辽宁省本溪市2021年中考数学试题真题(答案+解析)

辽宁省本溪市2021年中考数学试卷

一、单选题

1.（2019•株洲模拟）-5的相反数是（）

11

A.--B.-C.5D.-5

55

2.（2021•本溪）下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这

些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.

a/

3.（2021•本溪）下列运算正确的是（）

A.%2-x=2x2B.（xy3）2=x2y6C.%6-j-%3=x2D.x2+x=x3

4.（2021•本溪）如图，该几何体的左视图是（）

5.（2021•本溪）如表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中

位数是（）

疫苗名称|克尔来福|阿斯利康|莫德纳|辉瑞|卫星7

有效率79%76%95%95%92%

A.79%B.92%C.95%D.76%

6.（2021•本溪）反比例函数y=-的图象分别位于第二、四象限，则直线y=kx^k不经过的象限是

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（2021•本溪）如图为本溪、辽阳6月1日至5日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这5

A.本溪波动大B.辽阳波动大C.本溪、辽阳波动一样D.无法比较

8.（2021•本溪）一副三角板如图所示摆放，若/1=80°，则N2的度数是（）

A.80°B.95°C.100°D.110°

9.（2021・本溪）如图，在AABC中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于

点、E，点F为BC的中点，连接EF,若BE=4C=2,贝△CEF的周长为（）

10.（2021•本溪）如图，在矩形48co中，BC=1,ZADB=60°，动点P沿折线4。-运动

到点8,同时动点Q沿折线OB-BC运动到点C,点P,Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单

位长度，点P,Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度.设运动时间为t秒，APBQ的面

积为5,则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）

二、填空题

11.（2020八下•博兴期末）若y/2^在实数范围内有意义，则x的取值范围为.

12.（2021•本溪）分解因式：2/—4X+2=.

13.（2021•本溪）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着-V7,-1.0,遍，2,从中随机抽取

一张，则抽出卡片上写的数是V3的概率为.

14.（2021•本溪）若关于x的一元二次方程3%2—2x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为.

15.（2021•本溪）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为

获奖同学颁奖.在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品

的数量与用240元购买8种奖品的数量相同.设8种奖品的单价是x元，则可列分式方程为.

16.（2021•本溪）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,8,C都在格点上，以为

直径的圆经过点C和点D,贝ijtan/4DC=.

17.（2021•本溪）如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，4（2,0）,B（0,l）,反比例函数y=

久无＞0）的图象经过点C,则k的值为.

18.（2021沐溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点。的对

称点为点F,EF交4D于点G,连接CG交PQ于点H,连接CE.下列四个结论中：①

△PBEQFG；②SMEG=SMBE+S四边敕DQH：③EC平分/BEG;④EG2-CH2—GQ-

GD,正确的是（填序号即可）.

三、解答题

19.（2。21,本溪）先化简，再求值：4+（1+卡），其中a=2sin30。+3・

20.（2021•本溪）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动.竞赛项目有：A.回顾

重要事件；B.列举革命先烈；C.讲述英雄故事；D.歌颂时代精神.学校要求学生全员参加且每

人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完

整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

学生参加竞赛项目的条形统计图学生参加竞赛项目的扇形统计图

（2）在扇形统计图中"8项目"所对应的扇形圆心角的度数为▲,并把条形统计图补充完整；

（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表

或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率.

21.（2021•本溪）某班计划购买两种毕业纪念册，己知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，

购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元.

（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？

（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念

册多少本？

22.（2021•本溪）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方

向的隧道4B.无人机从点4的正上方点C,沿正东方向以8m/s的速度飞行15$到达点D,测

得A的俯角为60。，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E,测得点8的俯角为37。.

（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,V3«1.73）

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；

（2）求AB的长度（结果精确到1m）.

23.（2021•本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋

器销售单价为60元时，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网

店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个.

（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？

（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？

24.（2021•本溪）如图，在Rt4ABC中，4cB=90°，延长CA到点。，以AD为直径作0

。，交84的延长线于点E,延长BC到点F,使BF=EF.

D

（1）求证：EF是。。的切线：

（2）若OC=9,AC=4,AE=8,求BF的长.

25.（2021•本溪）在。ABCD中，ZBAD^a,DE平分ZADC,交对角线AC于点G,交射线AB

于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转|a得线段EP.

（1）如图1，当a=120°时，连接AP,请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；

（）如图当时，过点作BFLEP于点，连接AF,请写出线段AF,AB,力。之

22,a=90°B

间的数量关系，并说明理由；

（3）当a_120°时，连接AP,若BE-^AB,请直接写出4APE与△CDG面积的比值.

26.（2021沐溪）如图，抛物线y=-1x2+bx+c与x轴交于点A和点C（-l,0）,与y轴交于点

8（0,3）,连接AB,BC,点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PDlx轴于点。，交AB

于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,作PF1PD于点P,使PF=1O力，以PE,PF为邻边作矩形PEGF.当矩形

PEGF的面积是&BOC面积的3倍时，求点P的坐标；

(3)如图2,当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、4B为顶点的三角形是锐

角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围.

答案解析部分

一、单选题

L【答案】C

【考点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】-5的相反数是5

故答案为：C

【分析】根据相反数的定义解答即可.

2.【答案】A

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】A.是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意;

B.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意：

D.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意.

故答案为：A.

【分析】根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判定即可。

3.【答案】B

【考点】同底数基的乘法，同底数塞的除法，积的乘方，嘉的乘方

【解析】【解答】A.根据同底数幕乘法法则可得/巾=/，选项A不符合题意;

B.根据积的乘方的运算法则可得(xy3)2=x2y6,选项B符合题意；

C.根据同底数募的的除法法则可得，选项C不符合题意；

D.X2与X不是同类项，不能合并，选项D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】利用同底数嘉的乘法、积的乘方、累的乘方、同底数塞的除法和合并同类项逐项判定即可。

4.【答案】D

【考点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示:

故答案为：D.

【分析】利用三视图的定义逐项判定即可。

5.【答案】B

【考点】中位数

【解析】【解答】解：根据中位数的定义，将5种新冠疫苗的有效率从小到大进行排序，如下：

76%,79%,92%,95%,95%

数据个数为5,奇数个，处于中间的数为第三个数，为92%

故答案为B.

【分析】先将数据从大到小排列，再利用中位数的定义求解即可。

6.【答案】A

【考点】反比例函数的图象，一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】解」.反比例函豺=:的图象在第二、四象限内，

k<0,

・•・一次函数片kx+k的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限.

故答案为：A.

【分析】先根据反比例函数的图象在第二、四象限得到k<0,再根据一次函数图象与其系数的关系求解即

可。

7.【答案】C

【考点】折线统计图

【解析】【解答】解：辽阳的平均数为：竺1"±-=13.8,

方差为：S]=g[(16-13.8)2+(14-13.8)2+3x(13-13.8)2]=1.36,

本溪的平均数为：15+13+:+12+12=]2.8,

222

方差为：S2=|[(15-12.8)+(13-12.8)+3x(12-12.8)]=1.36,

Si=s2，

•••本溪、辽阳波动一样，

故答案为：C.

【分析】通过折线图分别求出辽阳和本溪的平均数和方差，再比较求解即可。

8.【答案】B

【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质

【解析】【解答】解：如图，Z4=90°-30°=60°,

Z3=Zl-45°=80°-45°=35°,

Z3=Z4=35°,

Z2=ZA+Z.4=60°+35°=95°,

故答案为：B.

【分析】根据直角三角形的性质求出NA,根据三角形的外角性质求出N3,根据对顶角相等求出N4,再

根据三角形的外角性质计算，得到答案。

9.【答案】C

【考点】等腰三角形的性质，勾股定理

【解析】【解答】•:BD平分ZABC,AB=BC,BE=AC=2

BE±AC,AE=EC=-AC=1

2

•••BC=y/BE2+EC2=V22+l2=V5

•••点F为BC的中点

•••EF=-BC=FC=—

22

•••△CEF的周长为：

炳娓「

CE+EF+FC=l+—+—=yJ5+l

故答案为：C.

【分析】由题意得到BE是ZWC的平分线，再由等腰三角形的性质得到BELAC,AE=EC=\AC=

1,由勾股定理得到BC的长度，然后由直角三角形斜边上的中线性质得到EF的长度，最后利用三角形

的周长公式计算即可。

10.【答案】D

【考点】动点问题的函数图象

【解析】【解答】解：当点P在AD上，点Q在8D上时，AP=t,DQ=2t,

则PD=l-t,

过点P作PE1BD,

ZADB=60

PE=与(1一t),BD=2,,

BQ=2-2tf

•1."BQ的面积S=”Q-PE=会2一屈+f(o<t<i),为开口向上的二次函数;

当t=1时，点P与点D重合，点Q与点B重合，此时△PBQ的面积5=0；

当点P在8D上，点Q在8C上时，=2-2«-1)=4-2t,BQ=t-1,

过点P作PF1BC,

则”=sin60。=夜，即PF=—BP=2V3-V3t,

PB22

△PBQ的面积S=^BQ・PF=曰(-t2+3t-2),为开口向下的二次函数；

故答案为：D.

【分析】结合运动状态分段讨论：当点P在AD上，点Q在BD上时，AP=t,DQ=2t,过点P作PE垂直

BD,通过解直角三角形求出PE,表示出面积的函数表达式；当点P在BD上，点Q在BC上时，BP=2-2(t-l)

=4-2t,BQ=t-l,过点P作PF垂直BC,通过解直角三角形求出PE,表示出面积的函数表达式，利用二次函

数的性质即可得出结论。

二、填空题

11.【答案】x<2

【考点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：依题意得2-x>0

解得x<2.

故答案为：x<2.

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。

12.【答案】2(x-I)2

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】解：2x2-4x+2=2(x2-2x+l)=2(x-I)2,

故答案为：2(%-.

【分析】先提取公因式2,在利用完全平方公式因式分解即可。

13.【答案】1

【考点】概率公式

【解析】【解答】解：抽出卡片上写的数是V3的概率为|,

故答案为：|.

【分析】利用概率公式求解即可。

14.【答案】一］

【考点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】••・关于x的一元二次方程3/-2x—k=0有两个相等的实数根,

A=(-2)2-4x3x(-/c)=4+12k=0,

解得k=.

故答案为：一1.

【分析】利用一元二次方程根的判别式列出等式求解即可。

15•【答案】翳=子

【考点】列分式方程

【解析】【解答】解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为(x+10)元，

依题意得：示「丁，

故答案为：骂=必

x+10x

【分析】设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为(x+10)元，根据“用300元购买八种奖品的数

量与用240元购买8种奖品的数量相同"列出方程即可。

16.【答案】|

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：：ZABC=ZADC,

7

tan/4DC_tan/4BC--,

——2

故答案为：I.

【分析】根据原周角的性质可得4BC=々DC，再利用正切的定义求解即可。

17.【答案】；

4

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，圆-动点问题

【解析】【解答】解：连接CD,并延长交x轴于点P,如图，

CP±AB,即NADP=90°

又乙AOB=90°

ZAPD=ZABO

,,,A(2,0),B(0,1)

AO=2,OB=1

AB=y/AO2+BO2=Vl2+22=V5

•••AD=-AB=—

22

APDOB1

又tanA=—=—

ADOA2

.nn1g1y[sVs

・・PD=-i4D=-x—=—

2224

•<•PC=PD+CD/+白3遍

4P=\)PD2+AD2

sa

・•.OP=AO-AP=2--=-

44

过点C作CF_Lx轴于点F

./ACC•CFAO2

s\n^APD=sxn^ABO=—=—=-j=

PCABV5

•1-PF=VPC2一CF2=J(¥)2一(|)2=:

333

・•.OF=OP^rPF=-+-==-

442

・・•点c的坐标为(I，I)

•・・点C在反比例函数y=：(x>0)的图象上

.339

・•fc=-X-=—,

224

故答案为：

4

【分析】连接CD,并延长交x轴于点P,分别求出PD,PO,CD和PC的长，过点C作CF垂直x轴于点F,

求出PF,CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论。

18.【答案】①③④

【考点】正方形的性质，四边形的综合

【解析】【解答】解：①•••四边形ABCD是正方形，

ZA=NB=ZBCD=ZD=90。由折叠可知：

ZGEP=NBCD=90°,ZF=N。=90

ZBEP+NAEG=90°,

■：Z4=90°

ZAEG+NAGE=90°,

ZBEP=NAGE,

•••ZFGQ=NAGE,

ZBEP=NFGQ,

'：Z8=NF=90,

J.APBE~4QFG,

故①说法符合题意，符合题意；

②过点C作CMJ_EG于M,

BC

由折叠可得:NGEC=Z.DCE,

,/ABWCD,

ZBEC=NDCE,ZBEC=NGEC,

在^BEC和^MEC中，

•・,ZB=ZEMC=90。，ZBEC=NGEC,CE=CE

△BEU△MEC(AAS)

CB=CM,SABEC二SAMBC,

CG=CG,

RtACMG^RtACDG(HL),

5ACMG=S&CDG,

5ACFG=5ABEC+S&CDG>S^BEC+5四边形CDQH

・・•②说法不符合题意，不符合题意；

③由折叠可得:NGEC=NDCE,

ABWCD,

ZBEC=NDCE,

ZBEC=NGEC,即EC平分NBEG

，③说法符合题意，符合题意；

④连接DH,MH,HE,如图：

•:&BEU△MEC,△CMG^△CDG,

ZBCE=NMCE,ZMCG=ZDCG,

ZECG=NECM+NGCM=-ZBCD=45°,

2

•/EC±HP,

・•.ZCHP=45°,

GHQ=4CHP=45°,

由折叠可得:NEHP"CHP=45°,

/.EHA.CG

：.EG2-EH2=GH2

由折叠可知:EH=CH

EG2-CH2=GH2,

CM±EG,EH±CG,

ZEMC=AE心90°,

・,.E,M,H,C四点共圆，

・•.ZHMC=ZH£C=45°,

在^CMH和4COH中，

CM=CD,ZMCG=ZDCG,CH=CH

「.△CM附△CDH(SAS)

ZCDH=ZCMH=45°,

•「ZCD/4=90°,

ZGDH=45°

ZGHQ=ZCHP=45°,

ZGHQ=4GDH=45°,

ZHGQ=NDGH,

/.△GHQ~△GDH,

.GQ_GH

-GH~GD'

・•.GH2=GQGD

/.GE2-CH2=GQGD

故④说法符合题意，符合题意；

综上可得，正确的结论有:①③④

故答案为：①③④.

【分析】①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C作CM_LEG于M,在

△BECMEC^p,得出△BE8△MEC,SACEG=SABEC+SACDG>SA8EC+S四边彩CDQH,得出;

③由折叠可得:NGEC=NDCE,得出乙BEC=Z.GEC,即EC平分NBEG；④连接OH,MH,HE

在4CMH^ClACDH中，得出△CM冶ACDHo

三、解答题

19.【答案】解：言+Q+落)

6a,a+3,2Q—3、

j-()

=a2-9-----%+3------a+3)

6aa+3

---------------------X-------

—6a+3)(a-3)3a

2

=a-3

a=2sin300+3

=2x^+3

2

=4

当a=4时，原式一三一2

【考点】利用分式运算化简求值

【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。

20.【答案】(1)60

(2)解：90。；补全条形统计图如下：

学生参加竞赛项目的条形统计图

(3)解：列出表格如下:

小华小光小艳小萍

小华小华，小光小华，小艳小华，小萍

小光小华，小光小光，小艳小光，小萍

小艳小华，小艳小光，小艳小萍，小艳

小萍小华，小萍小光，小萍小萍，小艳

共有12种情况，其中恰好小华和小艳的有2种，

，P(恰好小华和小艳)=；

O

【考点】扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法

【解析】【解答］解：(1)9-15%=60；

(2)B项目的总人数为60-9-24-12=15人，

，"8项目"所对应的扇形圆心角的度数为占x360°=90°,

60

【分析】(1)利用A的人数除以所对应的百分数即可求出总人数；

(2)用总人数减去A、C、D的人数即可求出B的人数，再补全条形统计图即可;

(3)利用列表法求出所有情况，再利用概率公式求解即可。

21.【答案】(1)解：设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，

根据题意可得：CXI螳5，

解得Ct，

答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元

(2)解：设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册(40-a)本，根据题意可得:

35a+25(40-a)<1100,

解得aW10,

•••最多能购买手绘纪念册10本

【考点】一元一次不等式的应用，二元一次方程组的实际应用-销售问题

【解析】【分析】(1)设每本手绘纪念册X元，每本图片纪念册y元，根据"购买1本手绘纪念册和4本

图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元"，列出二元一次方程组求解

即可；

(2)设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册(40-a)本，根据"购买手绘纪念册和图片纪念册共40

本，总费用不超过1100元”列出不等式求解即可。

22.【答案】(1)解：根据题意得：CD=8X15=120(m),

在RSCDA中，ZACD=90°,ZADC=60",

tan60°=—,

CD

AC=120Xy=60V3(m),

答：无人机的高度AC=60V3m

(2)解：根据题意得：DE=8X50=400(m),

则CE=DE+CD=520(m),

过点B作BF±CE于点F,

CDFE

~«o7p

AB

则四边形ABFC为矩形，

・'.AB=FC,BF=AC=60>/3m,

在RtABFE中，ZBFE=90°,ZBEF=37",

tan37°=—=0.75,

EF

：.EF=—=138.4«138(m),

0.75

/.AB=FC=CE-EF=520-138=382(m),

答：AB的长度为382m.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】(1)利用正切函数即可求出AC的长；

(2)过点B作BF垂直CD于点F,则四边形ABFC是矩形，得到BF=AC=60gm，再利用解直角三角

形求解即可。

23.【答案】(1)解:由题意可得,y=100-2(x-60)=-2x+220

(2)解：由题意可得，

(-2X+220)(x-40)=2400,

解得，xx=70,x2=80,

A当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元.

答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元

(3)解：设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得

w=(-2X+220)(x-40)=-2x2+300x-8800,

当丫=一白=75时，w有最大值，最大值为2450,

2a

.••当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元.

答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元.

【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题，二次函数的实际应用-销售问题

【解析】【分析】(1)根据每个星期的销售利润=每件利润x销售的件数列方程求解即可;

(2)根据销售利润为2400元列出关于x的一元二次方程求解即可；

(3)利用配方法可求出抛物线的最大值以及此时自变量的取值。

24.【答案】(1)证明：连接OE,

D

OE=OA,

•••ZOEA=ZOAE=ZBAC,

*/BF=EF,

・•・NBEF=NB,

・•・NBEF+ZOEA=NB+ZBAC=90

即OE1EF,

E厂是O0的切线

(2)解:连接DE、OF,

•/。。=9,AC=4,

二•O0的半径为5,

・•・AD=10

AD为直径，

•••ZDEA=90",

・••ZDEA=ZACB,

ZDAE=ZBAC,

△ADEABC,

.AE_DE_AD

…AC~BC~AB'

,/AC=4,AE=8,

.ADr

..一=2，

AB

・「AD=10,

AB=5,

BC=y/AB2-AC2=3，

设BF的长为x,则EF=BF=x,CF=x-3,

在Rt^OCF中，。/2=oc2+c/2=(x-3)2+81,

在心△OEF中，OF2=OE2+EF2=x2+25,

(x-3)2+81=/+25,

解得x=哼.

o

【考点】切线的判定，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】(1)连接OE,求出OE〃BF推出4E0=90°,即可证明EF是。。的切线;

(2)连接DE、OF,先证明△ADEsAABC,再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。

25.【答案】(1)解：如图，延长PE,交CD于点Q,

D

由题意，将线段EB绕点E顺时针旋转|a,

・・・NBEP=60°

,:a=120°

・・・NB=60°

**•EQ“BC

.:四边形ABCD是平行四边形

・•・AD“BC

:.EQ“AD

・・・四边形AEQD是平行四边形

vDE平分NADC

NADE=NCDE

vAB“CD

・•・NAED=/EDC

・•・ZADE=ZAED

AE=AD

・・・四边形AEQD是菱形

••・AE=EQ

•・・NAED=NBEP=60°

・•.LAEQ是等边三角形

・•・AE=AQ,ZAQE=60°

vAB“CD

・・・NCQE=NAEQ=60°

・・・NAQC=ZAQE+ZEQC=120°,ZAEP=120°

•:EQ11ADtAD“BC,BE〃CQ

・・・四边形BCQE是平行四边形

CQ=BE

•:PE=BE

:.PE=CQ

在和LACQ中

AE=AQ

{ZAEP=ZAQC

PE=CQ

APE=△ACQ

・•・AP=AC

(2)解：连接FC,过F作FMJ.BC交CB的延长线于点M

•­•a=90°

•••四边形ABCD是矩形，/FEB=45°

,:BF1EP

：・ZFBE=45°,FB=FE,

ZFBC=NFBE+/ABC=135°,

ZFEA=1800-ZBEF=135°

•••DE平分/ADC

•••ZADE=-ZADC=45°

2

vZAED=ZPEB=45°

:.AE-AD

•・•四边形ABCD是矩形

・•・AD=BC

AE=BC

在△AFE和△CFB中

AE=BC

{ZAEF=NCBF

EF=BF

・•・△AFE=△CBF

••・AF=FC

设力D=a,AB=btAF=c

则BE=AB-AE=AB-AD=b-a

FM1BC

NFBM=45

：

•MF=MB=sin/FBMxFB=­2FB

BF=smZFEBxEB=­BE

2

•••MF=MB=^BE=^(b-a)

在Rt△FMC中

FC2=FM2+MC2

即c2=(-)2+(—+a)2

222

整理得：c=|(a+b)

AF2=^(AD2+AB2)

(3)解:如图

由(1)可知ZkAPE三△4CQ

1

•:BE^-AB

-2

・•・PE=BE=AE

•・•DE平分ZADC

・•・ZADE=NCDE

vABi/CD

：•ZAED=/EDC

••・ZADE=ZAED

・•・AE=AD

:.PE=AD

・•・四边形APED是平行四边形

SMPE=SMOE

vAE“CD

AEGCDG

EG_AE

GDCD

■■■AE=BE=-AB=-CD

22

*'CD=2

-EG-=_一1

GD2

SMDE=3SAAEG

S&CGD=4sAAGE

^^APE'-^ACDC=3:4

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，四边形的综合

【解析】【分析】(1)延长PE,交CD于点Q,根据已知条件证明A/IPE三AACQ即可；

(2)连接FC,过F作FM1BC交C8的延长线于点M,由AAFE三ACBF,得出4F=

FC,在RtAFMC由三边关系利用勾股定理可得；

(3)证明AAEGs^CDG,得出凝，S-DE=3S-EG，5ACCD=4ShAGE,得出

CDG面积的比值.