空间向量求空间角（提升）（解析版）-2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）

7.5空间向量求空间角(提升)

一、单选题

1.(2021福建高三月考)已知AABC与△ACD所在的平面互相垂直，AC=25,AB=AD=20,CB=CD=15,

则直线与8c所成的角的余弦值为()

.7,7八24c12

A.—B.—C.—D.—

24252525

【答案】D

【解析】因为AC2=AC>2+cr)2=AB2+BC2，所以与"8为全等的直角三角形，

过点8作801AC,垂足为0,连接。。，所以DOLAC.

因为平面ABC_L平面AC。，所以80,平面AC。，故以。为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系，

可得4(0,—16,0),8(0,0,12),C(0,9,0),0(12,0,0),

UUU1L1LB1

则AO=(12/6,0),BC=(O,9,-12),

一/疗

所以c°s(，^=V122+1166rx.>9/92+122=2106Xx195=2125-

故选:D.

2.(2021•双峰县第一中学高三开学考试)如图，在正方体ABCO-AMG。中，材为AA中点，过AG且

与C0平行的平面交平面GCM于直线1,则直线1与4目所成角的余弦值是()

9

V6+V2

rVy•-----------D.见

43

【答案】D

【解析】如图建、,£空间直角坐标系，在正方体A8CQ—ABCR中，AB"D、C,RC（Z平面人。声，A^u平

面AGB,所以"C〃平面AQB,延长BA与CM相交于点N,连接&N,则GN即为直线/,设正方体的

棱长为1,则A（1,O,O）,B（1,1,O）,C,（0,1,1）,N（l,—1,2）,所以丽=（0,1,0）,QN=（1,-2,1）,设AB与GN

所成角为6,则cos®=竺^==乎

*卜1lxV63

故选：D

3.（2021•江西高三月考（理））已知E、尸、0分别是正方形438边8C、AO及对角线AC的中点，将

三角形4c。沿着AC进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线石尸与平面80。所成角的余弦值的取值

范围为（）

。由

A.B.

D.H)

【答案】A

【解析】如图所示:

设正方形的边长为2,则OA=O5=O£）=&,OA1OB,OA1OD,

设NBOD=a,万），直线EF与平面300所成的角为。，。€（0,9,

以｛。4。反。4为一组基底，

贝）I诙=丽_9=3（砺+而）-g（55+Q与）=OW_go£f+g0z5,

1----21---*2----■----■1..I

所以|研=+—OB+—OD-0A-OB+0A.-OD——OB-OD=V3-coscr,

442

则而=反-砺=-2砺，所以|同=4的=2&,

所以

所以smin限”国国同画_折产新e

所以cos0=V1-sin20

故选：A

4.（2021•浙江）如图，己知圆柱。。-A在圆。上，A0=\,OO、=叵,P、2在圆。1上，且满足PQ=2叵,

则直线AQ与平面。尸。所成角的正弦值的取值范围是（）

瓜-33+瓜

B.

6'6

D.[0,1]

【答案】A

【解析】取P。中点〃，则QM_LP。，以点O1为坐标原点，为x轴，。01为z轴建立如下图所示的

空间直角坐标系,

则o(o,o,一夜)、p-与，-冬0、Q

丽/一空一半㈤，而=,乎,手㈤

I33JI33)

设平面。尸。的法向量为/=(x,y,z),

in-OP=-x-y+夜z=0

则〈：：,取x=G则产0,z=l,则碗=（收0,1）,

fh•OQ=——x+y+V2z=0

设A（cos。,sin。,-0）,直线4。的方向向量为Z=a/=（cose,sine,-&）,

I/??-wl|GcosO-0||\/6-3cosq\3+V6

所以直线A01与平面OPQ所成角的正弦值为+吊----------1

rrH2+6

故选：A.

5.（2021•全国高三专题练习（理））如图，正方体ABCO-ARCQ的棱长为6,点尸是棱AA的中点，

4C与切的交点为0,点"在棱回上，且8M=2MC,动点7（不同于点就在四边形4题内部及其边界

上运动，且7MJ_OF,则直线4F与4/所成角的余弦值为（）

VioA/5

A.RU•-------D

4—4-T

【答案】B

【解析】法一：易知BDLAC.

因为AF_L平面/18G9,所以AFJ.3Z）,所以BO_L平面/I/口,

又。Fu平面"2所以8OJ.OF,

在棱比1上取一点此旦DN=2NC,连接阳/,则NM〃况），所以NMLOF,所以动点71的轨迹为线段

（不包括的.

取棱CG的中点"连接力/,易知。”〃尸4，则N7/D8即异面直线与产与取所成的角.连接R/,因为

DH—+32=3^/5,BD=65/2♦BH=3^5，

DH2+BD2-BH2Vio

所以cos/”£W=

2DHxBD"I-

法二：以力为坐标原点，直线AQ，A8，M分别为X,八z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

易知丹(0,6,6),F(0,0,3),M(4,6,0),0(3,3,0),设丁(x，y，0),则加=(4-x,6-y,0)，47=(0,-6，-3)，

—>

。产=(-3,-3,3)・

由题意知质.oA=_3(4_x)_3(6_y)=0，得y=10—x,

所以鼠=（4-x,x-4,（）），则cos/^F,™\=--------6Q4,

（''）\/V36+9X7（4-X）24-（X-4）2

又T不与点"重合，所以X-4W0,所以卜os卜丁，加卜半，

所以直线8/与加所成角的余弦值为回，

5

故选：B.

6.（2021•全国）如图，在正方体ABCD-AfCR中，。是AC中点，点尸在线段AC上，若直线OP与

平面ABG所成的角为。，则sin。的取值范围是（）.

\_1\_l_

A.B.C.D.

3,24,3

【答案】A

如图，设正方体棱长为1,笠■=4(04241),则率=2而,

【解析】

以。为原点，分别以ZM,DC,所在直线为X,y,z轴建立空间直角坐标系.

则A(1,0,0),C(0,1,0),0(；,；,0),故而=衣=(一1,1,0),即=(_4%()),又4(1,0,1),则p(l—儿41),

所以而=

在正方体ABC。-ABCR中，可知体对角线4。，平面ABG,

所以函=(1,1,1)是平面48£的一个法向量,

所以sin夕=jcos^OP,)=

所以当;l=2时，sin。取得最大值迫，当a=。或1时，sin。取得最小值也.

233

所以sin。e

故选：A.

7.(2021•内蒙古乌兰察布•高三(理))四棱锥尸-力版中，PD=DA=AB=5CD,AB//CD,4ADC=90",

PD工平面A8CD,M为PC中点"平面4W交加于0,则C。与处所成角的余弦值为()

A百R夕「而n屈

372142

【答案】D

【解析】以。CQAOP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，设8=2,

则C(2,0,0),A(O,1,O),mo,l),3(1,1,0),M为PC中点，则

PB=(1,1,-1),设AQ=/IP豆=(4九一2),DQ=bP+PQ=(A,A,1-A),

——1—

DM=(1,0,-),DA=(0,1,0),

因为Qe平面ADM,即。0与万店，丽共面，

所以存在实数P，4,使得。。=2。麻+4丽,

A=P

所以<2=4，解得〃=4=4="|，OQ=(g'g‘；J，

________<4211

CQ=CD+DQ=y--,-y-\,又P/i=(0,1,-1),

2_1

cos<丽，方>=篙驾742

画网万•

所以&与为所成角的余弦值为这.

42

故选：D.

8.（2021•陕西西安市•西安中学高三（理））已知三棱柱ABC-A4G的侧棱与底面边长都相等，BC的

中点为。，底面ABC,则异面直线A8与C£所成角的余弦值为（)

Bc/

4-T4

【答案】D

【解析】设三棱柱ABC-AB©的棱长为2,

VAB=AC,。为BC的中点，则AD_LBC,

•.•A。，平面ABC,以点。为坐标原点，DB、AD,所在直线分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系,

则点A（0,-6,0）、8（1,0,0）、A（o,。」），

所以丽=（1,60）,cq=M=（o,V3,i）,cos〈福西〉喘向

3

因此，异面直线A3与CG所成角的余弦值为

4

故选：D.

9.（2021•陕西宝鸡•高三（理））已知圆锥的顶点为P,高和底面的半径之比为&:1，设A3是底面的

一条直径，C为底面圆周上一点，且NB4C=J,则异面直线所与4c所成的角为（）

A.三B一C.三D.乌

36412

【答案】A

【解析】设圆锥底面圆的圆心为。，设圆锥的底面圆的半径为1,以圆锥底面圆的圆心。为原点，AB.0P

所在直线分别为）‘、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则A(O,TO)、8(0,1,0)、C与;,0、P(0,0,拒),

PB=（0,l,-V2）,AC=哼,■|，o），

3

所以，cos<PB.AC>=/彳=_2厂=2_,

|PB|.|AC|V3XV32

■.0«PB,AC><^,所以，<Pg,AC>=（,

因此，异面直线依与AC所成的角为

故选：A.

10.（2021•浙江高三期末）三棱锥O-ABC中，ZAC£>=2ZACB=120°,CD=2BC,则异面直线AC与

8。所成的角可能是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【解析】设CD=2BC=2，〃.

^C-BD=AC-（BC+CD）=|Xc|-|BC|cos600+|^c|-|CD|cos600=|m|AC|,

由于ZACB+ZACD=180°,将侧面ACD沿AC展开到平面ABC,

则三点5、C、。共线，

又此三棱锥可看成将丛。沿直线AC翻折而成的，

故不难可得>/3w<|BD|<3m.

设异面直线AC与83所成的角为e,

ACBD

则COS0=,即e«30°,60。）.

AC^BD―2即

故选：B.

二、多选题

11.(2021•深圳市龙岗区平冈中学)已知正方体中，点E为棱。Q的中点，点P是线段G。

上的动点，例=2,则下列选项正确的是()

A.直线AP与8建是异面直线

B.点P到平面AE片的距离是一个常数

C.过点C作平面的垂线，与平面A8£。交于点。，若印=3序,则QeAP

D.若面CDRG内有一点Q,它到C。距离与到C内的距离相等，则。轨迹为一条直线

【答案】ABC

【解析】对于选项A,如图，APu平面ABC。，qEc平面ABCQ=BI,

故直线”与B卢不平行，且与任AP,

故直线AP与ME不相交，所以直线”与8也是异面直线，故选项A正确：

对于选项B,在正方体中，C.D//AB,,因为AB,u平面AEB-6。0平面4£用，

所以G。〃平面4EA，乂PeC、D,故点尸到平面AEA的距离是一个常数，故选项B正确；

对于选项C,以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则4(2,0,0),5,(2,2,2),£(0,0,1),C(0,2,0),

所以福=(0,2,2),通=(-2,0,1),

因为CQ=3Cf,则P(0,£G),所以初=(-《令，

,_4444

设存在QwAP,设AQ=九4?=㈤，则。(一22+，

___44

故CQ=(—22+2,—2—2,—2),

因为CQL平面AEd，

44

・砾=0(-2-2)x2+-Zx2=0

所以即，解得

-AE=04

g(-22+2)x(-2)+-2=0

则Q（g，U）,满足条件，故选项C正确:

对于选项D,因为平面CDRG，乂Q£u平面CDRG，

所以GB,LQG，即QG为点。到G4的距离，

根据抛物线的定义可知，。的轨迹为抛物线的一部分，故选项D错误.

12.（2021•广东广州市•高三月考）已知直三棱柱A8C-A与G中，AB±BC,AB=BC=BBt,。为A（

的中点.点尸满足丽=人普'，其中/Lw[0,l],则（）

A.对V2e[0,l]时，都有AP_LO与

B.当;l=g时，直线4尸与A8所成的角是30°

C.当时，直线Af与平面AEG所成的角的正切值手

D.当4时，直线A/与。耳相交于一点。，则黑=：

2上?乙

【答案】ACD

【解析】以BABCBBI为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设舫=1,

其中A(1,0,1),06,；,£|罟(0,0,1),8(0,0,0),G(0,1,1),

因为丽=九属，所以「((MM),

A.因为AP=(-L/U-l)QR='g,-g,g)，AAoA.=

所以*1.函，所以故正确;

B.当4=；时,邛=卜,；,-|),而=(-1,0,0),所以辰s<AP，AB>卜

所以直线AP与AB所成的角不是303故错误;

c.当人;时，取平面ABC的一个法向量为7=(0,0,1),

,1

工一旦

所以gs<A户,百>卜设直线\P与平面ABC所成的角为氏

i~(了6

叵,所以tan6=正，故正确;

65

I).当人=；时，如图所示，P为四。中点，。为4。中点，连接OP,

1PQOP1

所以。尸〃4片,。「=彳4及，所以房=7v=w，故正确;

故选：ACD.

13.(2021•广东广州•高三)已知正方体40-的棱长为4,珏'是棱48上的一条线段，且昂,=1,

点。是棱44的中点，点P是棱G以上的动点，则下面结论中正确的是()

A.国与原一定不垂直

B.二面角尸-用-0的正弦值是巫

10

C.△必F的面积是2夜

D.点尸到平面Q£7"'的距离是定值

【答案】BCD

【解析】对于A,当产与点R重合时，PQyEF,故选项A错误;

对于B,由于点尸是棱GR上的动点，E尸是棱AB上的一条线段，所以平面庄户即平面ABGR,

建立如图所示的空间直角坐标系，则Q(2,0,4),A(4,0,0),8(4,4,0),

所以质=(2,0-4),/=(0,4,0)，平面QEF即平面QAB,

-n-QA=0f2x-4z=0

设平面QA8的法向量为门=汽yz)，则—，即，八，

Si[n.AB=014y=0

令z=l,则；=(2,0,1)，

同理可求得平面A8£R的法向量为[二化。,]),设二面角尸―E尸-。为。，

—>—>

fIm-nI2+13M

所以Icos61=1cos<in,n>|=———

正x6-10

Mn\

故sin0=JI-cos。0=Jl，故选项B正确;

对于C,由于ABJ_平面B5CG,又8Gu平面网CG，

所以AB_LBG，所以8G_LEF,所以BQ是AP£F的高，

所以S.F=；-EF•BQ=gx]x4及=2近，故选项C正确：

对于D,由于CQ〃EF,且CQ<t平面QEF,E/u平面QEF,所以GR〃平面QEF,

又点P在GR上，所以点尸到平面QE尸的距离为常量，故选项D正确.

故选：BCD.

14.（2021•重庆垫江第五中学校高三月考）在正方体A8CO-ABCQ中，E为。。的中点，F在棱CQ上,

下列判断正确的是（）

A.若勺尸//平面A8E,则尸为GA的中点

B.平面AOGg_L平面ABE

C.异面直线A8与CE所成角的余弦值为:

D.若45=1,则9-K瓶=[

【答案】ABD

【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为2,

所以A（0,0,2）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,£＞（0,2,0）,E（0,2,l）,耳（2,0,2）,F（x,2,2）（xe[0,2]）

对于A选项,所以AB=（2,0,-2）,AE=（0,2,-1），B,F=（x-2,2,0）

设*=（百,*,zJ是平面ABE的法向量，

则图：咆;J—则MM”

所以而：=2（x-2）+2=0，解得x=l，此时尸为CQ的中点，故A选项正确：

对于B选项，设蔡=5,％，Z）是平面ACGq的法向量，

由于4）=（0,2,0），AB1=（2,0,2），则，诋庆_0,即（；=一，令z?=1得加=（-1,0,1）,由于"=（2,1,2）

所以：匕=0，所以平面AOG用±平面\BE，故B选项正确;

/CEA.B-6_-3而

对于C选项，工8=（2,0,-2）,&=（-2,0,1），所以COS'A8,C£）=2丘乂百一^~，所以异面

宜线AB4CE所成角的余弦值为噜，故c选项借误；

对于D选项，若45=1,则匕,”.=匕,叱=93仪仪1=3，故D选项正确.

故选：ABD

15.（2021•湖北武汉•）在正方体ABCO-AgGA中，点M在线段BQ上运动，则下列说法正确的是（）

A.直线8。1平面做C

B.直线G”与平面ACQ所成角的正弦值的最大值为亚

3

TTTT

c.异面直线4V与A。所成角的取值范围是了5

D.三棱锥4G。的体积为定值

【答案】ABD

【解析】分别以加、DC、DD、为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示,

对于A：设边长为1,则A(l,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),£>(0,0,0),A(1,0,1),及(1,1,1),G(0,1,1)必0,0,1),

所以西=(一1,一1,1),福=(0,1,1),AC=(-1,1,0),

[西.丽=07+1=0

因为

[BD^-AC=l-l+0=0

所以西_1_福，两，/，即8。_LAA，BR_LAC,

又A4，ACu平面AB',

所以直线BRJ_平面AB,C,故A正确;

对于B：因为点M在线段8(上运动，

所以设点用"D，me[0[]>则C|A/=,

因为AB】//C124C//A。，

所以平面AB、c//平面AG。

所以平面A4c的法向量BD、=(-1,-1,1),也为平面4G。的法向量,

7T

设直线GM与平面4G。所成角为0,-

-1________1

所以sin夕=gos<BD],C}M>|=

dm~+(〃?-1)~,\/3^3-\/2m2-2/n+l

因为机令y=2"5-2加+1=2「％-g)+g

所以当机=；时，y的最小值为

1_V6

此时sin。的最大值为cJ.=3,故B正确;

对于C：AM=（w-l,l,/n）,i4ID=（-l,0,-l）,设异面直线凰f与A。所成角为a'a《（。仁

所以cosa=AMA^D

|阿丽yJ(m-1)2+1+m2->J2\lm2-m+\\/m2-m+\

因为机所以当m=g时，cosa=0,

因为62二（m一万），

所以cosae（0,g,

1「江；T

综上cosae0,-,所以aey,-,故C错误；

对于D：因为用C//AQ,点"在线段80上运动，

所以点M到直线4。的距离不变，即^DM的面积不变,

又因为点G到平面AQCq的距离恒为;8G,

所以点C到平面的距离不变，即三棱锥的高不变，

所以三棱锥4G。的体积为定值，故D正确，

故选:ABD

16.（2021•江苏高三开学考试）若将正方形ABCQ沿对角线8。折成直二面角，则（）

A.AC与8。所成的角为90°

B.A3与BC所成的角为45。

C.BC与平面AC。所成角的正弦值为直

2

D.平面43c与平面88所成角的正切值是正

【答案】AD

［解析】由题意，取8D中点。，连接A。，CO,若将正方形ABCD沿对角线即折成直二面角，则。4_L,

OCVBD,OA±OC,则以。为原点，OC所在直线为x轴，。。所在直线为丫轴，04所在直线为z轴，建

立如图所示的空间直角坐标系.设OC=1,则A（O,O,1）,5（0,-1,0）,C（l,0,0）,0（0,1,0）.

由题意易得衣=（LO,-1）,而=（0,2,0）,因为衣•丽=1X0+0X2+（-1）X0=0,所以月CJ_8。，则选项A

正确；

通=（0,1,-1）,前=（1,1,0）,所以cos（而，一）［渴］篇所以4）与8C所成的角为60。，

则选项B错误；

设平面A8的一个法向量为三（“）则q瓶;二，取z=l,则x=y=L所以？=（山），且

品=(1,1,0),设BC与平面ACD所成的角为所以sinO=M（画汴氤।二号4则选项

C错误;

由题意易知平面BCD的一个法向量7=（0,0,1）,丽=（0,1,1）,配=（1,1,0）,设平面ABC的一个法向量为

.RJX—v*Iz'-0111

「八，取x'=l,则y'=-l,z'=l,所以加=（1,-1,1）,设平面ABC与平面

88所成的角为a,贝ijcosc=|8s（而，。卜,二产,=*•,所以sina=Y5，tana=>/^，所以平面ABC与平

1'"，矶〃33

面88所成角的正切值正，则选项D正确.

故选：AD.

17.（2021•广东珠海•高三）如图，三棱锥尸-ABC中，B4_L平面ABC,AB=2,BC=26，AC=4,

A到平面P8C的距离为拽，则（）

A.PA=4

B.三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为32万

C.直线AB与直线PC所成角的余弦值为当

D.AB与平面PBC所成角的正弦值为平

【答案】ABD

【解析】因为AB=2,8c=26，AC=4,

所以AB2+8C2=AC2,即AB_LBC,

又因为R4_L平面ABC,

所以PA_LA8,PA，8C,设AP=a,

根据等体积法^P-ABC=^A-PBC即fX2X26x（7=-x-X2丛x>/«2+4X生5,

32325

解得a=4,所以AP=a=4,故A选项正确；

所以三棱锥P-ABC的外接球的半径与以BC,BA,AP为邻边的长方体的外接球的半径相等,

所以三棱锥P-ABC的外接球的半径为2夜，

所以三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为32万，故B选项正确：

过点B作孙的平行线BO,则平面A3C,

所以以点B为坐标原点，8C,BA,B。所在边分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则8（0,0,0）,C（2&,0,0）,A（0,2,0）,P（0,2,4）,

所以A%=（0,-2,0）,尸2=（26,-2,T），

AB-PC4_y/2

所以cos(AB,PC

—>—>2x4五一4

ABPC

所以直线AB与直线PC所成角的余弦值为正，故C选项错误;

4

因为口2=（26,0,0），命=（0,2,4），

设平面P8C的法向量为m=（x,y,z），

m-BP=0x=0,—>—>

则_,即y=-2z，》z=l，所以〃7=(0,-2,l)，由于AB=(O,-2,O)

m-BC=0

故设AB与平面PBC所成角为6,

426

则sin0=

2x^5-5

所以AB与平面P8C所成角的正弦值为半,故D选项正确;

故选:ABD

18.（2021•广东西关外国语学校高三月考）如图，在正方体力腼-45G〃中，点一在线段6c上运动,

则（)

A.直线初_L平面

B.三棱锥P-4G〃的体积为定值

C.异面直线4尸与4〃所成角的取值范用是[45°,90°]

D.直线0/与平面4G〃所成角的正弦值的最大值为亚

3

【答案】ABD

【解析】解：在A中，,••4GL54,AC工BB、,

，4C_L平面做"，做，同理，DC\，BD\,

,.•4&C〃G=G,.*.直线初J•平面4G4故A正确；

在6中，•:A\D"BC44=平面4G〃，为人平面4G9,

〃平面AyCyD,

•.•点。在线段8c上运动，.•.夕到平面4G〃的距离为定值，

又的面积是定值，，三棱锥尸-4G。的体积为定值，故B正确；

在C中，异面直线力〃与4〃所成角的取值范用是[60°,90°],故C错误；

在D中，以〃为原点，的为x轴，芯为y轴，如为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体4及力-4844中棱长为1,P(a,1,a),

则〃(0,0,0),4(1,0,1),G(0,1,1),雨=(1,0,1),DC'=(0,1,1),可=(a,0,a

-1),

设平面4G〃的法向量”=(x,y,z),

n-DA^=x+z=0

取x=l,得1),

n-DC,=y+z=0

.•.直线G-与平面4G〃所成角的正弦值为:

,一11

\^Pn\1_=-i7

|QP||n|yja2+(a-l)2石.,2(4-'

.•.当a=；时，直线与平面44〃所成角的正弦值的最大值为亚，故D正确.

23

故选：ABD.

19.(2021•江苏高三开学考试)如图，直三棱柱ABC-A£G中，AC=BC=1M=2,。是棱A4的

中点，OG_LBQ.则().

B.三棱锥Q-BCG的体积为:

A.直线QG与8c所成角为90°

C.二面角A的大小为60。1).直三棱柱ABC-ABIG外接球的表面积为6万

【答案】AB1)

【解析】对于A：在/△为「中，AD=AO\,得/力游45°.

同理：N44G=45°,所以NC〃G=90°,所以。G，OC

又DCJBD,且。。八8。=£>,

所以。所以。G，8C,即直线£>G与BC所成角为90。，故A正确;

对于B：由ABC-44G为直三棱柱，得CG^ABC,所以CG^BC,由A的证明可知。G，BC,可得

BCLCDC”所以％餐=匕田（3x品3x2xxx1‘"B，-E’

对于C：由A、B证明过程可知：C£_LA8C且45L5C,可以以C坐标原点，瓦为x轴正方向，连为y

轴正方向，％为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则

C(O,0,0),A(l,0,0),8(0,1,0),G(0,0,2),A(1,0,2),4(0,1,2),仇1,0,1),所以

ft4；=(O,O,l),DB=(-l,l,-l),Dq=(-1,0,1)

设平面A|BD的一个法向量〃]=(X],y|,zJ,则有n]±04,,n,1.DB

即卜=°,、，不妨设%=1,则有1=(1,1,0).

E+y_Z|=o

同理可求平面G8。的一个法向量a=(1,2,1).

设二面角A-BO-G的平面角为。，显然。为锐角，所以

lxl+lx2+0xlTT

COS0=1COS(H],">1=1•"吐.|=2所以6=9,故c错误;

22r222

'"|勺冈〃21Vi+i+oxVi+2+i2O

对于D：由A、B证明过程可知：CG^ABC且ABL8C,可以把直三棱柱A8C-AB|G扩充成长方体，只需

求长方体的外接球表面积即可.

在长方体中，设外接球的半径为几则2R=JAC，+BC：+CC：=JF+F+2?=灰

所以S=4万代=6万，故D正确.

故选:ABD

三、解答题

20.（2021•福建南平市•高三月考）如图，在四棱锥尸-/IBC。中，底面ABCO为矩形，APL^ABCD,

AB=AP,点E,尸分别为BP,C尸的中点.

（1）证明：8P_L平面

（2）若AQ=2AB=4,求平面AEF与平面AFP所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

5

【解析】（1）证明：因为/W=AP,E是8P中点，所以

因为平面ABC£>,BCu平面ABCD,所以APL8c.

又8CJLA5,APHAB=A,AP,PAu平面RW,所以8C_L平面R48,

而3Pu平面R4B，从而BCLBP.

因为点E，尸分别为8P，CP的中点，所以EF//BC,从而EFLBP.

又AEcEF=E,AE,EFu平面AEF.所以BP_L平面AE凡

（2）解：分别以通，AD，丽的方向为％,九z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系A-AYZ,

则A(O,O,O),8(2,0,0),C(2,4,0),P(0,0,2),E(l,0,l),尸(1,2,1),

-___ULU

AE=(1,0,1),AF=(1,2,1),AP=(0,0,2)

设平面AEF的法向量为机=（%,%,Z］）,

m-AE=x.+z,=0,*

11

则《—令N=l,得/H=(1,。-1).

m-AF=x,4-2y+Z1=0,

设平面A即的法向量为7=（々,必,Z2）,

n-AF=x+2y2+z=0,

则〈22令为=7，得〃=(2,-1,0).

n-AP=2Z2=0,

m-n2V10

所以cos(m,ri)=

|m||n|y/2xy/5

所以平面AEF与平面AFP所成锐二面角的余弦值为反

5

21.（2021•陕西咸阳市•高三月考（理））如图所示，在四棱锥P-MCD中，24_L底面ABC。，ABLAD,

AB//DC,AD=£>C=AP=2AB=2,点/为棱PC的中点.

（2）若点尸为棱PC上一点，且8尸_LAC,求二面角尸—舫—P的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）题.

10

【解析】（1）证明：：PAL底面ABC。，AB1AD.

.••以［为原点，AB为x轴，A。为y轴，4P为z轴，建立空间直角坐标系如图所示,

由题意得:40,0,0),8(1,0,0),P(0,0⑵,C(2,2,0),由1,1意,0(0,2,0),

AB£=(0,1,1),DC=(2,0,0),

，丽•反=0，即8£_LZ）C.

(2)VBC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),通=(1,0,0),由点尸在棱PC上,设内

2CP=(-22,-22,22),(砌1),

：.BF=BC+CF=(1-2A,2-2A,2A),

♦；BF1AC,：.BF-AC=2(l-22)+2(2-2/l)=0,

解得：石,丽

4\2227

设平面的法向量为4=(x，y,z),则

AB=x=0

,一113，不妨令z=l,可得用=(。,-3,1)为平面E4B的一个法向量，取平面尸的一

居•BF=——x+—y+—z=0

1222

个法向量质=(。，1，0)，

nil__%•凡33M

则8s5">=间网=一加二一丁’

易知，：面角尸-AB-尸是锐角，所以其余弦值为迹.

10

22.（2021•广东珠海市•高三月考）如图，在四棱锥P-438中，侧棱PD_L底面A8C3,底面43C。为

长方形，且叨=6=1,E是PC的中点，作EFLPB交PB于点、F.

（1）证明：尸8_1_平面£）所；

（2）若三棱锥A-%户的体积为:，求二面角O-BP-C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

5

【解析】(1)证明：•.•即_1_底面488,3£>u平面ABC,.•.POL8C,

由于底面ABCD为长方形，.,.CO_LBC,而PDcCZ)=O,

.•.BC_L平面PC。，

•.•DEu平面PC。，:.DELBC,

-.PD=CD,E为PC的中点，:.DE1PC,

QPCIBC=C,平面PBC,

:.DE工PB,又EF1.PB,DECEF=E,

.•.尸3_1平面。瓦\

(2)由题意易知D4,DCOP两两垂直，以。为坐标原点，建立如图空间直角坐标系

D-xyz,可得£>(0,0,0),尸(0,0,1),C(0,l,0),

设8C=f，则有匕.BW>=Vp-ASD=§X5XfX1X1=§,：.f=2

.•.B(2,l,0),.-.BD=(-2,-1,0),BP=(-2,-1,1),>

.___f—2x—y=0

设平面的法向量〃=(x,y,z),由［.丽=0，n^BP=0，贝叫"八

\-o2x-y+z=0

令x=l,贝iJy=-2,z=0,

.・.月=(1,-2,0)-

由(1)£>E_L平面P3C,

.•・潴为平面阳C的法向量，诙=(0,另)

设二面角。—8P-C为a,由图知二面角为锐角

糜万I|-i|Vio

则milCOSa=|因[同I=-5-------*---/4==_5

所以二面角D-BP-C的余弦值为叵.

5

23.（2021•重庆市第H-一中学校）如图，在四棱锥S-A5C。中，底面梯形ABCO中，AD//BC,平面S48_L

平面ABC。，ASAB是等边三角形，已知AC=2AB=4,BC=2AD=2CD=2后,M是线段SO上一点.

（1）求证：平面SABJ_平面M4C；

（2）已知三棱锥S-ABC体积为三棱锥S-M4C体积的