高中立体几何经典题型练习题(含答案)

高中立体几何经典题型练习题(含答案)高中数学立体几何练习题精选试卷姓名：_________________班级：_________________学号：_________________说明：1.本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。2.考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷。第Ⅰ卷（选择题）评卷人：_________________得分：_________________一．单选题（每题2分，共40分）1.设直线l，m和平面α，β，下列条件能得到α∥β的有（）A.1个B.2个C.3个2.一个四面体中如果有三条棱两两垂直，且垂足不是同一点，这三条棱就象中国武术中的兵器--三节棍，所以，我们常把这类四面体称为“三节棍体”，三节棍体ABCD四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A（，，）、B（，4，）、C（4，4，）、D（，，2），则此三节棍体外接球的表面积是（）A.36πB.24πC.18πD.12π3.一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A.4.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱AA1⊥底面ABC，其主视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（）A.16B.2C.4D.85.三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的体积是（）A.2π6.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于点E，交CC′于点F，则下列结论正确的是（）①四边形BFD′E一定是平行四边形②四边形BFD′E有可能是正方形③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形④四边形BFD′E有可能垂于于平面BB′D．A.①②③④7.如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（）A.1B.C.πD.28.已知a，b是空间两条异面直线，它们所成的角为80°，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成角均为50°，这样的l有（）A.1条9.满足下面哪一个条件时，可以判定两个不重合的平面α与β平行（）A.α内有无数个点到平面β的距离相等C的大小为（）45°或135°10.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥β；③若m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，m⊂α，则m∥β。其中正确命题的个数是（）B.2个11.在直二面角α-AB-β的棱AB上取一点P，过P分别在α、β两个平面内作与棱成45°的斜线PC、PD，那么∠CPD的大小为（）C.120°12.如图，将边长为1的正方形ABCD，沿对角线BD折起来，使平面ABD⊥平面C′BD，则AC′=（）B.$\sqrt{2}$13.一个正四棱锥的底面面积为Q，则它的中截面（过各侧棱的中点的截面）的边长是（）A.$\sqrt{2}Q$14.某几何体的三视图如图实数，则当x+y取最大值时，该几何体的体积为（）A.$\dfrac{1}{2}$15.b，c中，b和c是一对异面直线，空间三条直线a，取三条直线中某两条直线确定平面，那么可以确定平面个数是（）B.1或216.n⊥β，n所成的角为已知二面角α-l-β的大小为60°，且m⊥α，则异面直线m，（）A.30°17.设α、β表示平面，l表示不在α内也不在β内的直线，给出下列命题：①若l⊥α，l∥β，则α⊥β；②若l∥β，α⊥β，则l⊥α；③若l⊥α，α⊥β，则l∥β。其中正确的命题是（）A.①③18.三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=1，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°．若E为PC中点，则BE与平面PAC所成的角的大小等于（）A.30°19.在正方体A1C中，对角线A1C与平面B1BCC1所成的角是（）A.$\cos^{-1}\dfrac{1}{3}$20.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（）B.若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β21.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为$\frac{1}{3}a^3$。22.如图，图①、②、③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是底视图，图②是前视图，图③是左视图。23.BD的长分别为4，6，若空间四边形ABCD的两条对角线AC，过AB的中点E且平行BD，AC的截面四边形的周长为20。24.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①AB=AD；②∠BAC=60°；③三棱锥D-ABC是正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直。其中正确结论的序号是①、②、③。25.直角三角形ABC中，CA=CB=$\sqrt{2}$，M为AB的中点，将△ABC沿CM折叠，使A、B之间的距离为1，则三棱锥M-ABC外接球的体积为$\frac{1}{3}$。27.如图，直四棱柱ABCD-A中，底面ABCD为梯形，AB平行于CD，AD⊥AC，E是AC中点。（1）求证：CD⊥AD。（2）求二面角C-D-E-B的大小。28.如图，直三棱柱ABC-A中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1。（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1-AC-C1的大小。29.按下列叙述画出图形（不必写作法）：直线a，b相交于点M，点N不在直线a，b上，作MN平行于a，作NP平行于b，作MQ⊥NP于Q点，作NR⊥MQ于R点，则四边形MNRP是一个平行四边形。点N分别与直线a和b确定平面α和β。已知四棱锥P-ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，ABCD是直角梯形，BC=2AD。1.求证：AB⊥PD。解：连接AP、BP、CP、DP，由∠BAD=90°，得AP⊥BP，∴BP⊥平面ABCD，又因为AB∥CD，所以BP⊥AB，即AB⊥PD。2.在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出点E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由。解：若存在点E，使AE∥平面PCD，则PE∥CD，∠AEP=∠PCD，又∠AEP=∠APE，所以∠APE=∠PCD，故AP∥CD，与AD∥BC矛盾，所以不存在点E。因此，不存在满足条件的点E。②若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则不一定有α∥β，故原命题不正确；③若m∥α，n⊂α，则m∥n，故原命题正确；④若α∥β，m⊂α，则m∥β，故原命题不正确。因此，正确命题的个数是1个，即第三个命题。答案：A。1.棱锥的中截面与底面相似，相似比为，因此中截面与底面的面积之比为相似比的平方。由于底面面积为Q，中截面面积为，则中截面的边长为。因此选A。2.根据三视图可以得知该几何体是长方体一角，如图所示，可以得到AC=BD=1，BC=y，AB=x。设CD=a，AD=b，则a^2+b^2=6，a^2+1=y^2，b^2+1=x^2。消去a^2和b^2得到x^2+y^2=8，因此x+y≤4。当且仅当x=y=2时等号成立，此时a=b=，所以V=。因此选A。3.由于b和c是一对异面直线，因此可以确定0个、1个或2个平面。当a与b，c均相交时，可以确定两个平面；当a与b，c中一条平行于另一条相交时，可以确定两个平面；当a与b，c中一条平行于另一条异面时，可以确定一个平面；当a与b，c中一条相交于另一条异面时，可以确定一个平面；当a与b，c均异面时，不能确定任何平面。因此选D。4.由于n⊥β，n所成的角为已知二面角α-l-β的大小为60°，且m⊥α，因此m，n所成的角就是二面角α-l-β的大小，即60°。因此选D。5.给出的三个命题中，只有①和③是正确的。当l⊥α，l∥β时，过l的平面与β相交，设交线为m，则l∥m，且m⊥α，m⊂β，因此α⊥β，命题①成立。当l⊥α，α⊥β时，l可以平行于β，也可以与β相交垂直，因此命题②不成立。当l⊥α，α⊥β时，l只能平行于β，因此l∥β，命题③成立。因此选A。18.三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=1，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°。若E为PC中点，则BE与平面PAC所成的角的大小等于多少？解析：作PO⊥平面ABC，垂足为O。则∠POA=∠POB=∠POC=90°，而PA=PB=PC，PO是△POA、△POB、△POC的公共边。因此，△POA≌△POB≌△POC，所以AO=BO=CO，则点O为三角形ABC的外心。因为△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，所以点O为AC的中点，则BO⊥AC。又因为PO⊥BO，且PO∩AC=O，所以BO⊥平面PAC，连接OE，则∠BEO为BE与平面PAC所成的角。因为点O为AC的中点，E为PC中点，PA=PB=PC=AC=1，ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，所以OE为中位线，且OE=1/2，BO=√2/2。又因为∠BOE=90°，所以∠BEO=45°，即BE与平面PAC所成的角的大小为45°。答案：B19.在正方体A1C中，对角线A1C与平面B1BCC1所成的角是多少？解析：因为正方体A1C中，A1B1⊥平面B1BCC1，所以直线B1C是直线A1C在平面B1BCC1内的射影。因此，∠A1CB1就是直线A1C与平面B1BCC1所成的角。答案：A20.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是什么？解析：对于A，过m的平面与α交于n，则m∥n，因为m⊥β，所以n⊥β，又因为n⊂α，所以α⊥β，故A是正确的。对于B，平面ABCD∩平面ABFE=AB，平面ABFE∩平面CDEF=EF，AB∥EF，但平面ABCD与平面CDEF不平行，所以B是不正确的。对于C，因为若α⊥β，m⊂β，则m与α的位置关系不确定，故m与α可能相交，可能平行，也可能是m⊂α，所以C是不正确的。对于D，因为γ、β垂直于同一个平面α，所以γ、β可能相交，可能平行，所以D是不正确的。综上所述，选项A是正确的。答案：A解：将文章中的格式错误和明显有问题的段落删除后，改写后的文章如下：21.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D-ABC的体积是多少？解：如图，由题意知DE=BE=a，BD=a。由勾股定理可证得∠BED=90°，故三角形BDE面积是a²。又正方形的对角线互相垂直，且翻折后，AC与DE、BE仍然垂直，故AE、CE分别是以面BDE为底的两个三角形的高。故三棱锥D-ABC的体积为1/3×a²×a=1/3a³。22.如图，图①、②、③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是什么视图，图②是什么视图，图③是什么视图？解：根据三视图的定义，可得图①是主视图，图②是左视图，图③是俯视图。23.BD的长分别为4、6，若空间四边形ABCD的两条对角线AC，过AB的中点E且平行BD，AC的截面四边形的周长为多少？解：设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF=GH=2，FG=HE=3，∴周长为2×（2+3）=10。24.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①；②∠BAC=60°；③三棱锥D-ABC是正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直。其中正确结论的序号是什么？解：BD⊥平面ADC，⇒BD⊥AC，①错；AB=AC=BC，②对；DA=DB=DC，结合②，③对④错。故正确结论的序号是②③。25.直角三角形ABC中，CA=CB=√2，M为AB的中点，将△ABC沿CM折叠，使A、B之间的距离为1，则三棱锥M-ABC外接球的体积是多少？解：∵Rt△ABC中CA=CB=√2，∴AB=2。又∵M为AB的中点，∴MA=MB=MC=1。故对折后三棱锥M-ABC的底面为边长为1的等边三角形。其外接球可化为以MAB为底面，以MC为高的正三棱柱的外接球。设三棱锥M-ABC外接球的球心为O，则球心到MAB的距离d=MC=√2/2，平面MAB的外接圆半径r=√3/2，故外接球的体积为2/3πr³=√2π/3。1.求三棱锥M-ABC外接球的半径R，以及外接球的体积V。答案：根据三棱锥的公式，可以得到M-ABC三棱锥的体积为V1=1/3*S*h，其中S为底面积，h为高。又因为M-ABC三棱锥的底面为三角形，可以利用海伦公式求得其面积S。然后根据勾股定理可以求得三棱锥的高h。接着，根据外接球半径公式R=abc/4V1，可以求得外接球的半径R。最后，利用外接球体积公式V=4/3*π*R^3，可以求得外接球的体积V。2.多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1。证明四边形ABED是正方形，判断点B，C，F，G是否四点共面，并说明为什么，连接CF，BG，BD，求证CF⊥平面BDG。答案：(1)因为AB和AD两两垂直，所以四边形ABED是平行四边形。又因为AD⊥DE且AD=DE，所以四边形ABED是菱形。又因为AD=2，所以四边形ABED是正方形。(2)取DG的中点P，连接PA和PF。因为AB∥DE且AB=DE，所以AB∥PF且AB=PF，所以四边形ABFP为平行四边形，从而AP∥BF。在梯形ACGD中，AP∥CG，所以BF∥CG，所以B、C、F、G四点共面。(3)因为AC∥EF且AC=EF，所以CF∥AE。因为正方形ABED中，AE⊥BD，所以CF⊥BD。又因为四边形BFGC是平行四边形，且有AC∥DG、EF∥DG，所以AC∥EF，所以EF⊥AD，BE∥AD。因为BE=AD=2、EF=1，所以四边形BFGC是菱形，所以CF⊥BG。因为AC∥EF且AC=EF，所以CF∥AE。所以CF⊥平面BDG。3.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB平行于CD，AD1⊥A1C，E是A1B1中点。求证CD⊥A1D1，求