六年级奥数讲义-分数百分数应用题

六年级奥数讲义一分数百分数应用题

教学目标

1.分析题目确定单位“1”

2.准确找到量所对应的率，利用量+对应率=单位“1”解题

3.抓住不变量，统一单位“1”

知识点疲：

一、知识点概述

分数应用国是研究数■:之同份数美系的典型泣用0・一方由它是在整数皮用题上的祗续和深化,另一方

面，它有其白身的特点和解18规律.在解这类问题时，分析中数盘之间的关系.渡确找出与"率RZ

同的君应是解题的关健.

关・：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量.我外往往旭其中的一个量看作量标准费.也称为，单

&T,进行对比分析.在几个盘中，关键也是要找准单位-1*和时应的百分率,叨及对应量三者的关系

例如：（Da是b的几分之几.就把数b牙作雌位“1”.

（2）甲比乙多L.乙比甲少几分之几？

8

10191

方法一,可设乙为单位F”,电甲为1♦工=2.段此乙比甲少工手士=2,

88889

方法二，可设乙为8份.Q,甲为9份,因此乙比甲少1，9=1.

9

二、怎样找准分数应用题中单位“1”

（一）,部分数和总数

在何一楚体中，部分散和总数作比较关系时.部分数通常作为比较量.而总数则作为标准量,那么

总数就是单位-r-

例如：

我国人口豹占世界人口的几分之几？洲界人口是总数.我国人口是部分散.世界人口就是单位“r•

解答堰美健&只要找港总数和其分数.确定单位就徨容易了.

（二），两种数■比较

分敏应用题中,两特数量相比的关国句非常多.育的是“比.字句•华的则没育"比”字,而是行

有指向性特征的“占*.”是“、”相当于”・在含有“比”字的关键句中.比后面的那个数置通常就

作为标准量，也就是他位“广・

例如：六（2）班男生比女生多就是以女生人数为标准（单位-lw）.

解题关健：在另外即没有比字的两种危相比的时候，我们通常找到分率,4-占.漉的..相当于.

港的.“是.谁的几分之几•这个“占”•"相当于"，”是.后面的数量一难就是单位*!”・

（三）、原敷信与现故fit

行的关键句中不是很明显地带有一些指向性结征的词语・也不是部分数和总数的关系，这类分数应

用感的单位T比较难找.需要将题目文字完善成我们熟蒸的类似钳“比”的文字.然后在分析.

例如।水结成冰后体枳靖加了.冰融化成水后,体根减少了.

完善后，水结成冰后作枳增和了一“水结成冰石体职比原来增编了”一原来的水是单位“广

冰融化成水后・体枳减少了一“冰融化成水后.体枳比嶙来减少了"-・摩东的冰是单位-1”

解题关健：费结合语文知识将屈昌御化的文字丰富后在分析

例0精说

［例3］五年级上学期男、女生共有300人，这一学期男生增加,，女生增加,，共增加了13人.这一

2520

学年六年级男、女生各有多少人？

【解析】方法一：此题我们用假设法来解答.假设这一学期五年级男、女生人数都增加-L,那么增加的人数

25

应为300x1-二12（人）,这与实除增加的13人相差13-12=1（人）.相差1人的原因是把女生常加的

25

看成2_计算了，即少算了原女生人数的_L___L;_L,也就是说这1人正好相当于上学期女生

20252025100

人数的】％,可求出上学期女生的人数：（13-300——L）=100（人），男生人数为：

252025

300-100=200（A）,这学年女生的人数：100、（1+。=105（人），这学年男生的人数：

200x（1+—）=208（人）.

25

方法二：本题可以看成男生1份+女生1份=13（人），那么男生20份+女生20份=13X20=260

（人），对比分析可以看出：300—260=40（人）时应男生的25—20=5（份），所以男生有40・5

X（25+1）=208（人），女生有300+13—208=105（人）。

【巩固】把金放在水里称，其重量减轻工,把银放在水里称，其重量减轻-L.现有一块金银合金重770克，

1910

放在水里称共减轻了50克，问这块合金含金、银各多少克？

【解析】方法一：设合金含金x克，则银有（770-x）克.依题意，列方程得：、x+\（770-*）=50,

解得x=570,所以这块合金中金有570克，银有200克.

方法二：本题可以看成金1份+银1份=50（克），那么金10份+银10份=50X10=500（克），对

比分析可以看出：770—500=270（克）对应金的19-10=9（份），所以金有270+9X19=570（人），

银有770—570=200（人）。

［例4］光明小学有学生900人，其中女生的T与男生的g参加了课外活动小组，剩下的340人没有参加.这

所小学有男、女生各多少人？

【解析】（用假设法）假设男生、女生都有：的人参加了课外活动小组，那么共有900，：=600（人），比现在

多出了600-（900-340）=40（人），这多出的40人即为女生的•-十，所以女生人数为

40+1|号）=420（人）‘男生人数为900-420=48°（A）.

【巩固】二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占全班人数的之，二班少

4

先队员占全班人数的;，求两个班各有多少人？

6

【解析】本题与鸡兔同笼问题相似，根据鸡兔同笼问题的假设法，可求得一班人数为

（90x--71）-e-（---）=48（人），那么二班人数为90—48=42（人）.

664

【巩固】把100个人分成四队，一队人数是二队人数的1,倍，一队人数是三队人数的1，倍，那么四队有多

34

少个人？

1314

【解析】方法一：设一队的人数是“1”，那么二队人数是：1。1一二一，三队的人数是：1・1—=一，

3445

1+-+-=—,因此，一、二、三队之和是：一队人数x①，因为人数是整数，一队人数一定是20

452020

的整数倍，而三个队的人数之和是51x（某一整数），因为这是100以内的数，这个整数只能是1.所

以三个队共有51人，其中一、二、三队各有20,15,16人.而四队有：100-51=49（人）.

方法二：设二队有3份,则一队有4份；设三队有4份，则一队有5份.为统一一队所以设一队有

［4,5］=20份,则二队有15份，三队有16份，所以三个队之和为15+16+20=51份，而四个队的

份数之和必须是100的因数，因此四个队份数之和是100份，恰是一份一人.所以四队有

100-51=49人（人）.

【例13］新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的\美术班人数

相当于另外两个班人数的］,体育班有58人，音乐班和美术班各有多少人？

【解析】条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的一二=±,美术班的学生人数是所有班人数的

5+27

_L3_=33,所以体育班的人数是所有班人数的］_2£_二3_二2三9，所以所有班的人数为58十2二9二】40人，

7+3107107070

23

其中音乐班有140x二=40人，美术班有140*±二42人.

710

【巩固】甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加H20个，丙加工零件数是乙加工零件数的9，甲

加工零件数是乙、丙加工零件总数的工，则甲、丙加工的零件数分别为________个、_个.

6------------------------

【解析】把乙加工的零件数看作1,则丙加工的零件数为?，甲加工的零件数为（l+2）x|=|,由于甲比乙

多加工20个，所以乙加工了20+（2-1）=40个，甲、丙加工的零件数分别为40〈2=60个、40乂±=32

225

个.

331

这个班共有：‘）=50（人）.

3+223+221+9

【例17】小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的页数上，他今天

9

比昨天多读了14页，这时已经读完的页数是还没读的页数的1,问题是，这本书共有多少页？”

3

\

1解析】首先，可以直接运算得出，第一天小明读了全书的3"=」-,而前二天小明一共读了全书的

10

1+1

9

所以第二天比第一天多读的14页对应全书的1一°-x2=’-.所以终本书一共有

―1441020

1十一

3

14-r—=280（页）。此外，如果对分数的掌握还不是很熟练的话，那么这道题可以采用设份数的

20

方法：把这本书看作20份，那么昨天他看了2份，而今天他看了2份还多14页，两天一共看了4份

还多14页，或者可以表示成20。（1+3）=5（份）。那么每份是14+（5-4）=14（页），这本书共

14x20=280（页）。两种方法都可以得到相同的结果。

［例18］某校有学生465人，其中女生的2;比男生的14少20人，那么男生比女生少多少人？

【解析】方法一：女生的2比男生的3少20人，-4--=-,20.2=30,所以女生比男生的2少30人.男

3553535

生人数是（465+30）X1+（）=225（人），女生人数是225x5—30=240（人），男生比女生少

240-225=15（人）。

方法二：

女生-----------------吐-------

男生•_._.一._,_.

通过画图比较女生的1份加10人恰好等于男生的两份，因此给每份女生加10后，男女生总份数就变

为3x2+5=11份，因此每份有（465+10x3）+11=45人，男生有45x5=225女生人数是

465-225=240（A）,男生比女生少240—225=15（A）.

【例19】某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的」与原二班的,组成新一班，将原一

34

班的L与原二班的L组成新二班，余下的30人组成新三班.如果新一班的人数比新二班的人数多

43

—.那么原一班有多少人？

10

【解析】新三班人数占原来两班人数之和的1-1-1=上，所以，原来两班总人数为：30+上=72（人）,新

341212

一班与新二班人数之和为：72-30=42（人），新二班人数是：42+（1+5+1）=20（人），新一班人

数为：42-20=22（A）,新一班与新二班人数之差为22-20=2,而新一班与新二班人数之差为（原

一班人数-原二班人数）xg-g）,故：原一班人数-原二班人数=2+§-3）=24（人），原一班人数

=（72+24）+2=48（人）.

［例1］（小数报数学竞赛初赛）甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元.在人

民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的士，乙买一件衬衫花去了人民币16元.这样两人身上所

9

剩的钱正好一样多.问甲、乙两人原先各带了多少钱？

【解析】方法一:把甲所带的钱视为单位“1”，由题电乙花去16元后所轲的钱与甲所带钱的上一样多，那么8616

元钱正好是甲所带钱的，+1,那么甲原来带了（86-16）+（，+1）=45（元），乙原来带了86-45=41（元）.

方法二:

16兀-►86元

乙'-----------

设甲所带的钱数为9份，则甲和乙都还剩5份，所以每份是（86-16+（9+5）=5（元），则甲原来带了

5x9=45（元），乙原来带了5x5+16=41（元）.

【巩固】一实验五年级共有学生152人，选出男同学的4•和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女人数

正好相等。五年级男、女同学各有多少人？

【解析】根据题意画出线段图,找出量率对应：

单位“1”（？*）

_

邀中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系，但从中可以看出，如果女工去掉5人就和男工人数

的（1--）相对应，因此总人数也应去掉5人，相应的与男工人数的（1-—+1）相对应。因此

1111

男工有：（152-5）-r（1--+1）=77（名）女工有：152—77=75（名）答：男共有71名，女

工有75名。

【巩固】五年级有学生238人，选出男生的1和14名女生参加团体操，这时剩下的男生和女生人数一样多,

问：五年级女生有多少人？

33

【解析】男生人数为（238-14）+（1+—）=128（人），女生有：128x-+14=110（人）.

［例5］盒子里有红，黄两种玻璃球，红球为黄球个数的2:，如果每次取出4个红球，7个黄球，若干次后，

盒子里还剩2个红球，50个黄球，那么盒子里原有_______个玻璃球.

【解析】由于红球与黄球个数比为2:5,所以若每次取4个红球，10个黄球，则最后剩下的红球与黄球的个

数比仍为2:5,即最后剩下2个红球，5个黄球，而实际上是每次取4个红球，7个黄球，最后剩2

个红球，50个黄球，每次少取了3个黄球，最后多剩下45个黄球，所以一共取了45+3=15次，所

以球的总数为（4+7）x15+2+50=217个.

【巩固】甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，已知甲班参加的人数恰好是乙班未参

加人数的三分之一，乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一，问甲班没有参加的人数是乙

班没有参加的人数的几分之几？

【解析】分别用甲参、甲未、乙参、乙未表示甲、乙班参加和未参加的人数，则：甲参+甲未二乙参+乙未，

将甲”;乙*、乙*=飙代入上式，得!乙*+甲"国+乙*,解得在=、

［例6］（2009年第七届“希望杯”五年级一试）工厂生产一批产品，原计划15天完成。实际生产时改进

了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的得多10件，结果提前4天完成了

生产任务。则这批产品有__件。

t解析】设原计划每天生产11份,则实标每天生产5份加10件，而根据题意这批产品共有11*15=165份，所

以实际每天生产165+。5-4）=15份，所以15份与5份加10件的和相同，所以每份就是1件，所以这

批产品共有165件.或用方程来解.

［例7］有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28%.小明从某一堆中拿走一半棋子，

而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，臼子将占32%,那么，共有棋子多少堆？

【解析】设每堆棋子为100个有x堆棋子，那么每堆中白子为28个，黑子为72个，邪走一半棋子且为黑子

时，还轲白子为28x个，黑子为（72x—50）个.所以列方程为：———二32%.解得％=4,所

100X-50

以有4堆。

【例8】我从飞机的舷窗向外看去，看见了部分海岛、部分白云以及不大的一块海域，假定白云占窗口画

面的一半，它遮住了岛的1,因此岛在窗口画面上只占!，间被白云遮住的那部分海洋占画面的

44

多少？

【解析】5/12.

【例9】养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的1上倍.鸭比鸡少几分之几？

4

【解析】方法一：把鸭看成单位“1”，那么呜就是1},鸭比鸡少：（1；一1）+］；=：（此时的单位是鸡

的只数）.

方法二：设鸭有4份，则鸡有5份，所以鸭比鸡少1+5二g.

【巩固】某校男生比女生多女生比男生少几分之几？

【解析】方法一：男生比女生多3,则男生有】+之二3,女生比男生少3+12;二.

7777710

方法二：设女生有7份，则男生有10份，所以女生比男生少3+10=3.

10

［例14］王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的工，李先生

2

的年龄是另外三人年龄和的,，赵先生的年龄是其他三人年龄和的1,杨先生26岁，你知道王

34

先生多少岁吗？

【解析】方法一：要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少.而凝目中出现了三个“另外

三人”所包含的时象并不同，即三个单位“1”是不同的，这就是所说的单位“1”不虢一，因此,

解答此题的关键便是抓不变量,统一单住“1”.题中四个人的年龄总和是不变的，如果以四个人的

年龄思和为单位“1”，则单位“1”就统一了.那么王先生的年龄就是四人年龄和的」一=!，李

1+23

先生的年龄就是四人年龄和的」一二,赵先生的年龄就是四人年龄和的」_=这些过程就是

1+341+45

所谓的转化单位“1”).则杨先生的年龄就是四人年龄和的i-L-L-1=U.由此便可求出四人

34560

的年龄和：26+11---------------------—|=120(^),王先生的年龄为：120x1=40(岁).

V1+21+31+4)3

方法二：设王先生年龄是1份，则其他三人年龄和为2份，则四人年龄和为3份，同理设李先生年龄为1

份，则四人年龄和为4份，设赵先生年龄为1份，则四人年龄和为5份，不管怎样四人年龄和应是相同的，

但是现在四人年龄和分别是3份、4份、5份，它们的最小公倍数是60份，所以最后可以设四人年龄

和为60份，则王先生的年蔚就变为20份，李先生的年龄就变为15份，赵先生的年龄就变为12份，

则杨先生的年龄为13份，恰好是26岁，所以1份是2岁,王先生年龄是20份所以就是40岁.

【巩固】甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的T,乙队筑的

路是其他三个队的9,丙队筑的路是其他三个队的;，丁队筑了多少米？

34

【解析】甲队筑的路是其他三个队的2，所以甲队筑的路占总公路长的」一二1；

21+23

乙队筑的路是其他三个队的所以乙队筑的路占总公路长的」一=工；

31+34

丙队筑的路是其他三个队的L,所以丙队筑的路占总公路长的」―=•1.

41+45

所以丁筑路为：1200X(1-L-L-1］=260(来)

1345；

［巩固】某工厂对一、二两个车间的职工进行重组，将原来的一车间人数的1和二车间人数的;分到一车间，

23

将原来的一车间人数的1和二车间人数的工分到二车间，两个车间剩余的140人组成劳动服务公司，

32

现在二车间人数比一车间人数多土，现在一车间有人，二车间有人.

【解析】由“将一车间人数的工和二车间人数的1分到一车间，将一车间人数的1和二车间人数的,分到二

2332

车间”可知，现在一、二两车间的人数之和为总人数的上+1=』，所以劳动服务公司的140人占总

236

人数的，那么总人数为：140+,=840人，现在一、二两车间的人数之和为840*2=700人.由

6666

于现在二车间人数比一车间人数多土，所以现在一车间人数为700+（1+1+±）=340人，现在二车

间人数为700-340=360人.提示：可以继续求出原来一车间和二车间的人数.由于现在二车间比一

车间多20人，所以原耒二车间人数的比一车间人数的1多20人，那么原来二车间人数比

2366

乙车间人数多20+4=120人，原来一车间有（840-120）+2=360人,原来二车间有360+120-480人.

6

［例20］2008年第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（小学组）决赛林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了

然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林又喝了工，继续用豆浆将杯子斟满并携

33

拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的_________（用分数表示）。

【解析】大家要先分析清荒的是不论是否加入豆•浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的;，要是能想清定这

一点那么这道题就变了一道找规律的问题了。________________________________________

喝掉的牛奶刎下的牛奶

2_,12

第一次1—=一

333

212224

——X—=——-X———

339339

第二次

（喝掉刎下士的］.）22

（剩下是第一次轲下一的一）

9333

414428

—X-=—-X-=—

93279327

第三次

4142

（喝掉剩下一的巴）（轲下是第一次剩下二的上）

9393

818/史44［十8^1、

第四次——X—=—（喝掉刎下——的一）

27381273

所以最后喝掉的牛奶为！+2+±+刍=竺

39278181

【例21］参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000多人.其中光明区占上1，中心区占2*,朝阳区占上1，剩余的

375

全是远郊区的学生.比赛结果，光明区有去的学生得奖，中心区有I的学生得奖，朝阳区有1的

1618

学生得奖，全部获奖者的号L远郊区的学生.那么参赛学生有多少名?获奖学生有多少名？

7

【例2】甲、乙两个书架共有1100本书，从甲书架借出工，从乙书架借出75%以后，甲书架是乙书架的2倍

3

还多150本，问乙书架原有多少本书？

©©©©

21

甲的一比乙的一多150本

32

这个题目的难点就在于甲乙的数目同时发生了变化，变化之后的关系是两倍还多150本，也就是说：

甲的士7比乙的1上的两倍还多150本，如果能够正确地理解和转化这个条件，这道题也就迎刃而解了，

34

从上困中不难看出，“甲的47比乙的12,的两倍还多150本”其实也就是“甲的7士比乙的1士多150本”，

3432

如果同时犷大两倍，他们之间的关系就变成了“甲的g比乙多300本“，结合“甲乙的和为1100本”

这个条件，这个问题就变成了一个简单的和倍问题了。

=1-75%=-,150x2=300(本)，-x2=-.

33442

21,

(1100+300)+(-x2+-x2)=600(本)........甲的书本数目

1100-600=500(本)..........................乙的书本数目

方法二：设甲原有x本书，fl-|k-150+2+(l-75%)+x=1100,解得x=600,则乙为500

【例10］学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占金,后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所

9

有看书人数的2.问后来又有几名女生来看书？

19

【解析】把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答.男生人数是36x(1-卞=20人，后来阅览室的

Q

总人数是20+(1-台=38(名屋后来有3836=2(名)女生进来.

【巩固】(2009年五中小升初入学测试题)工厂原有职工128人，男工人数占总数的工，后来又调入男职

4

工若干人，调入后男工人数占总人数的］,这时工厂共有职工人.

【解析】在调入的前后，女职工人数保持不变.在调入前，女职工人数为128x(l-：)=96人，调入后女职工

占总人数的1-*=所以现在工厂共有职工96+3二160人.

555

【巩固】有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的工倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶油的质量是

2

乙桶的+倍，乙桶中原有油千克.

【解析】原来甲桶油的质量是两桶油总质量的一?一：=』，甲桶中倒出5千克后剩下的油的质量是两桶油总质

5+27

44S4

量的二一二二，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为5+己-£)=35千克，乙桶中原有油

4+3777

35x1=10千克.

【例11］(D某工厂二月份比元月份增产10%,三月份比二月份减产10%.问三月份比元月份增产了还是

减产了？(2)一件商品先涨价15%,然后再降价15%,问现在的价格和原价格比较升高、降低还

是不变？

【解析】(1)设二月份产量是1,所以元月份产量为：1*1+10%)=#,三月份产量为：1-10%=0.9,

因为12>0.9,所以三月份比元月份减产了

11

(2)设商品的原价是1,涨价后为1+15%=1.15,降价15%为：L15x(l-15%)=0.9775.现价和

原价比较为：0.9775<1,所以价格比较后是价降低了。

【例12］某校三年级有学生240人，比四年级多L,比五年级少L.四年级、五年级各多少人？

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【分析】比四年级，可以设四年级为4份，(一般情况下可设“比”、“是“、等词后面的实际量的份数为分数的

分母)，则三年级为5份恰有240人，所以一每份就是240+5=48,所以四年级就有48x4=192人，

同理可设五年级有5份，则三年级有4份恰是240人，所以五年级就有300人.

【例15］（迎春杯决赛）小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的静，第二次运了50块，这时已运来的恰

O

好是没运来的）.问还有多少块蛭窝煤没有运来？

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【解析】方法一：运完第一次后，还剩下2没运，再运来50块后，已运来的恰好是没运来的2,也就是说没