江苏省淮安市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

淮安市2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号

条形码贴在答题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选

择题答案，用0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。

答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选

项中，恰有一项是符合题目要求的）

1.-5的绝对值为（）

A.-5B.5C.-工D.-1

55

2第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数

约为218360000,将218360000用科学记数法表示为（）

A.0.21836X109B.2.1386X107

C.21.836X107D.2.1836X108

3计算（N）2的结果是（）

A.x3B.x7C.x10D.?5

4如图所示的儿何体的俯视图是（）

5下列事件是必然事件的是（）

A.没有水分，种子发芽

B.如果&、人都是实数，那么a+方=H〃

C.打开电视，正在播广告

D.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上

6如图，直线“、方被直线c所截，若“〃〃，Nl=70°,则/2的度数是（）

C.100°D.110°

7如图，在△4BC中，AB的垂直平分线分别交48、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,

EC=2,则BC的长是（）

C.6D.8

8《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲

乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几

何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的工，则甲有

2

50钱，乙若得到甲所有钱的2,则乙也有50钱.问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x

3

钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（）

，（1

x+2y=50x->^y=50

A.oB.<

yx+y=502

—x+y=50

o

124

x+^y=50x-**yy=50

o

D.

-1-x+y=50

yx+y=50

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

9分解因式：a2-ab=.

10现有一组数据4、5、5、6、5、7,这组数据的众数是.

11方程2=1的解是—.

x+l

12若圆锥的侧面积为18m底面半径为3,则该圆锥的母线长是—.

13一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数，则第三边的长是—.

14如图，正比例函数y=hx和反比例函数y="图象相交于A、B两点，若点A的坐标是

x

(3,2),则点B的坐标是.

15如图，AB是。。的直径，CD是。。的弦，/。8=55°,则/。的度数是

16如图(1),△ABC和AA'B'C是两个边长不相等的等边三角形，点8'、C'、8、

C都在直线/上，ZVIBC固定不动，将AA'B'C在直线/上自左向右平移.开始时，

点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止.设B'C移动的距离为x,

两个三角形重叠部分的面积为y,y与x之间的函数关系如图(2)所示，则4ABC的边

长是

三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤）

17（1）计算：5/9-（11-1）0-sin30°；

，4x-8<0

（2）解不等式组：Ix+3、c-

18先化简，再求值：（-J-+1）+a,其中“=-4.

a-1a2-l

19已知：如图，在。A8C£>中，点E、尸分别在A。、8c上，且BE平分/ABC,EF//AB.求

证：四边形4BFE是菱形.

20市环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点

这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、。、E五组，并将统

计结果绘制了两幅不完整的统计图表.

70

D70«8

Er75Wx"Vni

请解答下列问题：

(I)m=,n=；

(2)在扇形统计图中。组对应的扇形圆心角的度数是°；

(3)若该市城区共有400个噪声测量点，请估计该市城区这一天18：00时噪声声级低

于70dB的测量点的个数.

21在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为I、2、-1.现将三张卡

片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽

出一张记下数字.

(1)第一次抽到写有负数的卡片的概率是一；

(2)用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率.

22如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50〃?，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C

的仰角为28°、铁塔底部。的俯角为40°,求铁塔CD的高度.

(参考数据：sin28°於0.47,cos28°弋0.8,tan28°^0.53,sin40°心0.64,cos40°-0.77,

tan400=*0.84)

23如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，AABC的顶点4、B、C都在格

点上(两条网格线的交点叫格点).请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕

迹(不要求写画法).

(1)将AABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为助，点C的对应点为

Ci，画出△ABiCi；

(2)连接CCi，△ACC的面积为；

(3)在线段CC上画一点。，使得△4CD的面积是△AC。面积的工.

5

：A',：岳：

二E二

：：：：C：

24如图，在Rt^ABC中，NAC3=90°,点E是BC的中点，以AC为直径的。0与AB边

交于点D,连接。£

(1)判断直线OE与的位置关系，并说明理由；

(2)若CO=3,DE=^-,求的直径.

2

25某超市经销一种商品，每件成本为50元.经市场调研，当该商品每件的销售价为60元

时,每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件.设

该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件.

(I)求y与x的函数表达式；

(2)当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？

26【知识再现】

学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形

全等(简称‘“L‘定理)”是判定直角三角形全等的特有方法.

【简单应用】

如图(1),在aABC中，NBAC=90°,AB=AC,点。、E分别在边AC、AB上.若

CE=BD,则线段4E和线段AO的数量关系是.

图(1)图⑵备用图

【拓展延伸】

在△ABC中，ZBAC=a(90°<a<180°),AB=AC=m,点。在边AC上.

(1)若点E在边AB上，且CE=8O,如图(2)所示，则线段AE与线段相等吗？

如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由.

(2)若点E在BA的延长线上，且CE=BD.试探究线段AE与线段AD的数量关系(用

含有。、机的式子表示)，并说明理由.

27如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=L2+fcr+c的图象与x轴交于点A(-3,0)

4

和点8(5,0),顶点为点。，动点M、Q在x轴上(点M在点。的左侧)，在x轴下方

作矩形MNPQ,其中MQ=3,MN=2.矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向

右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为(-6,0),当点M与点8重合时停止运动，

设运动的时间为/秒(?>0).

(1)b—,c—.

(2)连接瓦)，求直线8。的函数表达式.

(3)在矩形MNPQ运动的过程中，所在直线与该二次函数的图象交于点G,PQ所

在直线与直线80交于点H,是否存在某一时刻，使得以G、M、H、。为顶点的四边形

是面积小于10的平行四边形？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.

(4)连接P£>,过点P作PO的垂线交y轴于点R,直接写出在矩形MNPQ整个运动过

程中点R运动的路径长.

答案与解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选

项中，恰有一项是符合题目要求的）

1.-5的绝对值为（）

A.-5B.5C.-工D.-1

55

【考点】绝对值.

【答案】B

【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得

到答案.

【解答】解：-5的绝对值为5,

故选:B.

2第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数

约为218360000,将218360000用科学记数法表示为（）

A.0.21836X109B.2.1386X107

C.21.836X107D.2.1836X108

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【专题】实数；数感.

【答案】D

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中〃为整数.确定”

的值时，要看把原数变成a时.，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值》10时，〃是正整数；当原数的绝对值＜1时，〃是负整数.

【解答】解：218360000=2.1836X1（）8,

故选：D.

3计算（金）2的结果是（）

A.?B.x7C./D.%25

【考点】幕的乘方与积的乘方.

【专题】实数；运算能力.

【答案】C

【分析】直接运用哥的乘方运算法则进行计算即可.

【解答】解：（/）2=炉"2=3。.

故选：C.

4如图所示的几何体的俯视图是（）

【考点】简单几何体的三视图.

【专题】尺规作图；空间观念.

【答案】A

【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可.

【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：

故选：A.

5下列事件是必然事件的是（)

A.没有水分，种子发芽

B.如果a、b都是实数，那么a+6=6+a

C.打开电视，正在播广告

D.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上

【考点】随机事件.

【专题】概率及其应用；数据分析观念.

【答案】B

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

【解答】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；

B、如果“、6都是实数，那么a+6=6+a,是必然事件，本选项符合题意；

C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；

。、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；

故选:B.

6如图，直线“、6被直线c所截，若21=70°,则N2的度数是（）

C.100°D.110°

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】D

【分析】根据邻补角得出/3的度数，进而利用平行线的性质解答即可.

1

3

2

b

【解答】解:

・21=70°,

.••Z3=180°-Zl=180°-70°=110°,

'：a//b,

二/2=/3=110°,

故选：D.

7如图，在AABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点。、E,连接AE,若AE=4,

EC=2,则8c的长是（）

【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】C

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA=4,结合图形计算，得到答案.

【解答】解：是AB的垂直平分线，AE=4,

：.EB=EA=4,

：.BC=EB+EC=4+2=6,

故选：C.

8《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲

乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几

何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的工，则甲有

2

50钱，乙若得到甲所有钱的2,则乙也有50钱.问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x

3

钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（）

（1

x+2y=50x->^y=50

A.oB.,

yx+y=502

—x+y=50

o

12ye

x+^y=50x-**yy=50

o

c.D.

-yx+y=50yx+y=50

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；推理能力.

【答案】B

【分析】根据“甲若得到乙所有钱的工，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的2,则乙也

23

有50钱”，列出二元一次方程组解答即可.

【解答】解：设甲、乙的持钱数分别为x,y,

（1_

x+yy=5c0n

根据题意可得：｛,

—x+y=50

o

故选:B.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9分解因式：a2-ab—.

【考点】因式分解-提公因式法.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接把公因式〃提出来即可.

【解答】解：«2-ab=a（a-b）.

10现有一组数据4、5、5、6、5、1,这组数据的众数是—.

【考点】众数.

【专题】统计的应用；数据分析观念.

【答案】5.

【分析】根据众数的意义求解即可.

【解答】解：这组数据中出现次数最多的是5,共出现3次，因此众数是5,

故答案为：5.

11方程N_=i的解是—.

x+l

【考点】解分式方程.

【专题】分式；运算能力.

【答案】X=l.

【分析】方程两边都乘以X+1得出2=x+l,求出方程的解，再进检验即可.

【解答】解：-2-=1,

X+1

方程两边都乘以X+1,得2=x+l,

解得：x=l,

检验：当x=l时，x+IWO,所以x=l是原方程的解，

即原方程的解是x=l,

故答案为：X—1.

12若圆锥的侧面积为18m底面半径为3,则该圆锥的母线长是—.

【考点】圆锥的计算.

【专题】与圆有关的计算；推理能力.

【答案】6.

【分析】圆锥的侧面积=底面周长X母线长+2.

【解答】解：底面半径为3,则底面周长=6n,

设圆锥的母线长为x,

圆锥的侧面积=』＞X6nx=18n.

2

解得：x=6,

故答案为：6.

13一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数，则第三边的长是—.

【考点】三角形三边关系.

【专题】三角形；应用意识.

【答案】4.

【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条

件，求得第三边的值.

【解答】解：设第三边为根据三角形的三边关系知，

4-1＜«＜4+1,即3＜。＜5,

又•.•第三边的长是偶数，

.'.a为4.

故答案为：4.

14如图，正比例函数尸kix和反比例函数尸丝图象相交于4、8两点，若点A的坐标是

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】反比例函数及其应用；应用意识.

【答案】(-3,-2).

【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点

对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可.

【解答】解：•••正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

B两点关于原点对称，

的坐标为(3,2),

.♦.8的坐标为(-3,-2).

故答案为：(-3,-2).

15如图，AB是。。的直径，CD是。。的弦，NC48=55°,则/。的度数是.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】35°.

【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出/ACB=90°,再结合图形由直角三角形的

性质得到NB=90°-NCAB=35°,进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出

ZB=35°.

【解答】解：是。0的直径，

AZACB=9Q°,

VZCAB=55°,

AZB=90°-NCA8=35°,

.•./£>=NB=35°.

故答案为：35°.

16如图(1),△ABC和△/!'B'C是两个边长不相等的等边三角形，点8'、C'、8、

C都在直线/上，△ABC固定不动，将△4'B'C在直线/上自左向右平移.开始时，

点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止.设4A'B'C'移动的距离为x,

两个三角形重叠部分的面积为》y与x之间的函数关系如图(2)所示，则△ABC的边

长是—.

【考点】动点问题的函数图象；解直角三角形.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】5.

【分析】在点夕到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点8’到达B点以后，且点C

到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在8到达C之前，重叠部分的面积开始变小，

由此可得出的长度为a,BC的长度为4+3,再根据aABC的面积即可列出关于a的

方程，求出a即可.

【解答】解：当点3,移动到点B时，重叠部分的面积不再变化，

根据图象可知S—，B，C，=百，

过点A作A"J"8'C',

则A'H为△4'B'C的高,

・・・△AFC是等边三角形，

・・・NABH=60°,

；.sin60。=A'H=2^1,

NB'2

."7/=返a'

2a_

.c1V3a2r~

=yxa，a=a

''SAAZBZC,T-VW3'

解得a--2（舍）或a—2,

当点C移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，

根据图像可知8c=4+3=2+3=5,

/XABC的边长是5,

故答案为5.

三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤）

17（1）计算：-（IT-1）0-sin30°；

<4x-8<0

（2）解不等式组：x+3、c.

2

【考点】实数的运算；零指数嘉；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值.

【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】（1）3：（2）1<XW2.

2

【分析】（1）先计算算术平方根、零指数黑、代入三角函数值，再计算加减即可；

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、

大大小小找不到确定不等式组的解集.

【解答】解：（1）原式=3-1-1=1；

22

(2)解不等式4x-8W0,得：xW2,

解不等式2里>3-x,得：x>\,

2

则不等式组的解集为l<x<2.

18先化简，再求值：(_1_+1)+_i,其中a=-4.

2

a-1a-l

【考点】分式的化简求值.

【专题】分式；运算能力.

【答案】a+1,-3.

【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式

子即可解答本题.

【解答］解：(,+1)

a-1a2-l

--

-_-1-+-a---1■--(-a-+-1-)--(-a--1-)-

a-la

—=—a■-a-+-1-

1a

—a+\,

当a=-4时，原式=-4+1=-3.

19已知：如图，在oABC£>中，点E、尸分别在A。、BC上，且BE平分NA8C,EF//AB.求

证：四边形ABFE是菱形.

【考点】平行四边形的性质；菱形的判定.

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】见解析过程.

【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得AB=

AE,可得结论.

【解答】证明：•..四边形ABC。是平行四边形，

C.AD//BC,

y.'：EF//AB,

...四边形A8FE是平行四边形,

,：BE平分乙4BC,

NABE=ZFBE,

■:AD//BC,

NAEB=NEBF,

：.NABE=NAEB,

：.AB=AE,

平行四边形A8FE是菱形.

20市环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点

这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成4、B、C、D、E五组，并将统

计结果绘制了两幅不完整的统计图表.

组别噪声声级频数

x/dB

A55«4

60

B60«10

65

C65«m

70

D70«8

75

E754Vn

80

请解答下列问题：

(1)m=,n—___；

(2)在扇形统计图中。组对应的扇形圆心角的度数是°；

(3)若该市城区共有400个噪声测量点，请估计该市城区这一天18：00时噪声声级低

于70dB的测量点的个数.

【考点】用样本估计总体：频数(率)分布表；扇形统计图.

【专题】统计的应用；数据分析观念.

【答案】(1)12、6；(2)72；(3)260.

【分析】(1)先由8组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量乘以C这组

对应的百分比求出m的值，继而根据5组的频数之和等于样本容量可得〃的值；

(2)用360°乘以。组频数所占比例即可；

(3)用总个数乘以样本中噪声声级低于7(WB的测量点的个数所占比例即可.

【解答】解：(1)•.•样本容量为10・25%=40,

；.m=40X30%=12,

：.n=40-(4+10+12+8)=6,

故答案为：12、6；

(2)在扇形统计图中。组对应的扇形圆心角的度数是360°xJ_=72°,

40

故答案为：72；

(3)估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于7(WB的测量点的个数为400X竺1”12

40

=260(个).

21在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、-1.现将三张卡

片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽

出一张记下数字.

(1)第一次抽到写有负数的卡片的概率是一；

(2)用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率.

【考点】列表法与树状图法.

【专题】概率及其应用；数据分析观念.

【答案】(1)1;(2).1.

39

【分析】（1）用负数的个数除以数字的总个数即可；

（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解

即可.

【解答】解：（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是工,

3

故答案为：

3

（2）画树状图为:

开始

-112

共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，

所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为名.

9

22如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CC相距50〃?，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C

的仰角为28°、铁塔底部。的俯角为40°,求铁塔CO的高度.

（参考数据：sin28°=0.47，cos28°-0.8,tan28°-0.53,sin40°«=0.64,cos40°~0.77,

tan400—.84)

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】约为68.5m.

【分析】过A作AELCQ,垂足为E.分别在RtZXAEC和RtZ\AEZ）中，由锐角三角函数

定义求出CE和OE的长，然后相加即可.

【解答】解：如图，过A作AELCD垂足为£

E

D

则AE=50〃z,

在RtZkAEC中，CE=AE・tan28°七50X0.53=26.5(/»),

在RtZXAEO中，Z)E=AE・tan40°g50X0.84=42(加)，

ACZ)=CE+D£^26.5+42=68.5(/«).

答：铁塔C£＞的高度约为68.5%

23如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，AABC的顶点A、B、C都在格

点上(两条网格线的交点叫格点).请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕

迹(不要求写画法).

(1)将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为Bi，点、C的对应点为

Ci，回出△ABCi；

(2)连接CCi，△ACCi的面积为；

(3)在线段CCi上画一点。，使得的面积是△ACCi面积的」.

5

'：A\i\B：

【考点】作图-旋转变换.

【专题】作图题；网格型；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似;

应用意识.

【答案】(1)见解答；

(2)且

2

(3)见解答.

【分析】(I)将4、8、C三点分别绕点A按顺时针方向旋转90。画出依次连接即可;

(2)勾股定理求出AC,由面积公式即可得到答案；

(3)利用相似构造△CFOs/XcEO即可.

【解答】解：(1)如图：

图中△ABiCi即为要求所作三角形；

(2)•.•*=7]2+22=遥,由旋转旋转知AC=ACi，

.•.△ACCi的面积为工X4CXACI=5,

22

故答案为：竺；

2

(3)连接EF交CCi于。，即为所求点。，理由如下:

'：CF//C\E,

:./\CFDs/\C\ED,

.CD=CF

JD;CRT

：.CD=^CCi,

5

：./^ACD的面积=ZSACC面积的」.

24如图，在RtAABC中，N4C8=90°,点E是BC的中点，以AC为直径的OO与AB边

交于点。，连接。£

(1)判断直线。E与。0的位置关系，并说明理由;

(2)若CD=3,OE=互，求。。的直径.

2

【考点】圆周角定理；直线与圆的位置关系.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】（1）证明见解析部分.

⑵里

4

【分析】（1）连接。0,如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由NBDC=90°,E

为BC的中点得到OE=CE=BE,则利用等腰三角形的性质得Z0DC

=N0CD,由于NOCD+/£>CE=/AC3=90°,所以NEZ）C+/O£>C=90°,即NE。。

=90°,于是根据切线的判定定理即可得到OE与相切；

（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接£>0,如图，

:NBDC=90°,£为BC的中点，

：.DE=CE=BE,

：.NEDC=NECD,

yL'：OD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

而NOC£»+NZ)CE=NACB=90°,

：.ZEDC+ZODC=90Q,即/E£>O=90°,

：.DE1OD,

.♦.QE与。。相切;

（2）由（1）得，ZCDB=90°,

'：CE=EB,

：.DE=1.BC,

2

：.BC=5,

BD=VBC2-CD2=V52-32=4,

•.,/BC4=N8»C=90°,4B=NB,

:.△BCAsABDC,

•AC=BC,

"CDBD'

•.•一A—-C_5,

34

.♦.AC=正，

4

直径的长为生.

4

25某超市经销一种商品，每件成本为50元.经市场调研，当该商品每件的销售价为60元

时,每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件.设

该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为），件.

（1）求y与x的函数表达式；

（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【答案】（1）y与x的函数表达式为：y=-10?+1400%-45000：

（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元.

【分析】（1）根据等量关系“利润=（售价-进价）X销量”列出函数表达式即可.

（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值.

【解答】解：（1）根据题意，y=（x-50）[300-10（x-60）],

二），与x的函数表达式为：y=-10?+1400A--45000；

（2）由（1）知：y=-10/+1400x-45000,

；.y=-10（x-70）2+4000,

每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元.

26【知识再现】

学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形

全等(简称‘HL'定理)”是判定直角三角形全等的特有方法.

【简单应用】

如图(1),在△ABC中，ZBAC=90Q,AB=AC,点D、E分别在边AC、AB上.若

CE=BD,则线段AE和线段4。的数量关系是.

在△ABC中，ZBAC=a(90°<a<180°),AB=AC=m,点。在边AC上.

(1)若点E在边AB上，且CE=B£),如图(2)所示，则线段4E与线段相等吗？

如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由.

(2)若点E在血的延长线上，且CE=BD试探究线段AE与线段的数量关系(用

含有a、w的式子表示)，并说明理由.

【考点】三角形综合题.

【专题】几何综合题；推理能力.

【答案】【简单应用】结论：AE=AD,证明见解析部分.

【拓展延伸】①结论：AE=AD,证明见解析部分.

②结论：AE-AD=2AC-cos(180°-a).证明见解析部分.

【分析】【简单应用】证明RtAABD^RtAACE(HL),可得结论.

【拓展延伸】①结论：AE=AD.如图(2)中，过点C作CMLBA交BA的延长线于M,

过点N作BMLC4交C4的延长线于N.证明△C4M名△BAN(A4S),推出

AM=AN,证明RtACME^RtAB^D(HL),推出EM=DN,可得结论.

②如图(3)中，结论：AE-AD=2m'cos(180°-a).在AB上取一点E',使得BO

=CE',则AO=AE'.过点C作CT_LAE于T.证明7E=TE',求出AT,可得结论.

【解答】【简单应用】解：如图(1)中，结论：AE=AD.

A

E.,D

图⑴

理由：；/A=/A=90°,AB=AC,BD=CE,

.".RtAABD^RtAACE(bL),

：.AD=AE.

故答案为：AE=AD.

图⑵

理由：如图(2)中，过点C作CM_L8A交BA的延长线于M,过点N作BN_LC4交CA

的延长线于N.

:NM=NN=90°,NCAM=NBAN,CA=BA,

.♦.△CAM丝△BAN(A4S),

：.CM=BN,AM=AN,

'：ZM=ZN=90a,CE=BD,CM=NM,

/.RtACME^RtABND(HL),

：.EM=DN,

\"AM=AN,

：.AE=AD.

②如图(3)中，结论：AE-AD=2wcos(180°-a).

E

BC

图(3)

理由：在A8上取一点E',使得8Z)=CE',则AQ=AE'.过点C作CTL4E于T.

CE'=BD,CE=BD,

：.CE=CE',

'CCTLEE',

：.ET=TE',

AT=AC*cos(1800-a)—m'cos(180°-a),

：.AE-AD=AE-AE'=2AT=2，*・cos(180°-a).

27如图，在平面直角坐标系中，二次函数>=12+以+'的图象与x轴交于点A(-3,0)

4

和点B(5,0),顶点为点。，动点V、Q在x轴上(点M在点。的左侧)，在x轴下方

作矩形MNPQ,其中MQ=3,MN=2.矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向

右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为(-6,0),当点M与点B重合时停止运动，

设运动的时间为/秒(/>0).

(1)h=,c=.

(2)连接B。，求直线80的函数表达式.

(3)在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G,PQ所

在直线与直线80交于点”，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、。为顶点的四边形

是面积小于10的平行四边形？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.

(4)连接P£>,过点P作PO的垂线交y轴于点R,直接写出在矩形MNPQ整个运动过

程中点R运动的路径长.

【专题】代数几何综合题；应用意识.

【答案】(1)二，造；

24

(2)y=x-5；

(3)存在，f=5或1=5+2加；

⑷旦

4

【分析】(1)把A(-3,0)、B(5,0)代入y=2f+6x+c,列方程组求出b,c的值；

4

(2)将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点。的坐标，再用待定系数法

求直线8。的函数表达式；

(3)先由QM・QH<10,且QHW0,确定f的取值范围，再用含r的代数式分别表示点

G、点，的坐标，由MG=，。列方程求出f的值；

(4)过点尸作直线x=l的垂线，垂足为点F,交y轴于点G,由△PRGS^DPF,确定

点R的最低点和最高点的坐标，再求出点R运动的路径长.

【解答】解：(1)把A(-3,0)、B(5,0)代入

4

’9(1

7-3b+c=0b=-y

得“，解得，一

25_15

_^_+5b+c=0c=-r

44

故答案为：二，」立.

24

(2)Vy=-kv2__krA(JC-1)2-4,

4244

,该抛物线的顶点坐标为。(1,-4)；

设直线BD的函数表达式为y=mx+nf

则（5mS=0,解得卜=1,

lm+n=-4ln=-5

•»y=x~5.

（3）存在，如图1、图2.

由题意得，M（r-6,0）,Q（r-3,0）,

：.G（t-6,丝），HCt-3,r-8）；

424

且QHKO,

^