《任意角的概念》上课用

三角函数1.1.1任意角的概念1、角的概念初中是如何定义角的？

从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.

角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。初中学过的角的范围是：0º至360º。

2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角如图：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．

旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”、“零角”我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角即零度角（0º）．此时零角的始边与终边重合。角的记法：角α或可以简记成∠α，或简记为：α.如∠α=-1500，α=00，α=6600等等……⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如：

=210,

=

150,

=660.②角可以任意大;

实例：体操动作：旋转2周（360

×2=720

）3周（360

×3=1080

）③还有零角,一条射线，没有旋转.

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．用旋转来描述角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转量

（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º，－540º等角度.3．象限角

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。

角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：轴线角）例如：30

、390

、

330

是第一象限角，

300

、

60

是第四象限角，

585

、1300

是第三象限角，

135

、

2000

是第二象限角等4．终边相同的角

⑴观察：390

，

330

角，它们的终边都与30

角的终边相同.⑵探究：终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)个周角的和：

390

=30

+360(k=1),

330

=30

360

(k=－1)

30

=30

+0×360

(k=0),1470

=30

+4×360

(k=4)

1770

=30

5×360

(k=－5)⑶结论：所有与

终边相同的角连同

在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º，k∈Z}

即：任何一个与角

终边相同的角，都可以表示成角

与整数个周角的和。⑷注意以下四点：①

k∈Z，

K>0，表示逆时针旋转，

K<0,表示顺时针旋转.

②

是任意角；③

k·360º与

之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成(－30º)+k·360º

；④

终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.

所有与

终边相同的角连同

在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º，k∈Z}即：任何一个与角

终边相同的角，都可以表示成角

与整数个周角的和。例1.在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：

(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.例3写出终边分别落在四个象限的角的集合.终边落在坐标轴上的情形xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°或360°+

K·360°第一象限的角表示为

{

|k

360

<

<90

+k

360,k

Z}；第二象限的角表示为

{

|90

+k

360

<

<180

+k

360

，k

Z}；第三象限的角表示为

{

|180

+k

360

<

<270

+k

360

，k

Z}第四象限的角表示为

{

|270

+k

360

<

<360

+k

360

，k

Z}例4、写出终边落在y轴上的角的集合.xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．2、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角

C第一、三象限角D第一、四象限角3、若α是第四象限角，则180º－α是（）

A第一象限角B第二象限角

C第三象限角D第四象限角4、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;5、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º）范围内，终边与角的终边相同的角为______________;弧度制1、角度制的定义规定周角的为1度的角这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。1°2、弧长公式及扇形面积公式nπR180l=———nπR2360S=———n°Rl1、弧度制

我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。设弧AB的长为l，若l=r，则∠AOB=1弧度lr=OBrl=rA1弧度

则∠AOB=2弧度lr=

则∠AOB=2π弧度lr=rOABl=2r2π弧度l=2πrOA(B)r若l=2r，若l=2πr，2弧度若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对值是lr=3，即∠AOB=－lr=－3弧度l=3rOABr-3弧度由弧度的定义可知：圆心角AOB的弧度数的绝对值等于

它所对的弧的长与半径长的比。定义的合理性1弧度Rl=ROAB1弧度rl=rOAB与半径长无关的一个比值一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值：︱α︱=lr其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。2、弧度与角度的换算lr=

则∠AOB=2π弧度此角为周角即为360°360°=2π弧度180°=π弧度l=2πrOA(B)r若l=2πr，量角器是常用的度量角的工具0o90o180o请说出量角器上角度数所对应角的弧度数0π15o30o4506007501050120o135o150o165o由180°=π

弧度还可得1°=——弧度≈0．01745弧度180π1弧度=（——）°≈57．30°=57°18′π1803、圆的弧长公式及扇形面积公式αOlrl

=︱α︱r由︱α︱=lr得S=—

lr12=—︱α︱r2

124、用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系：实数集R角的集合正角零角负角正实数零负实数对应角的弧度数练习xy0(1)xy0(2)练习小结：1、量角的制度:角度制与弧度制弧度制除了使角与实数有一一对应关系外，为以后学习三角函数打下基础。2、能熟练地进行