贵州名校2022届高三数学（文）上学期期末联考试卷附答案解析

贵州名校2022届高三数学（文）上学期期末联考试卷

一、单选题

15+15i/、

1.―—―=()

2-i

A.9+9iB.15+15iC.3+9;D.5+15i

2.已知集合A={M(x—l)(x—4)v0},B=x\x>a},若人口3={小＞1},则。的取值范围是（）

A.[1,4)B.(1,4)C.[4,-K»)D.(4,+oo)

3.在等比数列上}中，44+%=8,%=2,则为=()

A.4B.8C.16D.32

4.某工厂为了检验一条生产线生产的某种零件的质量，从该生产线生产的这种零件中随机抽取2000个,

测量其长度（单位:厘米），将所得数据分成位4）,4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12]五组,得到如图所示

的频率分布直方图.已知零件长度在[6,10）内的是一等品，则该生产线生产的10000个零件中，估计一等

品的数量是（）

C.4250个D.6250个

5.函数/("=

A.B.1C.2D.5

6.青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一.已知某青花瓷花瓶的外形上下对

称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶口直

径是8,瓶身最小的直径是4,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是（）

222

D.----------1C.上上=1D.—~y2=l

43894-

7.已知某班英语兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有

1

1名女生被选到的概率是（)

8.窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，常见的形状有圆形、矩形、正六边形、正八边形等.如图,

I■I■

正八边形A8CDEFG”是某窗户的平面图，AB=2,点P是正八边形ABCDEFG”的中心，则=

（）

A.2B.4C.2+20D.4+2及

9.已知等差数列｛叫满足4+6+20=0,%—%-21=0,数列也｝满足4=a,q“q+2,记数列也｝的

前〃项和为S.,则当S“取得最小值时，”的值为（）

A.4B.5C.6D.7

10.已知函数/（x）=/sin2x-2cos",则下列结论正确的是（）

A.的周期为乃的奇函数B./（x）的图象关于点后J对称

C.在上单调递增D.“X）的值域是[-1,3]

11.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，”等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的

四面体.已知某等腰四面体的三组对棱长分别是4,2石，2币,则该等腰四面体的体积是（）

A.4百B.身！C.873D.

33

12.已知定义在（0,+8）上的函数“X）满足/'（力-/区-3>0,且"1）=0,则不等式/©）-3疣工>0的

解集为（）

A.（0,1）B.（l,+oo）C.（0,+8）D.（e,+oo）

二、填空题

13.函数/（x）=F^T+ln（4-x）的定义域是

\2x-6

x+y-l>0,

14.若实数"了满足约束条件卜-y-"0,则z=2x+3），的最大值为.

”1，

2

22

15.已知椭圆C:=+4=I(a>b>0)的左、右焦点分别是K，直线^=依依工0)与椭圆C交于4,B

a-b2

两点，若=闺玛|,且四边形A"B8的面积为0?(c是椭圆C的半焦距)，则椭圆C的离心率是

16.在三棱锥P-MC中，底面是以A8为斜边的等腰直角三角形，AB=4,PA=PB=PC=A，则三

棱锥尸-ABC外接球的表面积为.

三、解答题

17.在二ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知2c—a=2Z»cosA.

⑴求角8的值；

⑵若a=8,点。是边8c的中点，且A£>=①i,求b.

18.某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2、3、4的人数分别为1、3、2,

现从这6人中随机选出2人作为该组代表参加表彰会.

(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；

(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X,求X不小于6的概率.

19.在四棱锥P-A3C。中，底面ABCD是直角梯形，BC//AD,AD1AB,E,尸分别是棱AB,PC

的中点.

(1)证明：/平面皿>；

(2)若CO=04B=&BC=2拒，且四棱锥P-A3CZ)的体积是6,求三棱锥F-R4D的体积.

20.已知函数〃x)=a(x-l)-(x+l)lnx.

⑴当。=2时，求曲线y=f(x)在x=e处的切线方程；

(2)若关于x的不等式丑。<0在(1,位)上恒成立，求a的取值范围.

X+1

3

21.已知抛物线。：炉=20，(。>0)的焦点为F,点尸。,2)在抛物线C上，。为坐标原点，△OPF是直角

三角形.

(1)求抛物线C的方程.

(2)若点P在第一象限，直线/与抛物线C交于异于点尸的AB两点，以线段A8为直径的圆经过点P.直

线/是否过定点？若是，求出所过定点的坐标；若不是，请说明理由.

x=-3-----1,

22.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为2。为参数)，以坐标原点。为极点，X轴的正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为02cos20-4p2sin20-4=0.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵若直线/与曲线C交于尸，。两点，点加(-3,0),求向+血的值.

23.已知函数/(x)=|2x+3|+|x-l].

⑴求不等式〃x)>6的解集；

(2)求直线y=6与函数/(x)的图象围成的封闭图形的面积.

4

解析

1.c

【分析】根据复数的除法运算可得答案.

【详解】竽星=噜胃鲁D=(3+3i)(2+i)=3+9i.故选：c.

2—1IZ—1HZ4-1)

2.A

【分析】利用集合的并集运算求解.

【详解】由题意可得4={目1<》<4}.因为Au8={x|x>l},所以14a<4.故选：A

3.B

【分析】由等比数列的通项公式基本量求出首项和公比，进而求出答案.

【详解】设等比数列也}的公比为令，则厂""解得：《=!，d=2,故为=画=[16=8.

%q—2,22

故选：B

4.个B.3750个C.4250个D.6250个

【答案】D

【分析】根据频率分布直方图求出一等品的频率，从而可估计一等品的数量

【详解】由图可知一等品的频率是(0.18750+0.12500)x2=0.625,

则10000个零件中一等品的数量大约是10000x0.625=6250个.故选：D

5.B

【分析】运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可.

【详解】由题意可得避-1)="1=2,则/(/(-1))=/(2)=1呜4-1=1.故选：B

6.B

22

【分析】由已知得双曲线的焦点在X轴上，设该双曲线的方程为£-亲■=l(a>0,b>0),代入建立方程组,

求解即可得双曲线的标准方程.

【详解】解：由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4,点(4,3)在该双曲线上.设该双曲线

22

的方程为]-,

ab

2。=4,22

则4232解得。=2,b=6,故该双曲线的标准方程是斗-1=1.故选：B.

%一*L43

7.B

【分析】根据列举法先求出从这5名学生中任选2人的所有情况和恰有1名女生被选到的情况，进而得出

结果.

5

【详解】记这3名男生分别为“，h,c,这2名女生分别为D,E,

则从这5名学生中任选2人的情况有

ab,ac,aD,aE,be,hD,bE,cD,cE,DE,共10种，

其中恰有1名女生被选到的情况有a。，aE,bD,bE,cD,cE,共6种，则所求概率2=历=不

故选：B.

8.A

【分析】通过作辅助线，先求出两向量夹角的余弦值，再根据数量积的定义求得答案.

【详解】如图，过点尸作垂足为J,由题意可得J为线段43的中点，

AJAJ

则A/=1,从而cosZPAJ=-r=故.片户=|丽,丽卜05/24/=|祠•]羽.=2x1=2,

AP

故选：A

9.C

【分析】先求得数列｛%｝的通项公式，再根据数列｛2｝的正负项求解.

【详解】因为4+为+20=0,阻-%-21=0,所以卬=-16,公差[=3,所以％=3〃-19,

故在数列他｝中，4，b2,by,瓦,%均小于0,也｝中其余项均大于0.

又因为々=8,=-10,所以当S,,取得最小值时，”的值为6.故选：C.

10.C

【分析】由题可得，(x)=2sin(2x-/-l,然后利用正弦函数的性质逐项判断即得.

【详解】由题意可得/(x)=\^sin2x-cos2x-l=2sin(2x-2]-L

因为〃-x)=2sin[-2x-?)-l=-2sin(2x+V)-lx-〃x),所以/(x)不是奇函数，故A错误；

因为总=2sin(2x2"_l=_l,所以“X)的图象不关于点后1)对称，故B错误；

<2x-—<2k7C+y(A:GZ),解得左)一楙W%乃+?%wZ),当％=1时，,则C

6

正确;

因为一1《呵2%一!六1,所以一2S2sin(2x—(71Jw2,所以-3W2sin(2xq)-0,即〃力的值域是

6

[-3,1],故D错误.故选：C.

11.B

【分析】将等腰四面体A3CO补成长方体求解.

将等腰四面体AHCO补成长方体,

J-2+/=4,

设该长方体的长、宽、高分别是。，b,c,则，+c?=2逐，解得a=2-73,b=2,c=4,

+。2=2币,

则该等腰四面体的体积为：V=273X2X4--X-LX2^X2X4X4=-^.故选：B

323

12.C

【分析】设g(x)=?-31nx,求出导函数，由条件可得其在在(0,+8)上单调递增，不等式

f(ev)-3xe'>0转化为g(e，)>g⑴，由单调性可得答案.

【详解】设g(x)=^-3Inx,则g<x)=>=矿(、)一?”)一3%

<xXXX

因为尸(同一9一3>o,x>0,所以矿(x)-〃x)-3x>0,

所以g'(x)>0,即g(x)在(0,+s)上单调递增.

不等式/(e")—3xe*>0可转化为歹)_31ne*>0，

又g(e、)=坐l—31ne'，且8⑴:半-31nl=0

即g(e')>g(l),所以e，>l,解得x>0.故选：C

13.(3,4)

7

【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域

f2x-6>0,

【详解】由题意可得,八解得3Vx<4,即f（x）的定义域是（3,4）.故答案为：（3,4）

[4-x>0,

14.7

【分析】由约束条件画出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合图形，即可得到结论.

【详解】解：画出可行域如下图所示阴影部分AABC,由广二：一1=°得C（2,l）,

当直线z=2x+3y经过点C（2,l）时，z取得最大值，且最大值为z=2x+3y=2x2+3xl=7.

故答案为：7.

15.亚

3

【分析】根据椭圆的对称性、椭圆的离心率公式，结合椭圆的定义、矩形的定义和性质进行求解即可.

【详解】由椭圆的对称性可知四边形的8鸟是平行四边形.因为=忻用，所以平行四边形人耳8片是矩

2

疗+〃2=4c,

形，设恒用=m，|A闾=〃，贝ijm+n=2a,整理得4c?+2c?=4〃，所以解得”手.

2JJ

mn—c,

故答案为：&

3

169兀169

16.兀

99

【分析】取48的中点。可得由P£P+CD2=PC2得PDLCD,根据线面垂直的判断定理得

平面ABC,得三棱锥尸—ABC外接球的球心。在线段上，由店=（叨一。。）2+人。2可得

答案.

【详解】如图，取A8的中点£）,连接CD.由题意可得4）=8/）=8=2,

因为24=尸3,所以PDJLAB,

因为84=屈，所以尸。=3,所以巴炉+。£）2=小2,所以NPOC=90。，

即P£>_LCD.因为A8nS=。，所以PZ），平面ABC,

设三棱锥尸-ABC外接球的球心为。，

8

由题意易得三棱锥P-45C外接球的球心。在线段上，如下图

则三棱锥P-A3C外接球的半径R满足a={PD-OD^=OD1+AD-,

解得00=3,所以R=3-j=?,用=萼；

66636

若三棱锥P-ABC外接球的球心0在线段PO的延长线上，如下图，

则三棱锥P-ABC外接球的半径R满足中=(p。+on)?=0D，+AD，,

(3+OZ))2=OD2+22,无解；

所以，三棱锥尸-ABC外接球的表面积£=4兀代=等.故答案为：等.

兀

17.⑴§(2)7

【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换即可求出；

(2)分别在和口ABC中使用余弦定理即可求解.

【详解】(1)口2c-a=2/?cosA,2sinC-sinA=2sin^cosA,

又Z]sinC=sin[兀一(A+8)]=sin(A+8),□2sin(A+B)-sinA=2sinBcosA,

□2sinAcosB-sin>4=0,

sinAxO,cos8=；,又□0<3<兀，B=g.

ZJ

17r

(2)在△ABO中，BD=-a=4,AD=y/2\,s=~,

9

由余弦定理得AD1=BD2+AB--2BD.ABcosB,

整理得C2-4C-5=0,解得C=5(c=-l舍去)

在DABC中，由余弦定理得层=/+(?-%ccosB,即。2=64+25-40=49,解得力=7.

44

18.(1)-;(2)y.

【分析】(1)按活动次数不同，将6人分别编号，列举出所有可能的基本事件，根据古典概型概率计算

即可；

(2)求出X小于6的概率，再用1减去该概率即可.

【详解】(1)记参加了2次志愿者活动的人为m参加了3次志愿者活动的人为仿、&、瓦,参加了4次志

愿者活动的人为C1、C2.

从这6人中随机选出2人.共有。仇、a%、ab3＞aq、吟，、b仇、她、如、bj、b2b3＞仇q、b2c?、如、

b3c2、的2这15种选法；

其中这2人参加志愿者活动次数相同的有仇打、“仇、为&、eg这4种选法.

4

故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为百.

34

(2)由⑴可知，X小于6有地、a瓦、这3种选法，故X不小于6的概率1-百=手

19.⑴证明见解析.⑵2.

【分析】(1)取C。的中点G,连接EG,FG.运用面面平行的判定和性质可得证；

(2)过点C作CH，相＞,垂足为H,连接即，PE,设点尸到平面A6CO的距离为〃，根据棱锥的体积

求得/?，再利用三棱锥E-2。的体积与三棱锥P-4犯的体积相等，三棱锥尸-皿＞的体积与三棱锥

E-%£＞的体积相等，可求得答案.

【详解】(1)证明：如图，取C。的中点G,连接EG,FG.

因为尸，G分别是棱PC,C£＞的中点，所以尸G〃P£),又fGo平面PAD,PDu平面2£),所以FG〃

平面PAO.

因为3C〃A£＞,且E,G分别是棱A8,8的中点，所以EG〃/1",又EGa平面尸A£＞,AOu平面B4£),

所以EG〃平面PAO.

因为EG,尸Gu平面EFG,且£GnbG=G,所以平面£PG〃平面皿＞.

因为EFu平面EFG,所以EFH平面PAD.

(2)解：过点C作垂足为〃，连接EO,PE,

则四边形A8C4是正方形，从而C"=A"=AB=2.

因为CD=7148，所以则。"=CH=2,

从而直角梯形A3。的面积S=C手心=6.

设点尸到平面A6C。的距离为万，则四棱锥的体积V=gs/z=gx6/7=6,解得力=3.

10

因为三棱锥E-R4Z>的体积与三棱锥的体积相等，

所以三棱锥E—的体积X=gxgx4xlx3=2.

因为E/〃平面PAD,所以三棱锥F-总的体积与三棱锥£-皿)的体积相等,

所以三棱锥尸-弘£>的体积为2.

20.(l)y=--x+e-2(sJcx+e^-e2+2e=0).(2)(-00.2].

【分析】(1)求导函数，并计算了'(e),/(e),由直线的点斜式方程可求得答案；

(2)设g(x)=&l=32D—inx,求导函数，分。<2,。>2讨论导函数的符号，得出所令函数的单

v7X+lX+1

调性和最值，从而求得。的取值范围.

【详解】(1)解：当。=2时，/(x)=2(x-l)-(x+l)lnx,贝ljr(x)=-：-lnx+l.

从而/'(e)=-L-l+l=-L因为〃e)=2(e—1)—(e+l)=e—3,

ee

所以所求切线方程为y-(e-3)=」(x-e),即y=」x+e-2(或x+ey-e?+2e=0).

ee

(2)解：设g(x)=9=^211_lnx,

x+1x+1

,/\6Z(X+1)-6Z(X-1)1x~+2(1—Q)X+1

则"乙，Xx(x+l)2

当时，因为％>1,所以r+2(1—a)x+12x~—2x+1=(x—1)~>0,g'(x)<。，

所以江力在。,转)上单调递减，则g(x)〈g⑴=o,符合题意.

当a>2时，设/Z(X)=%2+2(1—a)x+l,//(1)=4—2。<0,〃(2a)=4a+l>0,

所以存在唯一的与«1,为)，使得〃(不)=0,即存在/«L2a),使得/小)=0.

当X£(1,X°)时，g[X)>(),则g(x)在(1田)上单调递增,

当了£(%,+00)时，g'(x)v0,则g(x)在(天,长0)上单调递减，故g(x())>g(l)=o,不符合题.

11

综上，。的取值范围为（e,2].

21.⑴x-8y；⑵过定点（T10）.

【分析】（1）当NOP/为直角时.，由心]欠所=-1和尸在抛物线上可构造方程组求得P<0,不合题意；

当NOFP为直角时，由弓=2可求得P,从而得到抛物线方程；

（2）设/:丫=履+，〃，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由⑸.方=0,根据向量数量积的坐标运

算，代入韦达定理的形式进行整理化简可得〃?=必+10或胆=7女+2,代回直线验证即可得到所求定点坐

标.

【详解】（1）由题意知：/POP不是直角.

□当NOPE为直角时，3•%=一1，则22]，即r=”4.

•・•点P（f,2）在抛物线C上，.•./=4p,:Ap=p-^,解得：p=-^<0,

与。>0矛盾，不符合题意：

□当NOFP为直角时，3=2,解得：。=4,符合题意..•・抛物线C的方程为：x2=8y.

⑵设直线/：>=6+能，A（x，x）,S（x2,y2）,

（y=kx+m,1

联,整理得：x2-8kx-Sm=0,P>ijA=64A:2+32/n>0.即

[x2=8oj2

贝l]%+w=8Z,%毛=一8m.

由（1）可知：P（4,2）,则丽=（西一4,乂一2）,PB=（x2-4,y2-2）.

・•・以线段A8为直径的圆经过点尸，，R4_LP3,即丽・丽=0，

则（5-4）（%-4）+（-2）（J2-2）=0,

2M

即（公+1卜/+（h〃-2Z-4）（X1+x2）+m-4/+20=0.

将士+x2=8k,玉毛=-8，”代入得：（X+1）（-8"?）+（卜”一2女一4卜8%+/«2—4〃?+20=0,

整理得：16k2+32k=m2-I2m+2O,即16（A+lf=（加-6/，解得：机=4女+10或m=-4k+2.

当m=4k+10时，直线/:y=%（x+4）+10,过定点（T,10）,

经验证此时A>0,符合题意；

当加=~4%+2时，直线/:y=Z（x-4）+2,此时点尸在直线/上，则点尸与点A或点3重合，与A8异于点

「矛盾，不符合题意.综上所述：直线/过定点（T，10）.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思

路如下：

□假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x