人教版八年级数学上册 专题13.1-13.2 轴对称及画轴对称图讲练（原卷版）

专题13.1-13.2轴对称及画轴对称图典例体系一、知识点1、轴对称（1）.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这（2）.两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合；（3）.轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。（4）.垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（5）.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；对称的两个图形是全等的；（6）.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；（7）.垂直平分线的尺规作图2、作轴对称图形（1）.作轴对称图形：分别作出原图形中某些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；（注意取特殊点）（2）.点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为：（x,-y）;点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为：（-x,y）;二、考点点拨与训练考点1：轴对称图形的识别典例：（2020·江苏新沂初三一模）剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．方法或规律点拨本题考查了轴对称图形，理解其概念是判断轴对称图形的关键.巩固练习1．（2020·福建宁德初一期末）下列图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2020·山东济南初一期末）汉字书法博大精深，下列汉字“行”的不同书写字体中，是轴对称图形的是()A． B． C． D．3．（2020·河南郏县初一期末）以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（）A． B． C． D．4．（2020·山东槐荫初一期末）如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是()A． B．C． D．5．（2020·河南罗山初二期末）下列全国志愿者服务标识的设计图中，是轴对称图形的是（）A．B． C． D．6．（2020·全国初二课时练习）我们理应对我们所得的一切心怀感恩，这是我们强大的基础.少年强则国强，中国强则中国少年更强，中国强就是因为少年强.为了庆祝祖国生日小强做了以下几幅剪纸作品，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．考点2：与线段垂直平分线相关的尺规作图典例：（2020·广东禅城初一期末）已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．（1）尺规作图：在AB边上找一点D使得DB＝DC（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）求∠ADC．方法或规律点拨本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的画法是解题关键．巩固练习1．（2020·山东岚山初二期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝70°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°2．（2022·河南伊川初二期末）如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60°C．55° D．45°3．（2020·重庆南岸初二期末）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC边上确定一点P，使得PA+PC=BC，则下列四种不同的作图方法中，正确的是（）A．B．C． D．4．（2020·山东中区济南外国语学校初一期末）如图，长方形ABCD中∠DAC＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于()A．34° B．44° C．56° D．68°5．（2020·浙江婺城初三三模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，交于点，连接，若的周长为，，则的周长为（）A． B． C． D．6．（2020·全国初二课时练习）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（）A．7 B．8 C．12 D．137．（2022·云南初三二模）如图，分别以线段的端点和为圆心大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线，在直线上取一点，使得，延长至，的度数为__________．8．（2020·四川成华初一期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若，的周长为13cm，则的周长为________.9．（2020·陕西陈仓初一期末）如图，在的边上求作点，做得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）10．（2020·福建宁德初一期末）如图，已知△ABC，点P为BC上一点．（1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若AP平分∠BAC，请在（1）的基础上说明PE=AF．11．（2020·深圳市龙岗区智民实验学校初一期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，用圆规分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，产生如图所示的两个交点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E．（1）根据作法判断直线DE为线段AC的线；（2）连接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度数．考点3：线段垂直平分线的性质典例：（2020·全国初二课时练习）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．方法或规律点拨本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．巩固练习1．（2020·甘肃兰州初二期末）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm2．（2020·山东章丘初一期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm3．（2020·浙江温岭初三一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝_____．4．（2020·安徽砀山初二期末）如图，在△ABC中，AC＝5cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8cm，则线段BC的长为________cm.5．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC中，∠BAC＝108°，E，G分别为AB，AC中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°．6．（2020·山东商河初二期末）如图，已知∠BAC=60°,∠B=80°,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.(1)求∠BAD的度数；(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.考点4：线段垂直平分线的判定典例：（2020·山东文登初一期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．方法或规律点拨本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.巩固练习1．（2020·陕西渭滨初一期末）如图，点A,B,C表示某公司三个车间的位置，现在要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在（）A．△ABC三边的中线的交点上 B．△ABC三内角平分线的交点上C．△ABC三内高线的交点上 D．△ABC三边垂直平分线的交点上2．（2020·湖北宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（）．A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线3．（2020·河北迁西初三二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D①AD是∠BAC的平分线；②CD是△ADC的高；③点D在AB的垂直平分线上；④∠ADC=61°．其中正确的有（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022·湖北十堰初二期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．（2020·北京平谷初三一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG6．（2020·咸阳百灵学校初二月考）如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（）A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定7．（2020·山东郓城初二期末）已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。8．（2020·全国初二课时练习）如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝DF.求证：AD垂直平分EF.9．（2020·北京朝阳初二期末）如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．考点5：图形折叠问题（轴对称图形性质）典例1：（2020·湖北阳新初二期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，求∠MAN的度数是多少？方法或规律点拨本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．典例2：（2020·四川龙泉驿�初一期末）如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数_____度，再沿BF折叠成图c．则图中的∠CFE的度数是_____度．方法或规律点拨此题主要考查了平行线的性质和图形的折叠，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，折叠前后角的度数不变．巩固练习1．（2020·山东高唐初二期中）如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△，与AB交于点E，若∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．30° B．20° C．35° D．55°2．（2020·山东高唐初二期中）如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△，与AB交于点E，若∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．30° B．20° C．35° D．55°3．（2020·湖南渌口初一期末）如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,与对角线交与点Q,点P是直线MN上任意一点,下列判断错误的是()A．AQ=BQ B．AP=BP C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠NMB4．（2020·河南罗山初二期末）如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的△ADH中(

)A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD5．（2020·山东兖州初一期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时人射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的()A．A点 B．B点 C．C点 D．D点6．（2020·江苏锡山初一期末）如图，矩形纸片ABCD沿着BE折叠，使C、D两点分别落在C1、D1处，若∠ABC1＝45°，则∠ABE的度数为（）A．22.5° B．21.5° C．22° D．21°7．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF．图中∠EAF的度数为（）A．113° B．124° C．129° D．134°8．（2020·陕西陈仓初一期末）如图，是一个三角形纸片，其中，，沿折叠纸片，使点落在点处，则_____．9．（2020·四川龙泉驿初一期末）如图有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝4cm，BC＝8cm，把纸片的部分折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为_____．10．（2020·四川内江初一期末）四边形ABCD中，，，点M、N分别在AB、BC上，将沿MN翻折，得．若，，则_____°；11．（2020·山东郓城初一期末）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为________．12．（2020·湖南渌口初一期末）如图，点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N．（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；（2）若∠CPD=131°，∠C=21°，∠D=28°，求∠MPN．考点6：轴对称与图形坐标典例：（2020·山东岚山初二期末）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；（2）写出点A的对应点A1的坐标是，点B的对应点B1的坐标是，点C的对应点C1的坐标是；（3）请直接写出第四象限内以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标___________．方法或规律点拨本题主要考查了运用轴对称变换进行作图、坐标确定位置的运用以及全等三角形的性质，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．巩固练习1．（2022·河南伊川初二期末）点关于x轴的对称点的坐标是（）A．（3,2） B．（-3,2） C．（-3,-2） D．（3,-2）2．（2020·吉林舒兰初二期末）在平面直角坐标系中，点A（1