平稳随机信号

连续随机变量的概率密度函数〔PDF〕定义为：p(x)具有如下性质：①②③离散随机变量的概率分布{pi}，其中pi=P(X=xi)。对所有i有pi0且1.随机信号及其特征描述随机变量的数字特征：数学期望〔均值〕方差原点矩很显然，中心距很显然1.随机信号及其特征描述N

个随机变量组成的向量称为随机向量：随机向量X的均值是由其各个分量的均值所组成的均值向量：随机向量X的方差是各个分量之间互相求方差所形成的矩阵：其中称为分量Xi和Xj之间的协方差。1.随机信号及其特征描述两个随机变量X和Y，记其联合概率密度为p(x,y)，边缘概率密度分别为p(x)和p(y)，假设有：那么称X和Y是相互独立的。如果随机变量X和Y的协方差为零，那么称X和Y是不相关的。很显然，两个独立的随机向量必然不相关：反之那么不然，即两个互不相关的随机变量不一定是相互独立的。但是对于正态分布，独立和不相关却是等效的。1.随机信号及其特征描述设有n台性能完全相同的接收机。在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形，测试结果说明，n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。随机过程：设有无穷多台性能相同的接收机，在同等条件下测出噪声信号波形为x1(t),x2(t),…,xN(t),…。如果我们把记录接收机的输出噪声波形看做一个随机实验，那么每一次的记录就是该随机实验的一次实现，相应的记录结果xi(t)称为样本函数。上述样本函数的总体称为随机过程X(t)，即随机信号。xi(t)称为X(t)的一个实现或样本。1.随机信号及其特征描述对于特定的时刻，例如t=t1，显然x1(t1),x2(t1),…,xN(t1)是一个随机变量，它相当于在某一个固定的时刻记录到的无穷多台接收机的输出值。当t=tj时，x1(tj),x2(tj),…,xN(tj)也是一个随机变量，因此，一个随机信号X(t)是依赖于时间t的随机变量，我们可以用描述随机变量的方法来描述随机信号。当t在时间轴上取值t1,t2,…,tm时，我们可以得到m个随机变量X(t1),X(t2),…,X(tm)，显然，描述这m个随机变量最全面的方法是利用其m维的概率分布函数〔或概率密度函数〕当m趋于无穷时，上式完善地描述了随机信号X(t)。1.随机信号及其特征描述对随机信号X(t)离散化，得离散随机信号X(n)。对于X(n)的每一次实现，记为x(n,i)，n代表时间，i代表实现的序号，即样本数。显然，X(n)的均值、方差、均方值等一阶二阶数字特征均是时间n的函数。均值：随机过程X(n)在任意时刻的数学期望为μX(n)方差：随机过程X(n)在任意时刻的方差为σX2

(n)均方值：1.随机信号及其特征描述自相关函数：设n1、n2

为任意两个时刻，相关函数定义为随机信号X(n)的自相关函数描述了信号在n1和n2这两个时刻的相互关系。自协方差函数1.随机信号及其特征描述如果n1=n2=n，那么有对于两个以上的随机过程，可引入互相关函数和互协方差：1.随机信号及其特征描述对任意的k，如果随机信号X(n)的概率密度函数满足那么称X(n)是N阶平稳的。如果上式对都成立，那么称是X(n)严平稳，或狭义平稳的随机信号。对于随机信号X(n)，假设其均值为常数，即方差为有限值且为常数，即自相关函数rX(n1,n2)和n1,n2的选取起点无关，仅和n1,n2之差有关，即，那么称是宽平稳随机信号，2.平稳随机信号由宽平稳随机信号的定义，还可以得到均方值：及自协方差两个宽平稳随机信号X(n)和Y(n)的互相关函数和互协方差函数可以表示为：2.平稳随机信号例题：随机相位正弦序列式中A,f均为常数，Φ

是一个在0~2π

内均匀分布的随机变量。试求X(n)的均值及自相关函数，并判断其平稳性。解答：由定义可知X(n)的均值及自相关函数分别为2.平稳随机信号例题：随机振幅正弦序列式中f为常数，X为正态随机变量，均值为0，方差为σ2。试求X(n)的均值及自相关函数，并判断其平稳性。解答：由定义可知X(n)的均值及自相关函数分别为2.平稳随机信号对自相关函数和互相关函数做Z变换，有令，得到假定X(n)的功率是有限的，那么其功率谱密度的反变换必然存在，其反变换即为自相关函数，即有：〔自功率谱〕〔互功率谱〕2.平稳随机信号功率谱具有如下性质：性质1是ω的实函数，因此功率谱失去了相位信息；性质2对所有的ω都是非负的；性质3由于rX(m)是偶对称的，因此仍是ω的偶函数；性质4功率谱曲线在〔-π,π〕内的面积等于信号的均方值。工程实际中所遇到的功率谱可以分为三种：白噪声谱：功率谱在|ω|≤π的范围内始终为一常数，如σ2，自相关函数为：线谱ARMA谱2.平稳随机信号设X(n)为平稳随机信号，它通过一LSI系统H(z)后，输出为Y(n)，由于所以Y(n)也是平稳随机信号。X(n)和Y(n)之间的关系有：3.平稳随机信号通过线性系统证明：令令3.平稳随机信号通过线性系统证明：3.平稳随机信号通过线性系统例题：一个简单的两点差分器可以用来近似计算信号的斜率。设X(n)为一零均值、方差为σ2的白噪声信号，试求输出Y(n)的自相关函数和功率谱。解答：因为X(n)为白噪声序列，所以有

3.平稳随机信号通过线性系统Y(n)的功率谱为rY(m)的DTFT：或者先求出：然后：3.平稳随机信号通过线性系统一个随机信号X(n)的均值、方差、均方值及自相关函数等，均是建立在集总平均的意义上。例如均值和自相关函数：为了精确地求出μX和rX(m)，需要知道x(n,i)的无穷多个样本，这在实际工作中显然是不现实的。各态遍历随机信号：对一平稳信号X(n)，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，我们称X(n)为各态遍历随机信号。这样，我们就可以仿照确定性的功率信号那样来定义各态遍历随机信号的一阶和二阶统计特征。4.平稳随机信号的各态遍历性设x(n)是各态遍历随机信号X(n)的一个样本函数，对X(n)的数字特征可以重新定义如下：上式都是使用单一样本函数x(n)来求出μX和rX(m)，因此称为“时间平均〞。对于各态遍历信号，其一阶和二阶统计特征的集总平均等于相应的时间平均。4.平稳随机信号的各态遍历性对各态遍历随机信号X(n)，既然自相关函数可以用时间平均来定义，那么其功率也可以用时间平均来定义为：上式中X(ejω)是随机信号X(n)的某一样本函数x(n)在n=-M~M时的DTFT。考虑到时间平均，M应趋于无穷，因此求极限是必要的。对X(n)的每一个样本函数x(n,i)，所求出的X(ejω,i)是不相同的，所以X(ejω,i)本身是一个随机变量，因此上式中的求均值运算也是必要的。4.平稳随机信号的各态遍历性假定当时，rx(k)衰减得足够快，使得：此即维纳-辛钦定理。那么有4.平稳随机信号的各态遍历性5.估计质量的评价对于随机信号X(n)，我们能得到的往往是其一次实现的有限长数据x(n),n=0,1,…,N-1,然后根据这N个数据来估计X(n)的均值、方差、自相关函数、功率谱及其他感兴趣的参数。设X(n)的某个特征量的真值为，估计值为，通常用下面三个指标来评价估计的质量：偏差定义为估计的偏差。假设，那么称是的无偏估计。假设在时有那么称是对的渐进无偏估计。05.估计质量的评价方差定义为估计的方差，它反映了的各次估计值相对于均值的偏离程度。方差越小，估计值越接近于真值。均方误差定义为对的均方误差，并有：假设有，那么称是对的一致估计。06.功率谱估计概述功率谱的两种定义：无论是建立在第一个公式上的定义还是建立在第二个公式上的定义，在实际中都几乎不可能实现。因此，只能用所得的有限次记录〔往往仅一次〕的有限长数据来对功率谱进行估计。功率谱估计方法：经典谱估计现代谱估计3.直接法和间接法的关系直接法：间接法：其中自相关函数与x2N(n)的功率谱是一对傅里叶变换：因此有令M=N-13.直接法和间接法的关系由此可知，直接法可以看作是间接法的一个特例，即当间接法中使用的自相关函数的最大延迟M=N-1时，二者是相等的。前面已经指出：这就意味着，当M较大，特别是接近于N-1时，对r(m)的估计偏差变大，此时估计出的功率谱的质量也必然下降。因此，在使用间接法时，都是取M<<N-1，很显然此时令M<<N-1，这意味着对最大长度为2N-1的自相关函数的截短，亦即施加了一个窗函数，记之为v(m)，得：3.直接法和间接法的关系的均值等于真实的自相关函数r(m)乘以三角窗w(m)，这是第一次加窗。该三角窗是由数据截短而产生的，其宽度为2N-1。v(m)是对自相关函数r(m)的第二次加窗，宽度为2M-1，M<<N-1。因为v(m)的宽度远小于w(m)，所以v(m)的频谱V(ejω)主瓣的宽度远大于w(m)的频谱W(ejω)主瓣的宽度。这时，对r(m)施加v(m)的作用等效于在频域做和V(ejω)的卷积，这样就起到了对周期图平滑的作用。直接法和间接法往往结合起来使用，步骤如下：①对xN(n)补N个零，求；②做的傅里叶逆变换得，这时|m|≤M=N-1；③对加窗函数v(m)，这时|m|≤M<<N-1，得；④求的傅里叶变换即可得到。3.直接法和间接法的关系直接法和间接法的关系可归纳如下：x(n)

截短乘矩形窗d0(n)求线性

相关函数DFTIDFTxN(n)

5.直接法估计的改进直接法的估计结果性能不好。当数据长度N太大时，谱线起伏加剧，N太小时，谱的分辨率又不好。因此需要改进。这里所说的改进，主要是改进其方差特性。间接法是对直接法的一种改进，又称为周期图的平滑。对直接法进行改进的另外一种方法是所谓的平均法，其指导思想是把长度为N的数据xN(n)分成L段，分别求每一段的功率谱，然后加以平均，以到达减小方差的目的。几种主要的改进方法：Bartlett法Welch法Nuttall法5.直接法估计的改进由概率论可知，对具有相同均值μ和方差σ2的独立随机变量X1,X2,…,XL,新随机变量X=〔X1+X2+…+XL〕/L的均值也是μ，但方差为σ2/L。此即Bartlett法的指导思想。将数据分成L段，每段的长度都是M，即N=LM，第i段数据为：然后分别计算每一段的功率谱：求平均，得到平均周期图：的均值为：式中D1(ejω)是矩形窗d1(n)的频谱，W1(ejω)是d1(n)做自相关所得到的三角窗w1(n)的频谱，w1(n)的长度是2M-1。因为W1(ejω)主瓣的宽度远大于W(ejω)，所以平均后偏差增大，分辨率下降。M的选择主要取决于所需的分辨率。因为W1(ejω)的主瓣宽度是4π/M，假设P(ejω)中有两个相距为BW的谱峰，为了要分辨它们，需要4π/M<BW，即M>4π/BW。如果数据长度N已确定，根据所需的M，L也就自然被确定。如果N可以变化，那么应根据方差的要求确定L，然后再确定要记录的数据长度N。M5.直接法估计的改进5.直接法估计的改进Welch法是对Bartlett法的改进。改进之一是在对xN(n)分段时，允许每一段的数据有局部的交叠。例如，假设每一段数据重合一半，这时的段数：式中M仍然是每段的长度。改进之二是，每一段的数据窗口可以不是矩形窗，例如汉宁窗或汉明窗，记之为d2(n)。按Bartlett法求每一段的功率谱，记之为，即其中U是归一化因子，使用它是为了保证所得到的功率谱是渐进无偏估计。5.直接法估计的改进如果d2(n)是一矩形窗，那么平均后的功率谱为：其均值为：记D2(ejω)是d2(n)的频谱，及那么有：〔证明过程略〕5.直接法估计的改进Welch法中各段允许交叠，因而段数增大，这样方差就可以得到更大程度地改善。但是数据的交叠减小了每一段数据的不相关性，使方差的减小