山东省滨州市滨城区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题含答案解析

2023－2024学年度第一学期教学质量抽测九年级数学试题（A）温馨提示：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟．2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分30分．1.下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.科克曲线 B.笛卡尔心形线 C.阿基米德螺旋线 D.赵爽弦图【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.用配方法解方程，下列变形正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．【详解】把方程的常数项移到等号的右边，得到：，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到：，配方得：，故选D．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3.如图，为的直径，半径的垂直平分线交于点C，D，交于点E，若，则的长为（）A. B.4 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根据是半径的垂直平分线，可得，用勾股定理解求出，由垂径定理可得．【详解】解：如图，连接．为的直径，，，是半径的垂直平分线，，，，，故选C．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，垂直平分线的定义，解题的关键是掌握垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．4.如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，，，，故选：D．5.如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为（）A.4 B.5 C.6 D.【答案】B【解析】【分析】由题意知，由，可得为的直径，由四点共圆，可求，则，然后求直径，求半径即可．【详解】解：∵点的坐标为，∴，∵，∴为的直径，∵四点共圆，∴，∴，∴，∴半径为5，故选：B．【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形，三角形内角和定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形是解题的关键．6.如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【详解】解：抛物线向下平移1个单位，抛物线的解析式为，即．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移个单位长度纵坐标要减．7.如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为的面积为，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，全等三角形的判定，关键是由正六边形的性质证明．连接、、、，由正六边形的性质得到、、、、、把圆六等分，推出，得到、是等边三角形，由证明，得到的面积的面积，同理：的面积的面积，的面积的面积，因此的面积的面积的面积的面积，即可得到答案．【详解】解：连接、、、，六边形是的内接正六边形，、、、、、把圆六等分，，，、是等边三角形，，，，的面积的面积，同理：的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积的面积的面积，，．故选：A．8.在平面直角坐标系中，的图象经过点两点，若，，则与的大小关系是（）A. B. C. D.无法确定【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握运用函数图像比较函数值的大小是解题的关键．通过比较点到轴的距离即可得到答案．【详解】解：抛物线对称轴轴，而，，故，故选A．9.某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利24元，市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元．以下说法错误的是（）A.每件商品进价为40元B.降价后每件商品售价为元C.降价后每周可卖件D.每星期的利润为【答案】D【解析】【分析】设商品进价为a元，根据“按标价的八折销售，仍可盈利24元”，列出方程求出商品进价，即可逐个进行判断．【详解】解：A、设商品进价为a元，，解得：，∴每件商品进价为40元，故A正确，不符合题意；B、降价后每件商品售价为元，故B正确，不符合题意；C、降价后每周可卖件，故C正确，不符合题意；D、每星期的利润为，故D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是求出商品进价，根据题意，找出等量关系．10.表中所列的6对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中．100根据表中信息，下列4个结论：①；②；③；④如果，那么当时，直线与该二次函数图象有一个公共点，则；其中正确的有（）个．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．①由二次函数的对称性可得对称轴为直线，可直接判断；②由对称轴的位置及且，可知在对称轴右侧，y随x的增大而增大，由此可判断a的符号，进而可判断b和c的符号；③由上述判断可知，当时，，结合可判断；④根据题中给出的数据，可求得函数解析式，进而可判断时，y的取值范围，进而可判断．【详解】解：①由表格可知，当和时，函数值相等，∴对称轴为直线，∴，即，故①正确，符合题意；②由表格可知，，且，∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴，∴，由表格可知，当和时，函数值相等，又∵，，∴，∴，故②错误；③由上分析可知，当时，，又∵，∴，故③正确；④当，时，可知函数过点，∵对称轴为直线，∴抛物线跟x轴的另一个交点，∴函数的解析式可设为，∵，∴，解得，∴函数解析式为：，画出函数图象如图所示：当时，，当时，，又抛物线的顶点坐标为，∴当时，直线与该二次函数图象有一个公共点；∴若直线与该二次函数图象有一个公共点，则或；故④错误．故选：B．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11.已知点的坐标为，则关于原点对称的点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到答案．【详解】解：关于原点对称的点的坐标特征为横、纵坐标全变为相反数，故点的坐标为，则关于原点对称的点的坐标为，故答案为：．12.如图，是的内切圆，，则的大小是______．【答案】##120度【解析】【分析】本题主要考查了三角形的内切圆和内心、三角形内角和定理等知识，理解并掌握内切圆和内心的性质是解题关键．根据题意可知是的内心，易得求得，，再利用三角形内角和定理解得，进而可得，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵是的内切圆，即是的内心，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案为：．13.如图，、分别与相切，切点分别为A、B，，，若为的直径，则图中阴影部分的面积为________．【答案】【解析】【分析】可求，，从而可求，，可得，由即可求解．【详解】解：、分别与相切，，，是等边三角形，，，，，，是直径，，，，，，，，．故答案：．【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边的三角形的判定及性质，扇形面积公式，特殊角的三角函数值，直角三角形的特征等，掌握相关的性质及公式是解题的关键．14.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转后与重合，若，则______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据旋转的性质得到，是解答此题的关键．【详解】解：由题可知：，∴，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，故答案为：．15.如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交于点，若，则的面积为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质是解题的关键．如图，连接，证明，则，，的半径为5，然后求面积即可．【详解】解：如图，连接，∵正方形，∴，，，∵，∴，，，∴，∴，∴，∵内切于正方形，∴的半径为5，∴的面积为，故答案：．16.现有是关于的二次函数，则下列描述正确的是______．（填序号）①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象在轴上截得的线段的长度不小于；③当时，函数图象总过定点；④若函数图象上任取不同的两点，则当时，函数在时一定能使成立．【答案】①③##③①【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质、抛物线与轴交点、一元二次方程的应用等知识，理解并掌握二次函数的图象与性质是解题关键．将代入函数解析式并化为顶点式，即可判断①；求得该函数图象与轴交点，进而求得的值，即可判断②；由，可知当时，的值与无关，进而求得该函数图象经过的定点坐标，即可判断③；当时，确定该函数图象的对称轴及开口方向，易知当时，只有当对称轴在右侧时，才随的增大而增大，即可判断④．【详解】解：当时，该函数为，∵，∴该函数图象的顶点坐标为，故①正确；当时，由可得，，则，∴，∴，，∴，∴该函数图象在轴上截得的线段的长度大于，故②错误；当时，，当时，的值与无关，此时，，当时，，当，，∴该函数图象总过定点和，故③正确；当时，该函数图象的对称轴为，抛物线开口向下，故时，只有当对称轴在右侧时，才随的增大而减小，即成立，故④错误．综上所述，描述正确的是①③．故答案：①③．三．解答题：（本大题共12个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．）17.解方程：（1）（2）．（3）（4）【答案】（1），（2），（3），（4），【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用配方法解一元二次方程即可；（4）利用公式法解一元二次方程即可；【小问1详解】解：原方程化为，开方，得，∴，；【小问2详解】解：原方程化为，即，∴或，∴，；【小问3详解】解：移项，得，配方，得，即，开方，得，∴，；【小问4详解】解：，，，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法及其步骤，正确求解是解答的关键．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．（1）画出△A1B1C1；（2）BC与B1C1的位置关系是，AA1的长为；（3）若点P（a，b）是△ABC一边上的任意一点，则点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为．【答案】（1）见解析；（2）BCB1C1，；（3）（-a，-b））【解析】【分析】（1）根据中心对的两个图形对应点的坐标互为相反数画出图形即可；（2）根据图形可得出BCB1C1，根据勾股定理得出AA1的长为；（3）根据中心对的两个图形对应点的坐标互为相反数得出P1的坐标．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）∵B（-4,1），C（-3,3），，∴BCB1C1，＝；故答案为BCB1C1，；（3）∵点P（a，b）是△ABC一边上的任意一点，△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．∴点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为，故答案为．19.已知关于x的一元二次方程有两根分别为、．（1）求m的取值范围；（2）若，求m的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，结合m的取值范围，即可求解．【小问1详解】解：∵，，，，；【小问2详解】解：∵，，∴解得：或∴．【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，以及一元二次方程根与系数关系：．20.已知：和圆外一点，求作：过点的的切线．作法：①连接；②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接，交于点．③以为圆心，长为半径作，交于点；④作直线．所以直线为的切线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接．，，是线段的______（______）（填推理的依据）．．为的直径，在上（______）（填推理的依据）．半径，半径．直线为的切线（______）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析（2）垂直平分线；到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）先由垂直平分线的判定可得是线段的垂直平分线，从而得到，再由圆周角定理可得，由此即可得证．【小问1详解】解：如图，即为所作，；【小问2详解】解：连接，，，，是线段的垂直平分线，（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），，为的直径，在上，（直径所对的圆周角是直角），半径，半径，直线为的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线），故答案为：垂直平分线；到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查了作图—复杂作图，此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的判定与性质、圆周角定理和切线的判定与性质．21.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，（1）用含x的解析式表示：第一轮后共有①______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有②______人患了流感；（2）根据题意，列出相应方程为③______；（3）解这个方程，得④______；（4）根据问题的实际意义，平均一个人传染了⑤______个人．【答案】（1），（2）（3）（4）10【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键．（1）设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，则一轮传染以后有人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有人，一个人传染x个人，则第二轮又有人患病，则两轮后有人患病；（2）据两轮后有人患病，即可列方程求解；（3）利用直接开平方法解方程；（4）根据问题的实际意义得出答案．【小问1详解】由题意可得，第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，第二轮后共有人患了流感；故答案为：，；【小问2详解】根据题意，列出相应方程为，即．故答案为：；【小问3详解】，开平方得，，解得，故答案为：；【小问4详解】根据问题的实际意义，不符合题意，应该舍去，，即平均一个人传染了10个人．故答案为：10．22.求证：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了垂径定理，根据命题画出图形并根据圆的隐含条件半径相等进行证明是解题的关键．先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．【详解】已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为点．求证：证明：连接，则．在等腰三角形中，，．点和点关于对称．关于对称，当圆沿着直径对折时，点与点重合，∴与重合，与重合．∴.23.已知二次函数，它的图象顶点为，并且与轴交于点．（1）直接写出的坐标．（2）画出这个二次函数的图象．（3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围．（4）若直线也经过两点，直接写出关于的不等式的解集．【答案】（1），（2）作图见详解（3）当时，函数值的取值范围（4）当或时，【解析】【分析】（1）将二次函数一般式配方为顶点式可求出顶点坐标，令可求出与纵轴的交点，由此即可求解；（2）根据题意分别求出二次函数与横轴的交点，顶点坐标，连线即可求解；（3）根据自变量的取值范围求对应的函数值，由此即可求解；（4）运用待定系数法求出直线的解析式，图形结合分析即可求解．【小问1详解】解：二次函数化为顶点式得，，∴二次函数的顶点坐标为，∴，∵二次函数与轴交于点，∴令，则，∴．【小问2详解】解：设二次函数与横轴交于点（点在点的左边），令，则，解得，，，∴，，且，，∴作图如下，【小问3详解】解：二次函数，当时，；当时，；∵二次函数的对称轴为，且，∴当时，；∴当时，函数值的取值范围．【小问4详解】解：已知，，直线也经过两点，∴，解得，，∴过两点的直线的解析式为，如图所示，∴当时，；当时，；∴当或时，．【点睛】本题主要考查二次函数图象，一次函数图象的综合，掌握二次函数图象的性质，待定系数法求一次函数解析式，图形结合分析是解题的关键．24.如图，是的直径，是的一条弦，连接（1）求证：（2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设交于点，连接，证明，故可得，于是，即可得到；（2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线．【小问1详解】证明：设交于点，连接，由题可知，，，，，，，，，；【小问2详解】证明：连接，，，同理可得：,，∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，，，，，为的直径，，，，，，，直线为的切线．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．25.如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．（1）求A点、B点坐标；（2）求直线的解析式；（3）点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由．【答案】（1）点A的坐标为，点B