九师联盟2022-2023学年高三年级12月质量检测理科数学试卷及答案含答题卡（老高考）

高三理科数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0一5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内

作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本试卷主第彳题范/：东合$露用逻M用语，言数•号数,及以宜用；三角,函藐与解三角形，平面向

量，复数，数列，不等式.立体几何，直线与圆，圆锥曲线。

-、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合A={了|y=，3+2L/},B={yI》=e=+a}(aeR),若AnB=0,则a的取值范围为

A.(—oo,­l]B.(—00,-1)

C.(3,+°°)D.[3,+8)

2.已知复数z满足(8+6i)z=5+12i,则|z|=

13

八・嗜BR-ibQ14D-13

3.已知直线l\：x-2y—1=0"2：2%+叫y+2=—2=0,若l}//人,则l\与Z2之间的距离为

A.1B.2C.5一邛D.5+产

00

4.我国古代历法从东汉的《四分历》开始,就有各节气初日唇影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、号影

成为古代历法的重要计算项目.唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日辱影长和去极度

的计算方法——“九服唇影法”，建立了曷影长I与太阳天顶距。之间的对应数表(世界上最早的正切

函数表).根据三角学知识知：号影长I等于表高人与天顶距。正切值的乘积，即/=/?tan0.若对同一表

高进行两次测量，测得唇影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为仇和伪，则

tan(4-02)=

A.-1B.-Jc.yD.1

5.已知是平面内两个不同的定点，P为平面内的动点，则"I|PFJ-|PK||的值为定值"，，且

m<|F,F2I”是“点P的轨迹是双曲线”的

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知f(x)=sin2H+tanr+l,则曲线在点悟处的切线方程为

A.21r+y+6—K=0B.2才一》+3一元=0

C.41—2y+6—JT=0D.4JT—2了+6+冗=0

【高三12月质量检测•理科数学第1页(共4页)】L

22

7.已知双曲线C：%—京=l(a>O">O),F为C的下焦点为坐标原点是C的斜率大于。的渐近

线，过F作斜率为名的直线/交八于点A,交了轴的正半轴于点B,若|QA|=|OB|,则C的离心率为

A.2B.V3C.乎D.整

«5乙

8.函数/⑺=Asin(sz+w)(A>O,s>O,OV/C?1)的部分图象如图所示，将/⑺的图象向左平移,

个单位长度得到函数g(z)的图象，则g(外=

A.2cos2x斗

B.V3sin(2jr—

C.痣sin(2z+*)/LA―M—"

D.2sin(2z+5)yy

9.已知E、Fz分别是椭圆C：，+Al(a»°)的左、右焦点，C过八(一2,0)和B(0,l)两点，点P在

线段AB上，则时•届的取值范围为

A.[T,+8)B.[l,豹C.[—2,口D.广哲1]

10.已知定义在(0,+8)上的函数/(z)满足：①VH>0,/(H)<0;②对任意正数了,门当了〈»时,

"(攵)>才/(»)恒成立.若a=/(sin0.1)sin0.1,c=/(tan0.1)tan0.1.则

A.a>6>cB.c>a>bC./>c〉aD.b>a>c

11.在四面体ABCD中,43,4(7,人3,3。,异面直线AC与BD所成的角为30°,且二面角C-AB-D

为锐二面角，八B=4,AC=5,BD=3,则四面体ABCD的体积为

A.2734-1573B.3

C.5D.10

12.将曲线c£+*l(z&0)和曲线C2：£+着=1(60)合成曲线E.斜率为五的直线/与E交于

A,B两点,P为线段八8的中点，则下列判断错误的是

A.曲线E所围成图形的面积小于36

B.曲线E与其对称轴仅有两个交点

C.存在仙使得点P的轨迹总在某个椭圆上

D.存在您使得点P的轨迹总在某条直线上

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.已知向量a./>满足|a|=73,Ib\=1,|a+b\=2,则a+b与。一/>的夹角为'|

14.直线/过点(2,1)且与圆C：(x+1)2+/=9相切，则直线I的方程为止/

15.如图，直线1一与抛物线C：y2=2%”>0)交于A,B两点，。为C上异于A,B

的一点，若则点。到直线了」的距离与p的比值为.

16.若不，4是函数/(了)=4&一e'+KaCR)的两个极值点，且邃>2,则实数a

的取值范围为.

【高三12月质量检测•理科数学第2页(共4页)】L

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a且asinA—csinC=(〃-c)sinB.

(1)求A的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，求《的取值范围.

18.(本小题满分12分)

已知直线I］:Q)+2=0"2:2a=0(a£R),若1］与12的交点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若圆E^r2+y2-2mx-2ny=0的圆心在直线了=声力上，且与曲线C相交所得公共弦的长

为2/3，求m,n的值.

19.(本小题满分12分)

在正项数列｛a,,｝中必=1.V必+詈+…+”鼻=且异.

O乙〃J乙

(1)求｛a“｝的通项公式；

(2)若数列｛”,｝满足仇=a］，仇=恁-1,且In6,,+ln6„+2=21nb„+1，设数列｛4｝的前“项和为T,,证

明：T“•Tll+2<Ti+l.

【高三12月质量检测•理科数学第3页(共4页)】L

20.（本小题满分12分）

在边长为2的正方形ABCD外作等边△BCQ（如图1）,将△BCQ沿BC折起到△「放?处，使得PD=

为AB的中点（如图2）.

（1）求证:平面PDE±Y-®PCD；

（2）求二面角E-PD-A的正弦值.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C，+多=16>4>0）的一个焦点为B,其左顶点为A,上顶点为B,且F,到直

线AB的距离为4|OB|（O为坐标原点）.

（1）求C的方程；

22

（2）若椭圆后苏+方K（A0且/W1）,则称椭圆E为椭圆C的义倍相似椭圆.已知椭圆E是椭圆

C的3倍相似椭圆，直线/：尸标+根与椭圆C.E交于四点（依次为M,N,P,Q,如图），且前十

超=2雨,证明:点7（—在定曲线上.

Avlyy

22.（本小题满分12分）

已知f（x）=x2+.r+^ln%（々GR）.

⑴讨论了（才）的单调性；

（2）若a=1,函数g（尤）=.x+l—f（J?）,V©,£（0,+8）,N]，I£lg（£2）—l2g（11）I>

A|4一g|恒成立，求实数A的取值范围.

【高三12月质量检测•理科数学第4页（共4页）】L

高三理科数学参考答案、提示及评分细则

1.1）山题点徨A=­1・：乃+》・因为AC/X0.所以工故选I）.

JJI<S，“，；I:1'."17:一''

'十6iIX+6"‘8'+6'I。

3.A/.的方程可化为，+号y+6-l=0.闪为。〃/：.易即，"=一1.所I"*jI之间的即肉，/=1（g—"一‘三1'」

=今=1.故达.V

J5

LHinn0；2.Uin013•所以um《优一仇）：7V-I•故选R

I•tan（fitanU：I'K人4/

s.i5ti»>。.点r的轨迹为线以i*的中代平分线.不是双曲线；反之.若I'的轨迹足以曲线.则一定满足

-|I/,F||-|PF：|的值为定值，”.且，》<|/•'/'■|f-liL-||/T|-|VI-：||的值为定值„>.IL»><IF,FI

/*的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.故选K

6.C由期总灯/'J>=2co$2,+-V./（子）=3.所以，（子）=20年+―!—=2.故所求切战hft为.v-3=

1422千

4

2（*—Y）-BPl.r—2了+6-z=<i.故选（'.

7.C由题总知•，的陋斜角为30°,因为m=|CB|•所以。的倾斜用为60二斜率为斗

即.=s/J,所以！■=，，所以e=J1+（J）"=J1+：=故选C/

“忤”詈孑—―

Z.解得芋=f-%:*GZ：.堵工V,；Il.'.c-Iuh=if'=1.收

八=2♦故/<,）=2sin（2,，2）•所H）=24|）［：?（,+左）+1j=2sin（2】卜今）=|

2cos2J.故选A.

9.1）法一,山也.@知・u=2・〃=l•故华性即故F（-6・。）.£（《J））.线段八”的方程为」-2.丫+2

-1）<I）•设点V<2wi-2.MI）-1）•则/,/,i（—v/J+2—2，〃.一，〃）・（丫京+2-2”1.一m）•所1乂

I,i-•/'/-->'i—s»»i（5）—1'il!'i<<*ilj.•/*J•/'/,—；i11il1.•Pl\"/*/

jj«jj

=I.故沁’•/卢的取值范围为I-g.1:故选|）.

法：川|的点知“2./>I.故『但即LJXk=々.作“R_L，A小尸点，一则上在线以八〃I：.仃线八〃的方程为

，一2门2W.由点利在线的即向公式.徨|“九|二人"7匚而¥/•'•//：PO-~>r］亦一3.因此

<PF-rr>...=（乂囚为|<止卜s\=M.'iibrr-PF>..=?-3=1.闪此「产一尸尸的以

值把因为一U.i:故选D.

131

10.A闪为对任意1E教・・.v・与rV.y时・.v./</）>〃<.V）•即>£^^忸成立s乂Y，>0・，J>V。•所以0V

【高三12〃质址检测•理科数学参考答案第I页（件6克”L

一/122〈一££^,0</<2,所以一了/（工）<一/（丫），即令g（K〉=Hf<z）.贝IJ对Y_r,y€

•Ty5（3）：

（OtH-oo），当jc<iy时•恒有g（i）>g（y）,所以g（/）在（0,+8）上单调递减；由sin0.KO.l<Ctan0.1,得

g（sin0.1）>gCO.1）>g（tan0.1）•即a>A>c.故选A.

ll.C将四面体ABCD补成如图所示的三棱柱ACF-BED,因为人B_LAC.异面直线AC与BDA

所成的角为30,3E〃AC,所以/EBD=30°,ABJ_BE,又A3J_BD,BEC\BD=B.BE.BDCZ

平面BDE.所以ABJ_平面BDE.ABDE的面积S=•BEsin300=-1-X3X5X77=

]51、

q-，V三桎维A.ACF=V=temc-«KD=可S•AB,所以丫㈣面根附”=V三核^3KS1>.«T

9115

匕滋砥皿=s•AB-fs-AB=yX-^X4=5.故选C.

12.D过曲线E与坐标轴的交点作相应坐标轴的垂线（如图所示），以四条线的交点为顶点

的四边形为边长是6的正方形,曲线E在该正方形内,故E及其内部区域的面积小于正

方形的面积36.故A正确：曲线E的对称轴仅有了轴.且E与了轴仅有两个公共点，故B

正确;若4=0.此时可设/的方程为y=£,易求A,B的坐标分别为（一等J产产“）.

（1后¥“）.故AB中点坐标为（一必尹，，.设P（了中），故l一口等工，尸八

消去，得/+普=1（I<03即P的轨迹在椭圆/+普=1上，若4#0,设/的方程为》=人+”,若A.B均在Ci上,

利用点差法,易求如，=一心,同理若A,8均在C?上,易求的=一%显然一小云一小故此时点P不可能总落在

某条直线上.故C正确.D错误.故选D.

13.-y法一,：由题意,得\a-\-b\'=|a|24~2a,b+\b\2=3+2a•b+l=4,所以a•b=0,所以

|°―6|=2,所以8仙+8-=辞/：j：二:沪仙；蕊"=+•又〈a+-〉

e[o,p,所以〈。+人。一万〉=子.

法二：由题意，得|a+”2=|a『+2a•b+1b\2=3+2a•b+l=4,所以a•b=0,即|a+”=|«—1>|.如图所示,易求得

/OBA=g•，易得a+b与a—b夹角为伴.

14..r-2=0或4工+3y-U=0若/的斜率不存在.则/的方程为了=2,是圆C的切线;若/的斜率存在.设/的方程为y

-1=4（工一2），即人一y+1-24=0,则=3.解得仁一看■,此时/的方程为4工+3.y-ll=0.故直线/的方程

为/—2=0,或4;r+3;y—11=0.

一“\^=2px,

15.2设直线AD为卫=7"+〃（〃?*0）,A（/i,2），£）（12，北）•则3（©•一31）,由《，

l«r=7〃y+7?

得J2—2/>〃小-2"=0.所以y+北=22"入因为ADJ_8D・故瓦包）•瓦力=11.即上•一士”

m工2一©

=-1,所以工•上"=一1.所以红孑=-2,作DMJ_AB垂足为M.则点D到直线才=，

mX2-p

的距离为田M=|4一及|.所以号红=2.

【高三12月质量检测•理科数学参考答案第2页（共6页）】

16.・+8）/'（i）=H—，则①1,“2是/'（1）=0,即的两个根•则。力=g,所以Inax\=JTI,同理Inaq

=72•设言=I<Z>2）.则x2=5，代入Inax2=及,得Inaxx+InE=5♦所以不=^zry,令〃=已4.则u=

，,（；二步工，令〃N/）=/—1—finf・则）n（Z）=—InfVO，所以"?（f）在［2,+oo）上单调递减，所以〃?（f（2）=

l-21n2<0,所以〃=瞥在［2,+8）上单调递减,所以0〈〃&1112；因为》|=/，所以〃・〃=€"，所以4=丝，易知

y=，在（O,ln2口上单调递减,所以02记、,故a的取值范围为［寸5.+8）.

17.解：（1）由asinA—csinC=（/;—c）sinB及正弦定理.得a2—c2=l：—bc.

所以〃+/一/=加，................................................................................2分

由IqA加+d一以21/v

所以cosA=-------------=5,............................................................................................................................................3o分

又A£（0E）•所以八=字............................................................................4分

(2)由正弦定理."彳=-.b4=6y,,

smAsin15sinC

(27rx-,\v<)I]z-»

,psinI-7C/丁cos(丁丁sinC丙.

得立=^^=_L3-----L=_2---------2-------=V3,1_................................................................................7分

传csinCsinCsinC2tanC十2'"

因为△?1比、为锐角三角形，所以

0<C<y,

所以£〈。〈卷，......................................................8分

QOL

所以tan.所以qVj叵7，+J<2.即上的取值范围为....................................10分

•5£»乙1anL乙c乙

18.解：（1）法一:当4=0时，显然AJL/z,且4与，2的交点为（-2,0）；...........................................................................1分

当局0时必与12的斜率分别为如=?，虬一a，...................................................................................................2分

Mr，2=-l•所以A-L'z•故对任意实数ad-Uz........................................................................................................3分

直线乙过定点A（—2,0）,/z过定点B<2,0），...............................................................................................................4分

设P（_r,y），则PAJ_PB,所以懑•励=0,

2

所以<H+2）<H-2）+;y=0,BP/+J（2=4.

又点（2,0）不是A与心的交点，

故曲线C的方程为>+V=4Cr/2）............................................................................................................................6分

法二：（消参法）当月0时,由工一”+2=0,得。=咛，代入az+y—2a=0/1^^@+.y一丝产=0,

化简整理•得/+：/=4（'片0）,当y=0时口=2或才=-2.易验证点（-2,0）符合条件.（2,0）不符合条件.故曲线C

的方程为/+，=4（_r工2）............................................................................................................................................6分

⑵圆E与曲线C的方程两边作差，得M+ny-2=0（工力2）,即为直线MN的方程.......................7分

因为IMN|=26,所以点O到直线MN的距离d=J二2'=］

即苏+，产=4.①...........................................................................................................................................................9分

因为圆E的圆心（"/,〃）在直线》=伍7上•所以Ji=y/3m.②10分

【高三12月质量检测•理科数学参考答案第3页（共6页）】

f/w=l.(m=-1,

①②联立，并解得〈或《

l〃=Q,1〃=一焉，

伊=1,

当《时•直线MN的方程为/+倍丁一2=0•过(2・0)点，不合题意;

fm=-1,

当《时•直线MN的方程为"一痣丁+2=0•易验证符合题意.

(7/=—\/3

故的值为-1.一4................................................................................................................................................12分

19.(1)解：当"=2时.m=^^.所以〃=3；...................................................................................................................1分

当仑3时…+号+…+谷=此尸，

与人+号+…+左与=三两边分别作差,得斜=铝一吐尸，

化简，得言=招心3),...........................................................................................................................................3分

所以当心3时,…X”■Xa2=1?Ux杂二…xjx3=2"-l,...........................................5分

显然”=1.2时上式仍成立，故对任意正整数"皿,=2"—1........................................................................................6分

(2)证明：由(1)知02=3,所以仇=1,勿=2....................................................................................................................7分

因为仇+b+2=，所以以+，

InInn21n61rH6”6“+2=1

所以《4》为等比数列,且公比4=^=2,所以4=2，1,...............................................................................................8分

所以7,,=詈=2"—1....................................................................................................................................................9分

所以T,,+22,,+2+22+2

«T„+2=(2--1)(2"-1)=2-<2"+2")+1=2"-5X2"+1.

又2所以T„-分

01=<2»+'—1)2=2»+2—4*2»+1,TO+2<71+1................................................................................12

20.⑴证明:分别取PC.PD的中点G,F,连接BG.FG,EF,

因为F,G分别为PD,PC的中点,所以FG〃CD,且FG=]CD................................................................................1分

又E为AB的中点,所以BE〃CD,且BE=-^CD,

所以FG//BE.S.FG=BE.所以四边形BEFG为平行四边形.

所以EF〃BG・...................................................................................................................................................................2分

因为CD=PC=2,PD=2V?,所以PL^nPa+CD2,所以CDJ_PC,.......................................................................3分

又CDJ_BC.BC,PCU平面PBC.BC,nPC=C,

所以CD_L平面PBC.........................................................................................................................................................4分

又BGU平面PBC.所以CD±BG.

因为BC=PB,G为PC的中点,所以BGJ_PC,...............................................................................................................5分

因为EF〃BG.所以EFJ_CD.EFJ_PC.CD,PCU平面PCD,CDQPC=C,

所以EF_L平面PCD,又EFU平面PDE.所以平面PDEJ_平面PCD........................................................................6分

(2)解：由(1)知。£>_1_平面PBC.XCDU平面ABCD.所以平面PBC_L平面ABCD.

分别取BC.AD的中点为O.H.连接PO.OH.则PO±BC.HO1.BC.

【高三12月质量检测•理科数学参考答案第4页(共6页)】

因为平面PBCD平面ABCD=BC,POO平面PBC,

所以P（）_L平面ABCD,又OHU平面ABCD.所以P（）±OH...............................7分p

以直线OC.OH.OP分别为了轴轴.z轴建立如图所示的空间直角坐标系•则

D（l,2,O）,A<-1.2,O）,E<-l,l,O）.P（o,O,5/3）«

所以尸D=(l,2,—)*ED=(2«1*0)»AD=(2»0«0)..........................................8分

[/»•ED=0,]2]+y=0.

设平面PDE的一个法向量〃=(/,*),则<即《

・PD=0,[«r+2y—£z=0.

令z=l•则y=-2,N=-6,故〃=(1,—2,一悟)；..................................................9分

[m•AD=0,12a=0,

设平面PAD的一个法向量/〃=(a,6,c)，则<即<

•PD=0,〔。+2〃一伍。=0,

令c=2•则a=0,〃=疗•故/n=(0.6,2)，.........................................................10分

平•？_-44___76

所以cos<m.w>=

1*»1•1«177x78x/14肝

设二面角E~PD-A的大小为。，则sin0=/I—cos2<m.n>=y-......................................................12分

21.（1）解:由题意知

所以直线AB的方程为±+于=1.即6工一灯+2=0............................................................................................1分

因为FN-l,0）到AB的距离为.即写然"=内儿.......................................2分

1Ja-1

所以73—1〉2=/+凡又不一〃=1,解得舍去），或a=2.

□

所以。2=4,〃2=3,........................................................................................................................................................3分

所以C的方程为亨+专=1......................................................................................................................................4分

⑵证明:椭圆。的3倍相似椭圆E的方程为苧+皆=35唱+卷=1,

设N5,y）,P（/2,北）・MQ3小）・Q（/i，M），...................................................5分

联立，与C的方程.得，43'消去》并整理.得(3+4Q/+8痴/+4/—12=0,

1»=人+%

则4=6联2m2-4(3+4万)(4〃5-12)>0.即4^2+3>z/?2,

口1_8km_4〃产一12八

且©+"2-—3+4万'44一3+4万'......................................................................................................................6分

.II_q—v—75—\-------Ft8km_v1(——121_J4公+3——〃产

所fir以pI4一支I=，5+=>一5.n*(-34^2)-3+4必'=3+4^-7分

金+方=1

联立/与E的方程.得<消去了并整理，得《3+4必）./+8A〃w+4"产—36=0.

1y=4/+"?,

_4裙一36

则心=­§+4笆，1314―3+4必，

所以Ig—力I=J(/3+力尸一4/3力="伍'1]/^9................................................................................8分

【高三12月质量检测•理科数学参考答案第5页（共6页）】

所以八+,：=,卜八.所以线段NP.MQ的中点相同.

所=|PQ|..................................................................................................................................................9分

IM为-I'Q?VQ.WMQ-VQ=VQ-Z-Q.

所KI另府u\'A所以|MN|=NP|.BfWIMQl-3|NP|.................................................................................1。分

ucpiII_II>|„l/3yi2i-+9—„I_\CI/+3一

WrU门I-37|•即-----Q:7-----------3--------［石代:-----•

化篇・得1，“-121=9•满足秋—.

所图写一号=I•故点T<A."，>作版曲级与一号=It.................................................................................12分

22.胖；(1>由曲心却函数八.。的定义域为<0.+・，>./</>=2/+1+?=?:£三3<，><1>...............................1分

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W<12月质〈检测•理科数学参考答案第6页（共6页）】

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17.（本小题满分10分）

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