九年级数学下册《锐角三角函数》单元测试卷（附答案解析）

九年级数学下册《锐角三角函数》单元测试卷（附答案解析）

一、单选题

1.在Rt,ABC中，NC=9O°,若8C=3,AC=4,则的值为（)

4334

A.-B.-C.D.-

5543

比.1

2.已知a是锐角,若sma=一,则a的度数是（)

2

A.30°B.45OC.60°D.75°

3.在下列实数中，无理数是（)

1

A.sin45°B.-C.0.3D.tan45°

3

4.如图，在.ABC中，NC=90°,AB=5,AC=4,下列三角函数表示正确的是（）

4444

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=—D.tanB=—

5535

)

5.如图，AC是电杆A8的一根拉线，测得3c=6米，ZACB=52°9则拉线AC的长为(

6

B.米

tan520

6

C.6・cos520米D.米

cos520

6.计算sin450+cos45°的值为()

A.1B.2

C.V2D.2及

7.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：、历，坝高BC=4m,则AB的长度为()

B.4-72mC.4百mD.6m

8.如图，在平面直角坐标系中，过点0的00।与两坐标轴分别交于A、B两点，A(5,0),B(0,3),

点C在弧0A上，则tanNBCO()

43

C.一D.

55

9.如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin/ABC=()

rV26

13

10.如图，已知AB是。。的直径，弦CDJ_AB,垂足为E,且NBCD=30°,CD=4g,则图中阴影部分

的面积S明影=()

43

C.—nD.

3

二、填空题

11.在aABC中，ZC=90°,若AB=3,BC=1,则cosA的值为.

12.若cosa=0.5,则锐角a为度.

13.如果一个正六边形的边心距的长度为瓜m,那么它的半径的长度为cm.

14.如图，正方形ABCD的边长为4,P是边CD上的一动点，EF_LBP交BP于G,且EF平分正方形ABCD

的面积，则线段GC的最小值是.

三、计算题

15.计算次+2(万一2009)°—4sin45+(-1)3

16.(-)-2-V27+|^-2|+4sin60

17.计算：石,sin60°—y[2*cos45°+盛一(I

18.观察下列等式：

]_

①sin30。=—,cos60°=

22；

加

②sin45。=-,cos45°=

2

③sin60。=—,cos30°=V3

2

(1)根据上述规律，计算sink+sir?(90°-a)=.

(2)计算：sin2l°+sin22°+sin23°+…+sin'89°.

四、作图题

19.如图，在AABC中，NB=90。，点D在边BC上，连接AO,过点D作射线DELA£).

(1)在射线OE上求作点M,使得AAOM〜AABC,且点M与点C是对应点(要求：尺规作图,

不写作法，保留作图痕迹）

2

（2）在（1）的条件下，若cosN5AO=—BC=6,求DM的长

3

五、解答题

20.如图，从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30。,45°,此时热气球C处所在位置到

地面上点A的距离为400米.求地面上A,B两点间的距离.

21.如图，小丽家住在巴河畔的电梯公寓AD内，她家的河对岸新建了一座大厦BC.为了测量大厦的高

度，小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为45。，爬上楼顶D处得大厦顶部B的仰角为30。.

已知小丽家所住的电梯公寓高36米，请你帮助小丽计算出大厦高度BC,结果保留整数.（参考数据：

石。1.7,V2«1.4）

六、综合题

22.为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下

图.小明同学为测量宣传牌的高度AB,他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的

底部B的仰角为60。，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30。（A、B、D、E在同一直线上）.然后，

小明沿坡度i=l：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行.

(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；

(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°,求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，J5

F.41,上&1.73).

23.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC,DF1AE,垂足为F,连接DE.

(1)求证：△ABEgZiDFA；

(2)如果AD=10,AB=6,求sin/EDF的值.

参考答案与解析

1.【答案】B

【解析】【解答】解：在Rt4ABC中，BC=3,AC=4,

.•.AB=y/BC2+AC2=V32+42=5，

nBC3

cosB=----=—.

AB5

故答案为：B.

【分析】首先根据勾股定理求出AB,然后根据余弦函数的概念进行计算.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：是锐角，sina=-,

2

.\a=30°.

故答案为：A.

【分析】根据特殊角的锐角三角函数值可知，sin300=即可判断a的度数.

2

3.【答案】A

6

【解析】【解答】解：sin450=—,S〃45°=l

2

•••:、0.3与1是有理数，虫是无理数，

32

二选项A满足题意.

故答案为：A.

【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin45°=受，tan45°=1,常见的无理数有四类：①根号型的

2

数：开方开不尽的数，②与兀有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）

这类有规律的数，④三角函数型：如sin600等，根据定义即可一一判断得出答案.

4.【答案】B

【解析】【解答】ZC=90°,AB=5,AC=4

BC=yjAB2-AC2=/52-42=3

.­.sinA=—=-,A不符合题意；

AB5

AC4

.-.cosA=—=-,B符合题意;

AB5

:.tanA=—=~,C不符合题意；

AC4

Ar4

:.tanB=—=~,D不符合题意；

BC3

故答案为：B.

【分析】利用正弦、余弦和正切的定义逐项判断即可。

5.【答案】D

【解析】【解答】解：cosZACB=—,

AC

：.AC=———,

cosZACB

BC=6米，NACB=52°

故答案为：D.

【分析】利用解直角三角形的方法可得AC=」一。

cos520

6.【答案】C

【解析】【解答】解：sin450+cos450=—+—=V2.

22

故答案为：C.

【分析】直接代入特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可得出答案.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：1•迎水坡AB的坡比为1：后，

BC141

.••益=国’即益=正，

解得，AC=4-^2,

由勾股定理得，AB=-JBC2+AC2=4V3(m),

故答案为：C.

【分析】坡比等于坡角的正切函数值，据此结合BC的值可得AC,然后根据勾股定理求解即可.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：连接AB,则NBCONBAO.

VA(5,0),B(0,3),

.*.OB=3,0A=5,

3

..tanZBC0=tanZBA0:=—,

故答案为：D.

3

【分析】根据圆周角的性质可得/BCO/BAO,再利用正切的定义可得tanNBC0=tan/BA0=-o

9.【答案】B

【解析】【解答】解：过点C作CDJ_AB,如图，

AB=732+32=3A/2，BC=722+32=V13，

根据题意可得，

SAAK=—ACx3=—AB-CD,

22

Eplxlx3=-x3V2xC£),

22

解得：CD=—,

2

在RtABCD中,

CD=与=叵

sinZABC=—

BC>26

故答案为：B.

【分析】过点C作CDJ_AB,先利用勾股定理求出AB和BC的长，再利用等面积法求出CD=变，最后

2

CD及

利用正弦的定义可得sin/ABC=J=了=吗。

BC加26

10.【答案】B

【解析】【解答】解：；AB是。。的直径，弦CD_LAB,

；.CE=ED=26，

又：/DCB=30°,

.•.ZD0E=2ZBCD=60°,

/.0E=273x—=2,0D=4,

3

S网彩=S鬲彩BOD-SACOF+SABEC—‘°兀~~--X2X2y/3H—x2x2-\/3-.

360223

故答案为：B.

【分析】根据垂径定理可得CE=ED=26，由圆周角定理可得ND0E=2NBCD=60°,根据三角函数

的概念求出0E、0D,然后根据5畔=5用彩瞰-S△眦+S.C结合扇形、三角形的面积公式进行计算.

11.【答案】述

3

【解析】【解答】解：在aABC中，NC=90°,AB=3,BC=1,

•••AC=ylAB2-BC2=V32-l2=2V2»

.A_AC2V2

・.cosA----=----,

AB3

故答案为：述.

3

【分析】先求出AC的长，再利用余弦的定义求解即可。

12.【答案】60

【解析】【解答】解：•••cosa=0.5=,，

2

二锐角a=60°

故答案为：60.

【分析】根据特殊角三角函数值直接得出答案.

13.【答案】2

【解析】【解答】解：如图:

由题可知：ABCDE户是正六边形，OG1AB0G=y/3cm,

ZAOB^^3-60=°6Q°,

6

OA=OB,

为等边三角形,

---OGLAB,

：.ZAOG=3Q°,

OG=V3cm,

.加=q=半=2cm

•cos30°V3

2

故答案为：2.

【分析】由正六边形的性质可得aOAB为等边三角形，由OGLAB,可得OG=J§cm,OGLAB,

利用锐角三角函数即可求出0A的长.

14.【答案】V10-V2

【解析】【解答】解：正方形ABCD中，BC=CD=4,ZABCZBCD^90°,连接BD,交EF于点0,如

图所示：

则NABZ)=NC8£)=LZA8C=」X90°=45°,

22

在Rt_BCD中，由勾股定理，得：BD=NBC?+B="2+4?=40，

；EF平分正方形ABCD的面积，

...EF一定经过正方形得中心，即点0是正方形的中心，

AOB=OD=-BD=-x4y/2=2j2,

22

•.•EF_LBP交BP于G,

AZOGB=90°,

...以OB为直径作-M，如上图，则点G在M上，BM=GM=-OB=-x2y/2=y/2,

22

二连接CM,如上图，则点G在CM与QM的交点处时，CG的值最小，

此时，MG=BM=42，

过点M作MNLBC于点N,如上图，贝ij/BNM=/CNM=90。,

/y

在Rt.BMN中，BN=BMcosZCBD=42x—=l,

2

/y

MN=BM-sinZCBD=y/2x—=\,

2

:.CN=BC-BN=4-1=3,

在Rt_CMN中，由勾股定理，得：CM=y]CN2+MN2=>/32+l2=V10，

:.CG=CM-MG=A-6,

即CG的最小值是V10-V2.

故答案为：V10-V2.

【分析】连接BD,交EF于点0,则NABD=NCBD=45°,由勾股定理求出BD,由题意可得EF一定经过

正方形的中心，据此可得OB=OD,以0B为直径作M,则点G在OM上，可得BM=GM=&,连接

CM,则点G在CM与OM的交点处时，CG的值最小，此时MG=BM=0,过点M作MN1BC于点N,利用

三角函数的概念可得BN、MN,进而求出CN,由勾股定理求出CM,然后根据CG=CM-MG进行计算.

15.【答案】解：原式=2V2+2xl-4x--1

2

=1

【解析】【分析】运用二次根式，底数非零的零指数嘉，三角函数值等来运算.

16.【答案】解：(1)-2-V27+-2|+4sin60,

=4-3V3+2-V3+4x—

2

=4-373+2-73+2^

=6-2百

【解析】【分析】根据负整数指数寨、算术平方根、绝对值和特殊角三角函数值得到原式=

4—36+2-6+4x43,然后进行乘法运算后合并即可.

2

17.【答案】解：原式=&X曰一行x曰+2—2=5—1=；

【解析】【分析】考查特殊角的三角函数值。

18.【答案】(1)1

(2)sin2l°+sin220+sin23°+*,e+sin289°

=(sin2l°+sin289)+(sin22°+sin288°)+…+sin"45°

1

=]+[+•••]+—

2

1

=44+-

2

89

"T'

【解析】【解答】解：(1):,根据已知的式子可以得到sin(90°-a)=cosa,sin2a+sin2(90°

-a)=1；(2)sin~l°+sin220+sin23°+…+sin?89°=(sin2l°+sin289)+(sin22°+sin288°)+,,•

1189

+sin-245o=1+1+…1+—=44+—=—.

222

【分析】(1)根据已知的式子可以得到sin(90。-a)=cosa,根据同角的正弦和余弦之间的关系即

可求解；(2)利用(1)的结论即可直接求解.

19.【答案】(T解：如图点M即为所求.

解法一(作NBAC=NDAM)：

解法二(作NCAM=NBAD)：

(2)解：VAADM^AABC,

.BCAB

AB

在RtAABD中，cosZBAD=——，

AD

2

"."cosZBAD=—,

3

•AB_2

•,一，

AD3

.BC2

"~DM~39

VBC=6,

；.DM=9.

【解析】【分析】(1)作NBAC=NDAM即可求解；

(2)由题意证△ADMS^ABC,利用相似三角形的性质求解即可.

20.【答案】解：过点C作CDLAB于点D

*:梃

由题意得Z4=ZEC4=30°,ZB=NFCB=45°

CD

;在RtZ\ACD中，sinA=—

ACAC

1/、

CD=ACsinA=400sin30°=400X-=200(m)

2

AD=ACcosA=400cos30°=400X—=20073(m)

2

•・•在Rt^BCD中，tanB二一

BD

CD200

ABD==200(m)

tanBtan45°

.\AB=AD+BD=(200V3+200)m

答：地面上A,B两点间的距离为(200^+200)m.

【解析】【分析】过点C作CD1AB于点D,先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、

45°可求出/B与/A的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结

论.

21.【答案】解：过B作BELDE于E,如图所示：

楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°,

NDBE=30°,

・•.在RtMDE中,NE=90°,ZDBE=30°,

可得tanNDBE=些,即DE=^~BE,

BE3

在RtAABC中，ZACB=90°,ABAC=45°,可得tanZBAC=—,即,

AC-

又•.AC=B£,AO=36,BC=AE=AD+DE,

BC^36+—BC,

3

解得BC=18(3+百)a18x(3+1.7)=84.6a85,

答：大厦高度BC约为85米.

【解析】【分析】过B作BE_LDE于E,由题意可得NDBE=30°,ZBAC=45°,利用三角函数的概念可得

DE=—BE,BC=AC,结合AC=BE可得BC=AE=AD+DE,据此可得BC