新教材苏教版高中数学必修第一册第7章三角函数-知识点考点重点难点归纳总结

第七章三角函数TOC\o"1-5"\h\z\u7.1角与弧度 17.1.1任意角 17.1.2弧度制 87.2三角函数概念 127.2.1任意角的三角函数 127.2.2同角三角函数关系 187.2.3三角函数的诱导公式 23第1课时三角函数的诱导公式(一～四) 23第2课时三角函数的诱导公式(五～六) 277.3三角函数的图象和性质 317.3.1三角函数的周期性 317.3.2三角函数的图象与性质 34第1课时正弦、余弦函数的图象 34第2课时正弦、余弦函数的图象与性质 38第3课时正切函数的图象与性质 447.3.3函数y＝Asin(ωx＋φ) 507.4三角函数应用 557.1角与弧度7.1.1任意角知识点1任意角的概念(1)角的概念：一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转所形成的角负角按顺时针方向旋转所形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角1.如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？[提示]不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．(3)两角的和、互为相反角、两角的差：对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β(当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转)，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α＋β.射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角．角α的相反角记为－α，于是有α－β＝α＋(－β)．知识点2象限角与轴线角(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．(2)轴线角：终边在坐标轴上的角．知识点3终边相同的角与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2.终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？[提示]终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．考点类型1角的概念辨析【例1】(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°.②855°.③－510°.(1)①[①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．](2)[解]作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．1．理解角的概念的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．2．象限角的判定方法(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．类型2终边相同的角与象限角【例2】已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°；(3)若与α终边相同的最大负角、最小正角分别为θ1，θ2，求θ1＋θ2.[思路点拨](1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式后，判断β所在的象限即可．(2)将θ写成θ＝β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，用观察法验证k的不同取值即可．[解](1)法一：∵－1910°＝－6×360°＋250°，∴－1910°角与250°角终边相同，∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．法二：设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1910°－k·360°(k∈Z)．令－1910°－k·360°≥0，解得k≤－eq\f(1910,360)＝－5eq\f(11,36).k的最大整数解为k＝－6，相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．(2)由(1)知令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.(3)因为与α终边相同的角为β＝k·360°＋250°(k∈Z)．所以取k＝－1,0得与α终边相同的最大负角为θ1＝－110°，最小正角为θ2＝250°，所以θ1＋θ2＝140°.1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少．类型3区域角的表示【例3】已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解]①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．1.(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．2.(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．类型4角eq\f(α,n)，nα(n∈N*)所在象限的确定【例4】已知α是第二象限角，求角eq\f(α,2)所在的象限．[解]法一：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴eq\f(k,2)·360°＋45°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋90°(k∈Z)．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°<eq\f(α,2)<n·360°＋90°，这表明eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°<eq\f(α,2)<n·360°＋270°，这表明eq\f(α,2)是第三象限角．∴eq\f(α,2)为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为eq\f(α,2)的终边所在的区域，故eq\f(α,2)为第一或第三象限角．在本例条件下，求角2α的终边的位置．[解]∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．(2)已知角α终边所在的象限，确定eq\f(α,n)终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．7.1.2弧度制知识点1弧度制的概念(1)角度制：规定周角的eq\f(1,360)为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．1.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？[提示]“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．2.比值eq\f(l,r)与所取的圆的半径大小是否有关？[提示]一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．知识点2角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))度≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0°1°30°45°60°90°弧度0eq\f(π,180)eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)角度120°135°150°180°270°360°弧度eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π(3)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.3.角度制与弧度制之间如何进行换算？[提示]利用1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad和1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°进行弧度与角度的换算．知识点3扇形的弧长公式及面积公式(1)弧度制下的弧长公式：如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r)，弧长l＝|α|r.特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|.(2)扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝eq\f(|α|,2π)·πr2＝eq\f(1,2)lr.(3)引入弧度制的意义角的概念的推广后，角的集合与弧度数的集合之间建立了一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系；每一个角都对应唯一的一个实数，反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角，为以后三角函数的建立奠定了基础．考点类型1角度制与弧度制的互化【例1】把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)eq\f(π,10)；(3)－eq\f(4π,3)；(4)112°30′.[解](1)－450°＝－450×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,2)rad.(2)eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\f(180°,π)＝18°.(3)－eq\f(4π,3)rad＝－eq\f(4π,3)×eq\f(180°,π)＝－240°.(4)112°30′＝112.5°＝112.5×eq\f(π,180)rad＝eq\f(5π,8)rad.角度制与弧度制换算的要点提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度．类型2用弧度制表示角的集合【例2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．[解](1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5,12)π＋2kπ，k∈Z)))).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)))).(3)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).1．弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．提醒：角度制与弧度制不能混用．类型3扇形的弧长及面积问题【例3】已知扇形的周长为8cm.(1)若该扇形的圆心角为2rad，求该扇形的面积；(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，扇形面积为S.(1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r，解得r＝2，l＝4，S＝eq\f(1,2)lr＝4.(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0,4)，则S＝eq\f(1,2)lr＝(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，当r＝2时，Smax＝4，此时l＝4，圆心角α＝eq\f(l,r)＝2.1．(变条件，变结论)本例条件下，若扇形面积为3cm2，求扇形的圆心角的弧度数．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，扇形面积为S.由题意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得l＝6，r＝1或l＝2，r＝3，所以α＝eq\f(l,r)＝6或eq\f(2,3).2．(变条件，变问法)本例条件中“周长为8cm”改为“面积为8cm2[解]设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为S，则由S＝eq\f(1,2)·α·r2得8＝eq\f(1,2)×2×r2，所以r＝2eq\r(2)，所以l＝αr＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)．弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点(1)解题策略：①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．②涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．(2)注意点：①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．②看清角的度量制，选用相应的公式．③扇形的周长等于弧长加两个半径长．7.2三角函数概念7.2.1任意角的三角函数知识点1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝eq\r(x2＋y2)>0)，那么名称定义定义域正弦sinα＝eq\f(y,r)R余弦cosα＝eq\f(x,r)R正切tanα＝eq\f(y,x)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))sinα，cosα，tanα分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．1.对于确定的角α，sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？[提示]不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．2.若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sinα，cosα，tanα的值怎样表示？[提示]sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).知识点2三角函数在各象限的符号知识点3三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了正方向的直线；有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB.(2)三角函数线考点类型1三角函数的定义及应用【例1】(1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sinα，cosα，tanα的值．(2)当α＝－eq\f(π,3)时，求sinα，cosα，tanα的值．[解](1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(2,－1)＝－2.当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－2)，则r＝eq\r(12＋－22)＝eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(－2,1)＝－2.(2)当α＝－eq\f(π,3)时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)，(x>0，y<0)根据直角三角形中锐角eq\f(π,3)的邻边是斜边的一半，得x＝eq\f(1,2)，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋y2＝1，y<0，解得y＝－eq\f(\r(3),2)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2))).因此sinα＝eq\f(－\f(\r(3),2),1)＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝－eq\r(3).1．将本例(1)的条件“y＝－2x”改为“eq\r(3)x＋y＝0”其他条件不变，结果又如何？[解]直线eq\r(3)x＋y＝0，即y＝－eq\r(3)x，当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，eq\r(3))，则r＝2，所以sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3)；当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－eq\r(3))，则r＝2，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3).2．将本例(1)的条件“在直线y＝－2x上”，改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sinα＋cos[解]因为r＝eq\r(－3a2＋4a2)＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角αsinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，所以2sinα＋cosα＝eq\f(8,5)－eq\f(3,5)＝1.②若a<0，则r＝－5a，角αsinα＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5)，所以2sinα＋cosα＝－eq\f(8,5)＋eq\f(3,5)＝－1.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．已知特殊角α，求三角函数值的方法(1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值．(此时P到原点的距离r＝1)3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．类型2三角函数值的符号【例2】(1)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin2015°cos2016°tan2017°；②tan191°－cos190°；③sin2cos3tan4.(1)D[由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．](2)[解]①∵2015°＝1800°＋215°＝5×360°＋215°，2016°＝5×360°＋216°，2017°＝5×360°＋217°，∴它们都是第三象限角，∴sin2015°<0，cos2016°<0，tan2017°>0，∴sin2015°cos2016°tan2017°>0.②∵191°角是第三象限角，∴tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.③∵eq\f(π,2)<2<π，eq\f(π,2)<3<π，π<4<eq\f(3π,2)，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限．(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号．(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判断错误．类型3应用三角函数线解三角不等式【例3】在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).1．在单位圆中，满足sinα＝eq\f(\r(3),2)的正弦线有几条？试在图中明确．[提示]两条，如图1所示，MP1与NP2都等于eq\f(\r(3),2).2．在单位圆中，满足cosα＝－eq\f(1,2)的余弦线有几条？在图中明确．[提示]一条，如图2所示，OM＝－eq\f(1,2).图1图2[解](1)作直线y＝eq\f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).(2)作直线x＝－eq\f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)))).利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法对于tanx≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．7.2.2同角三角函数关系知识点同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2_α＝1.(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).1.sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？[提示]不一定．2.对任意角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立．[提示]成立，平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．考点类型1利用同角三角函数基本关系式求值【例1】(1)已知sinα＝－eq\f(3,5)，求cosα，tanα的值；(2)已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值．[解](1)因为sinα＜0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2＝eq\f(16,25).如果α是第三象限角，那么cosα＜0.于是cosα＝－eq\r(\f(16,25))＝－eq\f(4,5)，从而tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))＝eq\f(3,4).如果α是第四象限角，那么cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).(2)法一：由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.所以2sinαcosα－cos2α＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα－1,tan2α＋1)＝eq\f(－4－1,4＋1)＝－1.法二：由sinα＋2cosα＝0得2cosα＝－sinα，所以2sinαcosα－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1.1．求三角函数值的方法是什么？[提示](1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．2．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的方法是什么？[提示](1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若关于sinα，cosα的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．类型2三角函数式的化简、求值【例2】(1)化简：eq\f(\r(1－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(1－sin2130°))；(2)若角α是第二象限角，化简：tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1).[思路点拨](1)eq\x(\a\al(利用平方关系,代换“1”))→eq\x(\a\al(构造完,全平方))eq\o(→,\s\up7(开方))eq\x(\a\al(化简,求值))(2)eq\x(切化弦)→eq\x(化简求值)[解](1)原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.(2)原式＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(|cosα|,|sinα|)，因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以原式＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(|cosα|,|sinα|)＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(－cosα,sinα)＝－1.化简三角函数式的常用方法(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简．(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．类型3三角函数式的证明【例3】求证：eq\f(tanα·sinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα).[证明]法一：左边＝eq\f(sin2α,sinα－sinαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右边＝eq\f(sinα＋sinαcosα,sin2α)＝eq\f(1＋cosα,sinα)，因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，所以eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)，所以左边＝右边，所以原等式成立．法二：因为右边＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanα·sinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanα·sinα,tanα－sinα)＝左边．所以原等式成立．1．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tanα，求关于sinα，cosα的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；2．利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．(4)变更命题法，如要证明eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，可证ad＝bc或证eq\f(d,b)＝eq\f(c,a)等．(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“eq\f(左边,右边)＝1”．类型4“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系【例4】已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，且0＜α＜π.求：(1)sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．[解](1)∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,25)，∴1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，即sinαcosα＝－eq\f(12,25).(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).又∵0＜α＜π，且sinαcosα＜0，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝eq\f(7,5).1．已知sinθ±cosθ求sinθcosθ，只需平方便可．2．已知sinθcosθ求sinθ±cosθ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sinθ±cosθ的正负．7.2.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式(一～四)知识点1诱导公式(一)终边相同的角的诱导公式(公式一)：sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．1.终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？[提示]相等．知识点2诱导公式(二)终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：sin(－α)＝－sin_α；cos(－α)＝cos_α；tan(－α)＝－tan_α.2.角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？[提示]关于x轴对称．知识点3诱导公式(三)终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)：sin(π－α)＝sin_α；cos(π－α)＝－cos_α；tan(π－α)＝－tan_α.3.π－α与α的终边什么关系？[提示]关于y轴对称．知识点4诱导公式(四)终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：sin(π＋α)＝－sin_α；cos(π＋α)＝－cos_α；tan(π＋α)＝tan_α.4.π＋α与α的终边有什么关系？[提示]终边在同一条直线上．考点类型1给角求值【例1】求下列各三角函数式的值：(1)sin(－660°)；(2)coseq\f(27π,4)；(3)2cos660°＋sin630°；(4)taneq\f(37π,6)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3))).[解](1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).(2)因为eq\f(27π,4)＝6π＋eq\f(3π,4)，所以coseq\f(27π,4)＝coseq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2).(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)＝2cos60°－sin90°＝2×eq\f(1,2)－1＝0.(4)taneq\f(37π,6)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(π,6)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,3)))＝taneq\f(π,6)·sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤是什么？[提示]类型2化简求值【例2】化简下列各式．(1)eq\f(cosπ＋α·sin2π＋α,sin－α－π·cos－π－α)；(2)eq\f(cos190°·sin－210°,cos－350°·tan－585°).[解](1)原式＝eq\f(－cosα·sinα,－sinπ＋α·cosπ＋α)＝eq\f(cosα·sinα,sinα·cosα)＝1.(2)原式＝eq\f(cos180°＋10°·[－sin180°＋30°],cos－360°＋10°·[－tan360°＋225°])＝eq\f(－cos10°·sin30°,cos10°·[－tan180°＋45°])＝eq\f(－\f(1,2),－tan45°)＝eq\f(1,2).三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).类型3给值求值问题【例3】求值．(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\f(1,2)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,3)))的值；(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋α))的值．1．“eq\f(π,3)＋α”与“α－eq\f(5π,3)”间存在怎样的关系？你能用“α＋eq\f(π,3)”表示“α－eq\f(5π,3)”吗？[提示]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,3)))＝2π，即α－eq\f(5,3)π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－2π.2．“eq\f(π,6)＋α”与“eq\f(7π,6)＋α”间有怎样的关系？你能用“eq\f(π,6)＋α”表示“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋α))”吗？[提示]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋α))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝π，即eq\f(7π,6)＋α＝π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)).[解](1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,3)))＝2π，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－2π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(\r(3),3).1．(变条件)本例(1)条件变为“已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,3)＋α))＝eq\f(1,2)”，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,3)))的值．[解]∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,3)＋α))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,3)))＝6π，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,3)＋α))－6π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,3)＋α))＝eq\f(1,2).2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,6)))的值．[解]∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,6)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3).解决给值求值问题的技巧(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．第2课时三角函数的诱导公式(五～六)知识点1诱导公式五终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin_α.1.角eq\f(π,6)与角eq\f(π,3)的三角函数值有什么关系？[提示]sineq\f(π,6)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，coseq\f(π,6)＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).2.角α的终边与角eq\f(π,2)－α的终边有怎样的对称关系？[提示]关于直线y＝x对称．知识点2诱导公式六eq\f(π,2)＋α型诱导公式(公式六)：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.3.如何由公式四及公式五推导公式六？[提示]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα.coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα.考点类型1利用诱导公式给值求值【例1】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值是________．(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值是______．(3)已知sin(π＋A)＝－eq\f(1,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－A))的值是______．(1)eq\f(1,2)(2)－eq\f(1,3)(3)－eq\f(1,2)[(1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2).(2)∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－eq\f(1,3).又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(π,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－eq\f(1,3).(3)sin(π＋A)＝－sinA＝－eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－A))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,2)－A))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝－sinA＝－eq\f(1,2).]1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有eq\f(π,3)－α，eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α，eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α，eq\f(π,4)－α等．常见的互补关系有eq\f(π,3)＋θ，eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ，eq\f(3π,4)－θ等．类型2利用诱导公式化简求值【例2】已知α是第三象限角，且f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),sin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))).①化简f(α)；②若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，求f(α)．[解]①f(α)＝eq\f(sinπ－α·cos2π－αsin－α＋\f(3π,2),sin－π－α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝eq\f(sinαcosα－cosα,sinαcosα)＝－cosα.②因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，所以sinα＝－eq\f(1,5)，又α是第三象限角．所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2)＝－eq\f(2\r(6),5)，所以f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6),5).1．本例(1)中条件变为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π－α))＝eq\f(1,2)，问题不变．[解]∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(3π,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α))＝－eq\f(1,2).2．本例(1)条件不变，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π－α))的值．[解]coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(1,2).用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于kπ±α和eq\f(π,2)±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．即“奇变偶不变，符号看象限”．类型3诱导公式在三角形中的应用【例3】在△ABC中，sineq\f(A＋B－C,2)＝sineq\f(A－B＋C,2)，试判断△ABC的形状．[思路点拨]eq\x(sin\f(A＋B－C,2)＝sin\f(A－B＋C,2))eq\o(→,\s\up7(A＋B＋C＝π),\s\do5())eq\x(得B，C关系)→eq\x(△ABC的形状)[解]∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B又∵sineq\f(A＋B－C,2)＝sineq\f(A－B＋C,2)，∴sineq\f(π－2C,2)＝sineq\f(π－2B,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，∴cosC＝cosB.又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，∴△ABC为等腰三角形．1．涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解．2．在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)；coseq\f(A＋C,2)＝sineq\f(B,2).7.3三角函数的图象和性质7.3.1三角函数的周期性知识点1周期函数的定义(1)设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.1.单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．[提示]由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．2.所有的周期函数都有最小正周期吗？[提示]并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．知识点2正弦函数、余弦函数、正切函数的周期一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝eq\f(2π,ω).函数y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为eq\f(π,ω).3.6π是函数y＝sinx(x∈R)的一个周期吗？[提示]是．考点类型1求三角函数的周期【例1】求下列函数的最小正周期．(1)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,3)))；(2)f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3x＋\f(π,4)))；(3)y＝|sinx|；(4)f(x)＝－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax＋\f(π,4)))(a≠0)．[解](1)T＝eq\f(2π,\f(1,3))＝6π，∴最小正周期为6π.(2)T＝eq\f(π,|－3|)＝eq\f(π,3)，∴最小正周期为eq\f(π,3).(3)由y＝sinx的周期为2π，可猜想y＝|sinx|的周期应为π.验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|，∴由周期函数的定义知y＝|sinx|的最小正周期是π.(4)T＝eq\f(2π,|2a|)＝eq\f(π,|a|)，∴最小正周期为eq\f(π,|a|).利用公式求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝eq\f(2π,|ω|).类型2周期性的应用【例2】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sinx，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))的值．[解]∵f(x)的最小正周期是π，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))).又∵f(x)是R上的偶函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝eq\f(\r(3),2).1．(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))的值．[解]∵f(x)的最小正周期为π，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))，∵f(x)是R上的奇函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝－eq\f(\r(3),2).2．(变结论)本例条件不变，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19π,6)))的值．[解]∵f(x)的最小正周期为π，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3π－\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))，∵f(x)是R上的偶函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2).∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19π,6)))＝eq\f(1,2).函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解．7.3.2三角函数的图象与性质第1课时正弦、余弦函数的图象知识点1正弦曲线、余弦曲线正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象分别叫作正弦曲线和余弦曲线(如图)．1.为什么把y＝sinx，y＝cosx，x∈[0,2π]的图象向左、向右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？[提示]由公式sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx，k∈Z可得．知识点2“五点法”画图画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．画余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．知识点3正弦、余弦曲线的联系依据诱导公式cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可．2.作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度制吗？[提示]作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．考点类型1利用“五点法”作简图【例1】用“五点法”作出下列函数的图象．(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．[解](1)列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πsinx010－10sinx－1－10－1－2－1描点连线，如图①所示：①(2)列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πcosx10－1012＋cosx32123描点连线，如图②所示：②将本例(2)函数改为“y＝－1－cosx，x∈[0,2π]”试画出函数的图象．[解]列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－101－1－cosx－2－10－1－2描点连线，如图③所示：③作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤是什么？(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx(或cosx)y(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，y))，(π，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，y))，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．类型2利用正、余弦曲线解三角不等式【例2】利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．(1)sinx≥eq\f(1,2)；(2)cosx≤eq\f(1,2).[解](1)作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.(2)作出余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，\f(5π,3)＋2kπ))，k∈Z.用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集；(3)根据公式一写出定义域内的解集．类型3正、余弦函数图象的应用【例3】在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出两函数图象交点的个数．[思路点拨]eq\x(作图)→eq\x(看图)→eq\x(交点个数)[解]建立直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象．描出点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，－1))，(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示．由图象可知两函数图象的交点有3个．1．利用三角函数图