湖南省岳阳市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

湖南省岳阳市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答

题

一.实数的运算（共2小题）

1.（2021•岳阳）计算：（-1）2021+|-2|+4sin30"-（我-TT）

2.（2020•岳阳）计算：（」）i+2cos60°-（4-Tt）°+|-百|.

2

二.代数式求值（共1小题）

3.（2022•岳阳）己知“2-24+1=0,求代数式a（a-4）+（a+1）（tz-1）+1的值.

三.二元一次方程组的应用（共1小题）

4.（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线

上跳绳活动，需购买A,8两种跳绳若干.若购买3根A种跳绳和1根8种跳绳共需140

元；若购买5根A种跳绳和3根8种跳绳共需300元.

（1）求4,B两种跳绳的单价各是多少元？

（2）若该班准备购买A,B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购

买B种跳绳多少根？

四.分式方程的应用（共2小题）

5.（2021•岳阳）星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行

车先走，1/z后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈

妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度.

6.（2020•岳阳）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知4型机

器人比B型机器人每小时多搬运20kg,且A型机器人搬运1200仅所用时间与B型机器

人搬运1000依所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.

五.反比例函数与一次函数的交点问题(共3小题)

7.(2022•岳阳)如图，反比例函数)=区a/0)与正比例函数y=mx(m^O)的图象交

x

于点A(-1,2)和点8,点C是点A关于y轴的对称点，连接AC,BC.

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)求△ABC的面积；

(3)请结合函数图象，直接写出不等式乂＜,心的解集.

8.(2021•岳阳)如图，已知反比例函数)，=K(kWO)与正比例函数y=2x的图象交于4(1,

x

M,8两点.

(1)求该反比例函数的表达式；

(2)若点C在x轴上，且△BOC的面积为3,求点C的坐标.

9.(2020•岳阳)如图，一次函数产x+5的图象与反比例函数尸K*为常数且20)的

图象相交于A(-1,m),B两点.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移》个单位">0),使平移后的图象与反

比例函数y=K的图象有且只有一个交点，求〃的值.

x

六.二次函数综合题(共3小题)

10.(2022•岳阳)如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线Fi：y=/+/»+c经过点A(-

3,0)和点8(1,0).

(1)求抛物线为的解析式；

(2)如图2,作抛物线尸2,使它与抛物线Fl关于原点O成中心对称，请直接写出抛物

线F2的解析式；

(3)如图3,将(2)中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线尸3,抛物线F1与抛

物线尸3相交于C,。两点(点C在点。的左侧).

①求点C和点。的坐标；

②若点M,N分别为抛物线为和抛物线尸3上C,。之间的动点(点M,N与点C,。不

重合)，试求四边形CMDN面积的最大值.

于点C,连接BC.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图2,直线/：y=fcr+3经过点A,点尸为直线/上的一个动点，且位于x轴的上

方，点。为抛物线上的一个动点，当尸。〃y轴时，作交抛物线于点M(点M

在点。的右侧)，以P。，QW为邻边构造矩形PQMM求该矩形周长的最小值；

(3)如图3,设抛物线的顶点为。，在(2)的条件下，当矩形PQ例N的周长取最小值

时，抛物线上是否存在点F,使得NCBF=NDQM?若存在，请求出点F的坐标；若不

存在，请说明理由.

515

轴交于点4(-A,0)和点8,与y轴交于点C.

5

(1)求抛物线Q的表达式；

(2)如图2,将抛物线Q先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线22,

若抛物线为与抛物线F2相交于点Q,连接8Q,CD,BC.

①求点D的坐标；

②判断△8C。的形状，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，抛物线&上是否存在点P,使得△BCP为等腰直角三角形，若

存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

七.三角形综合题（共1小题）

13.（2022•岳阳）如图，ZViBC和△D8E的顶点B重合，ZABC=ZDBE=W°,ZBAC

=/B£>E=30°,BC=3,BE=2.

（1）特例发现：如图1,当点D,E分别在AB,BC上时，可以得出结论：坦=,

CE

直线AD与直线CE的位置关系是；

（2）探究证明：如图2,将图1中的aOBE绕点8顺时针旋转，使点。恰好落在线段

AC上，连接EC,（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理

由：

（3）拓展运用：如图3,将图1中的△O8E绕点8顺时针旋转a（19°<a<60°）,连

接A。、EC,它们的延长线交于点凡当。尸=8E时，求tan（（iO°-a）的值.

A

;

BEC

E

图1图2

图3

八.平行四边形的判定（共1小题）

14.（2021•岳阳）如图，在四边形ABCC中，AE_L8。，CF±BD,垂足分别为点E,F.

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加

的条件是;

（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形.

AD

九.平行四边形的判定与性质（共1小题）

15.（2020•岳阳）如图，点E,尸在。ABC。的边BC,A。上，BE=LC,FD=1AD,连

33

接BRDE.

求证：四边形BE。尸是平行四边形.

一十.菱形的判定（共1小题）

16.（2022•岳阳）如图，点E,F分别在口A8CD的边AB,BC上，AE=CF,连接。E,OE请

从以下三个条件：①Nl=/2；②DE=DF；③N3=N4中，选择一个合适的作为已知

条件，使口A8C。为菱形.

（1）你添加的条件是（填序号）；

（2）添加了条件后，请证明nABCD为菱形.

一十一.四边形综合题（共2小题）

17.（2021•岳阳）如图，在RtaABC中，ZACB=90°,/A=60°,点。为A8的中点,

连接CC,将线段C。绕点。顺时针旋转a（60°<a<120°）得到线段E£>,且E£>交

线段BC于点G,NCDE的平分线DM交BC于点H.

(1)如图1,若a=90°,则线段E。与的数量关系是,如=；

CD

(2)如图2,在(1)的条件下，过点C作C尸〃DE交DM于点凡连接EF,BE.

①试判断四边形C0EF的形状，并说明理由；

②求证：理=返；

FH3

(3)如图3,若AC=2,tan(a-60°)=m,过点C作C/〃DE交。M于点F,连接

EF,BE,请直接写出些的值(用含他的式子表示).

点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边C4,AB上沿C-4,A-B的方向

运动，当点Q运动到点8时、P,Q两点同时停止运动.设点P运动的时间为f(s),连

接PQ,过点尸作PELPQ,PE与边BC相交于点E,连接QE.

(1)如图2,当f=5s时，延长EP交边AO于点F.求证：AF=CE；

(2)在(1)的条件下，试探究线段A。，QE,CE三者之间的等量关系，并加以证明；

(3)如图3,当「〉当■时，延长EP交边AO于点F,连接FQ,若FQ平分/AFP,求处

4CE

的值.

一十二.特殊角的三角函数值(共1小题)

19.(2022•岳阳)计算：|-3|-2tan450+(-1)2022（V3-Tt）°.

一十三.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

20.（2021•岳阳）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步

行观光桥.如图，该河旁有一座小山，山高3c=80"，坡面A8的坡度i=l：0.7（注：

坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、尸在同一水平线上，

从山顶B处测得河岸E和对岸尸的俯角分别为NO8E=45°,ZDBF=31°.

（1）求山脚A到河岸E的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽所的长度.（结果精确到0.1,〃）

（参考数据：sin31°-0.52,cos31°-0.86,ta数据—0.60）

21.（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治

理项目，需要从如图A,B两地向C地新建AC,BC两条笔直的污水收集管道，现测得C

地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7h〃，求新建管

道的总长度.（结果精确到0.1痴，sin22°弋0.37,cos22°«=0.93,tan22°^0.40,&弋

一十五.扇形统计图（共1小题）

22.（2021•岳阳）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”

督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社

团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时

间单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：

组别睡眠时间分频数频率

组

At<640.08

B6Wf<780.16

C7«810a

D8Wf<9210.42

Eb0.14

请根据图表信息回答下列问题:

(1)频数分布表中，a=,b=；

(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是°；

(3)请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；

(4)研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率.请你根据以上

调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议.

一十六.列表法与树状图法(共2小题)

23.(2022•岳阳)守护好一江碧水，打造长江最美岸线.江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉

祥三宝”的新名片.某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，

它们除此之外完全相同.

(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取•一张，则抽取的卡片正面图案恰好是

“麋鹿”的概率为;

(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片

中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”

和“天鹅”的概率.

江豚麋鹿天鹅

24.（2020•岳阳）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了

“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程.为了解七年级学生对每类课程的

选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调

查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

1

18

X

15

A

12

A9

6

3

0

（1）本次随机调查的学生人数为人；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人

数；

（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学

校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动

课程的概率.

参考答案与试题解析

实数的运算(共2小题)

I.(2021•岳阳)计算：1)202i+|-2|+4sin30°-(我

【解答】解：原式=-1+2+4X」-1=-1+2+2-1=2.

2

2.(2020•岳阳)计算：(上)i+2cos60°-(4-n)°+|-北

2

【解答】解：原式=2+2义工-

2

=2+1-1+V3

=2+5/3.

二.代数式求值(共1小题)

3.(2022•岳阳)己知“2-20+1=0,求代数式a(a-4)+(a+1)(a-1)+1的值.

【解答】解：a(a-4)+(a+1)(a-1)+1

—a2-4a+a2-1+1

—2a2-4a

=2(a2-2a),

'.'a2-2a+l=0,

-2a=-1,

原式=2X(-1)=-2.

三.二元一次方程组的应用(共1小题)

4.(2022•岳阳)为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线

上跳绳活动，需购买A,B两种跳绳若干.若购买3根A种跳绳和I根B种跳绳共需140

元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元.

(1)求4,8两种跳绳的单价各是多少元？

(2)若该班准备购买A,8两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购

买8种跳绳多少根？

【解答】解：(1)设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元.

根据题意得：(3x+y=140,

l5x+3y=300

解得：卜=30,

ly=50

答：4种跳绳的单价为30元，8种跳绳的单价为50元.

（2）设购买B种跳绳。根，则购买A种跳绳（46-〃）根，

由题意得：30（46-a）+50aW1780,

解得：aW20,

答：至多可以购买B种跳绳20根.

四.分式方程的应用（共2小题）

5.（2021•岳阳）星期天，小明与妈妈到离家的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行

车先走，1/?后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈

妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度.

【解答】解：设小明骑自行车的平均速度为则妈妈开车的平均速度为4xkm/〃，

依题意得：也-」包=1,

x4x

解得：x=12,

经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，

；.4x=48.

答：妈妈开车的平均速度为48&疯儿

6.（2020•岳阳）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知4型机

器人比B型机器人每小时多搬运20kg,且A型机器人搬运1200仅所用时间与B型机器

人搬运1000版所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.

【解答】解：设8型机器人每小时搬运Mg原料，则A型机器人每小时搬运(x+20)kg

原料，

依题意，得：1200=1000,

x+20x

解得：x=100,

经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，

；.x+20=120.

答：A型机器人每小时搬运120版原料，B型机器人每小时搬运100依原料.

五.反比例函数与一次函数的交点问题(共3小题)

7.(2022•岳阳)如图，反比例函数＞=区(ZW0)与正比例函数y—nix(,*W0)的图象交

x

于点A(-l,2)和点B,点C是点A关于y轴的对称点，连接AC,BC.

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)求△ABC的面积；

(3)请结合函数图象，直接写出不等式上＜做的解集.

X

【解答】解：(1)把点A(-1,2)代入y=K(AW0)得：2=—

X-]

：.k=-2,

・・・反比例函数的解析式为＞=-2；

X

(2)..•反比例函数产区(kWO)与正比例函数("?W0)的图象交于点A(-1,

x

2)和点B,

：.B(1,-2),

,*,点C是点A关于y轴的对称点，

：.C(1,2),

：.AC=2,

/.SMBC=-A-X2X(2+2)=尔

(3)根据图象得：不等式的解集为X<-1或0<x<l.

X

8.(2021•岳阳)如图，已知反比例函数)，=区(20)与正比例函数)，=2x的图象交于A(1,

x

m),B两点.

(1)求该反比例函数的表达式；

(2)若点C在尤轴上，且△BOC的面积为3,求点C的坐标.

【解答】解：(D把A(1.m)代入y=2%中,

得m=2,

.,.点A的坐标为(1,2),

把点A(1,2)代入y=K中，

X

得k=2,

...反比例函数的解析式为>=2；

X

(2)过点B作BC垂直与x轴，垂足为。，

设点C的坐标为(小0),

••,点A与点B关于原点对称，

...点B的坐标为（-1,-2）,

：.BD=\-2|=2,OC=\a\,

SMOC=/BD・OC=,X2X|a|=3）

解得：a—3或a--3,

.•.点C的坐标为（3,0）或（-3,0）.

9.（202（）•岳阳）如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=K（&为常数且20）的

x

图象相交于A（-1,m）,B两点.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移方个单位（b>0）,使平移后的图象与反

比例函数y=K的图象有且只有一个交点，求6的值.

X

【解答】解：⑴•••一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=K&为常数且20）的

X

图象相交于4（-L771）,

：.k=-1X4=-4,

...反比例函数解析式为：y=-1；

X

（2）•・•一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（6>0）,

，y=x+5-b,

•.•平移后的图象与反比例函数y=K的图象有且只有一个交点，

X

.*.x+5-b--―,

x

(5-6)x+4=0,

VA=(5-b)2-16=0,

解得b=9或1,

答：人的值为9或1.

六.二次函数综合题(共3小题)

10.(2022•岳阳)如图1,在平面直角坐标系X。)，中，抛物线产”y=/+bx+c经过点A(-

3,0)和点B(1,0).

(1)求抛物线F1的解析式；

(2)如图2,作抛物线打，使它与抛物线乃关于原点O成中心对称，请直接写出抛物

线F2的解析式；

(3)如图3,将(2)中抛物线尸2向上平移2个单位，得到抛物线乃，抛物线为与抛

物线尸3相交于C,。两点(点C在点。的左侧).

①求点C和点D的坐标；

②若点例，N分别为抛物线尸I和抛物线尸3上C,。之间的动点(点M,N与点C,。不

重合)，试求四边形CMON面积的最大值.

【解答】解：(1)将点A(-3,0)和点8(1,0)代入y=/+fec+c,

9-3b+c=0

l+b+c=0

解得(b=2,

lc=-3

；.y=/+2x-3；

(2)：y=W+2x-3=(x+1)2-4,

抛物线的顶点(-1,-4),

•••顶点(-1,-4)关于原点的对称点为(1,4),

二抛物线F2的解析式为y=-(x-1)2+4,

；.y=-X2+2X+3；

(3)由题意可得，抛物线用的解析式为y=-(x-1)2+6=-X2+2X+5,

f2

①联立方程组］尸-x+2x+5,

y=x2+2x-3

解得x=2或x=-2,

：.C(-2,-3)或力(2,5)；

②设直线CD的解析式为y=H+b,

.f_2k+b=_3

*-l2k+b=5'

解得仆=2,

lb=l

.•.y=2x+l,

过点M作MF〃y轴交CO于点F,过点N作NE〃丁轴交于点E,

设MCm,-3),N(n,-n24-2/t4-5),

贝！J尸Cm,2m+l),E(n,2〃+l),

J.MF=2m+l-(相2+2团-3)=-病+4,

NE--n~+2n+5-2n~1--n+4,

：-2<m<2,-2<n<2,

当机=0时，M/有最大值4,

当〃=0时，NE有最大值4,

四边形C"£W=SACON+SACDM=LX4义(MF+NE)—2CMF+NE),

2

二当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16.

11.(2021•岳阳)如图，抛物线>=/+版+2经过A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交

于点C,连接BC.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图2,直线/：尸=履+3经过点A,点尸为直线/上的一个动点，且位于x轴的上

方，点。为抛物线上的一个动点，当尸Q〃y轴时，作。MLPQ,交抛物线于点M(点M

在点。的右侧)，以P。，QM为邻边构造矩形PQWM求该矩形周长的最小值；

(3)如图3,设抛物线的顶点为。，在(2)的条件下，当矩形PQA/N的周长取最小值

时，抛物线上是否存在点F,使得NCBF=NDQM?若存在，请求出点F的坐标；若不

存在，请说明理由.

【解答】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x-xi)(x-x2),

即y=a(x+1)(%-4)—a(%2-3x-4)-3ax-4”，

即-4a=2,解得a=-

2

故抛物线的表达式为y=-1?+^+2；

（2）将点A的坐标代入直线/的表达式得：0=-k+3,解得人=3,

故直线I的表达式为y=3x+3,

设点。的坐标为（x,--kr2+.?.A-+2）,则点P的坐标为（x,3x+3）,

22

由题意得，点Q、"关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x=3,

~2

故点M的横坐标为3-x,则QM=3-x-x=3-2x,

设矩形周长为C,则C=2（PQ+QM）=2[3-2x+3x+3-（-工？+当+2）]=/x+8,

一一22

Vl>0,故C有最小值，

当天=工时，矩形周长最小值为21；

24

（3）当犬=工时，），=-L?+斗+2=2工，即点。的坐标为（_L,2L）,

222828

由抛物线的表达式知，点力的坐标为（旦，空），

28

过点。作。K,0M于点K,

则DK—yo-yQ--^--

882

同理可得，QK=1,

则tanZDQM=@•=A,

QK2

■:NCBF=NDQM,

故tanZCBF=tanZDQM=—,

2

在△BOC中，tan/CBO=型上=」，

0B42

故所和B0重合，

故点尸和点A重合，

即点尸的坐标为(-1,0),

当点尸在直线BC的上方时，；4。=遥，BC=2娓,AB=5,

：.AB1=AC1+BC2,

：.ZACB=90Q,

则点A关于BC的对称点A'(1,4),

直线BF的解析式为)，=-£+西，

-33

由］3解得(x=4或,

y=-^x2+^-x+2।丫-°

：.F(A,28),

39

综上所述，满足条件的点F的坐标为(-1,0)或(S,毁)

39

12.(2020•岳阳)如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线尸1：y=«(x-2)2+卫士与x

515

轴交于点A(--1,0)和点8,与y轴交于点C.

(1)求抛物线F1的表达式；

(2)如图2,将抛物线为先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线22,

若抛物线Fl与抛物线上相交于点C,连接80,CD,BC.

①求点。的坐标；

②判断△BCD的形状，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，抛物线放上是否存在点P,使得△BQP为等腰直角三角形，若

存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)把点A(一旦，0)代入抛物线Fi：y=a(x-2)?+星中得:

5515

0=〃(-旦-2)2+星，

5515

解得：&=-且,

3

抛物线Fl：y=-S(x-2)2+-§1；

3515

(2)①由平移得：抛物线尸2：y=-"(x-2+l)2+空-3,

3515

：.y=-—(x+—)2+9，

'3515

-9(X+旦)2+迫=-a(X--2)2+四

35153515

_10r_10

33

解得：x=-1,

：.D(-1,1)；

②当x=0时，y=-9x/-"k^=4，

32515

：.C(0,4),

当y=0时，-分(龙-2)2+.^4=0,

3515

解得：X=-2或2,

5

:.B(2,0),

,：D(-I,1),

；.BD2=(2+1)2+(1-0)2=10,

CD2=(0+1)2+(4-1)2=10,

8c2=22+42=20,

：.BD2+CD2=BC2且BD=CD,

...△8OC是等腰直角三角形；

(3)存在，

设尸(,〃，

"：B(2,0),£)(-1,1),

1

BD=(2+1)2+12=10，pB2=(m_2)2+[,|(in+|.)24>-|2，

PD2=(m+1)2+[-y2+y|--l]2,

分三种情况：

①当NO8P=90"时，BD2+PB2=PD2,

即10+(w-2)2+[-]2=(m+1)2+[--(m+—)2+-l1.-1j2,

解得：/〃=-4或1,

当/n=-4时，BD=K，PB=V36+324=6^/10)即△BOP不是等腰直角三角形，不

符合题意，

当"?=1时，百=J75，

：.BD=PB,即△BOP是等腰直角三角形，符合题意，

：.P(1,-3)；

②当NBOP=9(T时，BD2+PD2=PB2,

即10+(W7+1)2+1-(w+A)2+-^|--1]2=(相-2)2+[-.24,A1.]2,

解得：-1(舍)或-2,

当〃1=-2时，BD=4TO,PD=V1+9=VTO>

：.BD=PD,即此时△BDP为等腰直角三角形，

：.P(-2,-2)；

③当NBPC=90。时，且8P=QP,有BD2=PD,PB2,如图3,

当△BDP为等腰直角三角形时，点P1和P2不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P;

综上，点P的坐标是(1,-3)或(-2,-2).

七.三角形综合题(共1小题)

13.(2022•岳阳)如图，ZVIBC和△O8E的顶点8重合，NABC=NDBE=90°,ZBAC

=ZBDE=30°,BC=3,BE=2.

(1)特例发现：如图1,当点£>，E分别在A8,8c上时，可以得出结论：坦=M,

CE——

直线AD与直线CE的位置关系是垂直；

(2)探究证明：如图2,将图1中的△ZJ8E绕点2顺时针旋转，使点。恰好落在线段

4c上，连接EC,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理

由；

(3)拓展运用：如图3,将图1中的△OBE绕点8顺时针旋转a(19°<a<60°),连

接A。、EC,它们的延长线交于点F,当。F=8E时，求tan(60°-a)的值.

图1

【解答】解：（1）在Rt/SABC中，NB=90°,8c=3,/A=30°,

；.AB=«BC=3愿，

在Rt^BQE中，NBDE=30°,BE=2,

:.BD=MBE=2M，

；.EC=1,AD=a，

.•.坦=«,此时AQ_LEC,

EC

故答案为：M，垂直；

(2)结论成立.

理由：VZABC=ZDBE=90a,

，NABD=NCBE,

,:AB=MBC,BD=&BE,

•迪=迈

"BCEB'

:./XABDSACBE,

AAD=AB=NADB=/BEC,

ECBC

：NAr>B+/CZ)B=180°,

...NCOB+NBEC=180°,

.•./£>BE+NOCE=180°,

:NDBE=90°,

/.ZDCE=90°,

：.AD±EC；

(3)如图3中，过点B作区/L4c于点J,设8D交AK于点K,过点K作K7UAC于

点K.

A

图3

；NA/B=90°,N8AC=30°,

:.NABJ=60°,

：.ZKBJ=60°-a.

：AB=3百，

:.BJ=LAB=丕巨,AJ=MBJ=宜,

222

当。F=BE时，四边形8EF£＞是矩形，

；.NADB=90：ADK/-BD2r(3E产-(2五)2=任,

设KT=m,则AK=2m,

；NKTB=NADB=90°,

hmc—KT_AD

BTBD

•m_V15

"BT砺’

：.BT=m,

5

二百〃?+2/5_机=3禽,

5

...,〃=45-6后,

11_

.MK=2片9072后,

11__

：.KJ=AJ-AK=1-90-12后=24任-81,

21122

tan(600-a)=j^L=—

BT11

解法二：证明NCA尸=60°-a,

通过tan（60°-a）=SL求解即可.

AF

八.平行四边形的判定（共1小题）

14.（2021•岳阳）如图，在四边形ABC。中，AELBD,CFLBD,垂足分别为点E,F.

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加

的条件是AE=CF；

（2）添加了条件后，证明四边形AEC尸为平行四边形.

【解答】解：（1）添加条件为：AE=CF,

故答案为：AE=CF；

（2）证明："：AELBD,CFLBD,

J.AE//CF,

"：AE=CF,

四边形AEC尸为平行四边形.

九.平行四边形的判定与性质（共1小题）

15.（2020•岳阳）如图，点E,F在。ABCQ的边BC,上，BE=LBC,FD=1.AD,连

33

接BF,DE.

求证：四边形BED尸是平行四边形.

【解答】证明：；四边形A8C。是平行四边形,

：.AD=BC,AD//BC,

•：BE=^BC,FD=kAD,

33

：.BE=DF,

,JDF//BE,

，四边形尸是平行四边形.

一十.菱形的判定（共1小题）

16.（2022•岳阳）如图，点E,F分别在。A8CD的边A3,3c上，AE=CF,连接。E,DF.请

从以下三个条件：①/1=/2；②DE=DF；③/3=/4中，选择一个合适的作为己知

条件，使。ABC力为菱形.

（1）你添加的条件是①或③（填序号）；

（2）添加了条件后，请证明口A2C。为菱形.

【解答】（1）解：添加的条件是N1=N2或N3=N4,

故答案为：①或③；

（2）证明：添加①，•••四边形48CZ）是平行四边形，

在△ADE和△€17）/中，

'N1=N2

<ZA=ZC>

,AE=CF

:./XADE妾ACDF（A4S）,

：.AD=CD,

二。ABC。为菱形；

添加③，•••四边形A8CO是平行四边形，

NA=/C,

在△AOE和△CO/中，

'N3=/4

-AE=CF，

ZA=ZC

:.AADE咨ACDF（A4S）,

：.AD=CD,

,“ABC。为菱形.

一十一.四边形综合题(共2小题)

17.(2021•岳阳)如图，在RtZiABC中，ZACB=90Q,NA=60°,点。为A8的中点，

连接C。，将线段C£>绕点。顺时针旋转a(60°<a<120°)得到线段E£>,且ED交

线段BC于点G,NCDE的平分线。M交BC于点H.

(1)如图1,若a=90°,则线段ED与8力的数量关系是ED=BD，强=1.；

CD-3-

(2)如图2,在(1)的条件下，过点C作CF〃QE交。M于点F,连接EF,BE.

①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；

②求证：毁=1_；

FH3

(3)如图3,若AC=2,tan(a-60°)=〃?，过点C作C/〃OE交。M于点凡连接

:.AD=CD=BD,

VZA=60°,

.,.ZB=30°,△AC。是等边三角形，

，NDCB=30°,

VZCDE=a=90°,

tanZCGD=tan60°

DG

•GD=«

'*CD~

:线段CD绕点D顺时针旋转a(60°<a<120°)得到线段ED,

：.ED=CD=BD,

故答案为：ED=BD；返.

3

(2)①四边形COE尸是正方形，理由如下，

••♦QM平分NCOE,ZCDE=90°,

：.ZCDM=ZEDM=45°,

■:CF//DE,

：.ZCFD=ZEDM=45°,

・・・ZCFD=/EDM=/CDM,

:.CF=CD=ED,

・・・四边形COE尸是菱形，

•：ZCDE=90°,

二・菱形CDEF是正方形.

②由(1)可知，ZADC=60°,ZCGD=60°,BD=DE,

；・NBDE=30°,NEGB=60°,

：・/DBE=NDEB=75°,

，/EBG=45°,

VZGDB=90°-ZADE=30°,ZABC=30°,

：.ZGDB=ZABC9

:.DG=BG,

由①知NCFO=NCOF=45°,NDCF=90°,

AZFCH=60°,

:"EGB=NFCH,NEBG=NCFD,

:.XBEGS^FHC,

・BE=BG

一而FC，

•:DG=BG,CD=CF,

•BE=BG-GD=V3

"PHFCCD~

(3)如图3,过点。作ONLBC于点M

图3

：.AC//DN,

:./ACD=/CDN,

•・・△ACO是等边三角形，AC=2,

：.FC=CD=AC=2,/CDN=/ACD=60°,

：.ZNDG=a-60°,DN=\,

/.tanZA^£)G=tan(a-60°)

DN

NG—m,

在RlZ\A8C中，ZACB=90°,ZA=60°，AC=2,

."8=4,BC=2代，

:.BN=CN=M，

：.BG=M-m,

VZADC=60Q,ZCDG=a,

：.ZBDE=\20°-a,

ZBEG=30°+—,

2

：.ZEBG^—,

2

：.ZBGE=]500-a,

:DM平分NCDE,ZCDE=a,

NCDM=ZEDM=—,

2

'JCF//DE,

：.ZCFD=ZEDM=~,ZDCF+ZCD£=180°,

2

.,.Z£(CF=180°-a,

AZFCG=150°-a,

:.NEGB=NFCG,ZEBG=ZCFD,

:.丛BEGs/\FHC,

•BE=BG=-m

**FHFC-~~.

18.(2020•岳阳)如图1,在矩形ABC力中，AB=6,BC=8,动点P,。分别从C点，A

点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA,A8上沿C-A,的方向

运动，当点Q运动到点8时，P,Q两点同时停止运动.设点户运动的时间为f(s),连

接PQ,过点P作PEJ_PQ,PE与边BC相交于点E,连接QE.

(1)如图2,当f=5s时，延长EP交边AD于点尸.求证：AF=CE；

(2)在(1)的条件下，试探究线段AQ,QE,CE三者之间的等量关系，并加以证明；

(3)如图3,当时，延长EP交边4。于点F,连接FQ,若尸。平分乙4尸尸，求空

4CE

的值.

【解答】解：(1)二•四边形A8CD是矩形，

：.AD//BC,NABC=90°,

在RtZVIBC中，AB=6,BC=8,根据勾股定理得，AC=10,

由运动知，CP=t=5,

：.AP^AC-CP=5,

：.AP=CP,

'JAD//BC,

：.ZPAF=NPCE,NAFP=NCE