高考数学总复习 第三章 导数及其应用 第19讲 定积分与微积分基本定理练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

第19讲定积分与微积分基本定理夯实基础【p41】【学习目标】1．了解定积分的实际背景、基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．【基础检测】1.eq\i\in(0,k,)(2x－3x2)dx＝0，则k＝()A．1B．0C．0或1D．以上都不对【解析】由题设可得k2－k3＝0⇒k2(k－1)＝0，则k＝0或k＝1.【答案】C2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2eq\r(2)B．4eq\r(2)C．2D．4【解析】如图，y＝4x与y＝x3的交点为A(2，8)，图中阴影部分的面积即为所求图形的面积．S阴＝eq\i\in(0,2,)(4x－x3)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,4)x4))|eq\o\al(2,0)＝8－eq\f(1,4)×24＝4.【答案】D3．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．刹车后汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5D．4＋50ln2【解析】令v(t)＝0得t＝4或t＝－eq\f(8,3)(舍去)，∴汽车行驶距离s＝eq\i\in(0,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7t－\f(3,2)t2＋25ln（1＋t）))|eq\o\al(4,0)＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.【答案】C4.eq\i\in(－1,1,)eq\r(1－x2)dx＝________．【解析】根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线y＝eq\r(1－x2)和x轴所围成的图形的面积，显然是半个单位圆，其面积是eq\f(π,2)，故eq\i\in(－1,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,2).【答案】eq\f(π,2)5．设函数f(x)是R上的奇函数，f(x＋π)＝－f(x)，当0≤x≤eq\f(π,2)时，f(x)＝cosx－1，则－2π≤x≤2π时，f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为()A．4π－8B．2π－4C．π－2D．3π－6【解析】由题设f(x＋π)＝－f(x)⇒f(x＋2π)＝f(x)，则函数y＝f(x)是周期为2π的奇函数，画出函数y＝f(x)，x∈[0，2π]的图象，结合函数的图象可知：只要求出该函数y＝f(x)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的图象与x轴所围成的面积即可．容易算得函数y＝f(x)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的图象与x轴所围成的面积是S＝0－∫eq\s\up6(\f(π,2))0(cosx－1)dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(π,2)))＝eq\f(π,2)－1，故借助函数图象的对称性求得函数y＝f(x)，x∈[－2π，2π]的图象与x轴所围成的面积是8S＝4π－8.【答案】A【知识要点】1．定积分的定义及相关概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式eq\i\su(i＝1f（ξi）Δx＝∑n,i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)．当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作eq\i\in(a,b,)f(x)dx，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq^\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)．这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的性质(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝__keq\i\in(a,b,)f(x)dx__(k为常数)；(2)eq\i\in(a,b,)[f(x)±g(x)]dx＝__eq\i\in(a,b,)f(x)dx±eq\i\in(a,b,)g(x)dx__；(3)eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝__eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx__(其中a＜c＜b)．3．微积分基本定理一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝__F(b)－F(a)__．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作__F(x)|eq\o\al(b,a)__，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝__F(x)|eq\o\al(b,a)＝F(b)－F(a)__．典例剖析【p41】考点1定积分的计算eq\a\vs4\al(例1)(1)计算eq\i\in(1,2,)(3x2＋2x)dx＝________．(2)计算eq\i\in(0,1,)(ex＋2x)dx＝________．(3)计算eq\i\in(1,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,x)))dx＝________．(4)计算eq\i\in(－1,1,)(x2＋sinx)dx＝________．(5)设f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,2－x，x∈（1，2]))，则eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝________．(6)定积分eq\i\in(0,2,)|x－1|dx＝________．【解析】(1)原式＝(x3＋x2)|eq\o\al(2,1)＝12－2＝10.(2)原式＝eq\i\in(0,1,)exdx＋eq\i\in(0,1,)2xdx＝ex|eq\o\al(1,0)＋x2|eq\o\al(1,0)＝e－1＋1＝e.(3)原式＝eq\i\in(1,4,)eq\r(x)dx＋eq\i\in(1,4,)eq\f(1,x)dx＝eq\f(2,3)xeq\s\up6(\f(3,2))|eq\o\al(4,1)＋lnx|eq\o\al(4,1)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\s\up6(\f(3,2))－1))＋ln4－ln1＝eq\f(14,3)＋ln4.(4)eq\i\in(－1,1,)(x2＋sinx)dx＝eq\i\in(－1,1,)x2dx＋eq\i\in(－1,1,)sinxdx＝2eq\i\in(0,1,)x2dx＝2·eq\f(x3,3)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(2,3).(5)eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)(2－x)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)x2))|eq\o\al(2,1)＝eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－2－2＋\f(1,2)))＝eq\f(5,6).(6)eq\i\in(0,2,)|x－1|dx＝eq\i\in(0,1,)|x－1|dx＋eq\i\in(1,2,)|x－1|dx＝eq\i\in(0,1,)(1－x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x2,2)))|eq\o\al(1,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－x))|eq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,2)－2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝1.【答案】(1)10(2)e(3)eq\f(14,3)＋ln4(4)eq\f(2,3)(5)eq\f(5,6)(6)1【点评】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．考点2定积分的几何意义及应用eq\a\vs4\al(例2)(1)如图所示，正弦曲线y＝sinx，余弦曲线y＝cosx与两直线x＝0,x＝π所围成的阴影部分的面积为()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)【解析】∫eq\s\up6(\f(π,4))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－sinx))dx＋∫πeq\s\do9(\f(π,4))(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)|eq\s\up6(\f(π,4))0＋(－cosx－sinx)|πeq\s\do9(\f(π,4))＝eq\r(2)－1＋1＋eq\r(2)＝2eq\r(2).【答案】D(2)曲线y＝x3－4x与x轴所围成的封闭图形的面积是________．【解析】由x3－4x＝0得x＝0或x＝±2，函数图象如图所示，则曲线y＝x3－4x与x轴所围成的封闭图形的面积S＝S1＋S2，其中S1＝eq\i\in(－2,0,)(x3－4x)dx，S2＝－eq\i\in(0,2,)(x3－4x)dx.根据微积分基本定理和定积分的性质知，S1＝eq\i\in(－2,0,)(x3－4x)dx＝eq\f(x4,4)|eq\o\al(0,－2)－2x2|eq\o\al(0,－2)＝－4＋8＝4，S2＝－eq\i\in(0,2,)(x3－4x)dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x4,4)|eq\o\al(2,0)－2x2|eq\o\al(2,0)))＝－(4－8)＝4，所以S＝4＋4＝8.【答案】8(3)抛物线y2＝4x与直线y＝2x－4围成的平面图形的面积是________．【解析】画出图形，如图所示，直线和曲线的交点坐标为(1，－2)和(4，4)．若选用x为积分变量，则要分成两部分加以计算．故面积S＝eq\i\in(0,1,)[2eq\r(x)－(－2eq\r(x))]dx＋eq\i\in(1,4,)(2eq\r(x)－2x＋4)dx＝4×eq\f(2,3)xeq\s\up6(\f(3,2))|eq\o\al(1,0)＋2×eq\f(2,3)xeq\s\up6(\f(3,2))|eq\o\al(4,1)－x2|eq\o\al(4,1)＋4x|eq\o\al(4,1)＝eq\f(8,3)＋eq\f(32,3)－eq\f(4,3)－(16－1)＋(16－4)＝9.【答案】9(4)如图，函数解析式y＝ax2，点A的坐标为(1，0)，函数y过点C(2，4)，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________．【解析】由函数y的图象经过点C(2，4)，有4＝4a，a＝1，所以函数y＝x2，故曲边梯形EABC面积为S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3))|eq\o\al(2,1)＝eq\f(8,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，阴影部分面积为S2＝4－S1＝4－eq\f(7,3)＝eq\f(5,3)，所以概率P＝eq\f(\f(5,3),4)＝eq\f(5,12).【答案】eq\f(5,12)(5)计算eq\i\in(0,2,)(eq\r(4－x2)－2x)dx＝()A．2π－4B．π－4C．ln2－4D．ln2－2【解析】由定积分的几何意义知：eq\i\in(0,2,)(eq\r(4－x2))dx表示y＝eq\r(4－x2)，x∈[0，2]的面积，即半径为2的圆的eq\f(1,4)，故eq\i\in(0,2,)(eq\r(4－x2))dx＝eq\f(1,4)×π×22＝π，eq\i\in(0,2,)(2x)dx＝x2|eq\o\al(2,0)＝4，所以eq\i\in(0,2,)(eq\r(4－x2)－2x)dx＝π－4.【答案】B【点评】(1)根据定积分的几何意义可计算定积分；(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．考点3定积分在物理中的应用eq\a\vs4\al(例3)(1)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴的正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________．【解析】变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝eq\i\in(1,10,)F(x)dx＝eq\i\in(1,10,)(x2＋1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x))|eq\o\al(10,1)＝342，即变力F(x)对质点M所做的功为342.【答案】342(2)已知做变速直线运动的质点的速度方程是v(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t（0≤t≤20），,20（20<t≤80），,100－t（80<t≤100）))(单位：m/s)．(i)求该质点从t＝10s到t＝30s时所走过的路程；(ii)求该质点从开始运动到运动结束共走过的路程．【解析】(i)s1＝eq\i\in(10,30,)v(t)dt＝eq\i\in(10,20,)tdt＋eq\i\in(20,30,)20dt＝350(m)．(ii)s2＝eq\i\in(0,100,)v(t)dt＝eq\i\in(0,20,)tdt＋eq\i\in(20,80,)20dt＋eq\i\in(80,100,)(100－t)dt＝1600(m)．【点评】定积分在物理中的两个应用：(1)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx.(2)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.考点4定积分的综合应用eq\a\vs4\al(例4)已知函数f(x)＝ln|x|(x≠0)，函数g(x)＝eq\f(1,f′（x）)＋af′(x)(x≠0)．(1)当x≠0时，求函数y＝g(x)的表达式；(2)若a>0，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值；(3)在(2)的条件下，求直线y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(7,6)与函数y＝g(x)的图象所围成图形的面积．【解析】(1)因为f(x)＝ln|x|，所以当x>0时，f(x)＝lnx，f′(x)＝eq\f(1,x)，当x<0时，f(x)＝ln(－x)，f′(x)＝eq\f(1,－x)·(－1)＝eq\f(1,x).所以当x≠0时，函数y＝g(x)＝x＋eq\f(a,x).(2)由(1)知，g(x)＝x＋eq\f(a,x)，所以当a>0，x>0时，g(x)≥2eq\r(a)，当且仅当x＝eq\r(a)时取等号．所以函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2eq\r(a)，所以依题意得2eq\r(a)＝2，所以a＝1.(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋\f(7,6)，,y＝x＋\f(1,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(3,2)，,y1＝\f(13,6)，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝\f(5,2)，))所以直线y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(7,6)与函数y＝g(x)的图象所围成图形的面积S＝∫2eq\s\do9(\f(3,2))dx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(7,6)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))))dx＝eq\f(7,24)＋ln3－2ln2.方法总结【p42】1．定积分计算的关键是通过逆向思维获知被积函数的原函数，即导数运算的逆运算．2．定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理．3．利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)将曲边梯形面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．走进高考【p42】1．(2011·全国卷)由曲线y＝eq\r(x)，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.eq\f(10,3)B．4C.eq\f(16,3)D．6【解析】y＝eq\r(x)与y＝x－2以及y轴所围成的图形为如图所示的阴影部分，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝x－2))得交点坐标为(4，2)，故所求面积为S＝eq\i\in(0,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－（x－2）))dx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up6(\f(3,2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－2x))))|eq\o\al(4,0)＝eq\f(16,3).【答案】C考点集训【p197】A组题1．由直线x＝eq\f(1,2)，x＝2，曲线y＝eq\f(1,x)及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.eq\f(1,2)ln2B．2ln2－1C．2ln2D．lneq\f(3,2)【解析】根据题意可知面积为：S＝∫2eq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,x)dx＝ln2－lneq\f(1,2)＝2ln2.【答案】C2．定积分eq\i\in(1,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))dx＝()A．10－ln3B．8－ln3C.eq\f(22,3)D.eq\f(64,9)【解析】由题意得eq\i\in(1,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))dx＝(x2－lnx)|eq\o\al(3,1)＝(32－ln3)－(12－ln1)＝8－ln3.【答案】B3．已知S1＝eq\i\in(1,2,)xdx，S2＝eq\i\in(1,2,)exdx，S3＝eq\i\in(1,2,)x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3B．S1<S3<S2C．S3<S2<S1C．S2<S3<S1【解析】设f(x)＝x，g(x)＝ex，h(x)＝x2，显然当x∈[1，2]时，h(x)≥f(x)，令φ(x)＝g(x)－h(x)＝ex－x2，∴φ′(x)＝ex－2x，φ″(x)＝ex－2，x∈[1，2]，∴φ″(x)≥e－2>0，∴φ′(x)在[1，2]上单调递增，φ′(x)≥e－2>0，∴φ(x)在[1，2]上单调递增，∴φ(x)≥e－1>0，∴φ(x)>0⇒g(x)>h(x)，∴当x∈[1，2]时，ex>x2≥x，∴S2>S3>S1.【答案】B4．已知f(x)＝ax3－3x＋6sinx(a，b为常数)，则eq\i\in(－1,1,)f(x)dx()A．恒为0B．恒为正C．恒为负D．取值不定【解析】由题知eq\i\in(－1,1,)ax3－3x＋6sinxdx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)ax4－\f(3,2)x2－6cosx))|eq\o\al(1,－1)＝0.【答案】A5．若∫eq\s\up6(\f(π,4))0(sinx－acosx)dx＝－eq\f(\r(2),2)，则实数a等于()A．1B.eq\r(2)C．－1D．－eq\r(3)【解析】由题意可知：∫eq\s\up6(\f(π,4))0(sinx－acosx)dx＝∫eq\s\up6(\f(π,4))0(sinx)dx－a∫eq\s\up6(\f(π,4))0(cosx)dx＝1－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)a,结合题意有：1－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)a＝－eq\f(\r(2),2)，解得：a＝eq\r(2).【答案】B6．若eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝1，eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝－1，则eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝________．【解析】∵eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)f(x)dx＋eq\i\in(1,2,)f(x)dx，∴eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,2,)f(x)dx－eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－1－1＝－2.【答案】－27．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在eq\f(1,2)s～6s间的运动路程为________m.【解析】由图可知，v(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t，0≤t<1，,2，1≤t≤3，,\f(1,3)t＋1，3<t≤6.))由变速直线运动的路程公式，可得s＝∫6eq\s\do9(\f(1,2))v(t)dt＝∫1eq\s\do9(\f(1,2))2tdt＋eq\i\in(1,3,)2dt＋eq\i\in(3,6,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t＋1))dt＝t2|1eq\s\do9(\f(1,2))＋2t|eq\o\al(3,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)t2＋t))|eq\o\al(6,3)＝eq\f(49,4)(m)．所以物体在eq\f(1,2)s～6s间的运动路程是eq\f(49,4)m.【答案】eq\f(49,4)8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图，直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为eq\f(27,4).(1)求f(x)的解析式；(2)若常数m>0，求函数f(x)在区间[－m，m]上的最大值．【解析】(1)由f(0)＝0得c＝0.f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由f′(0)＝0得b＝0，∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，则易知图中所围成的区域(阴影)面积为eq\i\in(0,－a,)[－f(x)]dx＝eq\f(27,4)，从而得a＝－3，∴f(x)＝x3－3x2.(2)由(1)知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x变化时，f′(x)，f(x)的取值变化情况如下：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值f(0)＝0单调递减极小值f(2)＝－4单调递增又f(3)＝0，所以①当0<m≤3时，f(x)max＝f(0)＝0；②当m>3时，f(x)max＝f(m)＝m3－3m2.综上可知：当0<m≤3时，f(x)max＝f(0)＝0；当m>3时，f(x)max＝f(m)＝m3－3m2.B组题1．对于任意实数a，b，定义max{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b，))若f(x)＝max{1，x2}，则eq\i\in(－2,2,)f(x)dx＝__________．【解析】eq\i\in(－2,2,)f(x)dx＝eq\i\in(－2,－1,)x2dx＋eq\i\in(－1,1,)1dx＋eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(x3,3)|eq\o\al(－1,－2)＋x|eq\o\al(1,－1)＋eq\f(x3,3)|eq\o\al(2,1)＝eq\f(20,3).【答案】eq\f(20,3)2．如图，在边长为1的正方形OABC内，阴影部分是由两曲线y＝eq\r(x)，y＝x2(0≤x≤1)围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a，则函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3x（x≥a），,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x)（x<a）))的值域为________．【解析】设阴影部分的面积为S，则S＝eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up6(\f(3,2))－\f(1,3)x3))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(2,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，又正方形面积为1，∴a＝eq\f(1,3)，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3x，x≥\f(1,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x)，x<\f(1,3)，))∴f(x)的值域为[－1，＋∞).【答案】[－1，＋∞)3．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系O－xyz平面内，若函数f(x)＝