：；yI3=1,(a>b>0).d

a"b"aa"

设直线Lx=t(|t|Va),tWO时，B0〃AN当且仅当BO的斜率如与AN的斜率如相等，艮口

因为|t|<a,又0<e<l,所以?<1,解得坐<e<L。

e2

XJ=[

13.已知双曲线C：7(a>0,b>0)的一条渐近线与直线1：X+J3y=°垂直，c

的一个焦点到1的距离为1,则C的方程为.

参考答案：

X2Y=I

14.已知复数z=(1+i)(2-i)(i为虚数单位)，则站

参考答案:

3-i

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】数系的扩充和复数.

【分析】利用复数的运算法则、共轨复数的定义即可得出.

【解答】解：由z=(1+i)(2-i)=3+i,

z=3-i.

故答案为：3-i.

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轨复数的定义，考查了计算能力，属于基础题.

I(-l<x£O)

/(X)=

15.定义在R上的函数/(X)满足/(X+】)=-/(1),'-1(0<xSD,贝ij/⑶

参考答案:

-1

输出的A=▲.

参考答案:

102

略

17.

hm—

ib（外+3—an）=h,贝ij〃+Z?=

参考答案：

答案：-10

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.己知函数2222.

(1)求函数/(X)的单调递减区间；

(2)若AUC的内角4B,。所对的边分别为。，b,c,~2,。=0,

sin8=2siiiC,求心

参考答案：

jrv

-+2Ax<x--i—+2Ax."

由262keZ,

—+2jbr^x^—+21x>〜

得33keZ

...函数/（工）的单调递减区间为「T,T,keZ

VIV

⑵.八6，2,ZRM）,3

bc

•.,GnB=2d«C,.•.由正弦定理siaBsaC,得&=2c.

又由余弦定理2fcBs）,a=6,

3—4c）.J-4c2x-

得2

解得C=l.

19.

.5w,.

2nn（—+

16.已知6i»a=E—•求tanpr：x）+---------的值.

5八•二一cO

、2叼

参考答案:

16.解.「sina=2且X),.'a为第一或第二象限角.

5

当a是第一冢眼角时，COSOL=J1-sin2

sin（—+ix）

tan（oc+兀）十--------------=tan———

c*o—（X）sina

sina.,cosa.15

coscxsintxsincxcosoc2

当a是第二象限角时，cosa=一-sin%=

5，

原式=-_■-——=--

sinotcosa2

略

1=-1+2«3»01

20.在平面直角坐标系X。)，中，已知曲线C：y=2»a为参数)，以原点o

夕sin（0-彳）=

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线/的极坐标方程为

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程;

(2)已知点穴ZO),直线/交曲线C于4,B两点,求1.1的值.

参考答案:

巫

(1)曲线c的普通方程(*+D'+/=4,1的直角坐标方程*一尸+2=°(2)石

【分析】

（1）直接利用转换关系式，将参数方程，极坐标方程和直角坐标方程进行转换；

（2）将直线的普通方程化为参数方程，再利用参数的几何意义结合韦达定理求解.

工二-1+2cosa

【详解】⑴已知曲线«为参数）,

则曲线C的普通方程（*♦D'♦/=4,

psnI0-—|=-Ji

直线4的极坐标方程为I4）,

则I的直角坐标方程*一>+2=°；

点，

y——1

（2）直线］的参数方程为I2”为参数）

代入曲线c：3D“/=，

化简得P卮-3=0

设4,5对应的参数分别为4.今，

则4+4=但%=-3,

1t1匐玷1」4一』犹4♦幻

所以I网IFKiblI砧IMM-3

【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，考查直线参数方程的

应用，难度不大.

21.已知函数/（0=”士-2

（I）讨论函数/（X）在（0,+8）内的单调性；

（II）若存在正数机，对于任意的工£（《"•），不等式1"'）>"恒成立，求正实数人的

取值范围.

参考答案：

I）工通刖,

当上W2时，因为”>2,所以八外>0,这时/㈤在(0J8)内单调递增

当上>2时，令/v)>o得令八

这时/U)在(°”9内单调递减，在.亍吗人j单调递增.

综上，当上工2时-，/(x)在(0/8)内单调递增，

当上>2时，JQ。在2内单调递减，在2*内单调递增.

(II)①当。<上42时，因为/Q。在(0/8)内单调递增，且/(0)=0,所以对于任意的

*e(Qjw),/(工)>0这时火到>2x可化为/(x)>2r即/也+2)x2”

设爪巾金+2)工-2,则g3="-(t+2),

令式工)=0,得”2,因为2>,所以泰工)在'2'单调递减