2023-2024学年广东省九年级数学第一学期期末考试

2023-2024学年广东省九年级数学第一学期期末考试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A． B．1 C． D．2．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，是的外接圆，，点是外一点，，，则线段的最大值为（）A．9 B．4.5 C． D．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（）A． B． C． D．5．如图，滑雪场有一坡角α为20°的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度AB的长为（）A．200tan20°米 B．米 C．200sin20°米 D．200cos20°米6．如图所示的几何体的左视图是()A． B．C． D．7．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2 B．5 C．7 D．99．用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为（）A． B． C． D．10．如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为_____________.12．抛物线y=x2–6x+5的顶点坐标为__________．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A、B、D均在抛物线y=ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则AC长为_____．14．菱形ABCD的周长为20，且有一个内角为120°，则它的较短的对角线长为______．15．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的最短边长为12，那么△DEF的周长等于_____．16．某游乐场新推出一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度，其中斜坡轨道BC的坡度为，BC=米，CD=8米，∠D=36°，（其中A，B，C，D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为__________米．（精确到0.1米，参考数据：）17．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______．18．若，且，则的值是______．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．20．（6分）小王准备给小李打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号中，有两个数字已经模糊不清，如果用，表示这两个看不清的数字，那么小李的号码为（手机号码由11个数字组成），小王记得这11个数字之和是20的整数倍.（1）求的值；（2）求出小王一次拨对小李手机号的概率.21．（6分）齐齐哈尔新玛特商场购进大嘴猴品牌服装每件成本为100元，在试销过程中发现：销售单价元，与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系．（1）求出与之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；（2）写出每天的利润（元）与销售单价之间的函数解析式；并确定将售价定为多少元时，能使每天的利润最大，最大利润是多少？22．（8分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测得某建筑物顶点O时俯角为30°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（结果保留根号）23．（8分）已知□ABCD边AB、AD的长是关于x的方程＝0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？（2）当AB=3时，求□ABCD的周长．24．（8分）元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.25．（10分）有六张完全相同的卡片，分两组，每组三张，在组的卡片上分别画上“√，×，√”，组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图①所示．（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率（请用“树形图法”或“列表法”求解）．（2）若把两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图②所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．26．（10分）我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD=∠B（或∠BCD=∠A），则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”．（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=，AB=4.试判断点D是不是△ABC边AB上的“理想点”，并说明理由．（2）如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB=5，AC=4.若点D是△ABC边AB上的“理想点”，求CD的长．（3）如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2),B(0,-3),C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选B．本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2、B【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍.【详解】∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=1．故选：B.此题主要考查根据三角形中线性质求解面积，熟练掌握，即可解题.3、C【分析】连接OB、OC，如图，则△OBC是顶角为120°的等腰三角形，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可得，于是求OP的最大值转化为求PM的最大值，因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，据此求解即可.【详解】解：连接OB、OC，如图，则OB=OC，∠BOC=2∠A=120°，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，过点O作ON⊥PM于点N，则∠MON=60°，MN=PM，在直角△MON中，，∴，∴当PM最大时，OP最大，又因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，此时PM=3+6=9，所以OP的最大值是：.故选：C.本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难度，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，将求OP的最大值转化为求PM的最大值是解题的关键.4、C【解析】外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.5、C【解析】解：∵sin∠C=，∴AB=AC•sin∠C=200sin20°．故选C．6、A【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】从左边看共一列，第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形，故选：A．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．7、A【解析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本说法错误；④当x＜3时，y随x的增大而减小，故本说法正确．综上所述，说法正确的有④共1个．故选A．8、B【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为1．3，最小值是2．3，可解答．【详解】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为1．3．∵∠A＝90，AD＝3，∴DN≥3，∴EF≥2．3，∴EF长度的可能为3；故选：B．本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．9、B【分析】根据题意直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．【详解】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意得：，解得r=2cm，故这个圆锥的高为：.故选：B.本题主要考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥的性质并正确得出圆锥的半径是解题关键．10、D【详解】解：由题意得：，，，∴△===，解得：，故选D．本题考查一元二次方程根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、2【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝1．解得x＝2．即此时该小车离水平面的垂直高度为2米．故答案为：2.考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan（坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．12、（3，-4）【解析】分析：利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标．详解：∵y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（3，﹣4）．故答案为（3，﹣4）．点睛：此题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标可以先配方化为顶点式，也可以利用顶点坐标公式（）来找抛物线的顶点坐标.13、1.【解析】试题解析：抛物线的对称轴x=-=2，点B坐标（0，3），∵四边形ABCD是正方形，点A是抛物线顶点，∴B、D关于对称轴对称，AC=BD，∴点D坐标（1，3）∴AC=BD=1．考点：1.正方形的性质；2.二次函数的性质．14、1【分析】根据菱形的性质可得菱形的边长为1，然后根据内角度数进而求出较短对角线的长．【详解】如图所示：菱形ABCD的周长为20，AB=20÷4=1，又，四边形ABCD是菱形，，AB=AD，是等边三角形，BD=AB=1．故答案为1．本题主要考查菱形的性质及等边三角形，关键是熟练掌握菱形的性质．15、1【分析】根据题意求出△ABC的周长，根据相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：设△DEF的周长别为x，△ABC的三边长分别为4、5、6，∴△ABC的周长＝4＋5＋6＝15，∵△ABC∽△DEF，∴，解得，x＝1，故答案为1．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．16、11.2【分析】延长AB和DC相交于点E，根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．【详解】解：如图，延长AB和DC相交于点E，由斜坡轨道BC的坡度为i=1:1，得BE：CE=1：1．设BE=x米，CE=1x米，在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE1+CE1=BC1，即x1+（1x）1=（11）1，解得x=11，即BE=11米，CE=12米，∴DE=DC+CE=8+12=31（米），由tan36°≈0.73，得tanD=≈0.73，∴AE≈0.73×31=13.36（米）．∴AB=AE-BE=13.36-11=11.36≈11.2（米）．故答案为：11.2．本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形，利用勾股定理得出CE，BE的长度是解题关键．17、【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，故答案为：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．18、-20；【分析】由比例的性质得到，从而求出a和b+c的值，然后代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∴，，∴；故答案为：．本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质，正确得到，．三、解答题(共66分)19、直线AD与⊙O相切，理由见解析【分析】先由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，进而得出∠ABC+∠BAC=90°；接下来再由∠CAD=∠ABC，运用等量代换可得∠CAD+∠BAC=90°，再运用切线的判定即可求解.【详解】直线AD与⊙O相切．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠ABC+∠BAC=90°．又∵∠CAD=∠ABC，∴∠CAD+∠BAC=90°．∴直线AD与⊙O相切本题考查了圆周角定理，直线与圆的位置关系.半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.20、（1）14；（2）.【分析】（1）根据题意求出11个数字之和，再根据和是20的整数倍进行求解；（2）先求出、的可能值，再根据概率公式进行求解.【详解】（1）11个数字之和为=46+=20n，∵这11个数字之和是20的整数倍，2＜＜18∴当n=3时，即；（2）∵、的可能值为9和5，8和6，7和7，6和8，5和9，∴小王一次拨对小李手机号码的概率此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率公式.21、（1）；（2），售价定为140元∕件，每天获得最大利润为1600元【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可；（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．【详解】解：解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：，故y与x的函数关系式为；（2）∵，∴W＝＝＝，∴当x＝140时，W最大＝1600，∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于k、b的关系式是解答此题的关键．22、40﹣5【分析】过O点作OC⊥AB的延长线于C点，垂足为C，设OC=BC=x，则AC=10+x，利用正切值的定义列出x的方程，求出x的值，进而求出楼的高度．【详解】过O点作OC⊥AB的延长线于C点，垂足为C，根据题意可知，∠OAC=30°，∠OBC=45°，AB=10米，AD=45米，在Rt△BCO中，∠OBC=45°，∴BC=OC，设OC=BC=x，则AC=10+x，在Rt△ACO中，，解得：x=5+5，则这栋楼的高度(米)．本题考查解直角三角形的应用-仰角、俯角的问题以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形．23、（1）；（2）1【分析】（1）由菱形的四边相等知方程有两个相等的实数根,据此利用根的判别式求解可得,注意验根;（2）由AB=3知方程的一个解为3,代入方程求出m的值,从而还原方程,再利用根与系数的关系得出AB+AD的值,从而得出答案．【详解】解：（1）若四边形ABCD是菱形,则AB=AD,所以方程有两个相等的实数根,则△=（-m）2-4×1×12=0,解得m=,检验：当m=时,x=,符合题意;当m=时,x=,不符合题意,故舍去．综上所述,当m为时,四边形ABCD是菱形．（2）∵AB=3,∴9-3m+12=0,解得m=7,∴方程为x2-7x+12=0,则AB+AD=7,∴平行四边形ABCD的周长为2（AB+AD）=1．本题主要考查根与系数的关系,解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系,菱形和平行四边形的性质．24、（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）的值为2或7.【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为元/千克,元/千克.由题得：解之得：答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：解之得：，经检验，，均符合题意答：的值为2或7.本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.25、（1）；（2）①；②【分析】（1）画出树状图计算即可；（2）①三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，然后计算即可；②正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，计算即可；【详解】（1）解：根据题意，可画出如下树形图：从树形图可以看出，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种，∴（两张都是“√”）（2）解：①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为．②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，∴猜对反面也是“√”的概率为．本题主要考查了概率的计算，准确理解题意是解题的关键．26、（1）是，理由见解析；（2）；（3）D（0,42）或D（0,6）【分析】（1）依据边长AC=，AB=4，D是边AB的中点，得到AC2=，可得到两个三角形相似，从而得到∠ACD=∠B；(2)由点D是△ABC的“理想点”，得到