平行四边形单元测试综合卷检测

平行四边形单元测试综合卷检测

一、选择题

1.如图，菱形ABC。的边长为4,NA=60,£是边AO的中点，尸是边A8上的一个动

点，将线段EF绕着E逆时针旋转60，得到EG,连接EG、CG,则6G+CG的最小

A.36B.2币C.D.2+26

2.如图，在四边形ABCD中，AB/7CD,ZBCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm,点P从点A

出发，以每秒3cm的速度沿折线A-B-C-D方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度

沿线段DC方向向点C运动、已知动点P,Q同时出发，当点Q运动到点C时，点P,Q停

止运动，设运动时间为t秒，在这个运动过程中，若ABPQ的面积为20cm2,则满足条件

的t的值有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.已知在直角梯形ABCD中，AD〃BC,/BCD=90°,BC=CD=2AD,E、F分别是BC、CD

边的中点，连结BF、DE交于点P,连结CP并延长交AB于点Q,连结AF,则下列结论不

A.CP平分NBCDB.四边形ABED为平行四边形

C.CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分D.4ABF为等腰三角形

4.如图，矩形ABCD中，48=2,对角线AC、BD交于点。，ZAOD=120°,E为8。上任

意点，P为AE中点，则PO+PB的最小值为（）

A.73B.1+73c.币D.3

5.如图，在菱形ABC。中，AB=2,E,尸分别是AB,BC的中点，将COF沿着DF

折叠得到ADFC',若C恰好落在EF上，则菱形ABCD的面积为（）

R35「3娓

A.273D.------------L•-----------D.20

22

6.如图，在平行四边形A8CO中，E、E是对角线AC上的两点且AE=CT,下列说

法中正确的是（）

①BE=DF；②BEI/DF；③=④四边形E8F。为平行四边形；

C.①②③④D.①②④⑤⑥

7.如图，已知aABC的面积为24,点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF

=4CF,四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）

A.3B.4C.6D.8

8.在A8CF中，BC=2AB,CDJ.AB于点。，点E为AR的中点，若

ZADE=50°,则DB的度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

9.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点。，点P在边AD上从点A到点D运动，过

点P作PELAC于点E,作PF_LBD于点F,已知AB=3,AD=4,随着点P的运动，关于

PE+PF的值，下面说法正确的是()

A.先增大，后减小B.先减小，后增大C.始终等于2.4D.始终等于3

10.如图，己知正方形ABCD的边长为4,P是对角线BD上一点，PE_LBC于点E,

PF_LCD于点F,连接AP,EF,给出下列结论：①PD=、历EC；②四边形PECF的周长为8；

③4APD一定是等腰三角形；④AP=EF；⑤EF的最小值为2&;@AP±EF,其中正确结论

的序号为()

A.①②④⑤⑥B.①②④⑤C.②④⑤D.②④

二、填空题

11.如图，正方形ABC。的边长为4,点E为边上的一个动点，以CE为边向外作正

方形ECFG,连结8G,点”为中点，连结E”，则EH的最小值为

12.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCO中,

AB=3,AC=2,则BD的长为.

13.如图，菱形ABCO的8C边在x轴上，顶点。坐标为(-3,0),顶点。坐标为

(0,4),点E在，轴上，线段所//x轴，且点尸坐标为(8,6),若菱形ABCO沿X轴左

右运动，连接AE、DF,则运动过程中，四边形AOFE周长的最小值是.

14.如图，正方形ABCD中，ND4C的平分线交DC于点E,若P,Q分别是AD和AE上

的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为.

15.如图，在△A8C中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边8c上一动点，PE_LAB于E,

PFLAC于F,则EF的最小值为.

16.如图，四边形纸片A5CO中，AB=BC,NABC=NADC=90。.若该纸片的面积为

10cm2,则对角线BD=cm.

li

17.如图，直线4，，2分别经过点（1，0）和（4,0）且平行于）'轴.IOABC的顶点A,C

分别在直线4和4上，。是坐标原点，则对角线。8长的最小值为.

18.如图,在平面直角坐标系中，直线y=gx+l与x轴、y轴分别交于A,B两点，以AB为

边在第二象限内作正方形ABCD,则D点坐标是；在y轴上有一个动点M,当

的周长值最小时，则这个最小值是.

19.己知：如图，在长方形A8CO中，AB=4,AD=6.延长BC到点E,使

CE=2,连接DE,动点P从点8出发，以每秒2个单位的速度沿5C—C。-D4向终

点A运动，设点尸的运动时间为/秒，当，的值为秒时，A43P和AOCE全等.

20.如图所示，在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H,构成一个新的四边

形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成一个菱形，这个条件是

三、解答题

21.如图，在菱形ABCD中，AB=2cm,ZADC=120°.动点E、F分别从点B、D同时出

发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE,分别取AF、CE的中点G、H.设

运动的时间为ts（0<t<4）.

（1）求证：AF〃CE；

(2)当t为何值时，4ADF的面积为Xlcn?；

2

22.如图，在A48c中，平分NABC交AC于点O,E尸垂直平分B。，分别交

AB,BC,BD于点、E,F,G,连接OE,DF.

(2)若ZBOE=15。，NC=45°,DE=2,求CF的长；

(3)在(2)的条件下，求四边形BEOF的面积.

23.如图，四边形0ABe中，BC//A0,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点M从。出

发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度

向C运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x

轴于点P,连结AC交NP于Q,连结MQ.

(1)当t为何值时，四边形BMWP为平行四边形？

(2)设四边形BA/P4的面积为y,求y与t之间的函数关系式.

(3)是否存在点M,使得aAQ/W为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，

请说明理由.

24.如图，正方形的边处、宏在坐标轴上，点8坐标为(6,6),将正方形4及力绕

点。逆时针旋转角度a(0°<a<90°),得到正方形碗下，A9交线段四于点C,ED

的延长线交线段》于点〃，连结或CG.

(1)求证：CG*分4DCB；

(2)在正方形16%绕点C逆时针旋转的过程中，求线段用、0H、%之间的数量关系；

(3)连结儆DA、AE、EB,在旋转的过程中，四边形46切是否能在点G满足一定的条件

下成为矩形？若能，试求出直线加'的解析式；若不能，请说明理由.

25.如图1,在矩形纸片ABCD中，A8=3cm,AD=5cm,折叠纸片使8点落在边45上的

E处，折痕为PQ,过点E作EF〃A8交PQ于F,连接BF.

(1)求证：四边形8FEP为菱形；

(2)当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动.

①当点Q与点C重合时，(如图2),求菱形BFEP的边长；

②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形8FEP面积的变化范围.

26.如图1,在0AB中，ZOAB=9(T,ZAOB=30,0B=8,以。8为边，在AQ4B

外作等边AO3C,。是。8的中点，连接AD并延长交。C于E.

(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；

(2)连接AC,8E交于点P,求AP的长及AP边上的高BH；

(3)在(2)的条件下，将四边形0A8C置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标

原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN：

①M点的坐标为.

②直接写出正方形APMN与四边形。ABC重叠部分的面积（图中阴影部分）.

27.如图1,点E为正方形ABC。的边上一点，EF1EC,且EF=EC,连接

AF,过点F作FN垂直于BA的延长线于点N.

（1）求NEA尸的度数；

（2）如图2,连接FC交8。于M,交AD于P，试证明：

BDBG+DG=AF+2DM.

28.（问题情境）

在△ABC中，AB=AC,点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PDJ_AB,PE1AC,垂足

分别为D、E,过点C作CF_LAB,垂足为F.当P在BC边上时（如图1）,求证：

PD+PE=CF.

图①图②图③

证明思路是：如图2,连接AP,由AABP与4ACP面积之和等于AABC的面积可以证得：

PD+PE=CF.（不要证明）

（变式探究）

当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并

说明理由.

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

（结论运用）

如图4,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF

上的任一点，过点P作PG_LBE、PH1BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值；

(迁移拓展)

4

在直角坐标系中.直线ky=-§x+4与直线公y=2x+4相交于点A,直线/i、A与x轴分别

交于点B、点C.点P是直线/2上一个动点，若点P到直线k的距离为1.求点P的坐标.

直线PQ垂直平分AC,与边AB交于点E,连接CE,

过点。作行//区4交PQ于点F,连接AF.

⑴求证：四边形AECF是菱形；

(2)若AC=8,AE=5,则求菱形AECb的面积.

30.在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE,以BE为边，在

BE的下方作正方形BEFG,并连接AG.

(1)如图1,当点E与点D重合时，AG=；

(2)如图2,当点E在线段CD上时，DE=2,求AG的长；

⑶若AG=^，请直接写出此时DE的长.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点E',连接E'C,E'B,此时

CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与F点重合，再在R3EBC中，EB=26，

BC=4,求EC的长.

【详解】

取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点F,连接E'C,E'B

此时CE的长就是GB+GC的最小值;

；MN〃AD,

I

.\HM=—AE,

2

VHB1HM,AB=4,ZA=60",

；.MB=2,ZHMB=60",

，AE'=2,

，E点与E，点重合，

•.•/AEB=/MHB=90°,

ZCBE=90",

在RMEBC中，EB=273，BC=4,

EC=2币,

故选A.

【点睛】

本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键.

2.B

解析：B

【解析】

【分析】

过A作AHLDC,由勾股定理求出。”的长.然后分三种情况进行讨论：即①当点P在线段

A8上，②当点P在线段8c上，③当点P在线段C。上，根据三种情况点的位置，可以确

定t的值.

【详解】

解：过A作AH_LDC,."H=BC=8cm,DH=sjAD1-AH2=x/100-64=6.

/）当P在48上时，即OwW时，如图，SHPO=-BP-BC=-CW-3t）xS=20,解

3,改22

4R

0Hc

//）当P在BC上时，即W

〈仁6时，BP=3t-10,CQ=16-2t,

3

-10）x（16-20=20,化简得：3t2-34）+100=0,A=-44<0,/.

方程无实数解.

DC

34

iii）当P在线段CD上时，若点P在线段CD上，若点P在Q的右侧，即64仁彳-,则有

PQ=34-5t,SBP°=3（34-29

-5f）x8=20,t—<6（舍去）；

341

若点P在Q的左侧时，即一<r<8,则有PQ=5t-34,SBP。=-（5f-34）x8=20；

5y2

占7.8.

综上所述：满足条件的t存在，其值分别为t2=7.8.

故选B.

【点睛】

本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何

问题，再进行解答.

3.C

解析：c

【解析】

【分析】

A.根据边角边"证明△8CF丝△DC£,然后利用"角边角"证明△BEP丝△DFP,再利用"边角边"

证明△SCP^ADCP全等，根据全等三角形对应角相等可得N8CP=NDCP；

B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形A8ED为平行四边形；

C.连接QD,利用“边角边"证明A8CQ和ADCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出

SA8CQ=5A℃Q，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等.

D.根据平行四边形的对边相等可得AB=DE,再求出AB=8F,从而得到△ABF为等腰三角

形；

【详解】

解：E、F分别是BC、CD边的中点，

BE=CE=CF=DF,

在^BCF^QADCE中，

IBC=DC

jzBCF=zDCE'=90o

ICE=CF

:.ABCF咨/XDCE(SAS),

:.DE=BF,NCBF=NCDE,ZBFC=ZDEC,

：.1800-ZBFC=1800-ZD£C,

^ZBEP=ZDFP,

在ADFP中，

\/.CBF=Z.CDE

jBE=DF

:.ABEP出/\DFPCASA),

,BP=DP,

在^BCP^OADCP中，

IBP=DP

\ACBF=ACDE

IBC=CD'

:.△BCPgADCP(SAS),

NBCP=NDCP,

；.CP平分N8CD,故A选项结论正确；

•：BC^2AD,E是BC的中点，

.,.BE^AD,

又:：ADMBC,

四边形ABED为平行四边形，故B选项结论正确:

.\AB=DE,

又,：DE=BF(已证)，

：.AE=BF,

•二△ABF为等腰三角形，故。选项结论正确；

IBC=CD

\ABCP=ADCP

ICQ=CQ，

.,•△BCQ^ADCQ(SAS),

，SABCQ=SAOCQ，

：.CQ将直角梯形A8CD分成的两部分面积不相等，故C选项结论不正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形

的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角

形全等.

4.C

解析：C

【分析】

设例、N分别为48、AD的中点，则/MN为AABD的中位线，点P在/MN上，作点。关于

MN的对称点。‘，连接30,则BO即为P0+P8的最小值，易证△AB。为等边三角形，

过点A作于从求出AH=00',然后利用勾股定理求出B。即可.

【详解】

解：如图，设M、N分别为AB、A。的中点，则MN为的中位线，

...点P在/WN上，

作点。关于MN的对称点。‘，连接B0',

OP=O'P,

：.PO+PB=BP+O'P=BO',

四边形ABCD是矩形，ZAOD^120°,

；Q=OB,/AOB=60°,

：.^AOB为等边三角形，

：.AB=B0=4,

过点A作AHLBO于H,

=_伏=5

,:MN〃BD,点、H关于MN的对称点为A,点0关于MN的对称点为。’，

:•AH=00=5且

•••BO=y]BO2+OO'2=722+(>^)2=V7，

即P0+P8的最小值为，7，

故选：C.

【点睛】

本题考查了利用轴对称求最短路径，矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定

及性质，勾股定理的应用，通过作辅助线，得出80'为PO+PB的最小值是解题关键.

5.B

解析：B

【分析】

连接AC、BD,设交于点0,延长。4、FE,设交于点G,如图所示，先根据菱形的性质和

平行线的性质得出NG=/8F£,ZGAB=ZABF,进而可根据AAS证明△AEGg/\8EF,可得

GE=EF,AG=BF,由此可求出DG的长，然后根据折叠的性质和平行线的性质可得

NADF=NDFE,于是可得GF=GD,则GF可得，再根据三角形的中位线定理和等量代换可得

AC的长，进而可得A。的长，然后根据勾股定理可求出。。的长，即得8D的长，再根据菱

形的面积求解即可.

【详解】

解：连接AC、BD,设交于点。，延长DA、FE,设交于点G,如图所示，

•..四边形ABC0是菱形，

：.AD//BCfACLBD.BO=DO,AO=CO,

：.ZG=ZBFE,ZGAB=ZABFf

・・・瓦万分别是4B,8c的中点，菱形的边长为2,

：.AE=BEfBF=CF=lfEF=-ACf

2

:•丛AEGq丛BEF(AAS),

:・GE=EF,AG=BF=lf

V4D=2,.\DG=3,

・••将COF沿着DF折叠得到△OR7,若C'恰好落在EF上,

:"CFD=/DFE,

U

：AD//BC9：.ZADF=ZDFC9

：.NADF;NDFE,

：.GF=GD=3f

VEF=-AC,EF=-GF,

22

：.AC=FG=3,

.1.3

.,AO=—AC——,

22

在R3AOD中，由勾股定理得：DO=y]AD2-AO2=^22-j

菱形ABC。的面积=工4030=,乂3乂近=迈.

222

故选:B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的面积、三角形的

中位线定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，具有一定的难度，正确作出辅助线、熟

练掌握上述知识是解题的关键.

6.D

解析：D

【分析】

先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF,得出四边形

BEDF是平行四边形，求出BM=DM即可判断④和⑤，最后根据AE=CF,即可判断⑥.

【详解】

①•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃DC,AB=DC,

ZBAC=ZADC,

在aABE和4DFC中

'AE=FC

<ABAC=AADC

AB=DC

/.△ABE^ADFC(SAS),

；.BE=DF,

故①正确.

②'•△ABE四△DFC,

ZAEB=ZDFC,

/.ZBEF=ZDFE,

，BE〃DF,

故②正确.

③根据已知的条件不能推AB=DE,故③错误.

④连接BD交AC于0,过D作DMJ_AC于M,过B作BNJLAC于N,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.♦.D0=B0,0A=0C,

VAE=CF,

.,.0E=0F,

四边形BEDF是平行四边形，

故④正确.

(5)VBN1AC,DMXAC,

AZBN0=ZDM0=90°,

在和△DM0中

ZBN0=ZDM0

<ZB0N=ZD0M

0B=0D

.,.△BNO^ADMO(AAS)

，BN=DM

VS=-xAExDM,S=-xAExBN

△A4AnDh2△A4ARBE2

•・•°sAADE二s'ABE'

故⑤正确.

@VAE=CF,

.,.AE+EF=CF+EF,

；.AF=CE,

故⑥正确.

故答案是D.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是

解题的关键.

7.D

解析：D

【分析】

连接EC,过A作AM〃BC交FE的延长线于M,求出平行四边形ACFM,根据等底等高的

三角形面积相等得出4BDE的面积和4CDE的面积相等，4ADE的面积和aAME的面积相

等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CFxhcF的值即可.

【详解】

连接DE、EC,过A作AM〃BC交FE的延长线于M,

•.•四边形CDEF是平行四边形，

；.DE〃CF,EF/7CD,

；.AM〃DE〃CF,AC〃FM,

二四边形ACFM是平行四边形，

VABDE边DE上的高和4CDE的边DE上的高相同，

.,.△BDE的面积和4CDE的面积相等，

同理4ADE的面积和AAME的面积相等，

即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是LxCFxhcF，

2

:△ABC的面积是24,BC=3CF

11

/.—BCxh=-x3CFxhcF=24,

2BC2

/.CFxhcF—16,

••・阴影部分的面积是!xl6=8,

2

故选：D.

M

D.

【点睛】

此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面

积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键.

8.D

解析：D

【分析】

连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N,根据已知条件和平行四边形的性质可证明

△NAE^ACFE,所以NE=CE,NA=CF,再由已知条件CDJ_AB于D,ZADE=50°,即可

求出/8的度数.

【详解】

解：连结CE,并延长CE,交8A的延长线于点N,

•.•四边形A8CF是平行四边形,

：.AB//CF,AB=CF,

：.NNAE=NF,

:点E是的AF中点，

：.AE=FE,

在△MAE和aCFE中，

'4NAE=4F

<AE^FE,

[/AEN=ZFEC

：./\NAEm/XCFE(ASA),

：.NE=CE,NA=CF,

"：AB=CF,

：.NA=AB,BPBN=2AB,

\"BC=2AB,

；.BC=BN,NN=NNCB,

；CDJ_A8于。，B[JZ/VDC=90°且NE=CE,

1

，DE=—NC=NE,

2

/N=/NDE=50°=NNCB,

/B=80°.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助

线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答.

9.C

解析：C

【分析】

在矩形ABCD中，由矩形边长，可得矩形面积是12,进而得SA°D=；S矩形.8=3，由矩

形对角线相等且互相平分得AO=OC,OB=OD,AC=BD,利用勾股定理可解得

AC=5,则。4=00=2,

2

5…S2S8P——,即可求出PE+PF

的值.

【详解】

解：连接P。，如下图：

:在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,

S矩形BC=12,

AO=OC,OB=OD,AC^BD,

AC=yjAB2+BC2=5-

SAOD=矩形ABCD=7X12=3,

OA=OD=~,

2

=sAOp+SDOP=^OAPE+^ODPF=^0A(PE+PF)=^(PE+PF)=3

：,PE+PF=——=2.4；

5

故选C.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角

形的斜边；利用面积法求解，是本题的解题突破点.

10.A

解析：A

【分析】

①根据正方形的对角线平分对角的性质，得APDF是等腰直角三角形，在RtaDPF中，

DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=0EC.

②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC,则四

边形PECF的周长为8；

③根据P的任意性可以判断AAPD不一定是等腰三角形；

④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF；

⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于20；

⑥证明NPFH+NHPF=90°,则APJ_EF.

【详解】

①如图，延长FP交AB与G,连PC,延长AP交EF与H,

：GF〃BC,

.\ZDPF=ZDBC,

:四边形ABCD是正方形

ZDBC=45°

/.ZDPF=ZDBC=45°,

/PDF=/DPF=45°,

；.PF=EC=DF,

二在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

••.DP=0EC.故①正确；

②：PE_LBC,PF1CD,NBCD=90°,

四边形PECF为矩形，

四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8,故②正确；

③..•点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ZADP=45度，

当ZPAD=45度或67.5度或90度时，AAPD是等腰三角形，

除此之外，4APD不是等腰三角形，

故③错误.

④•••四边形PECF为矩形，

；.PC=EF,

由正方形为轴对称图形，

，AP=PC,

，AP=EF,

故④正确；

⑤由EF=PC=AP,

.•.当AP最小时,EF最小，

则当APLBD时，即AP=gBD=gx4&=20时，EF的最小值等于2&,故⑤正确；

⑥；GF〃BC,

AZAGP=90°,

,NBAP+NAPG=90°,

：/APG=NHPF,

AZPFH+ZHPF=90°,

.,.AP±EF,

故⑥正确；

本题正确的有：①②④⑤⑥；

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用.本题难度

较大，综合性较强，在解答时要认真审题.

二、填空题

11.五

【分析】

过B点作HE的平行线交AC于。点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE,其中。点在线

段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解.

【详解】

解：过B点作HE的平行线交AC于。点，延长EG交AB于I点，如下图所示：

VH是BG的中点，且BO与HE平行，

AHE为△BOG的中位线,且BO=2HE,

故要使得HE最短，只需要BO最短即可，

当E点位于C点时，则。点与C点重合，

当E点位于D点时，则。点与A点重合，

故E点在CD上运动时，。点在AC上运动，

由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO_LAC时，此时B0最短，

•.•四边形ABCD是正方形，

...△BOC为等腰直角三角形，且BC=4,、

80=笨=4==2立

V2V2

HE=-B0=y/2,

2

故答案为：、汇.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识

点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段B0上.

12.472

【分析】

首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD,过A点分别作DC

和BC的垂线，垂足分别为F和E,通过证明4ADF也Z^ABC来证明四边形ABCD为菱形，

从而得到AC与BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD长度.

【详解】

解：连接AC和BD,其交点为0,过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E,

VAB/7CD,AD〃BC,

四边形ABCD为平行四边形，

.\ZADF=ZABE,

•••两纸条宽度相同，

，AF=AE,

'NADF=NABE

，NAFD=NAEB=90°

AF=AE

.,.△ADF^AABE,

；.AD=AB,

四边形ABCD为菱形，

，AC与BD相互垂直平分，

，BD=2ylAB2-AO1=472

故本题答案为：4垃

【点睛】

本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定

要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.

13.18

【分析】

由题意可知AD、EF是定值，要使四边形AOPE周长的最小，AE+DF的和应是最小的，运

用"将军饮马”模型作点E关于AD的对称点Ei，同时作DF〃AFi，此时AE+DF的和即为

EiFi，再求四边形AOFE周长的最小值.

【详解】

在RtZ\COD中，OC=3,OD=4,

CD=JOC2+OD2=5,

ABC。是菱形，

/.AD=CD=5,

F坐标为(8,6)，点E在/轴上，

，EF=8,

作点E关于AD的对称点Ei，同时作DF〃AFi，

贝ljEi(0,2),Fi(3,6),

则Ei%即为所求线段和的最小值，

在RtAAExFi中，E1F1=JEE：+E甲=J(6-2)2+(8-5)2=5,

四边形法周长的最小值=AD+EF+AE+DF=AD+EF+EiFi=5+8+5=18.

本题考查菱形的性质、"将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大.

14.472

【分析】

作P点关于线段AE的对称点P',根据轴对称将QQ+PQ转换成DP',然后当

£>P'_LAC的时候OP'是最小的，得到。P'长，最后求出正方形边长DC.

【详解】

；AE是ND4C的角平分线，

•••P点关于线段AE的对称点一定在线段AC上，记为P'

由轴对称可以得到PQ=P'Q,

DQ+PQ=DQ+P'Q=DP',

如图，当OP'J_AC的时候DP'是最小的，也就是OQ+PQ取最小值4,

DP'=4,

由正方形的性质P'是AC的中点，且。P'=P'C,

在用DCP中，DC=DP2+PC2=742+42=732=472-

故答案是：4A/2-

APD

ec

【点睛】

本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出力Q+PQ取最小值的状态，

并将它转换成OP'去求解.

15.4

【分析】

根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，

得EF=AP,则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于

直角三角形ABC斜边上的高.

【详解】

解:连接4P，

;在△ABC中，46=3,AC=4,BC=5,

即NBAC=90°.

又."EUB于E,PF_LAC于F,

四边形AEPF是矩形，

EF=AP,

V4P的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，

设斜边上的高为h,

则SAABC=g8C/=；AB-AC

—x5-/?=—x3x4

22

Ah=2.4,

；.EF的最小值为2.4,

【点睛】

本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把

要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键.

16.275

【分析】

作BE_LAD于E,BFJ_CD于F,则四边形BEDF是矩形，证明4ABE也Z\CBF(AAS),得出

BE=BF,AABE的面积=4CBF的面积，则四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正

方形BEDF的面积，求出BE=JIU，即可求得BD的长.

【详解】

解：作BE_LAD交DA延长线于E,BF_LCD于F,如图所示：

则NBEA=NBFC=90°,

•.,/ADC=90°,

•••四边形BEDF是矩形，

，NEBF=90°,

；NABC=90°,

.".ZEBF=ZABC=90°,

/.ZABE=ZCBF,

在Z\ABE和ACBF中,

NBEA=NBFC

<NABE=NCBF,

AB=CB

.".△ABE^ACBF(AAS),

BE=BF,Z\ABE的面积=Z\CBF的面积，

四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，

；.BE=DE,BE2=10cm2,

/.BE=V10(cm),

••BD=yjo.BE—2^5(cm).

故答案为：2班.

【点睛】

本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识;

熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

17.5

【分析】

过点B作BD，6，交直线6于点D,过点B作BE_Lx轴，交x轴于点E.则

OB=7(?E2+BE2-由于四边形OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性

质可推得NOAF=NBCD,则可证明△OAF丝Z\BCD,所以0E的长固定不变，当BE最小时,

0B取得最小值，从而可求.

【详解】

解：过点B作BDL/2，交直线x=4于点D,过点B作BELx轴，交x轴于点E,直线/1与

0C交于点M,与x轴交于点F,直线/2与AB交于点N.

•.•四边形OABC是平行四边形，

NOAB=NBCO,OC/7AB,OA=BC,

,/直线/i与直线/2均垂直于x轴，

，AM〃CN,

...四边形ANCM是平行四边形，

.,.ZMAN=ZNCM,

.,,ZOAF=ZBCD,

VZOFA=ZBDC=90",

NFOA=NDBC,

在小OAF和4BCD中，

ZFOA=NDBC

<OA^BC,

^OAF=NBCD

/.△OAF^ABCD(ASA),

，BD=OF=1,

.".OE=4+1=5,

•'•OB-7(?E2+BE2-

由于OE的长不变，所以当BE最小时(即B点在X轴上)，0B取得最小值，最小值为

OB=OE=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定

理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

18.(-3,2)75+V17

【分析】

如图(见解析)，先根据一次函数的解析式可得点A、B的坐标，从而可得OA、OB、AB

的长，再根据正方形的性质可得NBA。=90。，DA=AB,然后根据三角形全等的判定定

理与性质可得AE=Q8,OE=OA,由此即可得出点D的坐标：同样的方法可求出点C的

坐标，再根据轴对称的性质可得点C'的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短

得出△MOC的周长值最小时，点M的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周

长公式即可得.

【详解】

如图，过点D作。E_Lx轴于点E,作点C关于y轴的对称点C',交v轴于点F,连接

CD,交y轴于点M',连接dM，则轴

对于y=—x+1

2

当y=0时，gx+l=0,解得％=-2,则点A的坐标为A(-2,0)

当x=0时，y=l,则点B的坐标为8(0,1)

二QA=2,OB=1,AB=yJo^+OB2=6

四边形ABCD是正方形

.“40=90。，CD=DA=ABf

：.ZDAE+NOAB=ZABO+NOAB=90°

NDAE=ZABO

ZAED=ZBOA=90°

在ADE和BA。中，＜NOAE=NA3。

DA=AB

ADE^BAO(AAS)

.-.AE=OB=l,DE=OA=2

：.OE=OA+AE=2+1=3

则点D的坐标为。(—3,2)

同理可证：CBF=BAO

.-.CF=OB=\,BF=OA=2

：.OF=OB+BF=1+2=3

则点C的坐标为C(-1,3)

由轴对称的性质得：点C'的坐标为C'(L3),且CM=CM

:4MDC的周长为CD+DM+CM^^5+DM+CM

由两点之间线段最短得：当点M与点M'重合时，DM+CM取得最小值DC'

D(-3,2),C(1,3)

DC'=7(-3-1)2+(2-3)2=V17

则△MOC的周长的最小值为石

故答案为：(一3,2),75+717.

【点睛】

本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称

的性质等知识点，正确找出△MOC的周长最小时，点M的位置是解题关键.

19.1或7.

【分析】

存在2种情况满足条件，一种是点P在BC上，只需要BP=CE即可得全等；另一种是点P

在AD上，只需要AP=CE即可得全等

【详解】

设点P的运动时间为f秒，

当点P在线段BC上时，则BP=2f,

•.•四边形ABCO为长方形，

AB=CD,ZB=ZDCE=90°,

此时有\ABP^\DCE,

ABP=CE,即2f=2,解得f=l；

当点P在线段AO上时，则3C+CO+OP=2f,

VAB=4,A£>=6,

8C=6,C£>=4,

AP=(BC+CD+DA)-(BC+CD+DP)=6+4+6-2t=16-2t,

：.AP=\6-2t,

此时有\ABP^^CDE,

AAP=CE,即16—2/=2,解得r=7；

综上可知当f为1秒或7秒时，A48P和ACOE全等.

故答案为：1或7.

【点睛】

本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到

一条直角边相等即可

20.答案不唯一,例AC=BD等

【分析】

连接AC、BD,先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.

【详解】

连接AC,

•.•点E、F分别是AB、BC的中点,

；.EF是△ABC的中位线，

1

；.EF〃AC,EF=—AC,

2

同理HG〃AC,HG=-AC,

2

；.EF〃HG,EF=HG,

...四边形EFGH是平行四边形，

连接BD,同理EH=FG,EF〃FG,

当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形，

故答案为：答案不唯一，例AC=BD等.

【点睛】

此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.

三、解答题

21.(1)见解析；(2)t=2；(3)t=l.

【分析】

(1)由菱形的性质可得AB=CD,AB〃CD,可求CF=AE,可得结论；

(2)由菱形的性质可求AD=2cm,NADN=6O。，由直角三角形的性质可求AN=百DN=

gem,由三角形的面积公式可求解；

(3)由菱形的性质可得EFLGH,可证四边形DFEM是矩形，可得DF=ME,由直角三角

形的性质可求AM=1,即可求解.

【详解】

证明：(1)：动点E、F分别从点B、D同时出发，都以O.5cm/s的速度向点A、C运动，

；.DF=BE,

•.•四边形ABCD是菱形，

；.AB=CD,AB〃CD,

，CF=AE,

.••四边形AECF是平行四边形，

；.AF〃CE；

(2)如图1,过点A作AN_LCD于N,

图1

;在菱形ABCD中,AB=2cm,ZADC=120°,

；.AD=2cm,ZADN=60°,

/NAD=30°,

.\DN=­AD=lcm,AN=73DN=A/3CM)

SAADF=!XDFXAN=Hx拒=B,

2222

/.t=2；

(3)如图2,连接GH,EF,过点D作DM_LAB于M,

图2

•••四边形AECF是平行四边形，

，FA=CE,

•.•点G是AF的中点，点H是CE的中点,

FG=CH,

...四边形FGHC是平行四边形，

；.CF〃GH,

•・•四边形EHFG为菱形，

AEF±GH,

AEFICD,

VAB/7CD,

，EFJ_AB,

又：DM_LAB,

四边形DFEM是矩形，

ADF=ME,

VZDAB=60°,

AZADM=30°