湖南省2023年普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题（解析版）

湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟试卷

数学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页.时量90分钟，满分100分.

一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，满分54分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知全集〃={1，2,3,4}「={1,2},B={2,3}（则风A）cB=（）

A.{2}B.{3}C.{4}D.{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合运算的定义计算.

【详解】由题意q,A={3,4},8={3}.

故选:B.

2.复数4+2i的虚部为（）

A.2B.-2C.2zD.-2/

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的概念可得答案.

【详解】复数4+2i的虚部为：2

故选：A

3.命题“Vxe（0,+8）,总有无2+]»2x”的否定是（）

A.以€（0,+8）,总有丁+1<2彳

B.曾任（0,+8）,总有炉+l<2x

C.3xe（0,+oo）,使得*2+1<2X

D.Hx史（°，+8），使得炉+1之2x

【答案】C

【解析】

分析】

全称命题否定特称命题即可，改量词否结论

【详解】解：因为命题“Wxe(O,+2),总有/+1»2光”，

所以其否定为“玉€(0,+8),使得/+1<2了”

故选：C

4.已知4是平面。内的两条直线，/是空间的一条直线，则是"/且/的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定定理以及定义即可判断.

【详解】当/_La时，kua，hua,所以/_!_(且/_L4；

当/_L《且4ua,4ua,但4是否相交无法判断，所以Ua可能成立，也可能不成立.综

上，-l±a”是“/从且山2”的充分不必要条件.

故选：A.

5.已知向量a,6满足a==1,a和6的夹角为7,则a•/?=

A.；B.—C.—D.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】

由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案.

【详解】由题意可得=HWcOS?=lxlxcos-^=-^y--

故选：B.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式，属基础题.

6.函数/(x)=log〃(x+2)-l(a>0且awl)的图象经过定点

A.(-1,-1)B.(―1,0)C.(―2,2)D.(―2,0)

【答案】A

【解析】

【分析】

令x+2=l,即可得到本题答案.

【详解】因为函数/（x）=log〃（x+2）-1,且有logal=0（1>0且。羊1）,令1+2=1,则x=-l,y=T,

所以函数/（X）的图象经过点（-1,-1）.

故选：A

【点睛】本题主要考查对数函数/*）=108,4（。>0且。彳1）恒过定点（1,0）,属基础题.

7.将函数y=sinx的图象向右平移三个单位，所得图象对应的函数表达式是（）

A.B.y=sin呜

y=cosl

D.I3

【答案】A

【解析】

【分析】

由三角函数图象平移的规律即可得解.

【详解】若将函数丫=$皿尢的图象向右平移;个单位,

所得函数图象对应的函数表达式是y=sinX-0

故选：A.

8.下列函数既是奇函数又在（0,+°。）上为增函数的是（)

2x—\11

A.y=xB.y=------y=x+—D.y=x——

xxx

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数解析式的形式以及函数性质判断.

【详解】A.y=f是偶函数，故不成立;

—Y-1无+]

B./(-x)=-----=-*-/(%),所以不是奇函数，故不成立；

一XX

C.y=x+^的定义域是(F,())D((),+s),并且/(—x)=—/(x),所以函数是奇函数，并且

X

/(；]=?，/(1)=2'所以函数在(°，+8)并不是单调递增函数，故不成立；

D.y^x--的定义域是(7,0)5。,小动，并且/(—x)=—〃x)，所以函数是奇函数，

并且函数丁=*,、=一一在(0,+8)都是增函数，所以y=满足增函数+增函数=增函数，故D成立.

xx

故选：D

9.在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》、《我爱你，中国》、《今天

是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生900人，其中高一年

级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人.现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个

容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为()

A.30B.31C.32D.33

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根据分层抽样的概念可得结果.

_90

【详解】由分层抽样方法可得：应抽取高一年级学生人数为330x——=33,

900

故选：D.

10.若函数/(x)=sin(x+0)是偶函数，则8可取一个值为()

7T71一

A.一nB.---C.—D.2乃

24

【答案】B

【解析】

TT

【分析】根据偶函数的定义得°=A:万+§,左eZ,结合选项可确定答案.

【详解】；函数/(x)=sin(x+w)是偶函数，；./(一x)=/(x),即sin(-x+o)=sin(x+。).

-x+(p=x+(p+2k7v^-x+(p+x+(p=7r+2k7r,kGZ.

当一x+O=x+0+2kr时，可得x=万，不满足函数定义.

当一x+0+x+夕=%+2攵4时，(p=k"——,keZ、

2

JI3

若0二=k兀+—=一兀，解得A=——史Z,故A错误；

22

TTTT

若。二二攵万+—=---,解得k=-lwZ,故B正确；

22

，k7T+-=-,解得火=—■!■eZ,故C错误；

若0二

244

13

若9二万+—=2〃，解得&=巳史Z,故D错误；

22

故选:B.

11.若向量a=(l,6),6=(4,0),则a在〃上的投影向量为()

A.(1,0)B.(1,V3)C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影向量的求法求解即可

【详解】因为a=0=(4,0),

ab1X4+A/3x0,

所以a在6上的投影为=-----；-----=1，

\b\4

又与匕=(4,0)同向的单位向量为(1,0)

则a在b上的投影向量为1x(1,0)=(1,0),

故选：A

12.已知a>b,a,b,CGR,则下列不等式成立的有()

A.|c/|>\b\B.~C.a2>b1D.a(c2+l)>Z?(c2+

ba

【答案】D

【解析】

【分析】利用举实例判断ABC,根据不等式性质可判断D.

【详解】对于A,当a=—2,匕=一3时，满足但所以A错误,

对于B,当a=l,。=一3时，满足a>b,但所以B错误，

ba

对于C,当。=一2,8=—3时，满足但/</，所以c错误，

对于D,因为。2+1>()时，又a>b,则丞」+1)>近2+1)成立,所以D正确,

故选：D.

13.代数式V+4取得最小值时对应的x值为（）

x

A.2B.72C.±2D.+72

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式求出最小值及对应的尤值.

【详解】一在分母的位置，则/>0.

》2+黑2卜二=4,当且仅当即犬=2，%=±近时，取等号，

故选：D.

14.若关于x的不等式2冰2—4x<ox—2只有一个整数解，则实数。的取值范围是（）

A.—<a<1B.l<a<2C.l<a<2D.-l<a<l

2

【答案】C

【解析】

【分析】分a=0,a>0,a<0讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.

【详解】不等式2a2—4x<5-2化为2al2一（4+a）x+2<0,B[J（2x-l）（ax-2）<0,

当a=0时，不等式化为（2x—1）（—2）<0,得》>；，有无数个整数解，不符合题意；

1?

当a>0时，由关于x的不等式2分2一4万<办一2只有一个整数解，可知一<一，

2a

122

不等式（2x—1）（依—2）<0的解为5Vx<,,由题意，1<,42,解得14〃<2；

当a<0时，不等式（2x—l）（dx—2）<（）的解为或》<一，有无数个整数解，不符合题意.

综上，实数a的取值范围是l«a<2.

故选：C

15.已知P（A）=0.4,P（B）=0.3,如果P（AB）=0,那么P（A._B）=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【答案】A

【解析】

【分析】由P(AB)=O可知，A,B互斥,由概率的加法公式即可得出结果.

【详解】•.♦P(AB)=O，

«•A>B互斥，

P(AJB)=尸(A)+P⑻=0.4+0.3=0.7.

故选：A.

2

16.函数/(x)=ln(x+l)—二5的零点所在的一个区间是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】B

【解析】

【分析】计算区间两端点处的函数值，只要一正一负即得。

27

【详解】7(0)=lnl—耳=一1<0,/(l)=ln2-->Oo/(0)/(l)<0o

故选：Bo

【点睛】本题考查函数的零点存在定理，连续函数/(X)满足/(。)/(加<0,则它在区间(4,打上至少有一

个零点。

17.函数y=2sin2(x-7)-l是

A.最小正周期为万奇函数B.最小正周期为万的偶函数

C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2■的偶函数

22

【答案】A

【解析】

【详解】分析：由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化筒函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇

偶性，得出结论.

兀兀冗

详解：函数y=2sin2(x-----)-1=-[1-2sin2(x------)]=-cos(2x------)=-sin2x,

442

24

故函数是最小正周期为一=n的奇函数，

2

故选A.

点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式，正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题.

t(%2)-/(Xl)

18.已知函数y=7(x-l)的图象关于x=l对称，且对)三所)，xsR,当xi,松€(-oo,0)时，----:---------

X2—%］

<0恒成立，若八2ax)勺(2N+1)对任意的xeR恒成立，则实数a的范围()

A.-72«?<V2B.a<lC.a<6D.a〉正

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件判断函数f(x)的奇偶性和单调性，结合函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化，

利用参数分离法结合基本不等式的性质进行转化求解即可.

【详解】,y=/(x-D的图象关于x=l对称，

y=/(X)的图象关于X=0对称，即fM是偶函数，

当为，x,e(-oo,0］时，LJ-、<0成立,

々一再

•・.此时“X)为减函数，则在［0,+8)上/(X)为增函数，

若f(2ax)<f\2x2+1)对任意的xeR恒成立，

等价为若/(Ilax|)<f(2x2+1)对任意的xeR恒成立，

即|2邮<2x2+l,

当％=0时，不等式成立，

当x*0时，不等式等价为2|“|<笔」=2|乂|+上，

\x\|x|

当XHO时，2|x|+*.2j2|x|x2=20,当且仅当2|月=看时取等号，

则21al<2后，HP|«|<V2,得一0<a〈血，

故选：A.

【点睛】本题主要考查不等式恒成立，利用函数奇偶性和单调性的性质，利用参数分离法以及基本不等式

的性质进行转化是解决本题的关键.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

■ji1

19.求值：2sin--82=.

6

【答案】2丘

【解析】

【分析】根据特殊三角函数值及指数运算求解即可.

113

【详解】2sin^-82=2XLX25=20.

62

故答案为：2&

20.已知一ABC中，ZA=45°,AB=272,AC=3,那么BC等于.

【答案】V5

【解析】

【分析】直接由余弦定理计算即可.

【详解】由已知得BO?=AB2+AC2—2A8-4CcosN4=8+9—2x20x3xcos450=5，

所以6C=J?.

故答案为：5

21.已知球的表面积是16%，则该球的体积为.

,321

【答案】--

3

【解析】

【分析】

设球的半径为〃代入表面积公式，可解得尸=2,代入体积公式，即可得答案.

【详解】设球的半径为r,则表面积S=4"=16万，

解得r=2，

所以体积V=乃x23=现，

333

32万

故答案为：----

3

【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基

础题.

22.学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、

92、93,则这8名学生成绩的75%分位数是.

【答案】90

【解析】

【分析】先对这8名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可.

【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：63,68,76,77,82,88,92,93,

因为8x75%=6,所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，

即（x（88+92）=90（分）.

故答案为：90.

三、解答题：本大题共3小题，每题10分，满分30分，解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

23.某市为了保障民生，防止居民住房价格过快增长，计划出台合理的房价调控政策，为此有关部门抽样

调查了100个楼盘的住房销售价格，下表是这100个楼盘住房销售均价（单位：千元/平米）的频率分布

表：

分组频数频率

[2,3)50.05

[3.4)100.10

[4,5)a0.15

15,6)240.24

[6,7)180.18

[7,8)12b

[8,9)80.08

[9,10)80.08

合计1001.00

根据该表回答以下问题：

（I）求表中b的值；

（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市居民住房销售价格在4千元/平米到8千

元/平米之间的概率.

【答案】⑴15,0.12；（2）图像见解析，0.69.

【解析】

【分析】（1）根据频率、频数、总数之间的关系即可求出b；

（2）求出［4,5）,16,7）、［7,8）这三组的频带J率即可补全频率分布直方图；该市居民住房销售价格在4千元

组距

/平米到8千元/平米之间的概率为频率直方图中［4,5）、［5,6）、［6,7）、［7,8）这四组概率之和.

详解】(1)0=100X0.15=15,Z>=124-100=0.12；

频率频率频率

⑵［4,5）的肖记为0.15+1=0.15；［6,7）的百出为0.18+1=0.18；［7,8）的工工为0.12+1=0.12；故

组距组距组距

该市居民住房销售价格在4千元/平米到8千元/平米之间的概率为：0.15+0.24+0.18+0.12=0.69.

24.如图，一ABC和一DBC所在的平面互相垂直，S.AB=BC=BD,NCBA=NO8C=60

(1)求证：直线AO工直线BC；(2)求直线AO与平面BCQ所成角的大小.

【答案】⑴证明见解析；(2)45°

【解析】

【分析】(1)先证明线面垂直，再依据线面垂直性质定理去证明直线4。J■直线BC；

(2)先找到直线AD与平面BCD所成角/ADE,再去求/AOE即可求得直线AD与平面BCD所成角的大小.

【详解】(1)证明：如图，取BC的中点E,连结AE、DE.

•••AB=BC=BD,ZCBA=ZDBC=60,

.../XABC和aDBC为全等的正三角形.

：.AE±BC,DELBC,又DE=E

...BCL平面ADE,又ADu平面AOE

•••直线直线B