期中数学考前提醒

老师给你提个醒

即将迈进考场时，对于以下问题，

你是否有清醒的认识？

1.集合中的元素具有无序性和互异性。

如集合｛。，2｝隐含条件"2,

集合｛xI(x—l)(x-Q)=。｝不能直接化成

｛1,。｝o

2.研究集合问题，一定要抓住集合中的

代表元素，如：｛xiyTgH与｛yiyTgH及

｛(%,刈户3｝三集合并不表示同一集合;

再如："设A=｛直线｝,B=｛圆｝，问A

GB中元素有几个？能回答是一个，

两个或没有吗？”与"A=｛(x,y)|x+

2y=3｝,B=｛(x,y)|x2+y2=2｝,

AAB中元素有几个？”有无区别？

过关题：设集合M=*iy=x+3｝,集合N

=^y\y=x2+l,xeM）,则=

（答：口+⑹）

3.进行集合的交、并、补运算时，不要

忘了集合本身和空集的特殊情况，不

要忘了借助于数轴和韦恩图进行求

解；若AnB=。，则说明集合A和集合

B没公共元素，你注意到两种极端情

况了吗？A=0或八°；对于含有〃个

元素的有限集合M,其子集、真子集、

和非空真子集的个数分别是2〃、2n-l

和2〃-2,你知道吗？你会用补集法求

解吗？

A是B的子集=AqBoAUB=B=AG

B=A,若A=你可要注意A的情况。

过关题：已知集合人={-1,2},B={x|m

x+1=0},若AGB=B,则所有实数m

组成的集合为.

4.求不等式（方程）的解集，或求定义

域时，你按要求写成集合或区间的形

式了吗？

5.求一个函数的解析式，你注明了该函

数的定义域了吗？

6.犯种命题是指原命题、逆命题、否命

题和逆否命题，它们之间有哪三种关

系？只有互为逆否的命题同真假！命

题的否定和否命题不一样，差别在哪

呢？充分条件、必要条件和充要条件

的概念记住了吗？如何判断？反证法

证题的三部曲你还记得吗？假设、推

矛、得果。

原命题：P=>0逆命题：9二夕；否命

题：7ng;逆否命题：2=万；互为逆否的

两个命题是等价的.如：“升"5”是

“叱2或"3”的条件。（答：充分

非必要条件）

7.绝对值的几何意义是什么？不等式

\ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)的解法掌握

了吗？

过关题：|x+x-l|<a的解集

非空，则a的取值范围是

x-恒成立,

则a的取值范围是O

2

8.如何利用二次函数求最值？注意对X

项的系数进行讨论了吃?

若(〃-2)12+2(〃-2)x-1<0恒成立，你对

0—2二0的情况进行讨论了吗？

右改为一次不等式(〃-2)犬+2(a-2)x-1<0恒

成立，情况又怎么样呢?

9.(1)二次函数的三种形式：一般式、

交点式、和顶点式,你了解各自的

特点吗？

(2)二次函数与二次方程及一元二次

不等式之间的关系你清楚吗？你能

相互转化吗？

(3)方程有解问题，你会求解吗？处

理的方法有几种？

过关题：不等式ax2+bx+2>0

的解集为,则a+b

*

过关题：方程2x2-X+a-1=0

在［-1,1］上有实数解，则a的取值

曷

特别提醒：二次方程ax2+bx+c=0的两根

即为不等式ax2+bx+C>0(<0)解集的端

点值，也是二次函数y=ax2+bx+c的图

象与X轴的交点的横坐标。

对二次函数y=ax2+bx+c,你了解系数。也c

对图象开口方向、在,轴上的截距、

对称轴等的影响吗？

对函数y二］g(-2QX+i)若定义域为R,则

2以+1的判别式小于零；若值域为

R,则/-2ax+1的判别式大于或等于

零，你了解其道理吗？

例如：y=lg（x」+l）的值域为9

y二lg（x,-1）的值域为9

你有点体会吗？

10.求函数的单调区间，你考虑函数的定

2

义域了吗？如求函数y=log2（x-2x-3）的单

调增区间？再如已知函数）“=喀（/一2欧-1）

在区间⑵3］上单调增，你会求。的范

吗？

若函数y=x2-2ax+2的单调增区间为

［2,+00）,则a的范是什么?

若函数y=x2-lax+2在［2,+oo）上单调递

增，则。的范围是什么？

两题结果为什么不一样呢？

11.函数单调性的证明方法是什么？（定

义法）判定和证明是两回事呀！判断

方法：图象法等。还记得函数单调性

与奇偶性逆用的例子吗？（⑴比较大

小；⑵解不等式；⑶求参数的范O）

如已知JW=5sinx+x3,xe(-l,l),

2

/(l-rz)+/(l-«)<0,求Q的范o

求函数单调性时，易错误地在多个单

调区间之间添加符号“U”和“或”；

单调区间是区间不能用集合或不等式

12.判断函数的奇偶性时，注意到定义域

特点了吗？（定义域关于原点对称这

个函数具有奇偶性的必要非充分条

件）。

过关题：f（x）=ax?+bx+3a+

b是偶函数，其定义域为[a-1,2a],

贝lja=,b=o

13.常见函数的图象作法你掌握了吗？

哪三种图象变换法？（平移、对称、伸

缩变换）

函数的图象不可能关于不轴对称，（为

什么？)如：y2=4x是函数吗？

函数图象与x轴的垂线至多一个公共

点，但与>轴的垂线的公共点可能没有，

也可能任意个。

图象关于y轴对称的函数是偶函数，图

象关于原点对称的函数是奇函数，反函

数两图象关于直线y=x对称

过关题：函数y=f(X-1)+2的图

象可以由函数y=f(x)的图象经过怎

样的变换得到？

过关题：已知函数y=f(x)(aWxWb),

则集合{(x,y)|y二f

(x),aWxWb}Cl{(x,y)|x二0}

中，含有元素的个数为个

14.由函数股/⑴图象怎么得到函数

y=〃-x)的图象？由函数尸/⑴图象怎么

得到函数y=-fM的图象？由函数y=/(%)

图象怎么得到函数y=-"T)的图象？

由函数y=/(x)图象怎么得到函数y=

的图象？

15.函数y=x+*＞。)的图象及单调区间掌

握了吗？血何利用它求函数的最值？

与利用基本不等式求最值的联系是什

么？若kVO呢？你知道函数

了二公+白(a＞0,b＞。)的单调区间吗？

求函数的最值，一般要指出取得最值

时相应的自变量的值。

16.(1)切记：研究函数性质注意一定在

该函数的定义域内进行！一般是先求

定义域，后化简，再研究性质。

过关题：尸1吗(3+2”的单调递增区间是

2

(答(1,2))o

已知函数f(x)=log3x+2,xG[1,

9],则函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)

的最大值为O求解中你注意

到函数g(X)的定义域吗？

(2)抽象函数在填空题中，你会用特殊

函数去验证吗？

过关题：已知〃%)是定义在R上的奇函

数，且为周期函数，若它的最小正周期

为T,贝U/(-夕=(答：0)

几类常见的抽象函数：

①正比例函数型：f(x)=kx(k手0)

f(x+y)=f(x)+f(y)•

②塞函数型：fW=x-

--------------/(肛)=/。)/(丁)，二

③指数函数型：/。)=优

④对数函数型：/(x)=logax

一一一〃盯)=,/(1)=

17.解对数函数问题曲注意到真数与底

数的限制条件了吗？指数、对数函数

的图象特征与性质明确了吗？对指数

函数产优，底数。与1的接近程度确

定了其图象与直线尸1接近程度；对数

函数广叫〃呢？你还记得对数恒等式

=N）和换底公式吗？

知道：=log«mN"吗？

指数式、对数式：。〜行，。工土,。。=1,

an

loga1=0,log6/a=1,Ig2+lg5=l9logex=\nx,

gaN

d=Nolog.N=b（a>0,awl,N>0）,a°=No

如（广8的值为（答：*）

18.你总结过常见的指数方程和对数方

程的类型及其解法吗？

19.求一个函数的反函数的步骤掌握了

吗？（（1）反解出x,（2）互换x,y,

（3）注明定义域）

20.反函数的性质你了解吗？奇函数若

存在反函数，反函数也是奇函数；偶函

数、周期函数没有反函数；函数尸f(x)

在［a,b］上单调，则f(x)在［a,b］

上一定存在反函数，且反函数与原函数

具有相同的单调性。

21.以下几个结论你记住了吗？

⑴如果函数/(%)满足/(x+。)=-于(x),

那么函数/⑴是周期函数，周期是

T=2a•

⑵如果函数函X)满足/(%-。)="%-6),那

么函数/⑴是周期函数，最小正周期

是T=l〃-6；

⑶如果函数/⑴的图象关于直线

元=。成轴对称，那么

于(a+x)=/(〃_x)的⑴=f(2a-x)o

(4)如果函数/⑴的图象关于点(。力)

成中心对称，那么

f(a+x)+f(a-x)=2b^f(x)+f(2a-x)=2b

22.重要不等式的指哪几个不等式？

若凡八0,（1）场心堂2疝24（当且

ah

仅当…时取等号）；（2）a、b、ceR,

a2+b2+c2>ab-\-bc-\-ca（当且仅当=c

时，取等号）；（3）若4”〉0,心0,则/智

（糖水的浓度问题）。

23.倒数法则还记得吗？（指

常用如下形式：a>b>0^>0<-<-,

Q/7（Xb

。小。=。〉2）用此求值域的注意点是什

么？

如求函数尸“的值域，求函数片20

的值域呢？

24.不等式证明的基本方法都掌握了

吗？（比较法、分析法、综合法、放缩

法、反证法）等号成立

的条件是什么？

25.利用重要不等式求函数的最值时，是

否注意到一正，二定，三等？

如：①函数广4%-9；（%>；）的最小

值o（答8）

②若若x+2y=l9则2r4,的最小值是

（答：272）•

③正数羽〉满足％+2y=l,贝畤+：的最小

人y

值为（答：3+2行）；

26.二元函数求最值的三种方法掌握了

吗？方法一：转化为一元问题，用消

元或换元的方法；方法二：利用基本

不等式；方法三：数形结合法，距离

型、截距型、斜率型）

过关题：若正数a,b满足ab=a+

b+3,则+b的取值范

是O（答：［9,+8））

基本变形：①a+b>

号）2，；

27.不等式解集的规范格式是什么？（一

般要写成区间或集合的形式），另外

“数轴标根法”解不等式的注意事项

是什么？将不等式整理成一边为零的

形式，将非零的那边因式分解，要求

每个因式中未知量工的最高次数项

的系数均为正值，求各因式的零点，

画轴，穿线，注意零点的重数，在写

解集时还得考虑解集中是否包含零

点。

如：解不等式（x+3）（x-l）3（x+2）2>0o（答：

或3或X=-2｝）；

28.解分式不等式黑>。叱。）应注意什么

问题？（在不能肯定分母正负的情况下,

一般不能去分母而是移项通分）

29.解含参数不等式怎样讨论？注意解

完之后要写上：“综上，原不等式的解集

是…”

解不等式罟〉x（"R）（综上，当”0时,

原不等式的解集是WX<。｝；

当。〉。时，原不等式的解集是｛皿弓或

x<0｝•

当〃<0时，原不等式的解集是｛七。<。｝或

x<0｝）

30.含有两个绝对值的不等式如何去绝

对值？（一般是根据定义分类讨论、平方

转化或换元转化）

31.解对数不等式应注意什么问题？（化

成同底，利用单调性，底数和真数都大

于零）

过关题：解关于x的不等式：

logj（x2—x—2）>log]Jx—1——o

452

32.不等式恒成立问题有哪几种处理方

式？（特别注意一次函数型和二次

函数型，还有恒成立理论)

过关题：对任意的a£[-L,1],函数

f(x)=x2+(a-4)x+4-2a

的值总大于0,则x的取值范

33.立体几何中平行、垂直关系证明思路

明确了吗？各种平行、垂直转换的条件

是什么？

①空间两直线:平行、相交、异面;判

定异面直线用定义或反证法

②直线与平面：a〃a、aCla=A(a.

a)、aua

34.⑴求线面角的关键是什么？(找直线

的射影)是什么?

过关题：在正方体ABCD-ABGD1

中，点P在线段AC上运动，异面直

线BP与AD1所成的角为9,则角0

的取值范是

两条异面直线所成的角、直线与平

面所成的角的取值范围依次是:

（。，§、呜］。

“作、证、算”三个步骤可一个都不能

少啊！

直线和平面所成的角：（1）范曷[0°,90°]•

（2）斜线与平面中所有直线所成角中最

小的角。：（3）求法：作垂线找射影或求

点线距离（向量法）；

如（1）正三棱锥、正四棱锥的性质,

你记得吗？它们的特征直角三角形，你

会应用吗？

（2）求点到面的距离的常规方法是什

么？（直接法、等体积法、换点法）

（3）求多面体体积的常规方法有哪

些？（直接法、等体积法、割补法）

35.平行六面体