潍坊市重点中学2023年高一上数学期末统考试题含解析

潍坊市重点中学2023年高一上数学期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．“角为第二象限角”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2．幂函数f（x）的图象过点（4，2），那么f（）的值为（）A. B.64C.2 D.3．若点在角的终边上，则（）A. B.C. D.4．已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.5．某校早上6：30开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上6：00~6：30之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差5分钟到校的概率为（）A. B.C. D.6．已知函数是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则A. B.C. D.7．长方体中，，，E为中点，则异面直线与CE所成角为（）A. B.C. D.8．函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”下列命题：①“囧函数”的值域为R；②“囧函数”在上单调递增；③“囧函数”的图象关于轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线至少有一个交点．正确命题的个数为A1 B.2C.3 D.49．已知函数若，则实数的值是（）A.1 B.2C.3 D.410．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知A，B，C为的内角.（1）若，求的取值范围；（2）求证：；（3）设，且，，，求证：12．已知函数，则函数的值域为______13．在直角坐标系内，已知是圆上一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使，其中的坐标分别为，则实数的取值集合为__________14．若f(x)为偶函数，且当x≤0时，，则不等式＞的解集______.15．的值为________16．写出一个周期为且值域为的函数解析式：_________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，正方体的棱长为1，CB′∩BC′＝O，求：（1）AO与A′C′所成角的度数；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC垂直.18．已知函数，其中.（1）若是周期为的偶函数，求及的值.（2）若在上是增函数，求的最大值.（3）当时，将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有10个零点，求b的最小值.19．已知函数（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值20．已知集合，.（1）若，求实数t的取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围21．已知函数，（1）试比较与的大小关系，并给出证明；（2）解方程：；（3）求函数，（是实数）的最小值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当角为第二象限角时，，所以，故充分；当时，或，所以在第二象限或在第三象限，故不必要；故选：B2、A【解析】设出幂函数，求出幂函数代入即可求解.【详解】设幂函数为，且图象过点（4，2），解得，所以，，故选：A【点睛】本题考查幂函数，需掌握幂函数的定义，属于基础题.3、A【解析】利用三角函数的定义可求得结果.【详解】由三角函数定义可得.故选：A.4、C【解析】根据题意，结合Venn图与集合间的基本运算，即可求解.【详解】根据题意，易知图中阴影部分所表示.故选：C.5、A【解析】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第分钟，第分钟，由题意可画出图形，利用几何概型中面积比即可求解.【详解】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第分钟，第分钟，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个正方形区域，对应的面积，则小张与小王至少相差5分钟到校事件(如阴影部分)则符合题意的区域，由几何概型可知小张与小王至少相差5分钟到校的概率为.故选：A【点睛】本题考查了几何概率模型，解题的关键是画出满足条件的区域，属于基础题.6、A【解析】依题意有.7、C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角【详解】解：长方体中，，，为中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，设异面直线与所成角为，则，，异面直线与所成角为故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题8、B【解析】根据“囧函数”的定义结合反比例函数的性质即可判断①，根据复合函数的单调性即可②，根据奇偶性的定义即可判断③，根据零点的定义及反比例函数的性质即可判断④，数形结合即可判断⑤.【详解】解：由题设可知函数的函数值不会取到0，故命题①是错误的；当时，函数是单调递增函数，故“囧函数”在上单调递减，因此命题②是错误的；函数的定义域为，因为，所以函数是偶函数，因此其图象关于轴对称，命题③是真命题；因当时函数恒不为零，即没有零点，故命题④是错误的；作出的大致图象，如图，在四个象限都有图象，故直线与函数的图象至少有一个交点，因此命题⑤也是真命题综上命题③⑤是正确的，其它都是错误的.故选：B9、B【解析】根据分段函数分段处理的原则，求出，代入即可求解.【详解】由题意可知，，，又因为，所以，解得.故选：B.10、D【解析】首先求出时函数的值域，设时，的值域为，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：由题意可得当时，所以的值域为，设时，的值域为，则由的值域为R可得，∴，解得，即故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先证明，再由不等式证明即可；（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.【小问1详解】,为锐角，，，解得，当且仅当时，等号成立，即.【小问2详解】在中，，,,.【小问3详解】由（2）知，令，原不等式等价为，在上为增函数，，，同理可得，，，，故不等式成立，问题得证.【点睛】本题第3问的证明需要用到，换元后转换为，再构造不等式是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.12、【解析】先求的的单调性和值域，然后代入中求得函数的值域.【详解】由于为上的增函数，而，，即，对，由于为增函数，故，即函数的值域为，也即.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的值域的求法，考查复合函数值域的求法.属于中档题.13、【解析】由题意，∴A（3，2）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，∴圆上不相同的两点为B（1，4），D（5，4），∵A（3，2），BA⊥DA∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=4过P，M，N的圆的方程为x2+y2=m2，∴两圆外切时，m的最大值为，两圆内切时，m的最小值为，故答案为[3，7]14、【解析】由已知条件分析在上的单调性，利用函数的奇偶性可得，再根据函数的单调性解不等式即可.【详解】f(x)为偶函数，且当x≤0时，单调递增，当时，函数单调递减，若＞，f(x)为偶函数，，，同时平方并化简得，解得或，即不等式＞的解集为.故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.15、【解析】根据两角和的正弦公式即可求出【详解】原式故答案为：16、【解析】根据函数的周期性和值域，在三角函数中确定一个解析式即可【详解】解：函数的周期为，值域为,，则的值域为,，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）30°（2）（3）见解析【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求AO与A′C′所成角的度数；（2）利用向量法求AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC的法向量垂直.【详解】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），（，1，），（﹣1，1，0），设AO与A′C′所成角为θ，则cosθ，∴θ＝30°，∴AO与A′C′所成角为30°.（2）∵（），面ABCD的法向量为（0，0，1），设AO与平面ABCD所成角为α，则sinα＝|cos|，cosα，∴tanα.∴AO与平面ABCD所成角的正切值为.（3）C（0，1，0），（），（0，1，0），（﹣1，1，0），设平面AOB的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，0，1），设平面AOC的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，1，﹣1），∵1+0﹣1＝0，∴平面AOB与平面AOC垂直.【点睛】本题主要考查空间角的求法和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18、（1），，；（2）；（3）.【解析】（1）由题知，，进而求解即可得答案；（2）由题知函数在上是增函数，故，进而解不等式即可得答案.（3）由题知，进而根据题意得方程在上至少含有10个零点，进而得，再解不等式即可得答案.【详解】解：（1）由题知，因为是周期为的偶函数，所以，，解得：，，所以，.（2）因为，所以，因为函数在上是增函数，所以函数在上是增函数，所以，解得，又因为，故.所以的最大值为.（3）当时，，所以，当时，，又因为函数在上至少含有10个零点，所以方程在上至少含有10个零点，所以，解得故b最小值为.【点睛】本题考查三角函数图像平移变换，正弦型函数的性质，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键件在于利用整体换元的思想，将为题转化为利用函数的图像性质求解.19、（1）．,

（2）【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果（2）利用正弦型函数的性质的应用求出结果【详解】（1）由题意，函数，==，所以的最小正周期：由，解得即函数的单调递减区间是

（2）由（1）知，因为，所以要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1所以，即所以m的最小值为【点睛】本题考查了三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型20、（1）（2）【解析】（1）首先求出集合，再对与两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可；（2）依题意可得集合，分与两种情况讨论，分别到不等式，解得即可；【小问1详解】解：由得解，所以，又若，分类讨论：当，即解得，满足题意；当，即，解得时，若满足，则必有或；解得.综上，若，则实数t的取值范围为.【小问2详解】解：由“”是“”的必要不充分条件，则集合，若，即，解得，若，即，即，则必有，解得，综上可得,，综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时，即为所求21、（1）（2）或．（3）【解析】（1）与作差，配方后即可得；（2）原方程化为，设，可得，进而可得结果；（3）令，则，函数可化为，利用二次函数的性质分情况讨论，分别求出两段函数的最小值，比较大小后可得各种情况下函数，（是实数）的最小值.试题解析：（1）因为，所以（2）由，得，令，则，故原方程可化为，解得，或（舍去），则，即，解得或，所以或（3）令，则，函数可化为①若，当时，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，故，②若，当，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，故，③若，当时，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，故，；