黄金卷03-【赢在高考·黄金8卷】2023年高考数学模拟卷（江苏专用）（解析版）

【赢在高考・黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷(江苏专用)

黄金卷03

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

I.(5分)(2022春•湖北黄石•高二期末)已知集合A={x|—1<x<3},B={x6Z|x2<4},则4nB=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2)

【解题思路】根据交集运算的定义进行求解即可.

【解答过程］》2<4得，-2<x<2,又xez,

B={-1,0,1}.={x|-1<%<3},

•••AnB={-1,0,1})

故选B.

2.(5分)(2023.新疆•校联考模拟预测)若复数z满足z(2+i)=8-i(其中i是虚数单位)，则z的共轲复数

z=()

A.3-2iB.3+2iC.4-iD.4+i

【解题思路】经计算可得z,后由共轨复数定义可得答案.

【解答过程】由z(2+i)=8—i,得z=^=浮却=竺乎=3-21所以2=3+2i.

2+11)5

故选：B.

3.(5分)(2022.全国•高三专题练习)如图，在平行四边形4BCO中，M是边CD的中点，N是AM的一个三等

分点(|4N|<|NM|),若存在实数;I和〃，使得前=2而+〃而，则；1+〃=()

【解题思路】根据平面向量的基本定理，利用向量的线性运算进行向量的基底表示，即可得尢〃的值.

【解答过程】因为N是4M的一个三等分点(MN|<|NM|),所以而=：宿.因为“是边CC的中点，所以丽=

冲=海.又丽=前一而=［前一而=^(AD+~DM)-AB=^(AD+^AB)-AB=-^AB+^AD,

所以4+〃———+-=——.

故选：C.

4.(5分)(2022春•河北沧州•高一阶段练习)棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则该棱台的体

积是()

A.18+6夜B.6+2V2

C.24D.18

【解题思路】依题意直接利用台体体积的计算公式即得结果.

【解答过程】依题意，棱台的上底面面积V=2,下底面面积S=4,高为h=3,

故由公式可知，棱台的体积是V=((5'++S)/i=ix(2+V8+4)x3=6+2近，

故选：B.

5.(5分)(2023•全国•高三专题练习)2022年10月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师

们演示和讲解的多种实验，极大地激发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从装有大小相同

的标号分别为1,2,3,456,7,8,9的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行操作实验，则抽到的两种不同的种

子的标号之和恰为10的概率为()

A.-B.—C.—D.—

9153645

【解题思路】根据古典概型概率公式结合组合数公式即得.

【解答过程】从标号分别为1,2,3,456,7,8,9的9种不同的种子中随机抽取2种种子的所有结果有=36种，

而标号之和恰为10的结果有:(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),共4种,

所以所求的概率为P=卷=:

故选：A.

6.(5分)(2023春・山东济南•高三开学考试)己知。=6皿5,b=7ln4,c=8ln3,则()

A.a>b>cB.a>c>h

C.b>c>aD.c>b>a

【解题思路】对a,b,c两边取对数，得到Ina=ln5•ln6,Inb=ln4•ln7,Inc=ln3-ln8,构造f(%)=In%•

ln(ll—x),3<x<5,求导后再令g(x)=xlnx,研究其单调性，得到f(x)=Inx,ln(ll-x)在3工％W5上

单调递增，从而得到Inc<Inb<Ina,结合y=Inx在(0,+8)上的单调性求出答案.

【解答过程】a=6m5,b=7m3c=8m3两边取对数得：ma=ln5-ln6,\nb=ln4-ln7>Inc=ln3-ln8,

令/(x)=In%-ln(ll-%),3<%<5,

则/，(x)=lln(ll-x)-^=可黑芹小，

令9(x)—xlnx,3<%<5,

则g'(x)=1+Inx>0在3<x<5上恒成立，

所以g(%)=在3<x<5上为增函数，

因为当时，11一%>万恒成立，

所以(11—x)ln(ll—%)—xlnx>0在3<x<5上恒成立,

故尸(%)=(ll-x)ln(ll-x)-xlnx>0在34x45上恒成立,

x(ll-x)

故/(%)=Inx-ln(ll—x)在3<%<5上单调递增,

所以/(3)</(4)</(5),故ln3ln8<ln4-ln7<ln5ln6,

即Inc<\nb<Ina,

因为y=Inx在(0,+8)上单调递增，所以cv8<Q.

故选：A.

7.(5分)(2023・贵州贵阳•统考模拟预测)函数/(%)=4sin(3x+0)(力>0,3>0,|如<的部分图象如

图所示，则下列关于函数y=/(x)的说法正确的是()

①/(x)的图象关于直线x=-与对称

②f(x)的图象关于点(-a0)对称

③将函数y=2sin(2x-J的图象向左平移;个单位长度得到函数/(x)的图象

④若方程f(x)=加在卜0]上有两个不相等的实数根，则小的取值范围是(-2,-b]

A.①④B.②④C.③④D.②③

【解题思路】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论.

【解答过程】解：由函数的图象可得4=2,由;.“二^一三，解得3=2,

4a)312

又函数过点(2,2),所以2X巳+0=2/CTC+彳，fc6Z»

又|0|<+得所以函数/(%)=2sin卜％+；),

当％=.时，/(x)=0,即/(%)的图象关于点(一，0)对称，故②正确；

当工=一手时，/(一,)=2sin[2x(-午)+；]=2cosm=1,故①错误；

将函数y=2sin(2x-?的图象向左平移;个单位长度得到y=2sin(21+：)-1=-2sin(2x-0,故③错

误；

当*e[—*。卜贝⑵+占卜I局,

令2%+：€解得工€[-:,一[]'此时sin(2x+§E卜1，一里,即f(%)W[―2,—V3],

令2%+：e[-L，解得曝。],此时sin卜％+；）e卜1,等，即f（x）€[―2,V^],

所以/（%）在[一：,-"]上单调递减，在卜工,o]上单调递增，

因为方程/（X）=小在卜；,0]上有两个不相等的实数根，即y=/（x）与y=m在卜：,o]上有两个交点,

所以m6（—2,—>/3],故④正确；

故选：B.

8.（5分）（2023•全国•模拟预测）晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.

在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子A与5（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且

原子3与8个原子A均相切.已知该晶胞的边长（图1中正方体的棱长）为誓式，则当图（2）中所有原

子（8个A原子与1个8原子）的体积之和最小值为（）

A64几（32+64佟）兀

A.—

33

C4（2遮+1）兀口（5126+4）兀

3,3

【解题思路】设出球8的半径为r,0<r<2V2+1,表达出球4的半径，表达出了=^（8（272+1-rf+r3],

3

令/（r）=8（2鱼+1-r）、+N,0<r<2\[24-1,由导函数得到函数的单调性，从而求出最值

【解答过程】因为该晶胞的边长为誓理，所以正方体对角线成为空手x旧=4企+2,

设球8的半径为r,0<r<2V2+1,则球4的半径为乜竽辿=2企+l-r,

所以所有原子的体积之和为V=+?兀（2/+1-r）3=）,（2或+l-r）3+r3],

3

令/（丁）=8（2迎+1-r）4-r3,0<r<2A/2+1,

则尸（r）=-24（2V2+1-r）+3r2=3（8+272-2\[2r+r）（2V2r+r-2V2-8）,

因为O<r<2或+1,所以8+2或一2a厂+「>0恒成立，

则当0<r<2企时，/''（r）<0,当2a<r<2&+1时，f'（r）>0,

故f（r）=8（2企+1-r）+"在。<r<2企上单调递减，在2鱼<r<2夜+1上单调递增,

故/（r）=8（2a+1-丫）+「3在丁=2四处取得极大值，也时最大值，

故/（r）max=8+I6V2,故体积最大值为V=g兀X（8+16-/2）=g：+32）兀

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（5分）（2023•全国•模拟预测）近年来国产品牌汽车发展迅速，特别是借助新能源汽车发展的东风，国产

品牌汽车销量得到了较大的提升.如图是2021年1~7月和2022年1~7月我国汽车销量占比饼状图，已知2022

年1~7月我国汽车总销量为1254万辆，比2021年增加了99万辆，则2022年1~7月我国汽车销量与2021

年1~7月相比，下列说法正确的是（）

2021年1-7月我国汽车销量占比2022年1-7月我国汽车销量占比

其他

美系4.3%美系3.4%

国产国产

42.6%47.6%

德系21.8%德系20.2%

A.国产汽车销量占比变化最大B.德系汽车销量占比下降第二大

C.国产汽车和其他汽车销量占比之和变大了D.德系汽车销量变少了

【解题思路】根据题中所给图，比较各品牌汽车的占比的升降情况，即可判断A,B,C；分别计算出这两

年德系车的销售车辆数，判断D.

【解答过程】A,B选项：由题图可知，2022年1~7月我国汽车销量与2021年1~7月相比，

国产汽车销量占比增加5.0%,美系汽车销量占比降低0.3%,

日系汽车销量占比降低2.2%,德系汽车销量占比降低1.6%,其他汽车销量占比降低0.9%,

故国产汽车销量占比变化最大，销量占比下降第二大的是德系汽车，A,B正确；

C选项：国产汽车和其他汽车销量占比之和从2021年的46.9%变成了2022年的51%,变大了，C正确；

D选项：2021年1~7月我国汽车总销量为1254-99=1155（万辆），

德系汽车销量为1155x21.8%=251.79（万辆），

2022年卜7月我国德系汽车销量为1254x20.2%=253.308（万辆），变多了，D错误，

故选：ABC.

10.（5分）（2022春•广东汕头•高二阶段练习）过点似见0）作曲线C:y=“蜡的切线有且仅有两条，则实数

a可能的值是（）

A.0B.V2C.—Ine5D.e

【解题思路】设切点坐标为（林,&靖。），利用导数的几何意义求切线方程，代入点4（a,0）后，转化为关于沏

的一元二次方程，由条件可知方程有两个不等实数根，求a的取值范围.

x

【解答过程】设切点坐标为（与,&靖。），因为y'=（X+l）e,所以y'|x=x。=（x0+1）〃。，

Xox

所以切线方程为y-Xoe》。=（x0+l）e（x-x0）,将点A（a,0）代入可得一沏靖。=（x0+l）e°（a-x0）,

化简得/-ax0-a-0,过点4（a,0）作曲线C的切线有且仅有两条，即方程就-ax0-a=0有两个不同的

解，则4=a2+4a>0,解得：a>0或a<-4,故实数a的取值范围是（-8,-4）U（0,+8）.

—lnes=—51ne=—5,所以由选项判断可知BCD正确.

故选：BCD.

11.（5分）（2023•全国•模拟预测）已知O为坐标原点，F（l,0）为抛物线y2=2Px（p>0）的焦点，过点A（—1,0）

的直线/与抛物线交于PG”外）,Q（%2，y2）两点，则（）

A.xrx2=4B.\OP\■|O<2|>5

C.\PF\■\QF\>4D.若PF1QF,则APFQ的面积为4

【解题思路】对A：将直线/方程与抛物线方程联立后由韦达定理得证；

对B：Ela|OP|\OQ\>OPOQ=X1X2+y/2得证；

对C：由抛物线定义求得|PF|•\QF\=X1x2+1+（xj+打）结合基本不等式得证;

对D：由方,京=0得巾2=2,利用雇"。=ISMFQ-SMFPI求解•

【解答过程】

A选项：由题意得：=1,p=2,所以抛物线方程为y2=4%,

易知直线/的斜率不为零，设直线/的方程为my=x+l,

与V=4%联立，得y2—4my+4=0,由4=16m2—16>0得?n2>i,

(y

而为为=4,%+=4血，xtx2=^-=1,故A错误•

16

B选项：因为m.而=|而|♦|丽|-cos4POQ<|而|•|而|(OP,而不共线取不到等号)，

所以|OP|•|OQ|>x]X2+力旷2=5,故B正确.

C选项：由抛物线定义知|PF|=%i+l,\QF\=x2+1,

XX

所以|PF|-|QF|=(Xj+l)(x2+1)=XrX2+1+(%1+X2)>12+1+=4,

(因为Xi#刀2故取不到等号•)，故|PF|・|QF|>4,故C正确.

D选项：由PF1QF^PF-QF=(1-Xj.yJCl-x2,y2)=(1-xj(l—冷)+月、2

=x1x2+y1y2+1—(%i+x2)=0，

得％I+%2=6,又巧+小=m(yi+丫2)-2,所以4?n2—2=6,

因此m?=2,痴足△>0,所以S“FQ=|SA4/?Q—S—尸p|=,InF|M-=J(%+、2)2—4yly2=

V16?n2-16=4,故D正确.

故选：BCD.

12.（5分）（2023•安徽合肥・统考一模）已知函数八x+1）是偶函数，且/（2+%）=_/（%）.当％W（0,1］时,

f(x)=xcos，则下列说法正确的是()

A.f(x)是奇函数

B.f(x)在区间(等，受i)上有且只有一个零点

C.“X)在偿,1)上单调递增

D./(x)区间弓,1)上有且只有一个极值点

【解题思路】A选项，由f(x+1)是偶函数，故f(-x+1)=/(x+1),结合/(2+x)=-/(%),推导出f(—x)=

-/(x),A正确；B选项，求出/'(X)的一个周期为4,从而只需求;1(X)在区间6,平)上的零点个数，结合函

数性质得到/(2-1)=/(|)=0,B错误;C选项,求导得到r(x)=cos；+[in5换元后得到h(t)=cost+

tsint,t=ie(l,y),再次求导，得到/i(t)的单调性,结合九⑴>0,哨>0,得到九⑴>0在t6(谭)

上恒成立，得到f(x)在(卷,1)上单调递增；D选项，与C选项一样得到h(t)的单调性，结合零点存在性定理

得到隐零点，进而得到外乃的单调性，求出f(x)区间上有且只有一个极值点.

【解答过程】函数f(x+1)是偶函数，故/(一x+1)=f(x+1),

因为f(2+%)=-/(%),所以/'(1+%)=-/0-1),

故/(-%+1)=-/(%-1),

将x替换为x+L得到/(一幻二一/(幻，故f(x)为奇函数，A正确；

因为/(2+%)=-/(%),故f(4+%)=-/0+2),故/(4+%)=/(%),

所以f(x)的一个周期为4,

故/co在区间(”,空)上的零点个数与在区间G，竽)上的相同，

因为/(9=：cos：=d而f(2+x)=-/(刀)=/(-x),故/1(2-=(L

其中42—空二)，

故/(%)在区间G，9)至少有2个零点，B错误；

时，/(%)=XCOSp

则/'(%)=

cosX-4X--sin-X,

令t=九(t)=cost+tsint,当t6(L宁)时，

所以九'(£)=—sint+sint+tcost=tcost,

当tG时，八'(£)=tcost>0,九(t)单调递增，

当时，=tcost<0,九(£)单调递减，

又h(l)=cosl+sinl>0,h)=cos—+—sin—=———="-6”>0,

v7\6/66612212

故九⑴>0在七G(1年)上恒成立，

所以.(%)>0在%€(,1)上恒成立，故f(%)在6,1)上单调递增,C正确；

D选项，时，/(%)=XCOSp

故/'(%)=cos：+:sin%令t=5/i(t)=cost+tsint,当tG(1,兀)时，

则五'(£)=tcost,

当£€(1时，h/Ct)=tcost>0,/i(t)单调递增，

当£€6,兀)时，/i\t)=tcost<0,八(。单调递减，

因为/i(l)=cosl+sinl>0,h(；)=cos：+：sin：=1>(),/i(n)=cos兀+Trsinn=-1<0,

由零点存在性定理，3t0e使得/i(to)=O,

当tE(l，M)时，h(t)>0,当tw(t(),兀)时,h(t)<0,

%«*)时，/口)V°，/(%)单调递减，%«，1涧，/'(%)>0,f(%)单调递增,

所以了(%)区间上有且只有一个极值点，D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

828

13.(5分)(2023•全国•模拟预测)已知(%—I)=劭+ax(x+1)+a2(x+l)H--Fa8(x+l),则曲+a6=

—336.

【解题思路】将原式变形为(X-I)8=[-2+(X+I)]8,得出展开式的通项为八+1=CK-2)8-r(X+iy,

分别求出r=5和r=6时的系数，即可得出答案.

【解答过程】由题意得(x-I)8=[-2+&+I)]8.

(%-I)8=[-2+(x+1)F的展开式的通项公式为,+i=Cg(-2)8-r(x+l)r,r=0,1,2,…,8.

355

当r=5时,T6=C|(-2)(x+I)=-448(%+l),所以CI5=-448；

266

当r=6时,T7=C|(-2)(x+I)=112(x+l),所以=112.

所以as+a6=-448+112=-336.

故答案为:-336.

14.(5分)(2022.全国.统考高考真题)记上为等差数列｛〃｝的前"项和.若2s3=3s2+6,则公差d=2.

【解题思路】转化条件为2(4+2d)=2%+d+6,即可得解.

【解答过程】由2s3=352+6可得2(%+。2+。3)=3(%+a?)+6,化筒得2a3=%+a2+6,

即2(%+2d)=2%+d+6,解得d=2.

故答案为：2.

15.(5分)(2022•全国•统考高考真题)设点4(一2,3),8(0,a),若直线关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+

(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是6引.

【解题思路】首先求出点4关于y=a对称点4的坐标，即可得到直线，的方程，根据圆心到直线的距离小于

等于半径得到不等式，解得即可;

【解答过程】解：4(-2,3)关于y=a对称的点的坐标为4'(-2,2a-3),8(0,a)在直线y=a上,

所以所在直线即为直线，，所以直线/为y=±Bx+a,即(a-3)x+2y-2a=0；

-2

圆C:(%+3)2+(y+2)2=1,圆心C(—3,—2),半径r=1,

依题意圆心到宜线/的距离d=<1,

空,9-白3)2+号22

即(5—5a)2W3—3)2+22,解得［SaW|,即a需3;

故答案为：

16.(5分)(2021.全国•统考高考真题)已知函数f(x)=|靖一1|,/<0/2>0,函数f(x)的图象在点

4(xi，/(xi))和点8。2，〃>2))的两条切线互相垂直，且分别交了轴于M，N两点，则鬻取值范围是•

【解题思路】结合导数的几何意义可得问+%2=0,结合直线方程及两点间距离公式可得14Ml=71+e2%-

|BN|=71+e2也.|x2|,化简即可得解.

【解答过程】由题意，/■(%)=--1|=则/'(%)=「?：；，

x

所以点力(%1，1—£必)和点B(%2,靖2—1)，kAM=-e\kBN=靖2,

X2

所以一e*i-e——l,x1+%2=0，

X1X1X1x,

所以4M:y—1+e=—e(x—x1),M(^0,ex1—e+1),

所以|AM|=J*+(e1%i)2=V1+e2x^,

2x

同理|BN|=V14-e2•|%2|,

所以凶=竺可虫_叵巨=卜+eW=ze(01)

m2x1(J，

|BM|Vl+e^2.|x2|yll+ezAjl+e-^1

故答案为：(0,1).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2023・全国•模拟预测)已知数列｛an｝的前〃项和为与，%+i=2疝+1,(nWN*),a2=3.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设砥=4,数列｛%｝的前"项和为Tn，求7n的取值范围.

【解题思路】(1)将即+i=Sn+1-Sn代入已知式子可得｛医｝是等差数列，进而得到｛Sn｝的通项公式,

再由即与S”的关系求出｛即｝的通项公式.

(2)由裂项相消求和可得心，再由7；的单调性可求得其范围.

【解答过程】(1)因为即+i=Sn+i-Sn，所以由%+1=2店+1,

得S.+1-Sn=2yfs^+1,所以Sn+1=S"+2yfs^+1=(y/s^+1).

所以底二=居+1,即氏；一店=1.

在即+i=+1中，令〃=1,得a2=+1=2^57+1=3，所以a/=L

所以数列｛图是首项为1，公差为1的等差数列，

2

所以JS^二7i,即：Sn=n.

22

当？i＞2时，an=Sn-Sn_x=n-（n-l）=2n-1,

ax=1也适合上式,

所以数列｛QJ的通项公式为an=2几一1.

⑵由⑴知，"专m—L岛

所以+（；§+（合习+“•+（e—六）］制（1—六”/，

因为加＞0,所以7；随着，的增大而增大，所以7；271=1,

又显然〃＜玄所以17；即7；的取值范围为

18.（12分）（2022•全国•统考高考真题）记△力BC的内角A,B,C的对边分别为“，h,c,分别以a,b,c

为边长的三个正三角形的面积依次为Si，S2,S3,已知SiT2+S3=苧,sinB=也

⑴求△4BC的面积；

⑵若sinAsinC=?，求江

【解题思路】⑴先表示出工,52，53,再由Si-52+S3=^^a2+c2-b2=2,结合余弦定理及平方关

系求得ac,再由面积公式求解即可；

⑵由正弦定理得篇=鼻，即可求解.

【解答过程】(1)由题意得a=”2.苧=涉2,52=¥牝53=*2,则Si-S2+S3=fa2-fb2+

73^2_&

4“-2'

即M+c2—62=2,由余弦定理得cosB="一",整理得accosB=1,则cosB>0,又sinB=2，

2ac3

则cosB=J]一针=ac=^=乎，则S"BC=[acsinB='；

3yf2

⑵由正弦定理得:导=总=急则焉=就.高-^===2,

sinAsinC04

3

则看=1，fa=lsine=r

19.（12分）（2023•陕西西安・统考一模）某学校组织知识竞答比赛，设计了两种答题方案:

方案一：先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题;

方案二：全部回答单选题.

其中每道单选题答对得2分，答错得。分；

多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项得0分.

每名参与竞答的同学至多答题3道.在答题过程中得到4分或4分以上立刻停止答题.统计参与竞答的500名

同学，所得结果如下表所示：

男生女生

选择方案一10080

选择方案二200120

(1)能否有90%的把握认为方案的选择与性别有关？

(2)小明回答每道单选题的正确率为0.8；多选题完全选对的概率为0.3,选对且不全的概率为0.3.

①若小明选择方案一，记小明的得分为X,求X的分布列及数学期望；

②如果你是小明，为了获取更好的得分你会选择哪个方案?请通过计算说明理由.

附：代-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n-a+b+c+d.

P(K2>fc0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解题思路】(1)根据题意完善列联表，计算K2的值，即可判断结论；

(2)①确定X的取值，求出每个值对应的概率，可得分布列，进而求得数学期望；②计算出选择方案二的

数学期望，和方案一进行比较，可得答案.

【解答过程】(1)由题意完善列联表如图:

男生女生总计

选择方案一10080180

选择方案二200120320

总计300200500

痂

2_500X(100X120-200X80)2x2.315<2.706

300X200X320X180

故没有90%的把握认为方案的选择与性别有关.

(2)①由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,

则P(X=0)=0.4X0.2X0.2=0.016,P(X=1)=0.3X0.2x0.2=0.012,

P(X=2)=0.4X2x0.8X0.2=0.128,P(X=3)=0.3X0.2x0.2+0.3x2x0.8X0.2=0.108

P(X=4)=0.4x0.8X0.8=0.256,

P(X=5)=0.3x0.8+0.3x0.2x0.8+0.3x0.8x0.8=0.480,

故X的分布列为：

X012345

P0.0160.012().1280.1080.2560.480

故X的数学期望E(X)=1x0.012+2x0.128+3x0.108+4x0.2564-5x0.480=4.016.

②设选择方案二的得分为匕则y的可能取值为0,2,4,

则P(y=0)=0.2X0.2X0.2=0.008,P(r=2)=3x0.8x0.2x0.2=0.096,

p(y=4)=0.8x0.8+2x0.82x0.2=0.896,

故E(Y)=2x0.096+4x0.896=3.776,

因为E(X)>E(Y),故为了获取更好的得分，小明会选择方案

20.(12分)(2023•全国•模拟预测)如图，四棱锥P-A8CD中，AB=AD,△BC。是正三角形，PB=PD.

（1）证明：平面平面％C；

（2）若四棱锥尸-ABC。的体积为随，^BAD=120°,BC=2,PDA.BC,求二面角A-P8-C的正弦值.

9

【解题思路】（1）设AC,3。交于点O,连接PO,先利用平面几何知识证明ACLBC,POLBD,再利用

线面垂直的判定定理证明平面用C,最后利用面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）先作辅助线，寻找并证明垂直关系，求出有关线段的长度，然后建立空间直角坐标系，求平面以8与

平面P8C的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数的基本关系求解即可.

【解答过程】（1）设AC,8。交于点。，连接P。，如图，

因为BC=CD,AB=AD,所以点4,C在线段8。的垂直平分线上,

所以AC_LB。，。为的中点.

乂因为PB=PZ>,所以P01.8D,

又因为P。nAC=0,POu平面P4C,ACu平面P4C,

所以平面PAC.

又因为8。u平面尸8力，所以平面平面%C.

(2)取8c的中点E,连接OE,PE,设OE交AC于点/，连接PF,

贝|JOE_L8C,且尸为△88的中心，

又PDLBC,PDCtDE=D,所以BC_L平面P0E.

因为PFu平面PDE,所以PF1.BC,

因为BQ_L平面PAC,PFu平面PAC,所以PFVBD,

因为BDnBC=B,所以P尸_L平面ABCD.

因为/84。=120。，AB^AD,BC=BD^2,

所以AC=40+OC=/+百=竽，

所以四边形ABCD的面积为;AC-BD="

乂因为四棱锥P-ABCQ的体积为竽，所以PF=2.

以。为坐标原点，。8、OC所在直线分别为x轴、y轴，过。作尸F的平行线为z轴建立如图所示的空间直

角坐标系，

则4(0,-今0),8(1,0,0),C(0,V3,0),F(0,y,0),P(0,孚,2),

所以m=(1,1,0),BP=(-l,y,2),BC=(-l,V3,0).

设平面PAB的法向量为％=(XL%,ZI),

则匹亚=。，即［=°，

凡•BP_0++2zt=0

令/=1,则yi=-6，z1=1,所以平面雨8的一个法向量为％=(1,-8,1).

设平面P8C的法向量为日2=(%2，月/2)，

则心屈=。，即［F9=。

（n2-BP=0（-%2+-yi+2z2=0

令型=3,则、2=旧，Z2=l,所以平面尸8c的一个法向量为五2=（3,百,1）.

设二面角A-P8-C的大小为a,则|cosa|=粤粤=』，

EII连IV6S

所以sina=yjl—cos2a=/=嘤

所以二面角A-P8-C的正弦值为增.

65

21.（12分）（2022•全国•高三专题练习）设双曲线捻-卷=1,其虚轴长为2或，且离心率为倔

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点P（3,1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点48,在线段AB上取点M使得黑=瞿，

\MB\\PB\

证明：点M落在某一定直线上；

（3）在（2）的条件下，且点M不在直线0P上，求△OPM面积的取值范围.

【解题思路】（1）由题意可得2位=26,-=V5,又/=次-〃2,解得〃=2,a2=~,即可求出双曲线的

a2

方程，

（2）设点M,A,B的坐标分别为（冗,y）,（x/,》/）,（&,”），且x/<%2<3,由瞿=篇，知［6-（x/+x2）］x=3（x/+x2）

\MB\\rb\

-2X/M.由此能够证明点例落在某一定直线⑵-y-2=0上

（3）由⑵可设点M的坐标为（xo，yo）且xo<3,3*令点M到直线OP的距离为/?,根据点到直线

的距离和三角形的面积公式即可求出.

【解答过程】（1）

设双曲线三-1=1,其虚轴长为2a,且离心率为6，

a2b2

A2V2=2/?,e=-=V5,

a

♦:心-b2,

：工=2,a2=

2

双曲线C的方程为1一9=1.

2

（2）

设点A7,A,B的坐标分别为（x,y）,y/）,（X2，”），且用a2<3,

..\AM\_L4P|

•两一］PB\'

：.AM=AMB,AP=-APB,则有三=-三，

X2-3X2-X

即［6-（X］+X2）］x=3（xi+X2）-2xiX2f①

设直线/的方程为y-l=k（x-3）,②

将②代入4/—y2=2中整理，得（4-来川+（6庐-2k）x-（3k-I）2-2=0,

2k-6k2-9"2+6"-3

••XI~^~X2~X/X=,代入①,

4-k224-k2

整理可得，得⑵-3=&(x-3),联立②消&得，12x-y-2=0

由⑵可设点例的坐标为(孙yo)