决胜2021年高考数学真题与全真模拟卷 01新高考地区专用（解析版）

2021年新高考地区模拟考试

数学模拟卷（01）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（2020•海南高考真题）设集合A{2,3,5,1],B={1,2,3,5,8},则（）

A.{1,3,5,7}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{1,2,3,5,7,8}

【答案】C

【解析】因为A{2,3,5,7},3={1,2,3,5,8）,

所以Ap|3={2,3,5}

故选：C

2.（2020.北京高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,则i.z=（）.

A.1+2zB.-2+iC.1—2zD.-2—i

【答案】B

【解析】由题意得z=l+2i,.•.iz=i—2.

故选：B.

3.（2021•广东揭阳高三一模）在矩形ABC。中，AB=4，AD=3,M，N分别是AB，AD上的动

点，且满足2AM+AN=1,设/=xR0+y丽，则2x+3y的最小值为（）

A.48B.49C.50D.51

【答案】B

【解析】如图，建立平面直角坐标系，

则4（0,0）,8（4,0）,C（4,3）,D（0,3）.

设N（0,〃），因为2AM+4V=1,

所以2加+〃=1,0<m<—,0<n<l.

2

—,—,43

因为AC=xAM+yAN,所以x=—,y=一,

mn

所以2犬+3了=*+2=（*+2]（2m+"）=25+空+咽225+24=49.

mnymn）mn

当且仅当殳=史依，即〃2=2,〃=』时取等号.

mn17

故选:B.

4.（2020•天津高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm）,将所得数据分为9组:

[5.31,5.33）,[5.33,5.35）,•-[5.45,5.47）,[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零

件中，直径落在区间[5.43,5.47）内的个数为（）

A.10B.18C.20D.36

【答案】B

【解析】根据直方图，直径落在区间[5.43,5.47）之间的零件频率为：（6.25+5.00）x0.02=0.225.

则区间[5.43,5.47）内零件的个数为：80x0.225=18.

故选：B.

5.（2020•北京高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（1Day）.历史上，求圆周率》的

方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔・卡西的方法是：当正整数”充分大时，计算

单位圆的内接正6〃边形的周长和外切正6〃边形（各边均与圆相切的正6〃边形）的周长，将它们的算术平

均数作为2%的近似值.按照阿尔・卡西的方法，乃的近似值的表达式是（）.

[3030°、J.30。30。）

A.3〃sin——+tanB.onsin——+tan——

In〃>nn

"•60。60、」.60060°

C.3〃sin---+tun---D.6nsin---4-tan---

n〃7n〃；

【答案】A

360060°h々—0.30°

【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为----=----,每条边k为2sin----,

nx6nn

所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为12〃sin竺，

n

30°30°

单位圆的外切正6〃边形的每条边长为2tan——，其周长为12〃tan——，

nn

12〃sin亚+⑵tan迎

(30°

，2万=n=6〃sin---+tan

In

(.30°30°

贝ij7r=3n\sin---+tan

Inn

故选：A.

6.（2020•全国高考真题（理））已知向量拓a,5满足I的=5,|5|=6,万石=一6,则COS包商+5）

()

311719

A.C.—D.—

35413535

【答案】D

【解析】Tq=5,|同=6,a-b=-6>二+=忖+a-b=52-6=19.

\ct+.=+B)=+27B+B~=J25-2x6+36=7，

___a-(a+b]

1919

因此，cos<a,a+b>=F，尸一4

4•〃+〃5x735

故选：D.

7.（2020•天津高考真题）设双曲线C的方程为5-卷=1（。＞0力＞0）,过抛物线：/=4x的焦点和点（0,加

的直线为/.若。的一条渐近线与/平行,另一条渐近线与/垂直，则双曲线C的方程为（）

2

B«-A

A.—C.—-y2=lD.x2-y2=1

474.

【答案】D

【解析】由题可知，抛物线的焦点为（1,0）,所以直线/的方程为X+1=1,即直线的斜率为—。，

bhb

又双曲线的渐近线的方程为y=±±x,所以—〃=—2，-bx-=-l,因为。>0,b>0,解得a=l,O=l.

aaa

【解析】由函数的解析式可得：==-/（%）,则函数〃x）为奇函数，其图象关于坐标原点

对称，选项CD错误：

4

当x=l时1y=——=2>0,选项B错误.

1+1

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2020.海南高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续II天

复工复产指数折线图，卜列说法正确的是

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加；

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；

【答案】CD

【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第II复工

指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；

由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，

复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；

由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确；

山图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确；

10.（2021•江苏高三模拟）如图，在长方体A6CO-中，AB=4,BC=BB]=2,E、/分别为

棱AB、49的中点，则下列说法中正确的有（）

A.DBJCE

Q

B.三棱锥。-CE尸的体积为一

3

C.若P是棱上一点，且RP=1,则E、C、P、尸四点共面

D.平面CEF截该长方体所得的截面为五边形

【答案】BCD

【解析】连接。£,如图所示,

因为E为AB的中点，所以E8=8C=2,

所以CE=JBE2+B(J2=2行，同理OE=CE=20，又。C=4,

所以。£：2+EC2=0。2,即£>EJ_EC,

又因为。。J_底面48CDC£u底面A8C£>,

所以J.CE,

所以CEJ_平面DDtE,即CE_LRE,

又D]EcD[B=Di，即与不平行，

所以CE不垂直RB,故A错误；

1]Q

由等体积法可得：三棱锥D-CER的体积％513=§力><4><2><2=葭故B正确;

作出P，使。『=1,取CQ中点G,则P为。。中点，连接FP,CP,4G,

因为忆P分别为40,2G中点，

所以CA}G,

又AARG在ACBE,且AABC,D]GEB

所以A,GEC,所以">EC，

所以E、C、P、F四点共面，故C正确；

由选项Cuj■得E、C、P、尸四点共面，平面CE尸即为平面CEFP,

作EHCP，交于H,如图所示:

所以E、H、P、C在同一平面内，即H点在平面ECP内，

所以E、C、P、F、，在同一平面内，

所以平面CEE截该长方体所得的截面为五边形，故D正确.

故选：BCD

II.(2021.江苏高三模拟)已知小天是函数/O)=2sin"q}«y>0)的两个不同零点，且上一马|的

71

最小值是一，则下列说法中正确的有()

2

71TT

A.函数f(x)在0,-上是增函数B.函数F(x)的图象关于直线对称

_3J6

冗

C.函数/(X)的图象关于点(左,0)中心对称D.当xe-,7T时，函数/(X)的值域是

【答案】ABD

T兀24

【解析】由题意得：一=—，所以T=——=71,解得。=2,

22co

所以/(X)=2sin-,

TTTTTTJT77"

令2左万一］<2x~—<2k7r+—(kGZ),解得左〃一%Wx<kzr^-—(keZ),

TTTT

所以/(X)的单调增区间为k7T--,k7r+-(keZ),

63_

7171

令女=0得f(x)的一个增区间为「，不,

1T

所以函数/(X)在0,-上是增函数，故A正确;

rrrrK7TJT

令2x---=k"——(keZ),解得x=---1——(keZ),

6223

TT

令k=—l,得/J)的一条对称轴为x=-丁，故B正确；

6

jrkJTIKJTjrA

令2x一一二kKkeZ),解得X=^+—(AEZ),即对称中心为丁+启,0(ZEZ),

6212I212J

无论攵为何值，X均不等于〃，所以(万,0)不是/(幻的对称中心，故C错误；

TC1.八乃「5万114

当x£—、兀时，2x——G——,——,

_2J6L66

当2x—生=包时，/(x)=2sin(2x—f］的最大值为2sin第=1,

66I6

当2x-工=包时，/(x)=2sin(2x-的最小值为2sin—=-2,

62<6)2

71

所以当XG-,71时，函数/(X)的值域是［—2,1］,故D正确.

故选：ABD

12.(2021•辽宁高三模拟)在数列｛%｝中，4=2,对任意都有

aa+a+，+a100

n+n+ln+2,,„+k=(^,则下列说法正确的是()

A.当攵=1时，％。21=2

B.对任意的正整数A,恒有％+2=2

C.不存在人使得生=400

D.当左=2时，4+4---4()o=3002

【答案】AB

【解析】山+«„+1+«„+2+…+an+k=100,an+i+an+2+。川+…+4+川=100，两式相减得%=an+k+i.

故数列｛4｝的周期是丁=女+1.

A：当％=1时，周期是2,故%021=4=2,正确；

B：对任意的正整数氏，恒有为+2=4=2,正确;

C：当％=96时,%=4（）0,错误；

D：当左=2时，数列｛%｝的周期是3,因此

4+a,H--^q（）o=33（q+/+6）+4oo=33x100+2=3302,错误,

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2020•天津高考真题）在（尤+士］的展开式中，V的系数是_________.

Ix）

【答案】10

【解析】因为X+4的展开式的通项公式为（+i=G%5T4=。＞2'45'（r=0,1,2,3,4,5），令

\x7

5—3尸=2,解得r=1.

所以炉的系数为C；x2=10.

故答案为：10.

14.（2020•浙江高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列

就是二阶等差数列,数列］eN*）的前3项和是.

【答案】10

心+1).1Q/

【解析】因为4=—―,所以q=1,%=3,%=6.

即S3=4+%+/=1+3+6=10.

故答案为：1（）.

15.（2019•全国高考真题（理））设6，K为椭圆C：2-+2L=1的两个焦点，M为。上一点且在第一

3620

象限.若△用£鸟为等腰三角形，则M的坐标为.

【答案】（3,后）

【解析】由已知可得。2=36,/=20,；“2=储一/=16,...。=4,

，|“浦=忻司=20=8..」叫|=4.

设点M的坐标为（x°,%）（毛>0,%>0）,则工岫&=g•恒用•%=4）。，

22

又S8Mg=^X4XV8-2=4V15,A4>'o=4715,解得%=后，

.片।（后）_1,解得豌=3（%=一3舍去），

"3620

.•.M的坐标为（3,屈）.

16.（2020•江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底

面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是一cm.

【答案】12>/3--

2

【解析】正六棱柱体积为6x^x2?*2=12出

4

圆柱体积为万d）22=M

22

所求几何体体积为126-工

2

故答案为：---

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（2020•天津高考真题）已知｛4,｝为等差数列，｛〃,｝为等比数列，

q=瓦=1,4=5（%—%）也=4（勿一白）•

（I）求｛q｝和也｝的通项公式；

（II）记｛叫的前〃项和为S“，求证：SB,.<S"（〃eN*）；

(")"为奇数，

(III)对任意的正整数"，设％=，4%+2求数列匕｝的前2〃项和.

如，〃为偶数.

1%

4"6n+54

【答案】(I)a=n,b=2,,_|；(11)证明见解析:

nn2〃+1-9x4"-5

【解析】(I)设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列｛包｝的公比为q.

由％=1,a5=5(«4-£/,),可得d=l.

从而｛4｝的通项公式为4=〃.

由4=1，仇=4(仇一仇)，

又存0,可得/-44+4=0,解得q=2,

从而也｝的通项公式为勿=2"1

(II)证明：由(I)可得S.=吆詈，

故S4+2=；心+1)(〃+2)(〃+3),S3=；(〃+炉(〃+2『，

,1

从而S„Sn+2-S；,+i=--(n+1)(〃+2)<0,

所以S£+2<S>

，(34-2应(3〃-2)2“T2"+,

(IH)当〃为奇数时，cn=-----------=------=-------------,

4q+2〃(〃+2)〃+2n

a.n-\

当〃为偶数时，％=六n=3-,

"n+1，

nn(Z24—2、22〃

对任意的正整数小有7^一7一二7一7~7-1-

念-£(2%+12k-\)2«+1

ee2i1352〃—32〃—1

和二％=*卞-a+不+不+…①

k=\k=\一

]〃1352〃-32n-\

由①得痣。2*卞+不+不+…+②

-4--"------1----4---"--7

122

-----1------+••-------

4424"

4

…八4")12/1-122112n-l156〃+5

由于---------------------——-----X-----------------------------X——-----------------------

144"1334"44"4123x4,,+l

1----

4

Q56题+5

从而得：一行

2nnn4〃6〃+54

因此，XQ=+£c2k=-~--

k=l*=1*TNn+19x4"9

所以，数列%的前2〃项和为二——士工—二.

i)2〃+19x4"9

18.(2020•北京高考真题)在AABC中，a+b^ll,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已

知，求：

(I)。的值：

(IDsinC和AABC的面积.

条件①：c=7,cosA=—,；

7

19

条件②：cosA=-,cosB=—.

816

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】选择条件①(I)8(H)sinC=^.S=6百；

2

选择条件②(I)6(II)sinC=—,5=应2

44

【解析】选择条件①(I)vc=7,cosA=--,a+b^\\

7

Va2^b2+c2-2bccosA:,a2=(11-a)2+72-2(1l-a)-7-(-；)

.•.a=8

(II)cosA=--,Ae(0,7i)sinA=Vl-cos2A=

77

ac87.「6

由正弦定理得：sinAsinC4>/3sinC2

~1~

S=-^sinC=-(ll-8)x8x^=6V3

222

_1Q

选择条件②(I)vcosA=—,cosB=—，A5c(0,1)

816

..RA

?.sinA=vl-cosA=3-V--7-,sinB=vl-cos**B=-5-v-7-

816

aba________\_\_—_a«___________

由正弦定理得：sinAsinB3币5币

(II)sinC=sin(A+8)=sinAcosB+sin8cosA=-x—+—x-=—

8161684

S」asinC」(ll-6)x6xZl^

2244

19.（2020・天津高考真题）如图，在三棱柱ABC—AUG中，CG，平面ABC,AC_LBC,AC=BC=2,

CG=3,点。，E分别在棱A4和棱CG上，且AD=1CE=2,"为棱的中点.

（I）求证：GM_LBQ；

（ID求二面角8—gE—。的正弦值；

（III）求直线AB与平面。与E所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（H）画；（HI）巨

63

【解析】依题意，以c为原点，分别以巨、CB.式的方向为大轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角

坐标系（如图），

可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(O,2,O)、C,(0,0,3),

A(2,0,3)、4(023)、0(2,0,1)、E(0,0,2)、M(l,l,3).

(I)依题意，词=(1,1,0),^D=(2,-2,-2),

从而翻•丽=2—2+0=0，所以

（II）依题意，无=（2,0,0）是平面的一个法向量,

函=（0,2,1）,ED=（2,0,-l）.

设n=（x,y,z）为平面DB}E的法向量,

/瓯=02y+z=0

则（即＜

n-ED=02x-z=0

不妨设x=l,可得3=(1,-1,2).

CA-n_2_V6

cos<CA,n>=|c4|.|n|=2^/6=T,

同

二.sin<CA,n>=Jl-cos?<CA.n>=

6

所以，二面角8—BQ—。的正弦值为叵；

6

(III)依题意，=(-2,2,0),

TH-_A__B__n_=-4=_y/3_

11］（II）知7=（1,—1,2）为平面OBg的一个法向量,于是cos<AZ?,n>=।]~~r^j-

府嗣一2逝乂而一3"

所以，直线AB与平面DB|E所成角的正弦值为且.

3

20.（2020.海南高考真题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随

机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：gg/m3）,得下表:

so2

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率;

（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表:

S02

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与S0?浓度有关?

n(ad-be)2

附:K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.

【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的尸M2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150的天

数有32+6+18+8=64天,

64

所以该市一天中，空气中的尸M2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150的概率为一=0.64；

100

(2)山所给数据，可得2x2列联表为：

so2

[0,150](150,475]合计

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合计7426100

(3)根据2x2列联表中的数据可得

/_〃(一一面>_100x(64x10—16x10)2_3600〜f…

K———〜7.4844>6.635,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)80x20x74x26481

因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?浓度有关.

21.(2020•天津高考真题)已知函数/(x)=x3+8nxGteR),f(x)为了。)的导函数.

(I)当左=6时，

(i)求曲线y=/W在点(1,/⑴)处的切线方程；

(ii)求函数g(x)=f(x)—f'(x)+2的单调区间和极值；

X

2)>

(II)当Z...—3时，求证：对任意的玉，x2e[l,+oo),且%>々，有'(小£(“/㈤->㈤

2x}-x2

【答案】(I)(i)y=9x-8：(ii)g(x)的极小值为g(l)=l,无极大值；(H)证明见解析.

【解析】(I)⑴当上6时，/(x)=x3+61nx,尸(x)=3f+,可得=尸(1)=9,

所以曲线y=/(x)在点(1,7(功处的切线方程为>一1=9(%-1),即y=9x—8.

3

(ii)依题意，g(x)=/-3无2+61nX+—,X£(0,4w).

x

从而可得g'(x)=3x2-6x+—―-土，

XX

3(X-1)3(X+1)

整理可得：g'(x)

9

XT

令g(x)=O,解得x=l.

当X变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表:

X(0,1)X=1(1,+?)

g'(x)—0+

g(x)单调递减极小值单调递增

所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1),单调递增区间为(1,+00)；

g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.

(II)证明：由/'(x)=x3+8nx,得/'*)=3炉+±

X

对任意的玉，/60，+°°)，且%>%2，令*=，">1)，则

X2

(X1-X2)(/(X1)+/1(A2))-2(/(^)-/(X2))

(kc(工、

=—x2)3x；H---FH——2—x；+攵］n--

\X\X2J\X2)

(\

二x：一只一3%；了2+3%x；+人—-2A:In—

=E—3广+3/—1)+%(f——21nfj.①

令〃(x)=x-」-21nx,XG［1,+OO).

x

,12(1Y

当1时，h(x)=1H—---=1—>0，

xx\xJ

由此可得妆X)在［1,”)单调递增，所以当A1时，/2(。>〃⑴，BPr-y-21nr>0.

因为々21,r_3『+3f—l=(f—l)3>0,k>-3.

所以只“3一3产+3-1)+(一：一2111,..(3一3产+3-1)一3(，一；—2111.