辽宁省大连市瓦房店市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题含答案解析

2023-2024学年度第一学期九年级数学练习2023.11注意事项：1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷共八大题，25小题，满分120分，考试时间120分钟．一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知一元二次方程有一个根为1，则的值为（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把代入方程得，解得．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A.开口向上 B.当x＝2时，y有最小值是3 C.对称轴是 D.顶点坐标是（-2，3）【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．【详解】解：，抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，有最大值3，故、、说法错误，说法正确，故选：．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标是，，对称轴直线，二次函数的图象具有如下性质：当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点，当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．3.如图，点、、都在上，，则等于（）A.40° B.50° C.80° D.100°【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理直接得出答案．详解】解：，，故选C【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．4.将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）A.y=x2﹣1 B.y=x2+1 C.y=（x﹣1）2 D.y=（x+1）2【答案】A【解析】【分析】据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加．上下平移只改变纵坐标，下减上加．【详解】解：根据题意得：将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，∴平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1．故选A．5.电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可直接列出方程．【详解】解：由题意可得方程为；故选C．6.一元二次方程x2+x﹣6=0的根的情况是（）A.有两个相等的实根 B.没有实数根C.有两个不相等的实根 D.无法确定【答案】C【解析】【分析】由根的判别式△=b2-4ac，即可判定一元二次方程x2+x-6=0的根的情况【详解】∵△=b2-4ac=12−4×1×(−6)=25>0，∴有两个不相等的实根故选C【点睛】此题考查了根的判别式.注意△>0⇔方程有两个不相等的实数根;△=0⇔方程有两个相等的实数根;△<0⇔方程没有实数根7.如图，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据旋转的性质得AD=AC,∠BAE=∠CAD,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD=50°,则∠BAE=50°,然后利用互余计算∠ABC的度数．【详解】∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置,∴AD=AC,∠BAE=∠CAD,∵AD=AC,∴∠ACD=∠ADC=65°,∴∠CAD=180°-65°-65°=50°,∴∠BAE=50°,∵AE⊥BC,∴∠ABC=90°-∠BAE=40°,故选B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质,解决本题的关键是要熟练掌握旋转的性质.8.在RtABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的半径是（）A.10 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴BA＝＝＝10，

∴其外接圆的半径为5．

故选：B．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是外接圆的直径．9.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF=（）A. B.5 C.+2 D.3【答案】B【解析】【详解】解：作FG⊥AC，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，∵FG⊥AC，∴FG∥CD，∵点F是DE的中点，∴GF=CD=AC=3，EG=EC=BC=2.∵AC=6，EC=BC=4，∴AE=2，∴AG=4，根据勾股定理，AF==5．故选B【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线性质、勾股定理的综合运用，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．10.对于抛物线下列说法：①对称轴为；②抛物线与x轴两交点的坐标分别为，；③顶点坐标为；④若，当时，函数y随x的增大而增大．其中正确的结论有（）个A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一般式化成顶点式，抛物线与坐标轴交点，将二次函数的解析式化成顶点式，求出对称轴与顶点坐标，再根据二次函数的图像与性质对各项进行判断即可．【详解】解：，抛物线的对称轴为，顶点坐标为，故①③正确；，，，，，抛物线与x轴两交点的坐标分别为，，故②正确；抛物线的对称轴为，若，抛物线的开口方向向下，当时，函数y随x的增大而增减小，故④不正确，综上所述，正确的有：①②③，共3个，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.平面直角坐标系中，点关于原点旋转后得到的对应点的坐标为_________．【答案】【解析】【分析】根据旋转的性质可知点P和点关于原点对称，根据点关于原点对称点的坐标为解答即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系中，将点绕原点O旋转得到点，∴点P和点关于原点对称，∴点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质、坐标与图形变化，掌握点关于原点对称点的坐标为是解答的关键．12.二次函数的顶点坐标为________．【答案】【解析】【分析】把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】解：∵，把二次函数化为顶点式为：；∴顶点坐标为：；故答案为：.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练把二次函数的一般式化为顶点式.13.若m、n是方程x2+6x﹣5=0的两根，则3m+3n﹣2mn=______．【答案】﹣8【解析】【详解】试题解析：∵m、n是方程x2+6x﹣5=0的两根，∴m+n=-6，mn=-5，∴3m+3n﹣2mn=3(m+n)-2mn=3×(-6)-2×(-5)=-18+10=-8.14.如图是二次函数图象的一部分，图象过抛物线的对称轴为直线，若、、，均为函数图象上的点，则、、大小关系为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质解答即可．【详解】解：根据函数的图象知时，函数的值随的增大而减少，∵，∴，故答案为：．15.如图，是的直径，是的切线，切点为D，与的延长线交于点C，，则的长度为______．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等腰三角形的判定，连接，根据圆周角定理可得，再由是的切线，可得，从而，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵是的直径，，∴，∵是的切线，∴，，∴，∵，∴．故答案为：5．16.如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为_____．【答案】（，2）【解析】【详解】∵点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，∴，解得：，∴∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴，当y=2时，，解得：或（舍去），∴点P的坐标．故答案为：（，2）三、解答题（17、18、19每题8分，共24分）17.选择适当方法解方程：．【答案】，【解析】【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．【详解】解：，分解因式得：，可得或，解得：，．18.《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题．【答案】直径的长为寸【解析】【分析】连接，设的半径为r，利用垂径定理得到寸，再利用勾股定理求解即可．【详解】接：连接，设的半径为r，∵是的直径，，∴，，在中，根据勾股定理得，∴，解得，∴，即直径的长为寸．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．19.如图，线段的两个端点的坐标分别为、，将线段绕点O逆时针旋转到对应线段（点A与C对应，点B与D对应）．（1）请在图中画出线段；（2）请直接写出点A、B的对应点的坐标C（______，______）、D（______，______）；（3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出P点坐标为（______，______）．【答案】（1）画图见解析（2），；，（3），【解析】【分析】（1）分别确定A，B绕原点逆时针旋转后的对应点C，D，再连接即可；（2）根据C，D的位置可得其坐标；（3）先确定点D关于x轴的对应点E，连接交x轴于点P，再求解的解析式，可得P的坐标．【小问1详解】解：如图，线段即为所求作的线段；【小问2详解】由C，D的位置可得：，；【小问3详解】如图，即为所求作的点，∵，，设直线为，∴，解得：，∴直线为，当时，，∴，∴．【点睛】本题考查的是画旋转图形，坐标与图形，轴对称的性质，一次函数的应用，掌握旋转的性质并进行画图是解本题的关键．四、解答题（20、21每题8分，共16分）20.已知二次函数的图象如图所示，与x轴交于，对称轴为直线．解决下列问题：（1）关于x的一元二次方程的解为______；（2）求此抛物线的解析式；（3）若直线与抛物线没有交点，直接写出k的范围．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系．（1）先由二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，二次函数与x轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解；（2）利用（1）求出的二次函数与x轴的两个交点坐标，利用交点式即可得到答案；（3）首先配方得到，求出二次函数的最大值为4，然后根据图象求解即可．【小问1详解】∵二次函数与x轴交于，对称轴为直线∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为，∴方程的解为，，故答案为：，；【小问2详解】∵，，∴抛物线与x轴的交点坐标为和两点，∴设抛物线解析式为，∴抛物线解析式为；【小问3详解】∵∴二次函数的最大值为4，根据图象可得，若直线与抛物线没有交点，∴大于函数的最大值，∴．21.已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．【答案】（1）答案见解析；（2）平行四边形，理由见解析【解析】【分析】（1）由正方形ABCD，得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）．（2）由（1）得BG=DE，又由旋转的性质知AE′=CE=CG，所以BE′=DG，从而证得四边形E′BGD为平行四边形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°．∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°．又∵CG=CE，∴△BCG≌△DCE．（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′．∵CE=CG，∴CG=AE′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB=CD．∴AB﹣AE′=CD﹣CG．即BE′=DG．∴四边形E′BGD是平行四边形．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定等知识的综合应用，以及考生观察、分析图形的能力．五、解答题（本题8分）22.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．求这条抛物线所对应的函数关系式；若要在隧道壁上点如图安装一盏照明灯，灯离地面高求灯与点B的距离．【答案】；照明灯与点B的距离为．【解析】【分析】（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值【详解】由题意，设抛物线所对应的函数关系为，点或在抛物线上，，，，．故抛物线的函数关系式为．过点P作于Q，连接PB，则．将代入中，，，．，，于是，，从而．所以照明灯与点B距离为．【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．六、解答题（本题10分）23.如图，，分别与相切于点A，B，点D在上，且，，垂足为E．（1）求证：；（2）若的半径，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接，证明四边形是矩形，可得；（2）连接，可得，证明，可得，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可．【小问1详解】证明：如图，连接，∵为的切线，∴，∵，∴，∵，∴四边形是矩形，∴；【小问2详解】连接，则，∴，∵，，，∴，，∴，∴，设，则，在中，有，∴，即．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．七、解答题（本题12分）24.综合与实践：数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角和等腰直角，，，，连接，，如图1．独立思考：（1）如图1，求证：；实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，．①求的度数；②线段与线段交于点F，求的值；③若，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②；③【解析】【分析】（1）根据证明，即可得出；（2）①先根据平行线的性质求出，再根据周角求出结果即可；②先证明，得出，先证明，得出，证明为等边三角形，根据三线合一得出，求出；③过点B作的垂线，垂足为点F，证明为等腰直角三角形，求出，，根据勾股定理求出，根据线段间关系求出结果即可．【详解】（1）证明：如图1，∵等腰直角和等腰直角，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：①如图1，∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．②连接，如图2：由（1）可知：，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∵，∴，∴，∴；③如图3，过点B作垂线，垂足为点F，∵，∴为等腰直角三角形，∵∴，，在中，，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．八、（本题12分）25.已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；（2）若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点G，求的面积；（3）在对称轴上找一点Q，使的值最小，求满足条件的点Q坐标；（4）在抛物线上是否存在一点P，使得是以为直角边的直角三角形？存在，求出点P