高考数学总复习 第一章 集合 常用逻辑用语 算法初步及框图 第1讲 集合及其运算练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

第一章集合、常用逻辑用语、算法初步及框图eq\x(知识体系)【p1】

第1讲集合及其运算夯实基础【p2】【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【基础检测】1．已知集合M＝{0，1}，则下列关系式中，正确的是()A．{0}∈MB．{0}∉MC．0∈MD．0⊆M【解析】由题可知：元素与集合只有属于与不属于关系，集合与集合之间有包含关系，所以可得0∈M正确．【答案】C2．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝()A．(－1，3)B．(2，3)C．(－1，＋∞)D．(2，＋∞)【解析】∵集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x>2}，∴A∪B＝{x|x>－1}．【答案】C3．设集合A＝{x|x2－3x>0}，B＝{x||x|<2}，则A∩B＝()A．(－2，0)B．(－2，3)C．(0，2)D．(2，3)【解析】∵集合A＝{x|x2－3x>0}＝{x|x＜0或x＞3}＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，B＝{x||x|<2}＝{x|－2＜x＜2}＝(－2，2)，∴A∩B＝(－2，0)．【答案】A4．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，若A⊆B，则a的值为()A．－2B．－1C．0D．1【解析】因为{0，1}⊆{－1，0，a＋3}，所以a＋3＝1，解得a＝－2.【答案】A5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{1，2，3，4}，则Venn图中阴影部分所表示的集合是()A．{1，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【解析】由题意A＝{x|－2<x<3}，∁UA＝{x|x≤－2或x≥3}，∴阴影部分为(∁UA)∩B＝{3，4}．【答案】C【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为__元素__，把一些元素组成的总体叫__集合__，简称为集．(2)集合中的元素的三个特征：__确定性__、__互异性__、__无序性__．(3)集合的表示方法有：__列举法__、__描述法__、__图示法__、__区间法__．(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“__∈__”与“__∉__”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素__都是__集合B中的元素，我们就说这两个集合有__包含__关系，称集合A为集合B的__子集__，记作__A⊆B(或B⊇A)__；若A⊆B，且A≠B，则AB，我们就说A是B的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做__空集__，记作__∅__，它是__任何一个集合的子集__，是任何一个__非空集合的真子集__，即∅⊆A，∅B(B≠∅)．3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A__或__x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A__且__x∈B}；(3)补集：∁UA＝__{x|x∈U且x∉A}__．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A；(3)A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A；(5)A⊆B，B⊆A，则A＝B.典例剖析【p2】考点1集合的基本概念eq\a\vs4\al(例1)(1)对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}【解析】A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B中集合当k取负数时，多出了若干元素；C中集合当t＝0时多了－3这个元素，只有D正确．【答案】D(2)已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的，且2∈A，则实数m的值为()A．2B．3C．0或3D．0或2或3【解析】因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得只有m＝3符合．【答案】B(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是()A．{1}B．{－1}C．{0，1}D．{－1，0，1}【解析】当m＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，满足题意；m≠0时，Δ＝4－4m2＝0，m＝±1.综上m的取值集合是{－1，0，1}．【答案】D【点评】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集，还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．考点2集合间的基本关系eq\a\vs4\al(例2)(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝BB．A∩B＝∅C．A⊆BD．B⊆A【解析】由集合A中的函数y＝ln(x＋3)，得到x＋3＞0，即x＞－3，∴A＝(－3，＋∞)，∵B＝{x|x≥2}＝[2，＋∞)，∴A≠B，A∩B＝[2，＋∞)，∴B⊆A.【答案】D(2)若集合{a，0，1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c，\f(1,b)，－1))，则a＝______，b＝______．【解析】∵0∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c，\f(1,b)，－1))，∴c＝0，从而eq\f(1,b)＝1，即b＝1，∴a＝－1.【答案】－1；1(3)已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．(－∞，4)D．(－∞，4]【解析】集合A＝{x|x2－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4}＝[－1，4]，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝B，则A⊆B，所以a≥4，∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．【答案】B【点评】已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．考点3集合的基本运算eq\a\vs4\al(例3)(1)设集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|x2－3x＜0}，则A∩B＝()A．{－1}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，－1，3}【解析】由题得B＝{x|0＜x＜3}，所以A∩B＝{1，2}．【答案】B(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，则∁UA＝________.【解析】由已知得，A＝{x|x2－2x－3>0}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，又全集为R，根据补集的定义可得∁UA＝[－1，3]．【答案】[－1，3](3)设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{0，2}，则B∪(∁UA)＝()A．{0}B．{－2，0，1，2}C．{－1，0，2}D．{－1，0，1，2}【解析】由题得A＝{－1，2}，所以∁UA＝{0，1，－2}，所以B∪(∁UA)＝{－2，0，1，2}．【答案】B(4)设全集U为实数集R，集合A＝{x|y＝ln(3－2x)}，B＝{y|(y－1)(y－3)≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，1))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))【解析】由题意可得：A＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，B＝[1，3]，图中阴影部分表示集合∁Ueq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∩B))，其中A∩B＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，则∁Ueq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∩B))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，1))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).【答案】A【点评】(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况；(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．考点4集合中的创新问题eq\a\vs4\al(例4)(1)定义一种集合运算A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，设M＝{x||x|<2}，N＝{x|x2－4x＋3<0}，则M⊗N用区间表示为________．【解析】M＝{x||x|<2}＝(－2，2)，N＝{x|x2－4x＋3<0}＝(1，3)，∴M∪N＝(－2，3)，M∩N＝(1，2)，∴M⊗N＝(－2，1]∪[2，3)．【答案】(－2，1]∪[2，3)(2)S(A)表示集合A中所有元素的和，且A⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))，若S(A)能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是()A．10B．11C．12D．13【解析】因为A⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))，所以符合条件的非空集合A可以是：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(4，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，4，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))，共11个．【答案】B【点评】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．方法总结【p3】1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．4．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)．对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算．5．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．6．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．7．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．走进高考【p3】1．(2018·全国卷Ⅲ)集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【解析】由题意知，A＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1，2}．【答案】C2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}【解析】A＝{x|x2－x－2＞0}＝{x|x＜－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．【答案】B3．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4【解析】∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1，0，1，当x＝1时，y＝－1，0，1；当x＝0时，y＝－1，0，1；当x＝－1时，y＝－1，0，1，所以共有9个．【答案】A考点集训【p175】A组题1．集合{x∈N|x－3<2}用列举法表示是()A．{1，2，3，4}B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，4}【解析】由题意x<5，又x∈N，∴集合为{0，1，2，3，4}．【答案】D2．下列各式：①1∈{0，1，2}；②∅⊆{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2}；④{0，1，2}＝{2，0，1}，其中错误的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】对于①，由元素与集合的关系的可得正确；对于②，由空集是任何集合的子集知正确；对于③，根据集合间的关系知不正确；对于④，由于集合的元素具有无序性知正确．【答案】A3．设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|－1＜x＜3}，则()A．A＝BB．A⊇BC．A⊆BD．A∩B＝∅【解析】∵A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，B＝{x|－1<x<3}，∴A⊆B.【答案】C4．设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，则∁UA＝()A．{－1，2}B．{－2，0，1}C．{－2，1}D．{－1，0，2}【解析】集合A＝{x|(x＋2)(x－1)＝0}＝{－2，1}，因为全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁UA＝{－1，0，2}．【答案】D5．设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，则A∩(∁UB)＝()A．{x|1≤x<2}B．{x|1<x<2}C．{x|x<2}D．{x|x≥5}【解析】∁UB＝{x|x<2或x≥5}，故A∩(∁UB)＝{x|1<x<2}．【答案】B6．设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6<0}，则下图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x<3}B．{x|－3<x≤1}C．{x|x<2}D．{x|－2＜x≤1}【解析】由题意可得：A＝{x|x≤1}，B＝{x|－2<x<3}，又由图可知，阴影部分表示的集合为A∩B，∴A∩B＝{x|－2＜x≤1}．【答案】D7．设A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x－a＞0}，若A⊆B，则a的取值范围是________．【解析】由题意B＝{x|x＞a}，∵A⊆B，∴a≤1.【答案】(－∞，1]8．已知集合A＝{2，4}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{2}，则实数a的值为________．【解析】集合A＝{2，4}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{2}，则a＝2或a2＋3＝2(无解)．所以a＝2，此时B＝{2，7}．【答案】2B组题1．设集合M＝{x|x≥4}，a＝eq\r(11)，则下列关系中正确的是()A．a∈MB．a∉MC．{a}∈MD．{a}∉M【解析】∵4>eq\r(11)，∴a∉M.【答案】B2．已知m，n∈R，集合A＝{2，log7m}，集合B＝{m，n}，若A∩B＝{0}，则m－n＝()A．1B．2C．4D．8【解析】因为A∩B＝{0}，故0∈A，0∈B，所以log7m＝0，故m＝1，又n＝0，因此m－n＝1.【答案】A3．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉