平面解析几何（解析版）-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第五期5月）

专题05平面解析几何

22

I.（2021.重庆高三二模）已知双曲线C:[-4=l（a>0,b>0）的左焦点为广，直线y="与双曲线C交于

ab

3

A,8两点（其中点力位于第一象限），NAFB=9（）°,且△£钻的面积为一〃，则直线AR的斜率为（）

2

A1RV2J_逝

3322

【答案】A

【分析】设双曲线右焦点为乙，连接由图形的对称性知AEB8为矩形，然后利用双曲线的定

义和已知条件可求出|A尸|=3«,|45|=〃，从而可求出直线A尸的斜率

【解析】设双曲线右焦点为B，连接AF2,BF2,由图形的对称性知AFBF2为矩形，则有|AF|-\AF2\=2a,

2

\AF\]AF2\=3a,

|AF|=3fl,|AF,|=tz,在RIAAF6中，kAF=tanZAFF2=,

故选:A.

2.（2021•重庆高三二模）已知实数a,b,c成等差数列，则点尸（2,-1）到直线依+勿+c=0的最大距离

是（）

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】C

【分析】由等差数列性质得a+c=»,求出点到直线的距离，代入消元后应用基本不等式可得最大值.

12a—hc\12a—b+2b—ci\|a+b|

【解析】山已知a+c=»,点P到直线的距离d=

8+3Ja?+/^cr+b~

由均值不等式知（a+0）2,,2（/+〃），当且仅当。时取等，故&,、历，最大值为行.

故选：C.

3.（2021•福建莆田市高三三模）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭

圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、

（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别U、至、—,设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分

9457

别为6］、e2、e},则（）

(1)(2)(3)

A.el>e3>e2B.e2>e3>e]

C.eI>e2>e3D.e2>et>e3

【答案】A

【分析】根据椭圆的离心率公式可知，椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大，比较出三个椭圆

的长轴长与短轴长的比值大小，由此可得出结论.

【解析】因为椭圆的离心率

所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.

「、，13…56,〜10…,,,131056…

因为—~1.44,—«1.24,—a1.43,则—>—>—,所以耳>03>62.

94579745

故选：A.

4.（2021•福建龙岩市高三三模）已知抛物线/=4），的焦点为产，准线为/,过抛物线上一点P作PQ，/,

垂足为。，若|尸目=4,则ZFQP=（）

A.30。B.45°C.60D.75°

【答案】C

【分析】先由题中条件，求出点P坐标，从而得到点Q坐标，求出|Q尸判定AFQP为等边三角形，即可

得出结果.

［解析】设P（x°，％），则IPQ|=%+1，

由抛物线的定义可得|PQ|=|PF|,即%+1=4,则%=3,

又玉）2=4笫，则％o'TZ,不妨令P位于第一象限，则%=26,即网263）,因此Q（2百1）,

所以也刊=012+4=4,所以|「。|=忸曰=|。耳，因此AFQP为等边三角形，所以/FQP=60".

故选：C.

22

5.（2。2卜广东高三二模）已知双曲线》/叱。"。）的一条渐近线平行于直线人+2尹5=。，则

双曲线的离心率为（）

A.2B.V5C.8

【答案】D

b1

【分析】根据双曲线的一条渐近线平行于立线，得到-2=-；求解.

a2

X2V2

【解析】因为双曲线二-七=l（a>o/>0）的一条渐近线平行于直线/：工+2>+5=0,

/b2

h1

所以由―2=_:，

a2

所以与=之《=02

aa4

解得e=@

2

故选：D.

22

6.（2021.广东高三二模）已知椭圆C:之+六=1（。>6>0）的短轴长为4,焦距为2夜.过椭圆C的上端

点6作圆炉+卜2=2的两条切线，与椭圆c分别交于另外两点加，N.则ABNA/的面积为（）

144C.乜15

A.6B.一D.—

2552

【答案】B

【分析】根据椭圆的短轴长为4,焦距为2夜，求得椭圆方程，再设直线8N的方程，利用直线与圆相切,

求得直线方程，与椭圆方程联立，求得M,N的坐标即可.

炉+工

【解析】因为椭圆C:=l(a>b>0)的短轴长为4,焦距为20，

b=2,c=\/2,a2—6>

22

所以椭圆方程为三+匕=1,

64

如图所示：

设直线BN的方程为y=kx+2,

,2

则原点到直线BN的距离为d=

Jl+公

又因为直线8N与圆V+/=2相切,

所以卷二

0'解得々=±1，

则直线BN的方程为y=-x+2,

y^-x+2

由，

二+J1

64

同理求得

1124（2、144

所以ABNA/的面积为S=5XMNXB£>=『XWX2+W=W，

故选：B

Y2V2

7.（2021.河北高三二模）椭圆。：—+与=1（。>〃>0）的左右焦点分别为耳，F2,过点”的直线/交椭

ab~

圆C于A,B两点,已知（4后+耳工）21=0,AFX=-F,B,则椭圆C的离心率为（）

10石£

A•D•\«z•Un.

7233

【答案】A

【分析】根据向量运算和椭圆的定义可得关于，的方程，由椭圆的离心率的定义可得选项.

【解析】设忸闾=2c,

因为（丽+质）•丽=（它+质）•（砧-而）=而2_质2=0,

所以=|耳闻=2c,所以|纯j|=2a-2c,

因为彳E=g月瓦所以忸用=g（a—c）,所以忸用=]+当，

设4耳中点为“，则g”_LAB,|A//|=a-c,忸*=g（a-c）,

\F2Af-\AH|2=国砰一代入数据并整理得:7c2-12ac+5a2=0,

等式两边同除以/得：7e2-12e+5=0.解得：e=]或e=l（舍）.

故选：A.

22

8.（2021.河北高三二模）设双曲线C:今-当=l（a>0/>0）的焦距为2c（c>0）,左、右焦点分别是6,F2,

点尸在C的右支上，且。|产马=4尸周，则C的离心率的取值范围是（）

A.（1,V2）B.（"+oo）C.（I,l+V2]D.[1+/,+8）

【答案】C

【分析】求出|尸川=4,化简不等式幺一■-。即得解.

11c-ac-a

【一解…析】一由条一件得1P身£L=一c，所以!」=——c-a，即由2a=一c-a，

|「周a\PF2\a\PF2\a

Q2

又因为|尸玛|2c-a,所以仍居|=，2c—a,

~c-a

即42+2。。一。22（）,得e2-2e—140，

又e>l，所以l<e«l+0.

故选：C

9.（2021.河北高三一模）已知长方体ABC。—44G2，动点P到直线AD的距离与到平面8gGC的距

离相等，则「在平面CGRD上的轨迹是（）

A.线段B.椭圆一部分C.抛物线一部分D.双曲线一部分

【答案】C

【分析】根据长方体里的线线，线面关系，把问题转化为动点到定点的距离与到定直线的距离相等，即抛

物线定义，从而得出轨迹是抛物线的一部分.

【解析】如图所示长方体，

则ADLPZ），即点P到AO的距离为PO，

作PE1CG,则PE为彘P到平面BCC&I的距离，

在平面DCGA中，动点P到定点D的距离与到定直线C4的距离相等，满足抛物线定义,

故点P的轨迹是抛物线的一部分.

故选：C

10.（2021.河北高三一模）过圆O：x2+y2=5外一点产（2,司作圆。的切线,切点分别为A、B,则|AB|=

()

A.2B.75C.D.3

3

【答案】C

【分析】本题首先可结合题意绘出图像，然后根据圆的方程得出|。4|=|。却=石，再然后根据两点间距离

公式以及勾股定理得出|。叫=3、1PH=2,最后通过等面积法即可得出结果.

因为圆0：/+：/=5,直线E4、PB是圆。的切线，

所以0(0,0),|3|=|。耳二石，PA1OA<PB1OB,

因为尸(2,逃)，所以Qp|=五+后=3,1PAi=J。产-OT=2,

根据圆的对称性易知OP,AB,则《仓惧P||AC|=g仓，O4|\AP\,

解得|40|=半，何同=2M。|=警，

故选：C.

22

11.(2021•湖南高三三模)£、场分别是双曲线L-21=1的左、右焦点，过£的直线分别交该双曲线的

24

左、右两支于A、3两点，若和，36,|伤|=怛闾，则|人用=()

A.2B.272C.4D.472

【答案】C

【分析】由双曲线的定义可得，|A用—|A£|=2a,忸耳|一忸闾=勿，结合已知条件可得|A8|=4a,然后

在直角三角形ABF2中利用勾股定理可求得答案

【解析】由双曲线的定义可得，|然卜|伍|=勿,忸制-忸图=2a,

因为|你|=忸闾,所以忸E|—|A用=2a,

所以忸耳|-|M|=4a,即网=4a,

因为4工±BF?,

所以|A周，忸用2=|AB「，所以21A用2=|AB|2=16«2,

22

由^-——=1.得“2=2,

24

所以21AM「=|AB「=16/=32,得|A用=4,

故选：C

22

12.（2021•湖北高三二模）已知双曲线C:=-4=lm>0,b>0）的左、右焦点分别为K，F,,过£作与其

a~b~

中一条渐近线平行的直线与C交于点A,若AAK6为直角三角形，则双曲线。的离心率为（）

A.石B.6C.V2D.2

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义，利用由她耳工边角关系列方程求解，即可求出结论.

m-n=2a

mb工，，一

【解析】如图，设|伤|=m，|A耳|=%,由题意可得<—=—，解得b=2a,则

na

m2+A?=4c2

故选：A

13.（2021・湖北高三二模）已知抛物线（7:丁=〃储（根>0）上的点A（a,2）到其准线的距离为4，则根=

（）

A.-B.8C.-D.4

48

【答案】C

【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定K的值，再根据焦半径公式求解.

2

【解析】x2=-y,（m>0）,

m

因为点A（a,2）到。的准线的距离为4,所以—1+2=4,得机=」.

4m8

故选：C

22

14.（2021.湖北高三二模）设椭圆工+匕=1的一个焦点为尸，则对于椭圆上两动点A,B,AABF周长

43

的最大值为（）

A.4+逐B.6C.275+2D.8

【答案】D

【分析】设耳为椭圆的另外一个焦点，由椭圆的定义可得AF+BF+AB=8+A8-5片一,然后可得

当A,B,F{三点共线时，AAB尸的周长取得最大值.

【解析】设E为椭圆的另外一个焦点

则由椭圆的定义可得

AF+BF+AB=2a-AF{+2a-BF,+AB^Aa+AB-BF}-AB-BFy-AF,

当A,8,6三点共线时，AB-BF.-AF^O

当AB,6三点不共线时，48-36一41<0

所以当A8,耳三点共线时，AABF的周长取得最大值8

故选：D

15.（202卜辽宁高三一模）已知抛物线。：>2=4%的焦点为77,A为。上一点且在第一象限，以尸为圆

心，E4为半径的圆交。的准线于M，N两点，且A,尸，以三点共线，则|AF|=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根据A,F，M三点共线，结合点厂到准线的距离为2,得至“4V|=4,再利用抛物线的定义求

解.

【解析】如图所示：

A,F，M三点共线，

二A/0是圆的直径，

:.ANLMN，4V〃x轴，

又/为AM的中点，且点尸到准线的距离为2,

.,.|/UV|=4,

由抛物线的定义可得|AF|=|A7V|=4,

故选：B.

16.(2021•辽宁高三一模)以点(3,-1)为圆心，且与直线x-3y+4=0相切的圆的方程是()

A.(x-3)2+(y+l)2=10B.(x-3)2+(y+l)2=100

C.(X+3)2+(J-1)2=10D.(x+3)2+(y-l)2=100

【答案】A

【分析】先求得圆心到直线的距离即半径，再写出圆的方程即可.

【解析】圆心(3,—1)直线x—3y+4=0的距离为：

J=V1+7

因为直线与圆相切,

所以r=y/10，

所以圆的方程是(x—3)2+(y+l)2=10,

故选：A

17.(2021・辽宁高三一模)已知抛物线。：产=20%(°>0)上一点加(七,2立)到焦点厂的距离

3

\MF\=-x0,则片()

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【分析】由抛物线的定义可知|A"|=x0+^,与已知条件结合得X0=p,把点M的坐标代入抛物线方程

即可得解.

【解析】由抛物线的定义可知|知尸|=%+5,

3口3

•/=-XQ,Xg+—=—Ag,即尤0=P,

♦.•点M(x0,2V2)在抛物线C:丁=2px(p>0)上，8=2p2

解得：P=2或一2(舍去)，

故选：B.

18.(2021•辽宁高三二模)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100

年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比

如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平

行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C：y2=x,一束平行

于抛物线对称轴的光线经过4(5,2),被抛物线反射后，又射到抛物线C上的。点，则。点的坐标为()

A

-HBROC.(»D.(W

【答案】D

【分析】求出入射光线与抛物线的交点坐标，再根据抛物线的光学性质，利用斜率相等列式可解得结果.

【解析】设从点A(5,2)沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交丁点p,易知为=2,将

(4,%)代入抛物线方程得％=4,即P(4,2),

设焦点为。贝设Q（其,%），由p，F，Q三点共线，

2—0_y0-0

有「T"丁丁，化简得8%—15%—2=。，

4）。4

解得九=一5或%=2（舍），即°[±，一"

o\04oy

故选：D

19.（2021•山东高三二模）已知抛物线％2=2刀（〃。0）的准线与圆/+3—2）2=9相切，贝1"=（）

A.2B.6或一6C.—2或10D.2或—10

【答案】D

【分析】求出圆尤2+（丁一2）2=9与>轴的交点坐标，可得出关于P的等式，进而可求得P的值.

【解析】圆/+（广2）2=9与3轴的交点为4（0,—1）、3（0,5）,

抛物线x2=2py（pH0）的准线方程为y=苦，

由题意可得一"=-1或一2=5,解得p=2或—10.

22

故选：D.

22

20.（2021•福建南平市高三二模）设耳，工分别是双曲线。：上——上一=1的左、右焦点，且由玛|=8,

s+ts-t

则下列结论正确的是（）

A.s=8B.t的取值范围是（—8,8）

C.士到渐近线的距离随着，的增大而减小D.当。=4时，C的实轴长是虚轴长的3倍

【答案】ABC

【分析】先根据焦距算出s,再根据标准方程的形式判断出s的范围，从而可判断出AB的正误.根据虚半轴

长的表达式可判断C的正误，根据/=4时算出的实轴长和虚轴长可判断出D的正误.

【解析】因为c2=s+/+s—f=2s=16,所以5=8,故A正确；

s+f>0,

因为双曲线焦点在X轴上，由｛c且s=8,得f的取值范围是（一8,8）,故B正确：

ST>0,

因为耳到渐近线的距离等于虚半轴长为幅7,其在fG(-8,8)上单调递减，故C正确;

当r=4时，C的实轴长为4百，虚轴长4,。的实轴长是虚轴长的6倍，故D错误.

故选：ABC.

21.(2021•福建莆田市高三三模)已知曲线C的方程为J高+与=次+2川,圆

M:(x-5)2+/=r2(r>0),WiJ()

A.C表示一条直线

B.当尸=4时，C与圆M有3个公共点

C.当r=2时，存在圆N,使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点

D.当C与圆M的公共点最多时，/•的取值范围是(4,+8)

【答案】BC

【分析】对于A,由尸B7=|x+2y|，得y(4x+3y)=0,则。表示两条直线；对于B,C,利用点到

直线的距离公式进行判断；对于D,举反例判断即可

【解析】由"2+y2=卜+23,得》2+y2=|x+2)f=f+4盯+4),2,即y(4x+3y)=0,

则。表示两条直线，其方程分别为y=0与4x+3y=0,所以A错误；

20

因为M(5,0)到直线4x+3y=0的距离〃=彳=4,所以当厂=4时，直线4x+3y=0与圆M相切，易知

直线>=0与圆M相交，C与圆M有3个公共点，所以B正确；

当r=2时，存在圆N,使得圆加内切于圆N,且圆N与这两条直线都相交，即与。有4个公共点。与

圆加的公共点的个数的最大值为4,所以C正确；

当r=5时，圆M与直线了=0相切，与直线4x+3y=0有两个公共点，所以公共点的个数为3,所以D错

误，故选：BC

22.(2021•福建高三三模)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于

同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线''.直线/与>轴

22

及双曲线0-营=1(a>Q,b>0)的两条渐近线的三个不同交点构成集合M,且M恰为某三角形的外

心，重心，垂心所成集合.若/的斜率为1,则该双曲线的离心率可以是()

A.华B.停C.V2D.V10

【答案】ABD

【分析】设/：y=x+m,分别与两条渐近线和y轴联立求出A,的坐标，求出|AB|、iAPI、IBPI,

再分类讨论重心、垂心和外心，并根据重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半列式求出人的关系，再

根据离心率公式可求出结果.

【解析】设/:y=x+m,

am

y=x+mx--------

b~a，得4ambm

由，b，得，），

bmb-a'b-a

ay=------

b-a

am

y=x+mx----------

",得B(-ambm

由《b，得v），

y=——xbmb+a'b+a

ay二

b+a

y=x+mx=0

由，，得《,得P(0,〃2),

x=0y=m

_2y/2ah|m\

amam2bmbm2

|A8|=J(----------1----------)+(r=\b2-a2\

b-ah+ab-ab+a

加|=/(9)2+(普-犷=与粤

Vb-ab-a\b-a\

IBP|=J(_j+心j)2=伍M

Vh-\-ah+ab+a

若A为重心、8为外心、P为垂心，则|A8|='|AP|,

2

26ab|m\1yfla\m\

所以，化简得Q=3人，此时双曲线的离心率

|〃一/|2\b-a\

若A为重心、8为垂心、P为外心，贝

2

^^2a\m\12yJ2ah\ml八出小八十为、

所以lvl--------=-x—4~~安，化简得。=0不成立;

\b-a\2\b2-a2\

若5为重心、A为垂心、P为外心，则|3P|=」|AB|,

2

所以立也社=J_x丝也化筒得。=处，此时双曲线的离心率e=+=息=立,

b+a2\b2-a2\7aY42

若3为重心，P为垂心、A为外心，则|8A|=2|BP|,

2

2yJ2ah\m\1\J2a\m\八也/日〃L1V26

---=—x-------,化筒得。=5人，此时双曲线的周心率6=J1T=----；

斯_〃|2b+aV255

若P为重心、A为垂心、8为外心，贝IJ|BP|=L|AP|,

2

所以叵回=j_xYl也"，化简得〃=3。或”=3。，

b+a2\b—a\

此时双曲线的离心率e=V1+9=而或e=Jl+J=平，

若P为重心，8为垂心、A为外心，则|AP|=g|BP|,

所以缶I加|=2*叵1%1,化简得人=一3。或。=_3b都不成立.

\h-a\2b+a

综上所述：e=叵或6=巫或e=J记或e=@.

532

故选：ABD

23.（2021・广东高三二模）已知圆C:f—2如+;/+/—1=。与圆。：％2+卜2=4有且仅有两条公共切

线，则实数。的取值可以是（）

A.-3B.3C.2D.-2

【答案】CD

【分析】由两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆公切线条数可知两圆相交，根据相交时圆心距和两圆半

径之间关系构造不等式求得。的取值范围，进而得到结果.

【解析】圆C方程可化为：（％-4+丁=1,贝烟心C（a,0）,半径4=1；

由圆O方程知：圆心。（0,0）,半径弓=2；

•••圆C与圆。有且仅有两条公切线，，两圆相交，

又两圆圆心距4=同，；.2—1＜同＜2+1,即1＜同＜3,解得：—3＜a＜—1或1＜。＜3,

可知CD中的。的取值满足题意.

故选：CD.

24.（2021•河北高三一模）已知曲线C上的点P（x,y）满足方程%归一1|+引'-1|=0,则下列结论中正确

的是（）

A.当龙«-1,2］时，曲线。的长度为2夜+叵

B.当XG［-1,2］时，的最大值为1,最小值为一!

LJX+22

兀1

C.曲线。与X轴、y轴所围成的封闭图形的面积和为-----

42

D.若平行于X轴的直线与曲线。交于A,B,C三个不同的点，其横坐标分别为王，9，七，则％+々+刍

（3⑸

的取值范围是2,—+——

22

【答案】ACD

【分析】先作出方程％打一1|+〉上一1|=0表示的曲线。，然后对每个选项逐个判断即可.

【解析】对于方程-l|+y»—1|=0,

①当时，方程变为x-/+y-y2=o,即=；,表示半圆弧EOF；

②当x>l,丁<1时，方程变为/一%+y一;/=00（无一，］=（y—工］,即x+y=l,表示射线RV；

③当X>1,y>l时，方程变为/-X+V-y=0o(x-J_+y-1=-,该圆不在X>1,、>1范

围内，故舍去;

④当X<1,y>l时，方程变为X—x2+y2—y=0o,即x+y=l,表示射线EM.

综上可知，曲线。由三段构成：射线半圆弧EOF和射线FN.

对于选项A,当龙e［-1,2］时，曲线C由三段构成：线段半圆弧EO尸和线段FM.其长度为

0+且+收=2&+正，故A正确;

对于选项B,令人=2二，其表示曲线C上的动点(X,y)与定点p(-2,l)连线的斜率，由图可知,

x+2

&僦=kpM=/J=1，但是其最小值是过点口-2,1)且与半圆弧EOF相切的切线斜率，显然,

(-l)-(-Z)

..(―1)—11

Knin<kpN~~——T~=，故B错误；

对于选项c,由图可知，曲线c与x轴、y轴围成的封闭图形为两个相同的弓形，其面积和为

//-、2

c1|V21,17T1,,

2x--7V----I-故C正确；

4(212242

对于选项D,设平行于％轴的直线为y=机，要使丁=机与曲线c有三个交点，则加w----,o,不妨

(22J

设丁=机与半圆弧E0尸的交点为A,3，显然，A.B两点横坐标之和％+々=1，丁=加与射线川的

「1⑸一「3⑸

交点为C,则点C的横坐标七=1一meL—■+―-,所以玉+%2+工€2,—+——,故D止确.

<227122,

故选：ACD.

25.(2021•河北高三二模)已知直线/：区+y=0与圆M:x2+y2—2x—2y+l=0,则下列说法中正确的

是()

A.直线/与圆M一定相交

B.若k=0,则直线/与圆何相切

C.当攵=一1时，直线/与圆何的相交弦最长

D.圆心M到直线/的距离的最大值为逝

【答案】BCD

【分析】A.由直线/过原点，再判断原点与圆的位置关系即可：B.利用圆心到直线的距离和半径的关系判

断；C.由直线/的方程为y=x,判断是否过圆M的圆心即可；D.建立圆心到宜线距高公式模型求解判断

【解析】M:f+y2-2%—2y+l=0,即（x—l/+（y—1）2=1,是以（1,1）为圆心，以1为半径的圆，

A.因为直线/:依+y=0,直线/过原点，02+（）2_2x—2x0+l>0，原点在圆外，所以直线/与圆M不

一定相交，故错误；

B.若2=0,则直线/:y=0,直线/与圆M相切，故正确；

C.当女=一1时，直线/的方程为丁=》，过圆M的圆心，故正确；

\k+\\_lk2+l+2k_f.厂rr

D.由点到直线距高公式，知4=7返+1F0+1=1+1丁”q2（当％=1时，等号成立）.故正确,

故选：BCD.

26.（2021.湖南长沙市高三一模）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的

基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的8符号，我们把形状类似8的曲线称为曲

线”.在平面直角坐标系xOv中，把到定点6（-4,0）,K（a,O）距离之积等于>0）的点的轨迹称为

曲线”C.已知点P（%,为）是“8曲线，，C上一点，下列说法中正确的有（）

A.“8曲线”C关于原点。中心对称；

a,,a

B.—«%«一

2°2

C.“8曲线"C上满足|尸制=归用的点P有两个；

D.|尸。|的最大值为伍.

【答案】ABD

【分析】对A中，设动点C（x,y）,求得曲线C的轨迹方程，结合方程，可判定A正确；由。（毛,％）,故

恒EHR，根据1mHp用=/，得到一可判定B正确；由|尸耳|=归用，则

pGo，%）在GK的中垂线为>’轴上，代入运算，可得判定c不正确；由NP°G+NP°E=%，结合余

弦定理，化简得到210Pl2+2。2=|产耳『+忸闻2,进而得到|OP区缶,可判定D正确.

【解析】对A中，设动点C（x,y）,可得C的轨迹方程为J-ay+Vja+aU=/,

把（x,y）关于原点对称的点（一%-历代入轨迹方程，显然成立；

对B中，因为尸伍，灭,），故S△呻产今刊讣陀周小皿/甲5居=g内玛・|为］,

又归用疗用=",所以鸟=2a-|y0|,

即|%|=全也/耳「工故—■|wyo4"|,故8正确；

对C中，若忸耳|=|尸闻，则P&,%）在耳玛的中垂线即y轴上.

故此时x0=0,代入J（x—a）2+y2J*+a）2,

可得%=0,即P（0,0）,仅有一个，故C错误；

对D中,因为NPOK+ZPOF2=7i,故cos4P0F、+cosZPOF2=0,

IOPF+|O612Tp用2jopf+Q居JTP^J0

210PlM+2\OP\-\OF2\-

因为|0娟=|0g|=a,|P6Hp闾=/,故21。尸|2+202=归耳『+忸闻2

即2|OP『+2/=（归用_归图）2+2归用.归国，所以2|OP『=Qp制_归周了

又|尸川一归片区闺用=为,当且仅当P,K，鸟共线时取等号.

故2|02|2=（归用一忙周y«（2a）2,B|J\opf<2a2,解得|0产区缶，故。正确.

故选:A8D

27.（2021.湖南高三二模）设抛物线C:/=4x的焦点为F,。为坐标原点，过尸的直线与C分别交于

A（N，yJ,8（%2，%）两点，则（）

A.弘必为定值

B.NA05可能为直角

C.以8尸为直径的圆与），轴有两个交点

D.对于确定的直线A8，在C的准线上存在三个不同的点P,使得ZVIBP为直角三角形

【答案】AD

【分析】设/AB：X="+1，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再根据抛物线的定义，一判

断即可；

【解析】解：设L：x=D'+l，与V=4x联立可得：y2-4fy-4=0,%%=-4,故A对；

29

因为％尤2=上五=1，所以心/左。8="^工一1,，〃。吕工工，故B错：

1-16玉々2

设8尸的中点呼=与也"，则以5F为直径的圆与y轴相切，故C错；

设A3的中点出苧,岑丛），N到C准线的距离为当±士歪+1,因为网=±±±+1

I22J222

故有以AB为直径的圆与C的准线相切，对于确定的直线AB，当NP为直角，此时/,为切点；

当NA或D5为直角，此时P为过A（或B）的AB的垂线与准线的交点，故。正确.

故选：AD

28.（2021.湖北高三二模）已知圆M:（x—3A:）2+（y—4左—2）2=1+公，则下列四个命题中正确的命题有

（）

A.若圆M与y轴相切，则％=±注

4

B.圆例的圆心到原点的距离的最小值为《

C.若直线y=x平分圆M的周长，则后=2

D.圆M与圆（X-34产+「=41可能外切

【答案】ABD

【分析】根据圆的切线的性质、配方法、圆周长性质、外切的性质，结合零点存在原理进行判断即可.

【解析】圆M：（x—3Z）2+（y—4攵一2）2=1+22的圆心坐标为：（3人,4k+2）,半径为厂=&+42.

若圆”与＞轴相切，则|3Z|=J1+F,解得左=±走，所以A为真命题.

893636

因为（3Q29+（4女+9=25k29+16^+4=（5^+|）2+^|>^|,

所以10Ml2所以B为真命题.

若直线N=x平分圆M的周长，则3左=4左+2,即左=一2,所以C为假命题.

若圆”与圆*一3左了+；/=4左2外切，则|4攵+2|=Jl+公+疯）

设函数/（外=|4k+2|—Jl+廿—JZF，因为/（0）=1>0,/（-1）=-V2<0,

所以/（£>在（一1,0）内必有零点，则方程|41+2|=J1+必+疯7有解，所以力为真命题.

故选：ABD

29.（2021・辽宁高三一模）已知抛物线。：％2=2胡（〃>0）的准线方程为丁=一2,焦点为F，。为坐标

原点，A（%,y）,3（%,%）是C上两点，则下列说法正确的是（）

A.点尸的坐标为（0,2）

B.若|A却=16,则的中点到x轴距离的最小值为8

C.若直线45过点（0,4）,则以为直径的圆过点。

D.若直线OA与OB的斜率之积为-一，则直线A8过点产

4

【答案】AD

【分析】根据抛物线的准线求得焦点坐标判断A,设直线A8方程为丫=依+加，A（X］，X）,B（X2，>2），直

线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得玉+工2，%/2,求出AB中点坐标得中点到％轴距离，求得最小值

后判断B,计算A3的长和中点到原点的距离，比较后判断C,由斜率之积求出加为常数，可得直线过

定点判断D.

【解析】A.抛物线准线方程是y=-2,‘=2,p=4,则焦点为（0,2）,A正确；

2

B.显然A3斜率存在，设直线A3方程为>="+机，A（xI,y1）,B（x2,y2）,

［y=kx+m

由<2c得，—8fcx—8/zz=0，A=（Ak2+32m>0>

［厂=8y

所以|A：=J