2022-2023学年湖南省湘西州高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年湖南省湘西州高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝32．（5分）已知为不共线的非零向量，，，，则（）A．A，B，C三点共线 B．A，B、D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线3．（5分）湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件E＝“只去甲草原”，事件F＝“至少去一个草原”，事件G＝“至多去一个草原”，事件H＝“不去甲草原”，事件Ⅰ＝“一个草原也不去”．下列命题正确的是（）A．E与G是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C．F与G是互斥事件 D．G与Ⅰ是互斥事件4．（5分）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若，的夹角与，的夹角相等，则t＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．65．（5分）已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列四个命题正确的有（）①α∥β，a⊂α⇒a∥β；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③a⊥b，a⊥α⇒b∥α；④a⊥α，α∥β，b∥β⇒a⊥b．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（）A．该圆锥的体积为3π B．该圆锥的侧面积为 C． D．△PAC的面积为27．（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为2，方差为3.1 B．中位数为3，方差为1.6 C．中位数为3，众数为2 D．平均数为3，中位数为28．（5分）如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为△ABC），图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上，如果要沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（）A． B． C．3 D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知i是虚数单位，若，则（）A．复数z的虚部为﹣2 B．复数z对应的点在第二象限 C．|z﹣2i|＝25 D．复数z是关于x的方程x2+6x+13＝0的一个根（多选）10．（5分）在某次数学测试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某道多项选择题的正确答案是ABC，且某同学不会做该题（该同学至少选一项且可能全选），下列结论正确的是（）A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是 B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是 C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是 D．该同学随机选择选项，能得分的概率是（多选）11．（5分）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积3cm2 B．与的夹角60° C．该圆台的体积为cm3 D．沿着该圆台侧面，从点C到AD中点的最短距离为5cm（多选）12．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝3OC＝3，点E在弧上．（）A． B．若，则u＝1 C．若∠DOE＝30°，则 D．的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）i+i2+i3+⋯+i2023＝．（i为虚数单位）14．（5分）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有人．15．（5分）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的取值范围是．16．（5分）近期，贵州榕江“村超”火爆全网，引起足球发烧友、旅游爱好者、社会名流等的广泛关注．足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥A﹣BCD如图所示，顶点A在底面的射影落在△BCD内，它的体积为，其中△BCD和△ABC都是边长为6的正三角形，则该“鞠”的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设平面内三点A（3，﹣4），B（2，﹣3），C（4，1）．（1）求；（2）设向量与的夹角为θ，求cosθ．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求A；（2）若a＝6，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．（12分）某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、几何题，每题均可获得30分，答对组合题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）．根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，，a，假设解答这三题结果彼此独立，已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为X，求：（1）已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率；（2）已知a＝，若总分X不低于50分才能获奖，求小明获奖的概率．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．（1）设G、H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（2）求证：PA⊥平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的余弦值．21．（12分）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组[20，25），第二组[25，30），第三组[30，35），第四组[35，40），第五组[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．22．（12分）若函数f（x）满足f（x）＝f（x+）且f（+x）＝f（﹣x）（x∈R），则称函数f（x）为“M函数”．（1）试判断f（x）＝sinx是否为“M函数”，并说明理由；（2）函数f（x）为“M函数”，且当x∈[，π]时，f（x）＝sinx，求y＝f（x）的解析式，并写出在[0，]上的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，当x∈[，+π]（k∈N）时，关于x的方程f（x）＝a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S（k），求S（3）．

2022-2023学年湖南省湘西州高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣1，b＝3，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．2．（5分）已知为不共线的非零向量，，，，则（）A．A，B，C三点共线 B．A，B、D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可．【解答】解：∵，，∴不存在λ，使＝λ，故A，B，C三点不共线，故选项A错误；∵＝+＝+5，∴＝，∴A，B、D三点共线，故选项B正确；∵，，∴不存在λ，使＝λ，故B，C，D三点不共线，故选项C错误；∵＝+＝﹣+13，，∴不存在λ，使＝λ，故A，D，C三点不共线，故选项D错误；故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件E＝“只去甲草原”，事件F＝“至少去一个草原”，事件G＝“至多去一个草原”，事件H＝“不去甲草原”，事件Ⅰ＝“一个草原也不去”．下列命题正确的是（）A．E与G是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C．F与G是互斥事件 D．G与Ⅰ是互斥事件【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，即可判断．【解答】解：对于A，事件E，G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；对于C，事件F与G有可能同时发生，即都包括去其中一个草原，不是互斥事件，故C错误；对于D，事件G与I有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：B．【点评】本题考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．4．（5分）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若，的夹角与，的夹角相等，则t＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6【分析】化简＝+t＝（3+t，4），可得＝，从而求得．【解答】解：∵＝（3，4），＝（1，0），∴＝+t＝（3+t，4），∵，的夹角与，的夹角相等，∴＝，即＝，解得t＝5，故选：C．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算及数量积的应用，属于基础题．5．（5分）已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列四个命题正确的有（）①α∥β，a⊂α⇒a∥β；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③a⊥b，a⊥α⇒b∥α；④a⊥α，α∥β，b∥β⇒a⊥b．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据空间中直线、平面的位置关系，逐一判断即可得解．【解答】解：对①，∵α∥β，a⊂α，∴a∥β，∴①正确；对②，∵α∥β，m⊂α，n⊂β，∴m∥n或m与n异面，∴②错误；对③，∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b⊂α，∴③错误；对④，∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，又b∥β，∴a⊥b，∴④正确．故选：B．【点评】本题考查空间中直线、平面的位置关系，考查空间想象力，逻辑推理，属基础题．6．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（）A．该圆锥的体积为3π B．该圆锥的侧面积为 C． D．△PAC的面积为2【分析】根据题意，由圆锥的结构特征依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，圆锥的顶点为P，且∠APB＝120°，PA＝2，所以∠APO＝60°，则圆锥的高OP＝1，母线OA＝OB＝，对于A，圆锥的体积V＝Sh＝，A错误；对于B，圆锥的侧面积S＝，B错误；对于C，设D是AC的中点，连接OD，PD，则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P﹣AC﹣O的平面角，则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，故，则，C错误；对于D，，所以，D正确．故选：D．【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及二面角的定义和圆锥的体积、表面积计算，属于基础题．7．（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为2，方差为3.1 B．中位数为3，方差为1.6 C．中位数为3，众数为2 D．平均数为3，中位数为2【分析】根据题意，利用特例法可判断ACD；结合平均数和方差的计算公式，可判断B正确，由此能求出结果．【解答】解：对于选项A，若平均数为2，则方差，平均数为2，方差为3.1，所以一定没有出现点数6，故选项A正确；对于选项B，当投掷骰子出现的结果为3，3，3，5，6时，满足中位数为3，方差为：，此时出现点数为6，故选项B错误；对于选项C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故选项C错误；对于选项D，当投掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故选项D错误．故选：A．【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为△ABC），图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上，如果要沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（）A． B． C．3 D．【分析】利用S△ADE＝S△ABC可以得到AD•AE＝8，再利用余弦定理和基本不等式求解即可．【解答】解：∵S△ADE＝S△ABC，∴＝．解得：AD•AE＝8．在△ADE中用余弦定理得到：cosA＝＝．整理得到：AD2+AE2＝8+DE2，即DE2≥8，当且仅当AD＝AE＝2时取得等号．故DE的最小值为2．故选：A．【点评】本题主要考查基本不等式和余弦定理，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知i是虚数单位，若，则（）A．复数z的虚部为﹣2 B．复数z对应的点在第二象限 C．|z﹣2i|＝25 D．复数z是关于x的方程x2+6x+13＝0的一个根【分析】利用复数的运算性质，共轭复数的定义，模的运算公式对各个选项逐个化简即可判断求解．【解答】解：由题意可得，z＝＝＝，复数z的虚部为﹣2，故A正确；z对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限，故B错误；|z﹣2i|＝|﹣3﹣4i|＝5，故C错误；将z＝﹣3﹣2i代入方程x2+6x+13＝0是成立的，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．（多选）10．（5分）在某次数学测试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某道多项选择题的正确答案是ABC，且某同学不会做该题（该同学至少选一项且可能全选），下列结论正确的是（）A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是 B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是 C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是 D．该同学随机选择选项，能得分的概率是【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项．【解答】解：该同学随机选一个选项，其所有的基本事件为A，B，C，D，共4个；随机选两个选项，其所有的基本事件为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个；随机选三个选项，其所有的基本事件为ABC，ABD，ACD，BCD，共4个；随机选四个选项，其所有的基本事件为ABCD，共1个．于是根据古典概型的概率计算公式可得：仅随机选一个选项，能得分的概率是，故A错误；随机至少选择二个选项，能得分的概率是＝，故B正确；仅随机选三个选项，能得分的概率是，故C正确；随机选择选项，能得分的概率是＝，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查相互独立事件，属于基础题．（多选）11．（5分）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积3cm2 B．与的夹角60° C．该圆台的体积为cm3 D．沿着该圆台侧面，从点C到AD中点的最短距离为5cm【分析】利用圆台的轴截面的面积，侧面展开图求解表面最短距离，圆台的体积，异面直线所成角，判断选项的正误即可．【解答】解：对于A，圆台高为，∴圆台轴截面ABCD面积为，即圆台轴截面ABCD面积3cm2，故A正确；对于B，由已知及题图知，且，∴∠ADC＝60°，与的夹角60°，故B正确；对于C，圆台的体积，该圆台的体积为πcm3，故C错误；对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD，且E为AD中点，而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD，且OC＝4，C，∴在Rt△COE中，，即C到AD中点的最短距离为5cm，即沿着该圆台侧面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查圆台的相关计算，几何体的体积的求法，表面距离的求解，是中档题．（多选）12．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝3OC＝3，点E在弧上．（）A． B．若，则u＝1 C．若∠DOE＝30°，则 D．的最小值为【分析】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；C选项通过【解答】解：，A错误；由知，E为弧CD的中点，又∠AOB＝120°，由平行四边形法则可知则，故u＝1，B正确．由∠DOE＝30°知，，设，则解得故，C正确．＝＝，当且仅当∠BOE＝60°时，等号成立，故的最小值为，D正确．故选：BCD．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）i+i2+i3+⋯+i2023＝﹣1．（i为虚数单位）【分析】根据i的周期化简求值即可．【解答】解：∵i1＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，即i的周期为4，所以原式＝505（i﹣1﹣i+1）+i﹣1﹣i＝505×0﹣1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的化简求值，属于基础题．14．（5分）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有6720人．【分析】求出在随机抽取的50人中持反对态度的频率，进而求出结果．【解答】解：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，则持反对态度的频率为，所以可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有．故答案为：6720．【点评】本题考查简单随机抽样，考查学生的计算能力，属于基础题．．15．（5分）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的取值范围是[3，4）．【分析】利用余弦函数的周期，结合函数的零点个数，列出不等式求解即可．【解答】解：因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f（x）＝cosωx﹣1＝0，则cosωx＝1有4个根，令t＝ωx，则cost＝1有4个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cost的图像性质可得6π≤2ωπ＜8π，解得3≤ω＜4．故答案为：[3，4）．【点评】本题考查了三角函数的周期应用问题，以及函数零点的应用问题，是基础题．16．（5分）近期，贵州榕江“村超”火爆全网，引起足球发烧友、旅游爱好者、社会名流等的广泛关注．足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥A﹣BCD如图所示，顶点A在底面的射影落在△BCD内，它的体积为，其中△BCD和△ABC都是边长为6的正三角形，则该“鞠”的表面积为52π．【分析】取BC的中点E，连接DE，AE，设△BCD和△ABC的中心分别为H、F，过H、F分别作平面BCD与平面ABC的垂线交于点O，即球心为O，再结合三棱锥的体积公式以及勾股定理求解即可．【解答】解：如图，取BC的中点E，连接DE，AE，设△BCD和△ABC的中心分别为H、F，过H、F分别作平面BCD与平面ABC的垂线交于点O，即球心为O，设“鞠”的半径为R，连接OE，因为BC⊥DE，BC⊥AE，所以BC⊥平面AED，则VA﹣BCD＝VB﹣AED+VC﹣AED＝，即：，又BC＝6，，所以，即∠AED＝60°，易知OE为∠AED的角平分线，所以∠OEH＝30°，在Rt△OEH中，因为，则OH＝EH•tan30°＝1，在Rt△OCH中，，所以该“鞠”的表面积为4πR2＝4π×13＝52π．故答案为：52π．【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设平面内三点A（3，﹣4），B（2，﹣3），C（4，1）．（1）求；（2）设向量与的夹角为θ，求cosθ．【分析】（1）根据已知条件，结合平面向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：（1）A（3，﹣4），B（2，﹣3），C（4，1），则，，则，故＝；（2），，则，，，故．【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求A；（2）若a＝6，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简已知等式可得，由辅助角公式可得，进而可得A的值；（2）由三角形面积公式及余弦定理可求得b+c＝12，进而可得△ABC的周长．【解答】解：（1）由及正弦定理得：因为sinB＝sin（π﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，所以sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0．由于sinC≠0，∴，所以，又0＜A＜π，故．（2）由题得△ABC的面积，故bc＝36①，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，又a＝6，故b2+c2＝72②，由①②得：b+c＝12，所以△ABC的周长为a+b+c＝18．【点评】本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19．（12分）某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、几何题，每题均可获得30分，答对组合题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）．根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，，a，假设解答这三题结果彼此独立，已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为X，求：（1）已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率；（2）已知a＝，若总分X不低于50分才能获奖，求小明获奖的概率．【分析】（1）小明三道题都答对概率为，求出，由此能求出恰能解决三道题中的一道题的概率；（2）若三道题均答对，则X＝100，若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，则X＝60，若代数几何均答对，但组合未答对，则X＝50，分别求出相应的概率，由此能求出总分X不低于50分的概率．【解答】解：（1）小明三道题都答对概率为，故，恰能解决三道题中的一道题的概率：．（2）若三道题均答对，则X＝100，，若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，则X＝60，，若代数几何均答对，但组合未答对，则X＝50，，∴．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．（1）设G、H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（2）求证：PA⊥平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的余弦值．【分析】（1）利用线线平乖可证GH∥平面PAD；（2）利用已知可证DN⊥PA，PA⊥CD，可证PA⊥平面PCD；（3）可得∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．进而求解即可．【解答】解：（1）连接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH，又由BG＝PG，故GH∥PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD．（2）取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又因为PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD．（3）连接AN，由（2）中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以，所以，又DN⊥AN，所以AD＝3．在Rt△AND中，所以直线AD与平面PAC所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，属中档题．21．（12分）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组[20，25），第二组[25，30），第三组[30，35），第四组[35，40），第五组[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．【分析】（1）根据平均数的计算公式即可求解；（2）根据古典概型的概率计算公式即可求解概率，由方差的计算即可求解方差．【解答】解：（1）设这m人的平均年龄为，则（岁）；（2）（i）由频率分布直方图可知各组的频率之比为2：7：5：4：2，第四组应抽取人，记为A，B，C，甲，第五组抽取人，记为D，乙，对应的样本空间为Ω＝{（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，甲）（C，乙），（C，D），（甲，乙