北师大版数学八年级下册1.4角平分线教学课件

1.4角平分线第1课时学习目标准备好了吗？一起去探索吧！角平分线1.证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决简单的问题.3.在角平分线性质定理及判定定理的学习过程中，体会抽象、类比、分类的数学思想.4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.重点难点什么是点到直线的距离？复习回顾

从直线外一点，到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.OPAB点到直线的距离复习回顾角平分线是如何定义的？

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.

OBCA复习回顾

如何使用尺规画出一个角的角平分线？已知：∠AOB，如右图.求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.BAOEDC作法：

1.以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于D，交OB于E，则OD=OE．3.作射线OC．

2.分别以D，E为圆心．大于

的长度为半径作弧．两弧在∠AOB内交于点C．OC就是∠AOB的平分线．

你还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？合作探究角平分线上的点到角两边的距离相等.通过角的轴对称性，利用折纸的方法结合对称的性质得到的.AOBCDECDE合作探究

已知：如图，

OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.

求证：PD=PE.AOBPEDC12证明：∵∠1=∠2

，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).归纳角平分线性质定理角平分线上的点到这个角两边的距离相等.定理应用所具备的条件：

1.角的平分线；

2.点在该平分线上；

3.垂直距离.定理的结论：

距离(线段)相等.几何语言:

如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE.AOBPEDC证明线段相等的方法：全等三角形等腰三角形线段的垂直平分线等量代换角平分线

你能写出角平分线定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它.

逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.议一议真命题角平分线定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.议一议

已知：如图，

点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.

求证：OP平分∠AOB.AOBPEDC12证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，

∴∠ODP=∠OEP=90°.∵

PD=PE，OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL)∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).∴OP平分∠AOB.归纳角平分线的判定定理：

在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

如图，PD⊥OA，

PE⊥OB，PD＝PE，则OP平分∠AOB．定理应用所具备的条件：定理的结论：1.点在角的内部2.点到角两边的距离3.距离相等点在角平分线上(两角相等)几何语言：证明角相等的方法：平行线全等三角形等腰三角形等量代换角平分线AOBPEDC归纳角平分线的性质定理与判定定理的对比性质定理图形已知条件结论OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E判定定理互逆定理AOBPEDCAOBPEDC典型例题AD

由已知分析可知AD是∠BAC的角平分线，因此可以计算出∠EAD=30°，而△AED是直角三角形，“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，由此可以求出DE的长度.

例

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.EAFCBD典型例题

例

在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长AD

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且DE=DF.

∴点D在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上)，

即AD平分∠BAC.∵∠BAC=60°∴∠BAD=30°.

在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE=

(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).EAFCBD1.已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（）A．P为∠CAB、∠CBA两角平分线的交点B．P为∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点随堂练习B2.如图，AD，AE分别是△ABC中∠BAC的内角平分线和外角平分线，它们有什么位置关系？随堂练习BDCAEF

解：AD⊥AE.∵∠BAC+∠CAF=180°，∠DAC=∠BAC，∠CAE=∠CAF，∴

∠DAE=∠DAC+∠CAE

=(∠BAC+∠CAF)=90°，∴AD⊥AE.3.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC

求证：AM平分∠DAB.随堂练习

证明：过M点作ME⊥AD，垂足为E.∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC(角平分线上的点到角两边的距离相等)又∵BM=CM，∴ME=MB，∵ME⊥AD，MB⊥AB，ME=MB，∴AM平分∠DAB(在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).EDAMCB角平分线判定定理：角平分线角平分线性质定理：

角平分线上的点到这个角两边的距离相等.几何语言:

如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE.AOBPEDC

在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.几何语言:

如图，PD⊥OA，

PE⊥OB，PD＝PE，则OP平分∠AOB．AOBPEDC教科书

习题1.9第2、3题再见1.4角平分线第2课时配套北师大版学习目标准备好了吗？一起去探索吧！角平分线1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.3.在角平分线性质定理及判定定理的学习过程中，体会抽象、类比、分类的数学思想.4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.重点难点角平分线的性质定理是什么？复习回顾

角平分线性质定理角平分线上的点到这个角两边的距离相等.几何语言:

如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE.AOBPEDC角平分线的判定定理是什么？复习回顾

在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

如图，PD⊥OA，

PE⊥OB，PD＝PE，则OP平分∠AOB．几何语言：AOBPEDC角平分线的判定定理：

三角形的边的垂直平分线有什么性质？三角形三条边的垂直平分线有什么性质？复习回顾

三角形的边的垂直平分线上的点到这条边两个顶点的距离相等.

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

三角形的三条角平分线又有什么性质呢？典型例题AD

两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.证明前要先将题目转化为几何语言，画出图形.然后结合前面学到的角平分线的判定定理和性质定理进行证明.

例2求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.DEFABCPMN

已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.

求证：点P在∠A的平分线上，且PD＝PE＝PF.典型例题AD

证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距

离相等).

同理，PE＝PF．

∴PD＝PE＝PF.

∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，并且到

角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上).

已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.

求证：点P在∠A的平分线上，且PD＝PE＝PF.ABCPMNDEF归纳三角形的内心：三角形三条角平分线交于一点，这一点称为三角形的内心.三角形的内心到三角形三条边的距离相等.三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等是三角形的一个重要特征，该交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形，利用三个小三角形的面积之和等于原三角形的面积，求角平分线交点到三边距离或者求三角形的面积，体现等面积法的运用.应用：AD应用问题

如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在哪里？与同伴交流讨论一下.ABCQ

集贸市场Q应该建在三条线段AB，AC，BC对应的角平分线的交点处.典型例题AD

(1)由已知可知△ABC是等腰直角三角形，可以利用角平分线的性质定理及勾股定理求出BD的长，从而求出BC的长，即AC的长.(2)利用角平分线的性质定理及三角形全等可以证明AC=AE，再通过证明△BDE为等腰直角三角形可以得到DE=BE，从而证出AB=AC+CD.

例3如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.

(1)已知CD=，求AC的长；(2)求证:AB=AC+CD.EDABC典型例题

(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，

∴DE＝CD＝(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).

∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC

(等边对等角).

∵∠C＝90°，

∴∠B＝(180°－90°)＝45°.∴∠BDE＝90°－45°＝45°.

∴BE＝DE(等角对等边).

在等腰直角三角形BDE中，

BD=(勾股定理)

∴AC＝BC＝CD＋BD＝.EDABCAD典型例题

(2)证明：在

Rt△ACD和Rt△AED中，∵CD=DE，AD=AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).

∴

AC＝AE(全等三角形的对应边相等)

∵

BE＝DE＝CD，

∴

AB＝AE＋BE＝AC＋CD.EDABC归纳角平分线性质定理和判定定理的应用：1.角平分线和平行线都可以得出角相等，由角相等可以得出线段相等，进而可以进行线段之间的转化，达到证明线段之间和差倍分关系的目的．2.角平分线的性质是证明边相等的重要依据，常与直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理等综合应用，在应用中常用到“构造法”和“转化思想”.PAOBDC12ABCDEFABCDEFABCDEPOAQBMN归纳角平分线有关问题的常见辅助线做法：1.在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的(

)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．以上均不对2.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分

别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，

则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______.随堂练习BBAC4:5:63.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.

求证：DE＝BD＋CE.随堂练习

证明：∵BO平分∠ABC，

∴∠ABO＝∠CBO.∵DE∥BC