六年级下册数学-分类讨论（解析版）

分类讨论

一、知识点

1.问题中的条件是分类给出的

2.解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的

3.涉及几何问题时，由几何元素的形状负位置的变化需要分类讨论的

4.问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的

二、学习目标

1.我能够根据题目中的信息找到分类的方法。

2.我能够了解〃分类求和”的思想。

3.我能够准确分类并计算出每一类的数量。

三、课前练习

1.有A,B,C,D四种不同颜色的球各一个，从中选出一些放入一个袋中，至少放1个，最多

放2个，一共有多少种不同的放法？

【答案】：10种

【解析】：

当袋中放1个时，有4种放法；

当袋中放2个时，有C：=6（种）放法;

共有4+6=10（种）

2.如图，一共有多少个正方形？

【答案】：55个

【解析】：

52+42+32+22+12=55（个）

四、典型例题

例题1

如图，把A,B,C,D,E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种

颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么，这幅图一共有多少种不同的着色方法？

【答案】：96

有4X3X2X2X2=96（种）

练习1

如图所示，一个环形花坛分成A,B,C,D四块。现有4种不同的花供选种，要求每块里种

一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为多少种？。

【答案】：84

【解析】：

本题按A,B,C,D的顺序种花，

若A、C为同一种花，则有4X3X1X3=36（种）

若A、C为不同种花，则有4X3X2X2=48（种）

共有36+48=84（种）不同的种法。

例题2

在1,2,3,4,…，100这100个自然数中任取两个不同的数，使得取出的两数之和是6

的倍数，有多少种不同的取法？

【答案】：817

【解析】：

根据余数的可加性：

余1和余5搭配,有17X16=272（种）；

余2和余4搭配，有17X17=289（种）；

余3的数中任取两个，有。［=136（种）；

6的倍数任取两个,有G：=120（种）o

一共有272+289+136+120=817（种）

练习2

从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出7个数，使得它们的和是3的倍数，共有多少种不

同选法？

【答案】：12

【解析】：

因为1+2+3+…+9=(1+9)4-2X9=45,所以这9个数的和是3的倍数，因此，只需要

令剩下2个数之和为3的倍数。

①从3、6、9中任选2个有3种不同选法。

②从1、2、4、5、7、8中选2个，其和为3的倍数的有(1,2)、(1,5)、(1,8)、

(2,4)、(2,7)、(4,5)、(4,8)、(5,7)、(7,8),共9种不同选法。

一共有9+3=12(种)选法。

例题3

图中有多少个三角形？

A

【答案】15

【解析】：

这样的问题应该通过分类计数求解(见下图)。此题中的三角形可先分成含顶点C的和不含

顶点C的两大类。含顶点C的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在线段BD上的两小类。

D

BCB

所以原图三角形有：（3+2+1）+（3+2+1）+3=15（个）

练习3

数一数，图中有多少个三角形?

【答案】：56

【解析】：

单个的小三角形有：8X3=24（个）；

两个小三角形组成的有：4X3+4=16（个）；

四个小三角形组成的有：4X3=12（个）；

八个小三角形组成的有4个；

一共有24+16+12+4=56（个）

例题4

如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形,

你可以得到多少个正方形？（正方形的顶点在钉子上）

【答案】：20

【解析】：

先看横着的正方形，可以围出9+4+1=14（个）正方形；再看斜着的正方形，可以围出4

个正方形；最后一种方式，可以围出2个正方形。这样一共可以围出14+4+2=20（个）

正方形。

练习4

下图是一个4X4点阵，同一行（列）相邻两个点的距离均为1。以点阵中的三个点为顶点构成

三角形，其中面积为2的三角形有个

【答案】：64

【解析】：

根据题意，面积为2的三角形底和高都是2

则有4X2X2X4=64（个）

例题5

一个房间有50盏电灯，从1开始依次编号，每个电灯由一个开关控制，每拉动一次开关

则改变该灯的亮灭状态，一开始所有灯都灭着。有50个人，也从1开始依次编号，如果走进

房间后每个人拉动编号是自己编号约数的所有灯一次。那么到最后一个人拉完后，有_____盏

灯亮着。

【答案】：33

【解析】：

每盏灯被自己的所有倍数拉一遍，分情况讨论：

只有一倍的是26到50号，所以被拉1次，亮。

有两个倍数的是17到25号，所以被拉2次，不亮。

有三个倍数的是13到16号，所以被拉3次，亮。

有四个倍数的是11和12号，所以被拉4次，不亮。

有五个倍数的是9和10号，所以被拉5次，亮。

有六个倍数的是8号，所以被拉6次，不亮。

7号灯有7个倍数，亮。

6号灯有8个倍数，不亮。

5号灯有10个倍数，不亮。

4号灯有12个倍数，不亮。

3号灯有16个倍数，不亮。

2号灯有25个倍数，亮。

1号灯被所有人拉过，不亮。

所以，亮着的灯的编号依次为2,7,9,10,13~16,26~50,共有33盏。

例题6

数字和能被7整除的三位数有个。

【答案】：126

【解析】：

三位数的数字和最大为27,27以内7的倍数有7、14、21,可以按照数字和为7、14、21进

行分类讨论。

（1）和为7的有28个:

700（1个）；

610（4个），520（4个），430（4个）；

511（3个），421（6个），331（3个），322（3个）；

（2）和为14的有70个:

950（4个），941（6个），932（6个）；

860（4个），851（6个），842（6个），833（3个）；

770（2个），761（6个）,752（6个），743（6个）；

662（3个），653（6个）,644（3个）；

554（3个）；

（3）和为21的有28个:

993（3个），984（6个），975（6个），966（3个）；

885（3个），876（6个）；

777（1个）；

一共28+70+28=126（个）

选讲题

将0~9这十个数字分别填入下面算式的口内，每个数字只能用一次；那么满足条件的正确

填法共有种。

□+□□+□□□=□□□□

【答案】：60

【解析】：

可将横式转化为竖式，如下图，先利用黄金三角填出1、0、9根据弃九法（或者说四大同余

定理之一），等式两边的数除以9的余数之和应该相同，即等式两边各位数字之和应该相差

9no

g

ef

+9cd

10ab

设A=9+c+d+e+f+g,B=l+0+a+bo所以，

A+B=(0+9)X104-2=45

A—B=9n

因为A+B与A-B同奇偶，所以A-B不可能等于偶数，可以是9,或者27。

当A—B=9时，A=27,B=18,则a+b=17,不成立。

当A-B=27时，A=36,B=9,则a+b=8,成立。

所以，a,b可能为(2,6)(3,5)(6,2)(5,3)四种。

当(a,b)=(2,6)则有e+c=ll=3+8=4+7；

当(a,b)=(3,5)则有e+c=12=4+8：

当(a,b)=(6,2)则有e+c=15=7+8；

当(a,b)=(5,3)则有e+c=14=6+8；

共分5类，每一类中e与c都可以交换，g、f、d可以交换排列。

所以每一类有&x&=12（种）。共有5X12=60（种）

五、课后作业

1.在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为

一组，这样的组共有个。

【答案】：4

【解析】：

5个数被9除余数分别为6、0、2、3、5,和除以9余7,有：

(2,5)；(0,2,5)；(3,6,2,5)；(0,3,6,2,5),共4组。

2.数数右图中共有个三角形。

【答案】：10

【解析】：

整个图形是一个梯形，一共分成了7块，单独一块的三角形有4个，两块组成的三角形有3

个，三块组成的三角形有2个，四块组成的三角形有1个，一共有10个。

3.有一类整数具有能够被白身个位数字整除的性质，(例如，整数64可被它的个位数字4整

除)，则在10到50之间有个数具有这种性质。

【答案】：17

【解析】：

按个位数为1,2,……，9分类，共有4+4+1+2+4+1+0+1+0=17(个)

4,下图是一个3义3点阵，同一行（列）相邻两个点的距离均为1。以点阵中的三个点为顶点

构成三角形，其中面积为1的形状不同的三角形有种。

【答案】：3

【解析】：

三角形的面积是1，所以底和高只能为1和2的组合。有以下三种不同的形状：

N/zx

5.下图是由9个点组成的，那么以图中4个点为顶点的正方形有个，以图中3个

点为顶点的三角形有个。

【答案】：6,76

【解析】：

假设右图中相邻两点的距离为1,那么边长为1的正方形有4个，边长为2的正方形有1

个，边长介于1与2之间的正方形有1个，所以共有6个正方形；

右图中共有C；=84（个）三点组，其中有8组是三点共线，无法组成三角形，其它的76组

可以组成76个三角形

6.用0至5这6个数字可以组成个能被5整除且各位数字互不相同的五位数。

【答案】：216

【解析】：

当个位数字为0时，其他数位数字可以任意取，共有5X4X3X2=120（个）

当个位数字为5时，共有4X4X3X2=96（个）

因此共有120+96=216（个）能被5整除且各位数字互不相同的五位数

7.本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码。这本书共有页。

【答案】：697

【解析】：

1到9页共有9个数码；

10到99页共有2X90=180（个）数码；

100到999页共有：3X900=2700（个）数码。

1983-189=1794（个），17944-3=598（页）

所以共有：99+598=697（页）

8.一次，齐王与大将田忌赛马。每人有四匹马，分为四等。田忌知道齐王这次比赛，马的出

场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接

着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自

己的四等。田忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。

【答案】：12

【解析】：

第一场不管怎么样田忌都必输，田忌只可能在接下来的三场里赢得比赛，若三场全胜，则只

有一种出场方法；即4123

若胜两场，则又分为三种情况：

二，三两场胜，此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马，田忌的二等马赢齐王的三等

马，只有这一种方法；即3124

二，四两场胜，此时有三种方法；即4132,3142,2143

三，四两场胜,此时有七种方法；即3412,4312,2413,4213,3421,4321,1423

所以一共有1+1+3+7=12（种）方法。

9.有5分、1角、5角、1元的硬币各一枚，一共可以