林芝市第二高级中学2023届高三年级上册学期第三次月考数学试卷（含解析）

林芝市第二高级中学2022-2023学年上学期高三第三次月考

理科数学试卷

全卷满分：150分考试用时：120分钟

第/卷

一、选择题:本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

L若集合4={"GN|X"2},8={x|3x-x-N0},则.8为（）

A.1%|0<x<21B.{1,2}

C.{x[0<x<2}D.{0,1,21

2.设N是复数z的共辗复数，满足（l+i）N=（l-i）,则z的虚部是（）

A.]B.-1C.2D.0

3.电影《你好，李焕英》于2021年2月12日在中国内地上映，创造了连续多日的单日票

房冠军.某新闻机构想了解全国人民对《你好，李焕英》的评价，决定从某市3个区按人口

数用分层抽样的方法抽取一个样本.若3个区人口数之比为2:3:1,且人口最少的一个区抽

出100人，则这个样本的容量等于（）

A450B.500c.550D.600

/1、6

4.若ax—不J展开式的常数项为60,则。值为

A.4B.±4C.2D.±2

5.己知ae（0,兀），且3cos2a-8cosa=5，则sina=()

A百2

B.一

33

1D.亚

c.一

39

3

6.设4=3-，b=lg-,c=ln3,则。，b,c的大小是()

A.a<c<bB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

7.若抛物线V=8x上一点P到焦点的距离是10,则点P到原点的距离是()

C.6D.4

，则"“＜一1"是"函数Ax)在户一1处取得

极小值”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足S“+a“+2=0,则也=()

A.63B.252C.364D.728

11.已知向量。=(2,—1),b=(3,-2),c=(l,m),若(。一石)_Lc,则|d|=()

A.1B.V2C.£D.2

12.定义在R上的奇函数/(x)满足/(2-x)=/(x),且在［0,1)上单调递减，若方程

/(x)=7在［0,1)上有实数根，则方程f(x)=l在区间上所有实根之和是()

A.30B.14C.12D.6

第〃卷

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.

13.某"2020年宝鸡市防震减灾科普示范学校”组织4名男生6名女生志愿者到社区进行防震

减灾图片宣讲，若这些选派学生只考虑性别，则派往甲社区宣讲的3人中至少有2个男生概

率为.

'3x+y«18

14.己知点（工,），）满足不等式组卜x—2y«0,则z=5x+y的最大值为.

x>0

15.设函数“上/丁产：、5V（2021）=—.

[log2（-x）,x<0

16.己知函数/（x）=2x2—lnx,则/*）在（1"（功处的切线方程.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在ABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,且2a+c=2AosC.

（1）求角B的大小；

（2）若.ABC的面积为6，b二岳,求的周长.

18.为了增强学生的身体素质，我校已经将冬天长跑作为一项制度固定下来，每天大课间例

行跑操.为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷

调查，得到如下的2x2列联表：

喜欢跑步不喜欢跑步合计

男生80

女生20

合计

已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为06

（1）判断是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？

（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人

调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望

〃(ad-be)?

参考公式及数据：K2=其中〃=a+Z?+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(/?+d)

P（K*k。）0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

k。0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

19.已知数列｛册｝满足。1=1,5"=-.

2

(1)求数列｛%｝的通项公式；

2%+1

(2)若6=(-1尸+1—!—，数列｛瓦｝的前“项和为了"，求72021.

aa

„n+l

20.己知函数/(x)=e/nx-czx(aeR)

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当a=e时，证明j/(x)-ev+2er<0

21.己知公比大于1的等比数列｛。“｝满足见+4=20,%=8.

(1)求他“｝的通项公式；

⑵记b,n为｛%｝在区间(0,m](/neN")中的项的个数，求数列｛粼｝的前100项和Sl00.

选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.

x=t

22.己知直线“为参数，。>0),以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建

[y=at

立极坐标系，圆C的极坐标方程为。=8cos8+6sin。，圆。与极轴和直线/分别交于点

A,点B(异于坐标原点).

(1)写出点A的极坐标及圆。的直角坐标方程；

(2)求OC-AB最大值.

23已知函数/(x)=|x-l|+|x-5].

(1)解不等式〃x)W6；

(2)若正实数a,b满足a+b=ab,且函数/(x)的最小值为用，求证：a+b>m.

答案

1.由4={0,1,2},6={幻04尤43},故AcB={0,1,2}.

故选：D

2.由(l+i)N=0_i)可得2=?=—i

z=i,故z的虚部为1.

故选：A.

3.解：从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本.

3个区人口数之比为2：3：1，且人口最少的一个区抽出100人，

设这个样本的容量为〃，

解得〃=6（X）.

这个样本的容量等于600.

故选：D.

4.因为（ox-一展开式的通项为T=Ckc^~kj^~kf-lV=

令6-14=0,则后=4,所以常数项为堞。6-4（—［）4=60,即15a2=60,所以a=±2.

故选D

5.3cos2a-8cosc=5,得6cos—8cos口一8=0，

2

即3cos22一4cos二一4=0，解得cosa=-§或cosa=2(舍去),

又、：ae(0,"),.二sina=Jl-cos[a=~^~,

故选：A.

3

6.因为0<々=3一4<1,Z?=lg-<0,c=In3>L

所以。，b,c的大小是力<〃<c,

故选：c

7.若尸（国y）,由抛物线定义知：x+2=10,故x=8,

/.y2=64,故P到原点的距离d=次，y=8j，.

故选：B.

xln|x|[lnx,x>Q

8.因为〃X)=是奇函数排除B,C,且当x>l时,

|x|[-/n(-x),x<0/W>o.

故答案为A.

9.函数/(x)=+g(a?+1)*?，

则f'M=x2+(a2+l)x+a2=(x+l)(x+〃),

当。=±1时，r(x)>0,/(x)无极值点;

当a<—1或时，当xv-/或%>-1时，f\x)>0,当时，f'(x)<0,

所以/*)在尤=一1处取得极小值；

当一1<。<1时，当尤<-1或x>-/时，/'(x)>0,当_]<兀<一/时，f'(x)<0,

所以函数/(X)在x=-l处取得极大值，

所以"a<-1"是"函数/a)在x=-1处取得极小值”的充分而不必要条件，

故选：A

10.解：当〃=1时，q+q+2=0,二勾=一1.

当〃22时，S.+a“+2=0,5“_1+%_]+2=0,

两式相减得%=0，，区=4，

*2

所以数列｛4,｝是以-1为首项，以g为公比的等比数列,

所以%=-(#'.

1363

所以§6=-----]~=--^a6

1--“

2

4/63、

4s4x(一前)

所以,=——产-=252.

-32

故选：B

11.由题设可得a-b=(—1,1),

因为故-lxl+lxn?=O,

解得m=1,

所以c=(l/)，故同=JL

故选：B

12.解：由/(2-x)=/(x)知函数/(x)的图象关于直线彳=1对称，

由/J)是R上的奇函数知/(2-x)=-f(x-2),/(x-4)=-/(4-%)

在/(2-x)=/(x)中，以尤一2代x得：

/(2—(x—2))=/(x-2)即/(4-x)=f(x-2),

所以/(x)=/(2—x)=—/(4—x)=/(x—4)

即/(x+4)=/(x),

所以是以4为周期的周期函数.

考虑/(x)的一个周期，例如［-1,3］,

由/(x)在［0,1)上是减函数知/*)在(1,2］上是增函数，

F3在(T,0］上是减函数,『⑶在［2,3)上是增函数.

对于奇函数f(x)有/(0)=0,f(2)=f(2-2)=f(0)=0,

故当xe(O,l)时，/(%)</(0)=0,当xe(l,2)时，/(%)</(2)=0,

当xe(-LO)时,/(x)>/(0)=0,当xw(2,3)时,/(%)>/(2)=0,

方程=在［0，1)上有实数根，

则这实数根是唯一的，因为/(X)在(0,1)上是单调函数，

由于“X)为奇函数，故〃X)=1在(-1,0］上有唯一实根，在(0,1)上无实数根.

则由于7(2-x)=/(X),故方程/(x)=1在(2,3)上有唯一实数.

在(0,2)上/(x)<0,

则方程/(x)=1在(0,2)上没有实数根.

从而方程/(x)=1在一个周期内有且仅有两个实数根.

当3],方程/(x)=l的两实数根之和为x+2-x=2,

当7],方程/(x)=l的所有四个实数根之和为

x+2—x+4+x+4+2—x=2+8+2=12.

故选：C

C3+C2-C1401

13.解：派往甲社区宣讲的3人中至少有2个男生概率为

平移直线z=5x+y,当该直线经过可行域的顶点A时，直线z=5x+y在x轴上的截距最

大，

故Zmax=5x4+6=26.

故答案为：26.

15.由/(2021)=/(2021-405x5)=/(-4)=log2[-(-4)]=2.

故答案为：2.

16.由已知/'(x)=4x-L,所以/'(1)=4-1=3,又/(1)=2,

X

所以切线方程为丁一2=3(X-1),即3%-丁-1=0.

故答案为：3尤一y—1=0.

a_b_c

17.(1)由正弦定理sinAsinfisinC,

2Q+C=2/?COSC,/.2sinA+sinC=2sinBcosC,

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

/.2cosBsinC+sinC=0,

1

sinCHO,/.cosB=2-

2万

Bw(0,兀)，：.B=—

3

c1•nA1V3

S=—acsinB，3=—acx——

(2)解：由三角形面积公式2得22,：.ac=4

Xb2=a2+c2-2accosB>.'.a2+c2=9

(a+c)-=a~+c2+2ac=17,:.a+c=y/V7

ABC的周长为a+b+c=JI7+.

18.(1)解：由题可知，200名学生中抽1人喜欢跑步的概率为0.6,

故喜欢跑步的人有200x0.6=120(人)，不喜欢跑步的人有200—120=80(人).

喜欢跑步不喜欢跑步合计

男生8060140

女生402060

合计12080200

a=80,b=60,c=40,d=20,

2%;鼠朦z-,

故无90%把握认为喜欢跑步与性别有关.

8_x_y

(2)解：按分层抽样，设女生X名，男生y名，802060.

二不喜欢跑步的学生中女生2名，男生6名，故乂=0、1、2.利用古典概型求概率,

/*=0)=^^=得，尸(*=1)=g=K,尸。=2)=竽=最，可检验：

5153

213

x—+2x—=

142828284

("+1)%

19.(1)解：由题设，Sn=2①

当n>2时，S“_i号②

("+1)。“"a,r

①一②，得a.(n>2),

22

则("一l)an=na"—i.

幺=1.

nn-l

所以an=n.

又th适合上式，故a〃=n.

11

—+

n〃+1

111

-----------1----------------------1-----------

2020202120212022

,12023

=1+-----=-----

20222022

/'(x)=£_a(x〉0)

20.(1)x,

①若aW0,则用x)>0,/(x)在(0,+8)上单调递增；

②若a>0,则当0<x<一时，f\x)>0,当》>二时，r(x)<0,

故/(x)在(0,?］上单调递增，在士,+8上单调递减.

aJ

f(x)------2e

(2)因为x>°,所以只需证x.

当。=e时，由(1)知，/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,十刃)上单调递减,

所以〃x)3=/(l)=-e-

记g(x)=———2e(x>0)，

x

则?(力=与应，

所以当0<x<l时，g'(x)<0，g(x)单调递减，

当x>l时,g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以gOjgOXe

综上,当x>0时，/(x)<g(x),

即—2e,即证:#(x)-ex+2ex<0.

X

21.(1)由于数列｛%｝是公比大于1的等比数列，设首项为％,公比为依题意有

a,q-va.q=201

P\,解得解得q=2国=2,或q=32应=力舍)，

axq~=82

所以4=2",所以数列｛«„｝的通项公式为an=2".

(2)［方法一］:由于0=2,2?=4,23=8,24=16,2,=32,26=64,2、=128,所以

4对应的区间为(0,1］,则4=0；

今也对应的区间分别为(0,2],(0,3],则4=4=1，即有2个1；

%也，包，用对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],则)=々=仇=耳=2,即有22个

2；

々也，，仇5对应的区间分别为。8],(0,9],,(0,15],则4=%==%=3,即有23个

3；

46，47,，%对应的区间分别为(。/6],(0,17],..,(0,31],则九=47==既=4,即

有24个4；

%也3,…也3对应的区间分别为(°，32],(0,33],,(0,63J,则为=%=L=%=5,即

有2、个5；

心也5，L,400对应的区间分别为(0,64],(0,65],,(0,100],则d=九=1=b100=6,

即有37个6.

所以品)(>=1x2+2x2?+3x2,+4x24+5x2$+6x37=480.

[方法二](最优解)：

由题意，2"<m.即〃(log2加，当m=l时，々=0.

当〃〜口匕1一1)时，bm=k,keN*,则

S100=4+(4+伪)+(d+仇++2)+(42+叁++&3)+(九+%+,•+400)

=0+1x2+2x4+3x8+4x16+5x32+6x37=480.

[方法三]:由题意知勿=女,加巨2«,2")因此，当加=1时，4=0；me[2,4)时，£=1；

znw[4,8)时,bm=2；me[8,16)时,bm=3；〃ze[16,32)时，hm=4；/ne[32,64)时,

b,„=5；me[64,128)时，bm=6.

所以S|oo=4+%+&+%++£)0

=0+(1+1)+(2+2+2)++(6+6++6)

=0+1x2+2x4+3x