3、数列期末专题复习（答案版）

数列期末专题复习（答案版）专题1等差数列题型1求等差数列的基本量1．【答案】B【详解】设数列的首项为，公差为，因为，所以，解得，所以，故选：B.2．【答案】D【详解】设等差数列的公差为，则，故而.故选：D3．【答案】B【详解】在等差数列中，，，即，，从而得等差数列公差，，于是得的通项公式为，则是单调递减等差数列，其前10项均为正，从第11项起的以后各项均为负，因此，数列的前10项和最大，所以，使达到最大值的n是10.故选：B.4．【答案】A【详解】设等差数列的公差为，∵，，∴，解得：，∴.故选：A.5．【答案】6【详解】因为是公差不为0的等差数列，设公差为，所以，，又，所以，即则，所以，又，所以，则．故答案为：66．【答案】49【详解】设等差数列的公差为d，则，所以，可得；又，即，解得．故答案为：7．【答案】或/或【详解】由等差数列的求和公式可得，则，可得.当时，；当时，.综上所述，或.故答案为：或.8．【答案】2【详解】设数列的公差为，则，，因为数列是等差数列，则有，即，化简整理得：，解得，显然，与均为等差数列，，则，所以的值为2.故答案为：2题型2等差数列的判定与证明9．【答案】B【详解】若是等差数列，则，因为成等差数列，则，则，整理得，与非零实数不全相等矛盾，所以一定不是等差数列.故选：B.10．【答案】A【详解】正项数列满足，，所以，可得，所以是等差数列，首项为，公差为，所以，所以，故选：A．11．【答案】C【详解】由得：，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，.故选：C.12．【答案】B【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，则，，，由得：，解得：，又，.故选：B.13．【答案】(1)；(2)证明见解析(3)【分析】（1）直接令中的，可得答案；（2）通过得到，两式相除整理后可证明数列为等差数列；（3）当时，通过可得数列的通项公式，注意验证时是否符合.【详解】（1）由，且，当时，，得，当时，，得；（2）对于①，当时，②，①②得，即，，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列；（3）由（2）得，，当时，，又时，，不符合，.14．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据题意，将原式两边同时取倒数，即可得到证明；（2）由（1）可得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式．【详解】（1）因为，，所以，即，所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列.（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以，所以.15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，结合已知递推关系进行转化，然后结合等差数列的通项公式及递推关系可求；（2）由已知先求，根据错位相减即可求和．【详解】（1）由题意得：当时，，因为，所以，所以，因为，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，则，所以，当时，，由于不适合上式，故；（2）当时，，当时，，所以，当时，，，相减得，故，此时也适合，故．16．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）利用等差数列的定义可证得结论成立，并确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法可求得.【详解】（1）证明：，所以，，即，又，则数列是等差数列，且该数列首项为，公差为，所以，，解得．（2）解：，①∴，②①②，得，所以，．题型3等差数列的常见性质17．【答案】A【详解】由等差数列性质知：，，，，.故选：A.18．【答案】C【详解】等差数列的前项和为，且，由等差数列的基本性质，得，.故选：C.19．【答案】C【详解】由等差数列的性质知：.故选：C.20．【答案】C【详解】为等差数列，，，，，，，公差，，．故选：C21．【答案】B【详解】由且，所以，故B正确；所以公差，数列为递减数列，A错误；由，，，所以，，时，，的最大值为，故C错误；，故D错误.故选：B22．【答案】【详解】，由于，故答案为：23．【答案】【详解】因为，又，所以，又，，所以，所以公差，所以，即，解得.故答案为：24．【答案】e【详解】由等差数列性质可知：，又，故.故答案为：e专题2等比数列题型1等比数列的基本运算1．【答案】C【详解】因为且，所以.故选：C2．【答案】B【详解】解：因为成等比数列，由等比中项性质可得，解得或，又，所以，，故选：B.3．【答案】C【详解】因为是等比数列，设公比为，所以，又，所以，故选：C4．【答案】C【详解】设等比数列的公比为，由得，解得，所以．故选：C．5．【答案】5【详解】解：设正项等比数列的公比为，，因为是与的等差中项，所以，即，即，解得或（舍去）；故答案为：.6．【答案】370【详解】因为与之间插入个4，，，，，，其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，，之间插入32个4，由于，，故数列的前60项含有的前5项和55个4，故.故答案为：370.7．【答案】【详解】设等比数列的公比为q，则，则，当时，.因为也适合上式，所以.故答案为：.8．【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，即，解得（舍）或..（2），，，相减得：，，所以题型2等比数列的判定与证明9．【答案】C【详解】成等比数列，设公比为，则均不为0，且，，故成等比数列，且公比为，因此成等比数列，且公比为，，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列，故选：C10．【答案】B【详解】因为，且，所以是首项为，公比为的等比数列，所以的前项和为：．故选：B．11．【答案】A【详解】若数列的公差，即，所以数列是递减数列，A选项正确；若数列的前项和，则，当时，，此时有，但，所以数列不是等比数列，B选项错误；若数列的前项和（为常数），则，当时，，此时有，但，当时，，所以数列不一定为等差数列，C选项错误；数列是等比数列，为前项和，当公比，为偶数时，则均为0，不为等比数列，D选项错误.故选：A12．【答案】BD【详解】由，所以当时，有，两式相减得，又，，所以数列不是等比数列，故A错误；C错误；由，得，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以，故B正确；D正确．故选：BD．13．【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且.当时，，当时，，也满足，故对任意的，.（2）解：当时，，可得，所以，，且，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，因此，数列是公比为的等比数列.14．【详解】（1）证明：因为，故.又，则，所以.又，所以对任意的时，，故是以为首项，公比为3的等比数列；又因为，所以.又，则，所以.又，所以对任意的时，，故是以为首项，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）知，，.即，，两式作差可得，整理可得.15．【详解】（1），时，，相减得：，又，,,所以，,所以是等比数列，首项是9，公比是3；（2）由（1）得，，，，则，相减得，∴．16．【详解】（1）∵，①∴当时，，②；①②，得，即，∴化简整理得（），又∵，∴数列中各项均不为，且（），∴数列是首项，公比为的等比数列.（2）由第（1）问，，∴，∴，∴.∴数列的前项和.题型3等比数列的性质及其应用17．【答案】C【详解】∵为等比数列，∴，，，.故选：C18．【答案】B【详解】解：因为1，，，4成等差数列，所以，又因为1，，，，4成等比数列，所以，，所以，所以，故选：B19．【答案】C【详解】已知，所以，解得，即①；又，则，即②；又，由①②得，所以，解得或.因为数列是递增的等比数列，所以.故选：C.20．【答案】A【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列