2022届优质校一模数学试卷汇编-概率统计 答案版

2017年高考“最后三十天”专题透析2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台--教育因你我而变好教育云平台--教育因你我而变专题12专题12××概率统计方法点拨方法点拨一、统计1．统计中的四个数字特征（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．（2）中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．（3）平均数：样本数据的算术平均数，即．（4）方差与标准差方差：标准差：2．频率分布直方图的三个结论（1）小长方形的面积＝组距×频率．（2）各小长方形的面积之和等于1．（3）小长方形的高＝eq\f(频率,组距)，所有小长方形高的和为eq\f(1,组距)．3．线性回归方程线性回归方程一定过样本点的中心．4．独立性检验利用随机变量来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果的观测值越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小．二、概率1．若事件、、彼此互斥，它们至少有一个发生的概率．2．若事件、、相互独立，它们至少有一个发生的概率．3．独立重复试验与二项分布如果事件在一次试验中发生的概率是，那么它在次独立重复试验中恰好发生次的概率为，用表示事件在次独立重复试验中发生的次数，则服从二项分布，即且．4．离散型随机变量的分布列（1）设离散型随机变量可能取的值为取每一个值的概率为，则称下表…………为离散型随机变量的分布列．（2）离散型随机变量的分布列具有两个性质：①；②．（3）为随机变量的数学期望或均值．叫做随机变量的方差．（4）性质①，；②，则，；③服从两点分布，则，．5．正态分布如果随机变量X服从正态分布，则记为．满足正态分布的三个基本概率的值是：①；②；③．试题汇编试题汇编一、选择题．1．（安徽省池州市2021届高三一模）为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题，研究组随机抽取男女志愿者各150名，求他们同时完成“解题､读地图､接电话”等任务，志愿者完成任务所需时间的分布如图所示，表述正确的选项是（）①总体上女性处理多任务平均用时短；②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；③男性的用时众数比女性用时众数大；④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数．A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④【答案】C【解析】①中，女性处理多任务平均用时集中在分钟，男性平均用时在分钟，所以总体上女性处理多任务平均用时短，所以①正确；②中，从图中可以看到男性与女性处理多任务所需要的时间有交叉，所以并不是“所有女性都优于男性”，所以②不正确；③中，根据分布的特点，可知男性的用时众数比女性用时众数大，所以③正确；④中，女性和男性处理多任务的用时均为正数，所以④不正确，故选C．2．（安徽省宣城市2020-2021学年高三一模）人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作．截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（）A．城镇人口数逐次增加 B．历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C．城镇人口比重逐次增加 D．乡村人口数逐次增加【答案】D【解析】根据给定的条形图，可得城镇人口在逐年增加，所以A正确；从给定的条形图象，可得再历次人口普查中第七次普查城镇人口最多的，所以B正确；从图表中的数据可得，七次人口普查中城镇人口比重依次为，，可知城镇人口比值逐次增加，所以C正确；由图表，可得乡村人口先增加后减少，所以D不正确，故选D．3．（四川省内江市高中2022届第一次模拟）小李于年底贷款购置了一套房子，将通过年期每月向银行还数额相同的房贷，且截止年底，他没有再购买第二套房子．下图是年和年小李的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（）A．小李一家年用于饮食的支出费用与年相同B．小李一家年用于其他方面的支出费用是年的倍C．小李一家年的家庭收入比年增加了倍D．小李一家年用于房贷的支出费用比年减少了【答案】B【解析】由于小李每月向银行还数额相同的房贷，故可知年用于房贷方面的支出费用跟年相同，故D选项错误；设一年房贷支出费用为，则可知小李的家庭收入为，年小李的家庭收入为，，所以小李一家年的家庭收入比年增加了，故C选项错误；年，年用于饮食的支出费用分别为，，故A选项错误；年，年用于其他方面的支出费用分别为，，故B选项正确，故选B．4．（广西柳州市2021届高三第一次模拟）下图为四组样本数据的条形图，则对应样本的标准差最大的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，由于各个数据相同，所以标准差为0，对于B，，则；对于C，，则；对于D，，则，所以样本D的标准差最大，故选D．5．（南昌2020高三一模）总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．07 C．02 D．01【答案】D【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为08，02，14，07，01，所以第5个个体是01，选D．6．（四川省内江市高中2022届第一次模拟考试）“事件A与事件B是对立事件”是“事件A与事件B是互斥事件”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为当事件A与事件B是对立事件时，可得事件A与事件B一定是互斥事件，而当事件A与事件B是互斥事件时，事件A与事件B不一定是对立事件，所以“事件A与事件B是对立事件”是“事件A与事件B是互斥事件”的充分而不必要条件，故选A．7．（四川省凉山州2021-2022学年高三一模）盒中有3个大小相同的球，其中白球2个，黑球1个，从中任意摸出2个，则摸出黑球的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设白球编号为，黑球编号为，从中任意摸出个，基本事件有共种，其中摸出黑球的事件为共种，所以摸出黑球的概率为，故选D．8．（江西省九江市2021届高考一模）如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从八个面中随机选取两个面，则这两个面不相邻的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】从八个面中随机选取两个面有种，其中两个面相邻的有12种，则这两个面不相邻的概率为，故选C．9．（陕西省汉中市2022届高三一模）在一个坛子中装有16个除颜色之外完全相同的玻璃球，其中有2个红的，3个蓝的，5个绿的，6个黄的，从中任取一球，放回后，再取一球，则第一次取出红球且第二次取出黄球的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在一个坛子中装有16个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有2个红的，3个蓝的，5个绿的，6个黄的，从中任取一球，放回后，再取一球，第一次取出红球且第二次取出黄球的概率，故选A．10．（多选）（福建省龙岩市2021届高三一模）一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有4个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，则下列结论中正确的有（）A．若一次摸出3个球，则摸出的球均为红球的概率是B．若一次摸出3个球，则摸出的球为2个红球，1个白球的概率是C．若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是D．若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是【答案】BC【解析】对于A，总事件数是，摸出的球均为红球的事件数为，所以摸出的球均为红球的概率是，故选项A错误；对于B，总事件数是，摸出的球为2个红球，1个白球的事件数为，所以摸出的球为2个红球，1个白球的概率是，故选项B正确；对于C，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为；②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为，故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是，故选项C正确；对于D，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为；②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为，故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是，故选项D错误，故选BC．11．（吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高三一模）任意向区间上投掷一个点，用表示该点的坐标，设事件，事件，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得：，所以，又因为，所以，故选C．12．（四川省泸州市2019-2020学年高三一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与另一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．在矩形中，，是线段的两个“黄金分割”点．在矩形内任取一点，则该点落在内的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正方形的边长为1，则，，所求的概率为，故选C．13．（重庆市第一中学2021届高三一模）第六届世界互联网大会发布了项世界互联网领先科技成果，其中有项成果均属于芯片领域，分别为华为的鲲鹏、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端芯片、思元、赛灵思的自适应计算加速平台．现有名学生从这项世界互联网领先科技成果中分别任选项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有名学生选择芯片领域的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】现有名学生从这项世界互联网领先科技成果中分别任选项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则基本事件总数，至少有名学生选择芯片领域的对立事件是没有学生选择芯片领域，则至少有名学生选择芯片领域的概率，故选D．14．（福建省厦门市2021届高三一模）已知某地居民在2020年“双十一”期间的网上购物消费额ξ（单位：千元）服从正态分布，则该地某居民在2020年“双十一”期间的网上购物消费额在内的概率为（）附：随机变量ξ服从正态分布，，，．A． B． C． D．【答案】B【解析】因为ξ（单位：千元）服从正态分布，所以，，则，故选B．15．（福建省泉州市2021届高三一模）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，则，则，故A错误；由题知，不在的概率为，则，则，故B错误；，故C错误；，故D正确，故选D．16．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0．4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知命中的概率为，不命中的概率为，罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次，故概率，故选C．17．（山东省潍坊市2021届高三一模）接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得最多人被感染的概率为，故选A．18（宜春市2021高三一模）饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件，则{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知，故选B．二、解答题．19．（四川省凉山州2021-2022学年高三一模）某数学课题组针对高三学生掌握基本知识点的单位值和“一诊”基础题目得分值进行统计分析，所得统计数据如表所示：3555759520303555（1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）若，则称为异常值，现有8名学生的成绩，其中有3个异常值，现从8个成绩中逐一抽取，每次抽取后不放回，求至多抽取4次就能将3个异常值全部找出来的概率．（参考公式：，．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意可得，，，，，则，所以关于的线性回归方程为．（2）①恰好3此就能将3个异常值找出的概率为，②恰好4此就能将3个异常值找出的概率为，所以，至多抽取4次就能将3个异常值找出的概率为．20．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）某项目的建设过程中，发现其补贴额x（单位：百万元）与该项目的经济回报y（单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：补贴额x（单位：百万元）23456经济回报y（单位：千万元）346（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程；（2）为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核．考核结果为4人优秀，3人合格．现从这7名工程师中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X的分布列与期望．参考公式：．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．【解析】（1）．，，，．（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，，，的分布列为0123．21．（四川省内江市高中2022届第一次模拟）某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2021年10月、11月中的5组数据：日期10月8日10月18日10月28日11月8日11月18日昼夜温差x（℃）8116155就诊人数y131712199（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数y与昼夜温差x之间的关系，请用以上5组数据求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程（结果精确到）；（2）一位住校学生小明所患感冒为季节性流感，传染给同寝室每个同学的概率为．若该寝室的另3位同学均未患感冒，在与小明近距离接触后有X位同学被传染季节性流感，求的分布列和期望．参考数据：，．参考公式：，．【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．【解析】（1）（1）由表格中数据可得，，，∴，∴，∴就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程为．（2）的可能取值为0，1，2，3，∵，∴，，，，∴的分布列为X0123P期望．22．（安徽省池州市2021届高三一模）科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力．某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品．为对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据()(i=1，2，3，4，5，6)如表格所示：试销单价(百元)123456产品销量件918682787370（1）统计学认为，两个变量x､y的相关系数r的大小可表明两变量间的相关性强弱．一般地，如果，那么相关性很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱．试判断变量x､y的相关性强弱；（2）若变量x､y线性相关时，由线性回归方程求得的与x对应的产品销售量估计值与实际值差的绝对值小于1时，则将销售数据称为“有效数据”，现从这6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率．(求线性回归方程时，精确到个位)参考公式及数据：，，，．【答案】（1）变量x､y间的相关性很强；（2）．【解析】（1），，，故变量x､y间的相关性很强．（2），，故，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．与销售数据对比可知满足的共有4个“有效数据”：(2，86)､(3，82)､(4，78)､(6，70)．给6组销售数据编号，则从6组销售数中任取2组有：(1，2)､(1，3)､(1，4)､(1，5)､(1，6)､(2，3)､(2，4)､(2，5)､(2，6)､(3，4)､(3，5)､(3，6)､(4，5)､(4，6)､(5，6)共15种情况，其中两组都是有效数据的情况有6种，∴抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为．23．（2019届云师大学附中高三一模）某果园种植“糖心苹果”已有十余年，为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植､采摘､包装､宣传等环节进行改进．如图是2009年至2018年，该果园每年的投资金额(单位：万元)与年利润增量(单位：万元)的散点图：该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型．模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对投资金额做交换，令，则，且有，，，．（1）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；（2）分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数)；（3）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并说明谁的预测值精度更高､更可靠．回归模型模型①模型②回归方程附：样本的最小乘估计公式为，；相关指数．参考数据：，．【答案】（1）；（2）(万元)；（3）答案见解析．【解析】（1）由题意，知，，可得，，又由，则，所以，模型②中关于的回归方程．（2）当时，模型①的年利润增量的预测值为(万元)，当时，模型②的年利润增量的预测值为(万元)．（3）由表格中的数据，可得，即，所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，所以当时，模型②的预测值比模型①的预测值，精度更高､更可靠．24．（广西柳州市2021届高三第一次模拟）某试验小组得到6组某植物每日的光照时间（单位：）和每日平均增长高度（单位：mm）的数据，现分别用模型①和模型②对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如下表：（模型①和模型②的残差分别为和，残差）56789100．43．55．27．08．610．70．540．280．121．712．101．63（1）根据上表的残差数据，应选择哪个模型来刻画该植物每日的光照时间与每日平均增长高度的关系较为合适，简要说明理由；（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据剔除，根据剩余的5组数据，求该模型的回归方程，并预测光照时间为11h时，该植物的平均增长高度．（剔除数据前的参考数据：，，，，，，，，．）参考公式：，．【答案】（1）应选择模型①，理由见解析；（2）．【解析】（1）应选择模型①，因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．（言之有理即可）（2）由（1）知，需剔除第一组数据，得到下表6789103．55．27．08．610．7则上表的数据中，，，，，，，所以，，得模型①的回归方程为，则时，，当光照时间为时，该植物的平均增长高度为．25．（四川省乐山市高中2022届第一次模拟）某校为纪念“”运动，组织了全校学生参加历史知识竞赛，某教师从高一､高二年级各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分为分），绘制成如下所示的频率分布直方图：（1）分别估计高一、高二竞赛成绩的平均值与（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；（2）学校规定竞赛成绩不低于分的为优秀，根据所给数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为竞赛成绩的优秀与年级有关？非优秀优秀合计高一年级高二年级合计100附：其中．【答案】（1），；（2）列联表见解析，没有的把握认为竞赛成绩优秀跟年级有关．【解析】（1）高一年级随机抽出名学生竞赛成绩的平均值估计为：；高二年级随机抽出名学生竞赛成绩的平均值估计为：．（2）完成的列联表为：非优秀优秀合计高一年级高二年级合计，故没有的把握认为竞赛成绩优秀跟年级有关．26．（山西省怀仁市第一中学校2021届高三一模）5G网络(5GNetwork)是第五代移动通信网络，与之前的四代移动网络相比较而言，5G网络在实际应用过程中表现出更加强大的功能．随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质(UHD)节目的时代正向我们走来．某机构调查了某营业厅30位用户的性别与升级5G套餐情况，得到的数据如下表所示：不升级5升级5总计男性用户713女性用户14总计30（1）请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关；（2）若从这30名用户的男性用户中随机抽取2人参加优惠活动，记其中升级5G套餐用户的人数为X，求X的分布列和均值．附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d．0．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关；（2）分布列见解析，．【解析】（1）依题意，完善表格如下：不升级5升级5总计男性用户6713女性用户14317总计201030，故有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关．（2）依题意知X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为012所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝．27．（陕西省榆林市2021届高三一模）国际学生评估项目（PISA），是经济合作与发展组织（OECD）举办的，该项目的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究．在2018年的79个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江作为一个整体在所有参测国家（地区）取得全部3项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了200名参赛选手进行调研，得到如下统计数据：成绩优秀成绩一般总计家长高度重视学生教育90xy家长重视学生教育度一般30z总计12080200若从上表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的选手的概率为．（1）判断是否有99．9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；（2）现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人．进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这20人中抽取3人进行“学生家庭教育资源保障”的调查．记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附，．0．100．050．0250．0100．0050．0012．7063．8415．0246．6357．87910．828【答案】（1）有；（2）分布列见解析，期望为．【解析】（1）由条件知，解得，所以，，，，所以有99．9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关．（2）从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人，则“家长高度重视学生教育”的应抽取15人，“家长重视学生教育度一般”的应抽取5人．由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3．，，，，所以X的分布列为X0123P数学期望．28．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）某学校为了解学生高三数学复习效果，从高三第一学期其中考试数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩（单位：分），按，分成6组，制成频率分布直方图，如图所示．（1）求的值，并且计算这名学生数学成绩的平均数；（2）该学校为制订高三数学下阶段的复习计划，从数学成绩在内的学生中选出名学生作为代表进行座谈，记这人中数学成绩在内的学生人数为，写出的分布列，并求其数学期望．【答案】（1），平均数为；（2）分布列见解析，．【解析】（1）由，解得，所以，所以这名学生数学成绩的平均数为．（2）成绩在的同学人数为，成绩在人数为人，由题意知：可能的取值为，，，，，，，，所以的分布列为：所以数学期望．29．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应．某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图．（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为X，求X的分布列及数学期望；（2）在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲，乙两人分别在A、B两店参加一次抢购活动．假定甲、乙两人在A、B两店抢购成功的概率分别为，．记甲、乙两人抢购成功的总次数为Y，求Y的分布列及数学期望．【答案】（1）分布列见解析，；（2）分布列见解析，．【解析】（1）按分层抽样的方法抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩的个数分别为个和个，所以随机变量的可能取值为，则，所以随机变量的分布列为：012所以期望为．（2）由题意，随机变量的可能取值为，则，，，所以随机变量的分布列为：012所以期望为．30．（天一大联考2019-2020学年高三一模）2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程．但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验．已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体．试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关．（1）求一个接种周期内出现抗体次数的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元．比较随机变量和的数学期望的大小．【答案】（1）分布列见解析；（2）．【解析】（1）由题意可知，随机变量服从二项分布，故．则的分布列为0123（2）①设一个接种周期的接种费用为元，则可能的取值为200，300，因为，，所以．所以三个接种周期的平均花费为；②随机变量可能的取值为300，600，900，设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，．所以，，，所以，所以．31．（江西省赣州市2021届高三3月一模）有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏．（1）求先摸球者获胜的概率；（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第1次游戏由小李先摸球，并且某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球．每次游戏获胜者得1分，但若先摸球者输则分，后摸球者输则得0分．记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．【解析】（1）记事件“在一次游戏中先摸球者获胜”，先摸球者获胜等价于将这5个球进行排序，第2个黑球排在3号位置或5号位置，共有种，而2个黑球共有种位置，故．（2）小李得分的所有可能取值为，，0，1，2，3，记事件为“第i次游戏中小李先摸球获胜”，记事件为“第i次游戏中小张先摸球获胜”，则，，，，，，，所以的分布列为0123．32．（贵州省遵义市2021届高三第一次模拟）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买次维修，每次维修费用300元，另外实际维修一次还需向维修人员支付上门服务费80元．在机器使用期间，如果维修次数超过购买的次时，则超出的维修次数，每次只需支付维修费用700元，无需支付上门服务费．需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得到下面统计表：维修次数678910频数1020303010记表示1台机器在三年使用期内的维修次数（且），表示1台机器维修所需的总费用（单位：元），以维修次数的频率估计概率．（1）估计1台机器在三年使用期间内的维修次数不超过8次的概率；（2）若，求与的函数解析式；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买9次维修，或每台都购买8次维修，已知购买9次维修服务时，这100台机器在维修上所需费用的平均数为3410元．计算购买8次维修服务时，这100台机器在维修上所需总费用的平均数，并以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买9次还是8次维修？【答案】（1）；（2），；（3）8次．【解析】（1）由题意得，设事件表示“1台机器在三年使用期间内的维修次数不超过8次”，由表知：，从而知1台机器在三年使用期间内的维修次数不超过8次的概率是．（2）由题意得当时，；当时，，即，（）．（3）设每台都购买9次维修服务，这100台机器在维修上所需费用的平均数为，由题知（元）．设每台都购买8次维修服务，这100台机器在维修上所需费用的平均数为，若每台都购买8次维修服务，则有下表：维修次数678910频数1020303010费用28802960304037404440此时，这100台机器在维修上所需费用的平均数为（元），因为，所以购买1台机器的同时应购买8次维修服务．33．（福建省福州市2021届高三3月份一模）从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单．协定存款年利率为1．68%，有效期一年，服务期间客户帐户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1．8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3．6%；大额存单，年利率为3．84%，起点金额1000万元．（注：月利率为年利率的十二分之一），已知某公司现有2020年底结余资金1050万元．（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；（2）公司决定将550万元作协定存款，于2021年1月1日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日常开销．将余下5