2023年普通高等学校招生全国统一考试数学名师押题信息卷（5）（答案版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023年普通高等学校招生全国统一考试名师押题信息卷（5）数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函数的定义域即可确定，进而可求解.【详解】由解得，因为，所以，所以，故．故选:B．2．已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点为P，Q，若（O为坐标原点），则实数（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】根据已知得出，，根据向量垂直的坐标运算得出答案.【详解】复数，则，，则，，，，解得，故选：D.3．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值．【详解】由，得，因为函数的图象在处的切线与直线垂直，所以，则．故选：A．4．如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由球的表面积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积.【详解】因为圆台外接球的表面积，所以球的半径，设圆台的上､下底面圆心分别为，在上､下底面圆周上分别取点，连接，如图，因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，所以，，所以，,所以，所以圆台体积.故选：D.5．已知椭圆的焦点为、，直线与椭圆相交于、两点，当三角形为直角三角形时，椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，根据直角三角形的几何性质可得出，可得出关于、的齐次等式，可得出关于的二次方程，结合可求得该椭圆的离心率的值.【详解】将代入椭圆方程的方程得，可得，则，由对称性可知，当三角形为直角三角形时，则该三角形为等腰直角三角形，因为为线段的中点，则，可得，即，等式两边同时除以可得，因为，解得.故选：B.6．设，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数函数的性质即得.【详解】∵，∴，，，∴.故选：C.7．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案.【详解】设，则，化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，抛物线的焦点，准线方程为，则，当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，所以的最小值为.故选：D.8．已知、，且，对任意均有，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】推导出与符号相同，构造函数，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项.【详解】，故与的符号相同，当时，；当时，.所以，与的符号相同.，令，所以，当时，恒成立，令，可得，，.，分以下四种情况讨论：对于A选项，当，时，则，当时，，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，当，时，则，若，若、、均为正数，①若，则，当时，，不合乎题意；②若，则，当时，，不合乎题意.③若、、都不相等，记，则当时，，不合乎题意.由上可知，，当时，若使得恒成立，则，如下图所示，所以，当，时，且，时，当时，恒成立；对于C选项，当，时，则，①若时，则当时，，不合乎题意；②当时，构造函数，其中，，函数在上单调递增，则，.当时，由于，则，不合乎题意，C选项错误；对于D选项，当，时，则，此时、、为正数.①当、、都不相等时，记，当时，，不合乎题意；②若，则，当时，，不合乎题意；③当时，，当时，，不合乎题意.所以，D选项错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）分析与同号；（2）对、、的大小关系进行讨论，结合穿针引线法进行验证.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．清华大学全面推进学生职业发展指导工作．通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业工作，引导学生把个人职业生涯科学发展同国家社会需要紧密结合，鼓励到祖国最需要的地方建功立业.2019年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人．学校总体充分就业，毕业生就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升．根据下图，下列说法正确的有（

）A．博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业B．毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业C．到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多D．到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%【答案】ABC【分析】根据表中数据，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由图可知，博士生有52.1%选择在北京就业，故A正确；本科生和硕士生人数多，留京比例低，估算可知B正确；到四川省就业的硕士毕业生人数约为，博士毕业生人数约为，故C正确；浙江就业人数有人，因此占总人数比例为，所以不能用本科生、硕士生、博士生毕业人数相加的方法计算，故D错误．故选：ABC10．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．在区间上单调递增C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象D．函数的零点个数为7【答案】ABD【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答.【详解】观察图象知，函数的周期，则，而，即有，由知，，因此，A正确；显然，当时，，因此单调递增，B正确；将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得，而，C错误；由，得，令，则，令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点，当时，，令，，函数在上都递减，即有在上递减，，，因此存在，，当时，，当时，，有在上递增，在递减，，，于是存在，，当时，，当时，，则函数在上递减，在递增，，，从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图，，，，从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点，所以函数的零点个数为7，D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.11．如图，有一列曲线，，，，，且是边长为6的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边长为，周长为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．在中 D．在中【答案】ACD【分析】根据给定条件，利用观察归纳法、结合等比数列知识计算判断AB；根据点的位置，结合向量数量积运算律计算判断CD作答.【详解】依题意,将曲线的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，曲线的边长为，数列是首项为6，公比为的等比数列，，A正确；封闭曲线的周长为，则数列是首项为，公比为的等比数列，于是，则，B错误；如图，，，由对称性可得，有，则，于是，又，，，，，则，C正确；显然点在线段上，，，，则，D正确.故选：ACD12．已知函数，则（

）A．曲线在点处的切线方程为B．函数的极小值为C．当时，仅有一个整数解D．当时，仅有一个整数解【答案】AC【分析】选项，利用导数的几何意义求解；选项，利用导数判断函数单调性求极值即可；选项仅有一个整数解可以转化为函数在直线下方的横坐标为整数的点只有一个，画出的图象，利用数形结合即可解决.【详解】对于选项，，则切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，故A正确；对于选项B，在上单调递增，在上单调递减，则当时，有极小值，即，故不正确；对于选项C，由于在上单调递增，在上单调递减，则当时，有最小值，即，当时，，则函数图象在轴下方，当时，，则函数存在一个零点，故的图象如下图所示，函数在直线下方的横坐标为整数的点只有一个，点，，其中，则,即，故正确,不正确.故选：.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，则在方向上的投影是_____．【答案】3【分析】求出，以及，再利用向量投影的公式即可得到答案．【详解】由题可得：，；∴在方向上的投影是：．故答案为3．【点睛】本题考查向量投影的定义以及计算，熟练掌握向量投影的公式是关键，属于基础题．14．国家发展改革委为贯彻落实《长三角一体化发展规划“十四五”实施方案》有关部署，制定沪苏浙城市结对合作一对一帮扶皖北城市工作计划，帮扶城市（区）包括上海市个区，江苏省个市、浙江省个市，受帮扶城市包括安徽省淮北市、亳州市、宿州市、蚌埠市、阜阳市、淮南市、滁州市、六安市共个市，则帮扶方案中上海市个区没有被安排帮扶蚌埠市、阜阳市、滁州市的方法种数为______.（用数字作答）【答案】【分析】先分析上海市个区的受帮扶的对象，然后再安排其他城市的帮扶方案，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】由题可知，上海市个区的受帮扶对象有个，不同的安排方法种数为，然后安排其他城市的帮扶方案，不同的安排方法种数为，所以帮扶方案中上海市个区没有被安排帮扶蚌埠市、阜阳市、滁州市的方法种数为.故答案为：.15．在平面直角坐标系中，已知圆，，直线与圆相切，与圆相交于，两点，分别以点，为切点作圆的切线，设直线，的交点为，则的最大值为__________．【答案】/【分析】设，，由相切关系，建立点A，B坐标所满足的方程，即弦所在直线的方程，由直线与圆相切，得，求出m的最大值.【详解】设点，，，，因为分别以点A，B为切点作圆的切线，．设直线，的交点为，所以，则，即，所以，因为，所以，即是方程的解，所以点在直线上，同理可得在直线上，所以弦所在直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，解得，得，即的最大值为．故答案为：3.516．若函数与的图像有两个不同的公共点，则a的取值范围为____________.【答案】【分析】令,根据题意在有两个零点，求导借助导数研究单调性分析得，的极小值，其中，进而转化为能成立问题，借助基本不等式求解即可.【详解】令，函数与的图像有两个不同的公共点，等价于在有两个零点，，令，则，令，，易得恒成立，故在单调递增，易得，故存在，使得，即，即，当时，，等价于，则在上单调递减，当时，，等价于，则在上单调递减，故为极小值，因为在有两个零点，则，即，因为，则，则，即，解得故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列的前项和为，，当时，．(1)求(2)设，求数列的前项和为．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系及等差数列的定义，结合等差数列的通项公式即可求解；（2）利用（1）的结论及数列求和中的错位相减法即可求解.【详解】（1）当时，，所以，，整理得：，即．当时，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即．（2）由知，所以，所以，所以，由得，，所以.18．中，角的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为.(1)求角A的大小；(2)求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)选择条件见解析，(2)【分析】（1）选①②时，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得答案；选③时，龙三角形面积公式结合余弦定理即可求得答案；（2）方法一：利用三角恒等变换化简为只含有一个三角函数的形式，结合正弦函数性质，即可得答案；方法二：利用余弦定理可得，再由正弦定理边化角，可得，结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）选择①由正弦定理可得，，因为，所以，即，因为，所以，所以，所以，即；选择②，则，由正弦定理得，因为，所以，即，因为，所以，所以，即；选择③由，可得，即，所以，由于，故.（2）方法一：因为，所以，所以，所以，即的取值范围为方法二：由余弦定理，，再由正弦定理，，因为，所以，即，当且仅当时“=”成立.又因为，，所以，即的取值范围为.19．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3分计算概率并相加即可；（2）由题意X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．【详解】（1）由题意知甲得0分的概率为，乙得0分的概率为，所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．（2）X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，则，，，，，，，所以，随机变量X的分布列为：X0123456P所以．20．如图，在三棱锥中，已知，是的中点.(1)求证：平面平面；(2)若，求平面与平面夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值，进而得到正弦值.【详解】（1）因为，是的中点，所以，因为，是的中点，所以，因为，，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）设，因为，所以，又，所以，所以.如图，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则即令，可得，，所以平面的一个法向量为.易知平面，所以平面的一个法向量为，所以，因为，所以平面与平面夹角的正弦值为.21．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定