专题06 幂函数13种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)含解析

专题06幂函数13种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)专题06幂函数13种常见考法归类考点一求幂函数的解析式或值考点二根据函数是幂函数求参数值考点三幂函数的定义域问题考点四幂函数的值域问题考点五幂函数的图象及应用考点六幂函数的图象过定点问题考点七判断幂函数的单调性考点八由幂函数的单调性求参数考点九比较幂值的大小考点十利用幂函数的单调性解不等式考点十一幂函数的奇偶性的应用考点十二幂函数的单调性和奇偶性的综合应用考点十三幂函数性质的综合应用1、幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．2、五个幂函数的图象与性质（1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．（2）五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减3、一般幂函数的图象特征（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．（2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．（5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．4、幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．5、幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．6、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．7、解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断．8、比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．9、利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．考点一求幂函数的解析式或值1．（2023上·上海普陀·高一校考期末）设函数，则．2．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知幂函数的图象过点，则．3．（2023上·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（

）A．2 B． C． D．4．（2023下·河南省直辖县级单位·高二统考期末）若函数是幂函数，满足，则．5．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）若函数（且）的图象恒过点，且点在幂函数的图象上，则．6．（2023上·吉林松原·高一松原市实验高级中学校考期末）函数且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为.考点二根据函数是幂函数求参数值7．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）已知函数是幂函数，则.8．（2023上·辽宁锦州·高一校联考期末）己知幂函数的图象过点，则.9．（2023上·云南临沧·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则（

）A．5 B．4 C．3 D．210．（2014上·宁夏·高一统考期中）已知函数为幂函数，则实数的值为（

）A．或 B．或1 C． D．111．（2023下·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）“”是“是幂函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点三幂函数的定义域问题12．（2023上·北京延庆·高一统考期末）下列函数中定义域为的是（

）A． B．C． D．13．（2023下·浙江·高二统考学业考试）函数的定义域是（

）A． B．C． D．14．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．15．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的定义域是.16．（2023下·山东日照·高二校考期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为．考点四幂函数的值域问题17．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．18．（2023上·河北衡水·高一校考期中）幂函数的图象过点，则函数的值域是（

）A． B． C． D．19．（2023·高一课时练习）函数，其中，则其值域为.20．（2023上·江西吉安·高一井冈山中学校考阶段练习）已知函数则函数值域是（

）A． B．C． D．21．（2023上·北京延庆·高二统考期末）函数的值域为．22．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是.考点五幂函数的图象及应用23．（2023上·上海嘉定·高一校考期中）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（

）A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、324．（2023上·上海青浦·高一统考期末）幂函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

25．（2023·高一课时练习）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（

）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④26．【多选】（2023上·广东惠州·高一统考期末）下列幂函数中满足条件的函数是（

）A． B．C． D．27．（2023·全国·模拟预测）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

28．（2023上·山西大同·高一统考期中）函数图象大致是（

）A． B．C． D．29．（2023上·河北唐山·高一统考期末）若幂函数的图象经过第三象限，则a的值可以是（

）A． B．2 C． D．30．（2023上·上海静安·高一校考期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则．31．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数的取值集合是.考点六幂函数的图象过定点问题32．（2023上·广东东莞·高一校考期中）函数的图象过定点．33．【多选】（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）下列四个函数中过相同定点的函数有（

）A． B．C． D．34．（2023上·山东济宁·高一统考期末）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为.35．（2023下·黑龙江大庆·高二大庆四中阶段练习）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（）A． B． C．2 D．考点七判断幂函数的单调性36．【多选】（2023上·安徽亳州·高一校考期末）下列函数中，在区间单调递减的是（

）A． B．C． D．37．（2023上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）函数的单调减区间为；38．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）函数的单调递增区间是.39．【多选】（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知幂函数的图像经过点，则下列结论正确的有（

）A．为增函数 B．若，则C．为偶函数 D．若，则40．【多选】（2023上·甘肃白银·高一甘肃省会宁县第一中学校考期中）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列选项中正确的是（

）A．和在上的单调性相同B．和在上的单调性相反C．和在上的单调性相同D．和在上的单调性相反考点八由幂函数的单调性求参数41．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知幂函数满足,则.42．（2023上·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）幂函数在上为减函数，则的值为．43．（2023上·四川成都·高一期末）若幂函数在上单调递增，则实数.44．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则.45．（2023上·吉林白山·高一统考期末）已知幂函数在上是减函数，则的解集为（

）A． B．C． D．46．（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（

）A． B． C．D．考点九比较幂值的大小47．（2023·江苏·高三专题练习）设，则大小关系是.48．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）设，则下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．49．（2023上·福建泉州·高一泉州七中校考期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．50．（2023上·安徽合肥·高一统考期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．51．（2023上·全国·高一期末）设，，，则（

）A． B． C． D．考点十利用幂函数的单调性解不等式52．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）不等式的解为.53．（2023上·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）实数满足，则实数的取值集合为.54．（2023上·北京·高一清华附中校考期末）已知幂函数经过点，则不等式的解集为．55．（2023上·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）设函数，如果，则的取值范围是.56．（2023上·重庆·高一校联考期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．57．（2023上·云南丽江·高一统考期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．58．（2023·高一单元测试）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（

）A． B．C． D．59．（2023上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数是偶函数．(1)求函数的解析式；(2)若，求x的取值范围．60．（2023上·河南·高二宝丰县第一高级中学校联考开学考试）已知幂函数为奇函数.(1)求函数的解析式；(2)若，求的取值范围.考点十一幂函数的奇偶性的应用61．（2023上·江苏常州·高一统考期末）下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（

）．A． B． C． D．62．（2023上·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为.63．（2023下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为.64．（2023上·贵州毕节·高一统考期末）若幂函数的图象关于轴对称，则（

）A．或4 B． C．4 D．265．（2023上·广东湛江·高一统考期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为．考点十二幂函数的单调性和奇偶性的综合应用66．（2023上·广东广州·高一校考期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．67．（2023上·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为.68．（2023上·广西贵港·高一统考期末）若幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数,在上单调递减，则（

）A． B．或 C． D．或69．（2023上·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（

）A．8 B．4 C．2 D．170．【多选】（2023上·湖北·高一孝昌县第一高级中学校联考期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（

）A． B． C．D．考点十三幂函数性质的综合应用71．（2023上·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知幂函数的图像关于点对称．

(1)求该幂函数的解析式；(2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像；(3)直接写出函数的解集．72．（2023上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知幂函数.(1)求函数的解析式；(2)求函数的定义域、值域；(3)判断的奇偶性.73．（2023上·河南开封·高一河南省杞县高中校联考期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数.(1)求和的值；(2)若实数满足，求的最小值.74．（2023上·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数为偶函数.(1)求幂函数的解析式；(2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增.75．（2023上·云南楚雄·高一统考期末）已知幂函数在上单调递增．(1)求的解析式；(2)若函数在上有零点，求的取值范围．76．（2023上·江西赣州·高一统考期末）已知幂函数在上单调递增.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.77．（2023上·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数的图象经过点，函数为奇函数.(1)求幂函数的解析式及实数的值；(2)判断函数在区间上的单调性，并用的数单调性定义证明.专题06幂函数13种常见考法归类考点一求幂函数的解析式或值考点二根据函数是幂函数求参数值考点三幂函数的定义域问题考点四幂函数的值域问题考点五幂函数的图象及应用考点六幂函数的图象过定点问题考点七判断幂函数的单调性考点八由幂函数的单调性求参数考点九比较幂值的大小考点十利用幂函数的单调性解不等式考点十一幂函数的奇偶性的应用考点十二幂函数的单调性和奇偶性的综合应用考点十三幂函数性质的综合应用1、幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．2、五个幂函数的图象与性质（1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．（2）五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减3、一般幂函数的图象特征（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．（2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．（5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．4、幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．5、幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．6、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．7、解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断．8、比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．9、利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．考点一求幂函数的解析式或值1．（2023上·上海普陀·高一校考期末）设函数，则．【答案】【分析】根据分段函数的知识求得正确答案.【详解】，.故答案为：2．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知幂函数的图象过点，则．【答案】8【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出，再代入求值即可.【详解】令，由题意得，即，解得，故，则．故答案为：83．（2023上·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【详解】依题意，设，则，所以.故选：B4．（2023下·河南省直辖县级单位·高二统考期末）若函数是幂函数，满足，则．【答案】【分析】利用幂函数定义设，由，求解，从而得的解析式，即可求值.【详解】解：函数是幂函数，设，又，所以，即，所以，得所以，则.故答案为：.5．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）若函数（且）的图象恒过点，且点在幂函数的图象上，则．【答案】【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，从而可求．【详解】对于函数，令，解得，此时，因此函数的图象恒过定点，设幂函数，在幂函数的图象上，，解得．．则.故答案为：6．（2023上·吉林松原·高一松原市实验高级中学校考期末）函数且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为.【答案】【分析】由已知可得，待定系数法设出，代入求出，即可求出的值.【详解】由可得，，所以.设，由可得，，所以，即有，所以.故答案为：.考点二根据函数是幂函数求参数值7．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）已知函数是幂函数，则.【答案】8【分析】根据幂函数的定义求出参数，得到函数解析式再求值即得.【详解】函数是幂函数，∴所以.故答案为：.8．（2023上·辽宁锦州·高一校联考期末）己知幂函数的图象过点，则.【答案】【分析】先根据幂函数的定义及所过的点求出函数解析式，进而可得出答案.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得，又幂函数的图象过点，所以，解得，所以，所以.故答案为：.9．（2023上·云南临沧·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义，求得，再由，求得，即可求解.【详解】由幂函数的定义，可得，又由，可得，解得，所以．故选：C.10．（2014上·宁夏·高一统考期中）已知函数为幂函数，则实数的值为（

）A．或 B．或1 C． D．1【答案】C【分析】直接根据幂函数的定义求解即可．【详解】∵为幂函数，∴，∴，或，又，∴，故选：C．11．（2023下·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）“”是“是幂函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.【详解】因为是幂函数，所以，解得或，故“”是“是幂函数”的充分不必要条件.故选：A.考点三幂函数的定义域问题12．（2023上·北京延庆·高一统考期末）下列函数中定义域为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.【详解】，定义域为，故A错误；，定义域为，故B错误；，定义域为，故C正确；，定义域为，故D错误，故选：C.13．（2023下·浙江·高二统考学业考试）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对数函数中真数大于0与零次幂中底数不等于0列式求解即可.【详解】由题意知，且，故函数的定义域为.故选：B.14．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】因为，则，可得，故函数的定义域为.故选：D.15．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的定义域是.【答案】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】，所以，解得，所以函数的定义域为.故答案为：16．（2023下·山东日照·高二校考期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为．【答案】【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域.【详解】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为．故答案为：考点四幂函数的值域问题17．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【详解】由已知值域为，故A错误；时，等号成立，所以的值域是，B错误；因为定义域为，，函数值域为，故C正确；，，，所以，故D错误.故选：C.18．（2023上·河北衡水·高一校考期中）幂函数的图象过点，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.【详解】设，代入点得，则，令，函数的值域是.故选：C.19．（2023·高一课时练习）函数，其中，则其值域为.【答案】/【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】设，则.因为，所以.当时，.所以函数的值域为.故答案为：20．（2023上·江西吉安·高一井冈山中学校考阶段练习）已知函数则函数值域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合分段函数的单调性来求得的值域.【详解】当时，单调递增，值域为；当时，单调递增，值域为，故函数值域为.故选：B21．（2023上·北京延庆·高二统考期末）函数的值域为．【答案】/【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可【详解】当时，在上单调递减，所以；当时，在上单调递减，所以；所以函数的值域为，故答案为：22．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解【详解】当时，函数不存在最大值，故，当时，在区间上单调递增，所以此时；当时，在区间上单调递减，所以此时，若函数存在最大值，则，解得，又，所以的取值范围为故答案为：考点五幂函数的图象及应用23．（2023上·上海嘉定·高一校考期中）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（

）A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3【答案】D【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a的值.【详解】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点则，又则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上，点C在幂函数图像上，则曲线对应的指数分别为故选：D24．（2023上·上海青浦·高一统考期末）幂函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.【详解】幂函数定义域为，且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，又当时单调递减，则在上单调递增，故符合题意的只有C.故选：C25．（2023·高一课时练习）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（

）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】A【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；，其图像应与④对应．故选：A．26．【多选】（2023上·广东惠州·高一统考期末）下列幂函数中满足条件的函数是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可.【详解】由题意知,当时,的图象是凹形曲线.对于A,函数的图象是一条直线,则当时,有,不满足题意；对于B,函数的图象是凹形曲线,则当时,有,满足题意；对于C,函数的图象是凸形曲线,则当时,有,不满足题意；对于D,在第一象限内,函数的图象是一条凹形曲线,则当时,有,满足题意.故选:BD.27．（2023·全国·模拟预测）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用特殊值法即可排除错误选项.【详解】由，排除A，D，当时，，所以，排除C．故选：B．28．（2023上·山西大同·高一统考期中）函数图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用当x＞0时，函数值的正负确定选项即可.【详解】函数f（x）定义域为，所以函数f（x）是奇函数，排除BC；当x＞0时，，排除D．故选：A29．（2023上·河北唐山·高一统考期末）若幂函数的图象经过第三象限，则a的值可以是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的图象和性质，一一判断各选项，即得答案.【详解】当时，为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不合题意；当时，为偶函数，图象过原点分布在第一和第二象限，图象不经过第三象限，B不合题意；当时，，图象过原点分布在第一象限，不经过第三象限，C不合题意；当时，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意，故选：D30．（2023上·上海静安·高一校考期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则．【答案】【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可.【详解】根据其为幂函数，则，解得或，当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为偶函数，且分布在一、二象限，图像如图所示：故舍去，当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为奇函数，且分布在一、三象限，图像如图所示：故答案为：.31．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数的取值集合是.【答案】【分析】根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数的取值集合.【详解】解：因为幂函数，所以，解得或，幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以，即，所以或均符合题意，则实数的取值集合是.故答案为：.考点六幂函数的图象过定点问题32．（2023上·广东东莞·高一校考期中）函数的图象过定点．【答案】【分析】利用求得正确答案.【详解】当时，，所以定点为.故答案为：33．【多选】（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）下列四个函数中过相同定点的函数有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据函数解析式，结合幂指对函数的性质确定各函数所过的定点坐标，即可判断过相同定点的函数.【详解】A：必过；B：，由知函数必过；C：，由知函数必过；D：，由知函数必过；∴A、B、C过相同的定点.故选：ABC.34．（2023上·山东济宁·高一统考期末）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为.【答案】【解析】结合指数函数和幂函数的性质求解．【详解】时，，所以函数图象恒过定点．故答案为：．35．（2023下·黑龙江大庆·高二大庆四中阶段练习）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先根据幂函数定义得，再确定的图像所经过的定点为，代入解得的值.【详解】由于为幂函数，则，解得：，则；函数，当时，，故的图像所经过的定点为，所以，即，解得：,故选：B.考点七判断幂函数的单调性36．【多选】（2023上·安徽亳州·高一校考期末）下列函数中，在区间单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由复合函数的单调性、指数函数、幂函数及对勾函数单调性判断各个选项即可.【详解】对于A项，由幂函数性质知，在上单调递减，故A项正确；对于B项，令（），则（），因为在上单调递增，在在上单调递增，所以在上单调递增，故B项不成立；对于C项，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故C项不成立；对于D项，因为，所以在上单调递减，故D项正确.故选：AD.37．（2023上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）函数的单调减区间为；【答案】【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数.令，得或.易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数，所以的单调递减区间为.故答案为：.38．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）函数的单调递增区间是.【答案】（区间开闭都符合）【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定结果．【详解】，由，解得，令，当时单调递增，当时单调递减，又在时单调递增，所以函数的单调递增区间是.故答案为：.39．【多选】（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知幂函数的图像经过点，则下列结论正确的有（

）A．为增函数 B．若，则C．为偶函数 D．若，则【答案】ABD【分析】根据幂函数经过点，求出幂函数的解析式，利用幂函数的性质可直接判断选项A，C，D正误；对于选项B，根据函数解析式分别表示出，再利用不等式的性质比较大小即可.【详解】解：由幂函数的图像经过点，得，所以.，定义域为，对于A选项：因为，由幂函数的性质得A选项正确；对于B选项：若，则，所以，又，所以，故B选项正确；对于C选项：由于定义域不关于数字0对称，故C选项不正确；对于D选项：因为为增函数，若，则，故D选项正确；故选：ABD.40．【多选】（2023上·甘肃白银·高一甘肃省会宁县第一中学校考期中）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列选项中正确的是（

）A．和在上的单调性相同B．和在上的单调性相反C．和在上的单调性相同D．和在上的单调性相反【答案】BC【分析】利用函数奇偶性的定义，可求得和的解析式，进而得解.【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，，因为，所以，即，两式联立，可得，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减，所以和在上的单调性相同，在上的单调性相反.故选：BC.考点八由幂函数的单调性求参数41．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知幂函数满足,则.【答案】【分析】根据幂函数的定义,得,解得或,分别代入判断函数单调性即可.【详解】由幂函数的定义可知,,即,解得或.当时,在上单调递减,不满足；当时,在上单调递增,满足.综上,.故答案为：.42．（2023上·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）幂函数在上为减函数，则的值为．【答案】【分析】根据幂函数定义求出的值，再利用单调性进行检验即得.【详解】因是幂函数，则，解得：或.当时，，此时函数在上为增函数，舍去；当时，，此时函数在上为减函数，符合题意.故答案为：.43．（2023上·四川成都·高一期末）若幂函数在上单调递增，则实数.【答案】【分析】根据幂函数的定义和单调性求得.【详解】是幂函数，所以，解得或，当时，在上单调递减，不符合题意.当时，在上单调递增，符合题意.所以的值为.故答案为：44．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则.【答案】【分析】根据幂函数的性质分析求解.【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则，当，在区间上单调递增，符合题意；当，的定义域为，不合题意；当，的定义域为，不合题意；综上所述：.故答案为：.45．（2023上·吉林白山·高一统考期末）已知幂函数在上是减函数，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据是幂函数且在上是减函数求出的值，再将所求不等式两边同时平方求出的范围.【详解】是幂函数，，解得或，当时，不满足在上是减函数，当时，满足在上是减函数，，将不等式的两边同时平方得，，解得，的解集为.故选：A.46．（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（

）A． B． C．D．【答案】C【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，在上单调递减，所以，解得，所以的取值范围是故选：C考点九比较幂值的大小47．（2023·江苏·高三专题练习）设，则大小关系是.【答案】【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小.【详解】因为在单调增，所以，即，因为在单调减，所以，即综上，.故答案为：.48．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）设，则下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指数函数和幂函数的性质求解即可.【详解】设，则由指数函数在上单调递减，得，设，则幂函数在上单调递增，得，所以.故选：B49．（2023上·福建泉州·高一泉州七中校考期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较大小.【详解】由在定义域上单调递减，所以得：，由在定义域上单调递增，所以得：，即：.故A项正确.故选：A.50．（2023上·安徽合肥·高一统考期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据分数指数幂和根式的互换，进而即可判断，，的大小．【详解】由，，，所以．故选：A．51．（2023上·全国·高一期末）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小.【详解】在上是增函数，，在R是减函数，在上是增函数，，.故选：D.考点十利用幂函数的单调性解不等式52．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）不等式的解为.【答案】【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式.【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增，又，则为偶函数，所以在上单调递减，则由不等式可得，平方后整理得，即，解得，则不等式的解集为.故答案为：.53．（2023上·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）实数满足，则实数的取值集合为.【答案】【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式.【详解】，其定义域为，且在定义域上单调递减，因为，所以，解得故答案为：54．（2023上·北京·高一清华附中校考期末）已知幂函数经过点，则不等式的解集为．【答案】【分析】首先代入已知点求出，则，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】设幂函数，由题意得，解得，故，，则，即为，根据在上为单调增函数，则有，解得，故解集为，故答案为：．55．（2023上·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）设函数，如果，则的取值范围是.【答案】【分析】通过分和两种情况进行讨论，从而可求出的取值范围.【详解】因为，所以或，解得或，所以的取值范围是.故答案为：.56．（2023上·重庆·高一校联考期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的限制.【详解】为偶函数，且在上递减.∵，∴，∵，，∴且，∴.故选：B57．（2023上·云南丽江·高一统考期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先判断的奇偶性和单调性，由此化简不等式，从而求得的取值范围.【详解】的定义域为，，所以为奇函数，在上递增，由得，∴，，解得.故选：B58．（2023·高一单元测试）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．不等式化为，函数在和上单调递减，故或或，解得或．故应选：D．59．（2023上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数是偶函数．(1)求函数的解析式；(2)若，求x的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义求得的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式；（2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x的取值范围．【详解】（1）已知幂函数，则，解得或，所以或，又函数为偶函数，所以；（2）由于幂函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在单调递减，若，则，平方后解得，所以x的取值范围是.60．（2023上·河南·高二宝丰县第一高级中学校联考开学考试）已知幂函数为奇函数.(1)求函数的解析式；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.【详解】（1）解：由题意，幂函数，可得，即，解得或，当时，函数为奇函数，当时，为非奇非偶函数，因为为奇函数，所以.（2）解：由（1）知，可得在上为增函数，因为，所以，解得，所以的取值范围为.考点十一幂函数的奇偶性的应用61．（2023上·江苏常州·高一统考期末）下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，在为增函数，故A错误.对选项B，在为增函数，故B错误.对选项C，在为减函数，设，定义域为，，所以为偶函数，故C错误.对选项D，在为减函数，设，定义域为，，所以为奇函数，故D正确.故选：D62．（2023上·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为.【答案】【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可.【详解】为幂函数，，解得：或；当时，为偶函数，满足题意；当时，为奇函数，不合题意；综上所述：.故答案为：.63．（2023下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为.【答案】1【分析】根据函数图象可判断单调性，进而可得，为整数，由验证是否是偶函数即可求解.【详解】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故故答案为：64．（2023上·贵州毕节·高一统考期末）若幂函数的图象关于轴对称，则（

）A．或4 B． C．4 D．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义与性质分析运算.【详解】若幂函数，则，解得或，且幂函数的图象关于轴对称，则为偶数，故.故选：C．65．（2023上·广东湛江·高一统考期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为．【答案】1【分析】将所给函数分离常数，根据奇偶性，可求得M+N=2，代入所求关系式即可.【详解】由题意知，，设，则，因为，所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值的和为0，故，所以．故答案为：1.考点十二幂函数的单调性和奇偶性的综合应用66．（2023上·广东广州·高一校考期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】逐个判断各个选项中函数的奇偶性和单调性即可得出答案.【详解】对于A选项，函数为周期函数，在上不是减函数，故A错误；对于B选项，函数是偶函数，故B错误；对于C选项，函数是奇函数，且在上单调递减，故C正确；对于D选项，函数是奇函数，且在上单调递增，故D错误，故选：C67．（2023上·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为.【答案】【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案.【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.，故，，.当时，不关于轴对称，舍去；当时，关于轴对称，满足；当时，不关于轴对称，舍去；故，，函数在和上单调递减，故或或，解得或.故答案为：68．（2023上·广西贵港·高一统考期末）若幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数,在上单调递减，则（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】由题意知是偶函数，在上单调递减,可得为正偶数，再根据的范围可得答案.【详解】由题意知是偶函数，因为在上单调递减,所以为正偶数，又，∴，解得或．故选：D．69．（2023上·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】由的值依次求出的值，然后根据函数的性质确定，得函数解析式，计算函数值．【详解】，，，代入分别是，在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，时，在上不是减函数，只有满足，此时，，．故选：B．70．【多选】（2023上·湖北·高一孝昌县第一高级中学校联考期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（

）A． B． C．D．【答案】BD【分析】根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，其中选项ABC可直接判断单调性和奇偶性，选项D