湖北省武汉市武昌区2022-2023学年上学期八年级期末数学模拟试卷

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20222023学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学模拟试卷

试卷副标题

考试范围：全册；考试时间：120分钟；命题人：熊兵

题号一二三总分

得分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人得分

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）北京2022年冬奥会会徽“冬梦”已经发布.以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）

A.

*

C.

2.（3分）若分式上有意义，则x的取值范围是（）

x+6

A.xW6B.JCXOC.--D.x^=-6

6

3.（3分）新冠病毒给世界各国带来了极大的灾难，中国在世界抗击新冠病毒中发挥了重要作用.新冠病毒的整体尺寸一般在30-80,〃〃,请将O.OOOOOOO52"大的新冠病毒这个数用科学记数法表示为（）

A.52X10-9B.5.2X10'8C.52X10'8D.5.2X10'9

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.d4+t/4=fl8B.（-a*2）3=4o6

C.D.⑵层）3=zF伊

（3分）如图，在AABCt和△/）£：产中，点8、F、C、。在同条直线上，已知NA=/D,AB=DE,添加以下条件，不能判定△ABCgaOEF的是（

E

C.ZACD=ZBFED.BC=EF

)

,2

C.D.-^―

aa-b

7.(3分)下列各式：①/-后/=(x-Q，)(Hq2)，②/-l+2x=(x-1)(x+1)+2x,③-J+2"〃-02=-(«-b)2,=(--)(—+1)•属于正确的因式分解的有()

m21nm

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=4,ZB=\5°,CD是腰AB上的高，则CD的长（）

9.（3分）已知O为原点，A（2,2）为坐标平面内一点，3是y轴上一点，且aAOB为等腰三角形，那么符合条件的点B的个数为（）

A.5B.4C.3D.2

10.（3分）如图，等腰RtZ\48C中，ZACB=90°,。是BC边上一点,以AD为斜边作等腰RtZXAQE,连接AE并延长交8。延长线于点£若下列结论：①AO平分N84C；②BA=BF：③CE//AB；④CG+CF

=V2CE,正确的是（）

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人得分

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

2

11.（3分）如果分式2_2Q生的值为零，那么x=_____.

x+3

12.（3分）己知多边形的内角和等于外角和的两倍，则这个多边形的边数为.

13.（3分）已知（x+4）（x・9）=?+/WA--36,则m的值为.

14.（3分）如图，乙4=80°,。是AB,AC垂直平分线的交点，则N80C的度数是'

15.（3分）如果/〃-〃-3=0,那么代数式（式■-〃）・」_的值为.

nm+n

16.（3分）如图，在△ABC中，AB=AC,NBAC=45°,AD,8E是△ABC的高，点尸是直线AD上一动点，当PC+PE最小时，则NBPC为度.

三,解答题（共8小题，满分72分）

17.（8分）⑴计算:（x-4）（x+2）：

（2）分解因式:a'b-ah.

18.（8分）解分式方程:

(1)_?_=S

x+1x

(2)kL=_L.-2

x-22-x

19.（8分）如图，点8,E,C,尸在同一直线上，AB=DE,BE=CF,____.求证：4ACB=NDFE.

（l）请从①AB〃OE,②NA=N。，③AC=O尸中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立.你的选择是.（只需填一个序号即可）;

（2）根据（1）中的选择给出证明.

2

20.（8分）先化简代数式,aWa+17（卜工）,再从2,-2,1,-1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值.

a-4a+2

21.（8分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上.

（1）作AABC关于直线MN对称的图形△A5C.

（2）若网格中最小正方形的边长为1,求aABC的面积.

<3）点P在直线MN上，当△B4C周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点.

22.（8分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢.某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元.

（I）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？

（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？

23.（12分）在aABC中，NC=90°,AC=BC=2,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点尸处，将此三角板绕点尸旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于点、D、点、E,图①，②，③是旋转得到的三种图

形.

（1）观察线段PO和PE之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；

（2）观察线段CQ、CE和8C之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明：

（3）ZXPBE是否能成为等腰:.角形？若能，请宜接写出/PE8的度数：若不能，请说明理由.

24.（12分）如图，在直角△A6C中，NZMC=90°,点。是8C上一点，连接40,把绕点A逆时针旋转90°,得到连接。后交AC于点

（1）如图1,若AB=2,NC=30°,AD1BC,求。。的长；

（2）如图2,若/AD3=45°,点N为ME上一点，MN=LBC,求证：AN=EN+CD；

2

（3）如图3,若NC=30°,点。为直线BC上一动点，直线DE与直线AC交于点M,当△ADM为等腰三角形时，请直接写出此时NCDM的度数.

EE

N

2022・2023学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3冬分）北京2022年冬奥会会徽“冬梦”已*经发布.以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）

【考点】轴对称图形.

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

以是轴对称图形，故本选项符合题意：

。、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

。、不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.（3分）若分式上有意义，则K的取值范围是（）

x+6

A.x#6B.xWOC.K#-工D.-6

6

【考点】分式有意义的条件.

【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：要使分式上有意义，必须x+6#0,

x+6

解得，xW-6,

故选：D.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为。是解题的关键.

3.（3分）新冠病毒给世界各国带来了极大的灾难，中国在世界抗击新冠病毒中发挥了重要作用.新冠病毒的整体尺寸一般在30-80〃/〃，请将O.OOOOOOO525大的新冠病毒这个数用科学记数法表示为（）

A.52X10'9B.5.2X108C.52XI0*8D.5.2X109

【考点】科学记数法一表示较小的数.

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aX107与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数基，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解：将0.000000052机大的新冠病毒这个数用科学记数法表示为5.2XW8.

故选：B.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为aXIO",其中1WWIV10,〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.a4+a4=?B.（-<?）3=a6

C.fl2,«3=a5D.（2a序）〜=3伊

【考点】辕的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数箱的乘法.

【分析】根据合并同类项运算法则进行计算判断A,根据察的乘方运算法则进行计算判断8,根据同底数第相乘的运算法则进行计算判断C,根据积的乘方与塞的乘方运算法则进行计算判断D.

【解答】解：A、/+/=方4,故此选项不符合题意；

B、（-/）3=一心，故此选项不符合题意：

C、/・/=/,故此选项符合题意：

D、（2口序）3=8/心，故此选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查合并同类项，同底数塞的乘法，辕的乘方与积的乘方，掌握箱的乘方（"“）〃="""，积的乘方（ab）运算法则是解题关键.

5.（3分）如图，在aABC1和尸中，点以F、C、及在同条直线上，已知NA=ND,AB=DE,添加以下条件，不能判定/MBCg/XOE/的是（）

A.Zfi=ZEB.AC=DFC.ZACD=ZBFED.BC=EF

【考点】全等三角形的判定.

【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断.

【解答】解：vZA=ZD,AB=DE,

，当添加N3=NE时，根据ASA判定△ABC丝△£>£/•'：

当添加AC=DF时，根据SAS判定△48C组△£>£/、：

当添加N4CO=N8/芯时，则NAC5=NO匹£根据AAS判定△ABCg2XOEF.

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键.选用哪•种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边：若已知两角对应相等,

则必须再找•组对边对应相等，且要是两角的夹边，若己知一边一角，则找另•组角，或找这个角的另•组对应邻边.

6.（3分）化简a^+ab+也■的结果是<）

a-ba-b

A.a2B.AikC.D.AL

baa-b

【考点】分式的乘除法.

【分析】把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可.

【解答】解：.2）也+上

a-ba-b

—a（a+b）a-b

a-bab

=a+b

~b~,

故选：B.

【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

7.（3分）下列各式：©?-?/=（x-xy1）（x+.vr）,②f-l+2x=（^-1）（x+1）+2x,（§）-cr+2ab-lr=-（a-b）2,④（l-i）（工+i）.属于正确的因式分解的有（）

m2mm

A.I个B.2个C.3个D.4个

【考点】因式分解的意义.

【分析】根据因式分解的意义对各小题进行分析即可.

【解答】解：©?-??=?（1-/）=?（1-/）（1+/）=?（i+j）（1->­）（i+r）,故原题因式分解错误：

②.P-l+2x=（A--1）2,故原题因式分解错误；

@-（T+2ab-/>2=-（«-b）2,正确：

④等式左边不是多项式，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，

所以属于正确的因式分解的有1个.

故选:A.

【点评】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.

8.（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=4,NB=15°,CD是腰AB上的高，则CD的长（）

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形.

【分析】根据三角形外角的性质得/O4C=30°,再利用含30°角的直角三角形的性质可得CO的长.

【解答］解：\'AB=AC,ZB=15°,

：.ZACB=ZB=\50,

AZDAC=30°，

丁。是腰48上的高，

.'.CD1AB,

：，CD=1AC=2,

2

故选：B.

【点评】本题主要考查了等腰-：角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，求出ND4C=3O°是解题的关键.

9.（3分）己知。为原点，A（2,2）为坐标平面内•点，8是），轴上•点，且△AOB为等腰三角形，那么符合条件的点8的个数为（）

A.5B.4C.3D.2

【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质.

【分析】根据等腰三角形的判定画出图形即可判断.

【解答】解：如图，满足条件的点B有四种情形，

【点评】本题考查等腰三角形的判定，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

10.（3分）如图，等腰RlZ\A8C中，NACB=90°,。是边上一点，以为斜边作等腰RlZXADE,连接AE并延长交BC延长线于点尸，若AO=AE下列结论：①AD平分/BAG@BA=BF；③CE〃月8；④CG+CF

=V2C£,正确的是（）

A.①②(§)B.②③@C.①②(S)D.①②®④

【考点】含30度角的直角三角形：等腰直角三角形.

【分析】根据等腰直角三角形的性质得到NBAC=NDAE=45°,求得/8W=NCA£根据等腰三角形的性质得到/3AD=ND4C=22.5°,求得A。平分/8AC；故①正确；推出得到A8=B尸：故②正

确；根据等腰三角形的性质得到/CEr=/尸=67.5°,得到NB=NECF,根据平行线的判定定理得到CE〃/1B,故③正确：过E作E//_LCE交AC于〃，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的判定和

性质得到〃G=CR求得CH=CG+HG=CG+CF=y/^CE.故④正确；

【解答】解：•••△48C和△4OE是等腰直角三角形，

••・/BAC=ND4E=45°,

:./BAD-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即/班O=NCAE,

'：AD=AF,ZAC5=90°,

.\AC±DF,

AZDAC=ZMC=i/DAF=22.5°,

2乙

AZBAD=ZDAC=22.5O,

••.A。平分NBAC；故①正确；

AZBAF=67.5°,

VZF=90°-ZC4F=67.5°,

・・・NBAF=NF,

,,.AB=BF；故②正确；

VAD=AF,ACIDF,

:,CD=CF,

,.,ZDEF=1800-N4£O=9(T,

:.CE=CF,

；・NCEF=NF=6Z5°,

AZECF=1800-ZCEF-ZF=45°,

:./B=4ECF,

：.CE//AB,故③正确；

过石作由上支交人仁于“，

VZECF=45°,ZACF=90°,

AZ/7CE=45°,

•••△”EC是等腰直角三角形，

:.NGHE=45°,

■:NHEC=NGEF=90",

；.NHEG=90*-ZGEC.ZCEF=90°-ZGEC,

:.NHEG=/CEF,

:.NHGE=ZF=NHEG=4CEF,

；.HG=HE,

：.HG=CF,

/.CH=CG+HG=CG+CF=y/2CE,故④正确；

故选：D.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

2Q

II.（3分）如果分式三二支的值为零，那么.、•=3.

x+3

【考点】分式的值为零的条件.

【分析】直接利用分式的值为零，分子的值为零，同时分母的值不为零，可得［＞2-9=0,进而得出答案.

lx+3户。

2力

【解答】解：•・•分式三二之的值为零，

x+3

.fX2-9=0

IX+STTO

即产3,

Ix#-3

解得x=3.

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键.

12.（3分）已知多边形的内角和等于外角和的两倍，则这个多边形的边数为6.

【考点】多边形内角与外角.

【分析】任何多边形的外角和是360°,内角和等于外角和的2倍则内角和是720°.〃边形的内角和是（H-2）-180O,如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数.

【解答】解：根据题意，得

（H-2）*180=720,

解得：”=6.

故这个多边形的边数为6.

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中.

13.（3分）已知（.v+4）（.r-9）=/+，〃.136,则的值为-5.

【考点】多项式乘多项式.

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：:（x+4）（x-9）=?-5x-36,

:•m=~5,

故答案为：-5.

【点评】本题考查多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型.

14.（3分）如图，N4=80°,。是48,AC垂直平分线的交点，则N80C的度数是160a.

【考点】线段垂直平分线的性质.

【分析】连接OA,根据一:角形内角和定理求出/48C+/AC8=100°,根据线段的垂直平分线的性质得到0A=08,OA=OC,根据等腰一角形的性质计算即可.

【解答】解：连接。4、OB,

•・・/A=8（T,

••・NA8C+NAC8=I（XT,

丁。是A8,AC垂直平分线的交点，

**•OA=OB»OA=OC,

：.4OAB=4OBA,ZOCA=ZOAC,OB=OC,

・・・NO8A+NOCA=80°,

AZOBC+ZOCB=100°-80°=20°,

，：OB=OC,

AZBCO=ZCBO=\00,

/.ZBOC=180°-N08C-NOC8=160",

故答案为：160°.

Q<

BC

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

15.（3分）如果〃l〃-3=0,那么代数式（工•一R_的值为3.

nm+n

【考点】分式的化简求值.

【分析】根据分式的减法以及乘除运算进行化简，然后符〃l〃的值代入化简后的式子即可求出答案.

22

【解答】解：原式=旦二_•工

nm+n

=（m+n）（m-n）,n

nm-41

=m-n,

当m-n=3时，

原式=3.

【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于•基础题型.

16.（3分）如图，在△A8C中，AB=AC,ZBAC=45°,AD,3£是443。的高，点P是直线AO上一动点，当PC+PE最小时，则/8PC为135度.

【考点】轴对称-最短路线问题：等腰三角形的性质.

【分析】由题可知B点C点关于直线4。对称，当8、P.E三点共线时，PC+PE的值最小，则AD与8E的交点即为P点.

【解答】解：•・・A8=AC,八£）是448。的高，

点。点关于直线AD对称，

:・PC=PB,

•・•点户是直线AO上一动点，

:.PC+PE=PB+PE2BE,

，当B、P、E三点共线时，PC+PE的值最小，

・,.AO与BE的交点即为P点，

VZBAC=45a,

AZABC=67.5°,ZABE=45°,

:.NPBD=22.5°,

,:BP=PC,

：,ZBCP=22.5°,

AZfiPC=180°-22.50-22.5°=135°,

故答案为：135°.

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键.

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（8分）（1）计算：（x-4）（x+2）；

（2）分解因式：cr'b-ab.

【考点】多项式乘多项式；提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】（I）利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果：

（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.

【解答】解：（1）（x-4）（x+2）

=AT+2X-4x-8

=/-2v-8：

（2）原式="（J-1）

=ab（a+1）（A-1）.

【点评】本题考查了多项式乘多项式和提公因式法与公式法的综合运用，关键是熟练掌握运算法则.

18.（8分）解分式方程：

（1）

x+1x

（2）1ZL=-1--2

x-22-x

【考点】解分式方程.

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解;

<2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【解答】解：（1）去分母得：2x=3x+3,

解得：工=-3,

经检验x=-3是分式方程的解：

（2）去分母得：1-x=-1-Zv+4,

移项合并得：x=2,

经检验x=2是增根，分式方程无解.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

19.（8分）如图，点8,E,C,尸在同一直线上，AB=DE,BE=CF,_____.求证：ZACB=ZDFE.

（1）请从①A5〃O£②N4=NQ,③AC=O尸中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立.你的选择是①或③.（只需填一个序号即可）;

（2）根据（1）中的选择给出证明.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】（1）根据全等三角形的判定方法可得出结论;

（2）根据SAS和SSS可得出结论.

【解答】解：（1）①或③；

故答案为：①或③；

（2）若选①.

证明：'：AB//DE,

・•・ZABC=ZDEF,

，：BE=CF,

:・BC=EF,

在△ABC和中，

'AB=DE

-NABC=NDEF，

BC=EF

.,.△ABC^ADEF（SAS）,

:.NACB=/DFE；

若选③.

证明：,；BE=CF,

：.BC=EF,

在△ABC和△£>£：尸中，

rAB=DE

<BC=EF，

AC=DF

.,.△ABC^ADEF(SSS),

:.ZACB=ZDFE.

【点评】本题考查了等式的性质和全等三角形的性质和判定的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等式的性质是解题的关键.

2

20.(8分)先化简代数式a，a+l((卜工),再从2,-2,1,-1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值.

a2-4a+2，

【考点】分式的化简求值.

【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可.

【解答】解：原式=「仁三产、十丝之3

(a+2)(a-2)a+2

(aT)2.a+2

(a+2)(a-2)a-1

•・Z+2W0,a-2^0,a-1^0,

.•・4只能取-1,

当a=-1时，原式=二-1.=2.

-1-23

【点评】本题考查了分式的混合运算和求值和分式有意义的条件，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键.

21.(8分)如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上.

(1)作AABC关于直线MN对称的图形△48C.

(2)若网格中最小正方形的边长为1,求△ABC的面积.

(3)点P在直线MN上，当△出C周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点.

【考点】作图-轴对称变换.

【分析】(1)根据轴对称的性质即可作AABC关于直线对称的图形△AbC；

(2)根据网格中最小正方形的边长为1,即可求△ABC的面积：

(3)根据两点之间线段最短，作点A关于MN的对称点A',连接A'C交直线于点P,此时△出C周长最小.

【解答】解：(1)如图,△A5C即为所求；

（2）△A5C的面积为：/X3X2=3；

（3）因为点A关于MN的对称点为A',连接A'C交直线MN于点尸，此时△办。周长最小.

所以点尸即为所求.

【点评】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短.

22.（8分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢.某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元.

（1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？

（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？

【考点】分式方程的应用：一元一次不等式的应用.

【分析】（1）设第•次购进冰墩墩x个，由题意：第•次用22000元，很快销售•空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元.列出分式方程，解方程即可；

（2）设每个冰墩墩的标价为。元，由题意：全部销售完后的利润率不低于20%,列出一元•次不等式，解不等式即可.

【解答】解：（1）设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进冰墩墩2x个，

根据题意得：22000-48000.2

x2x

解得：x=200,

经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，

答：该商家第•次购进冰墩墩200个.

（2）由（I）知，第二次购进冰墩墩的数量为400个.

设每个冰墩墩的标价为。元，

由题意得：（200+400）（1+20%）（22000+48000）,

解得：140.

答：每个冰墩墩的标价至少为140元.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程：（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式.

23.（12分）在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点尸旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、于点。、点E,图①，②，③是旋转得到的三种图

形.

（I）观察线段。。和PE之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；

（2）观察线段8、CE和8C之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明：

（3）△/%£是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出NPE8的度数：若不能，请说明理由.

【考点】几何变换综合题.

【分析】(1)连接PC,证明△OPC丝AEPB(ASA),由全等三角形的性质即可得出结论：

(2)连接PC,同(1)得ADPCgAEPB(ASA),则CD=3E,进而得出结论；

(3)分BE=BP,EP=EB,EP=P8三种情况，由等腰三角形的性质分别求出NPEB的度数即可.

【解答】解♦：(1)PD=PE,理由如下：

图②

如图②，连接PC,

•••△ABC是等腰直角三角形，P为斜边A8的中点，

：,PC=1AB=PB,CP1AB,NOCP=_1/ACB=45°，

22

:./DCP=/B,

又,；NDPC+NCPE=90°,NCPE+NEPB=90°,

:.NDPC=/EPB,

在△OPC和△EP8中，

，ZDCP=ZB

•PC=PB，

ZDPC=ZEPB

:・ADPC沿4EPB(ASA),

：.PD=PEx

(2)CD+BC=CE,理由如下：

连接CP,如图③所示：

：，CD=BE,

，：BE+BC=CE,

：.CD+BC=CE；

(3)△P3E能成为等腰三角形，理由如下：

①当3E=8P,点E在C8的延长线上时，如图③所示:

则

又・.・/瓦/82£=/43。=45°,

:.NPEB=225°.

②当BE=8P,点E在C8上时，如图④所示：

图④

则NPE8=/BPE=_1(180°-45°)=67.5°.

2

③当EP=M时，如图⑤所示：

图⑤

则NB=/BPE=45",

・・.NPEB=180°-ZB-ZBPE=90°:

④当£P=P8,点E在8。上时，如图⑥所示:

图⑥

则点E和C重合，

:.NPEB=NB=45°；

综上所述,△尸8£能成为等腰三角形，NP£B的度数为22.5°或67.5°或90°或45°.

【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰

:角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.

24.(12分)如图，在直角△A3C中，/BAC=90°,点。是8C上一点，连接AD,把4。绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接£>£：交AC于点M.

(I)如图I,若A8=2,ZC=30°,ADLBC,求CO的长；

(2)如图2,若/AOB=45°,点N为ME上•点，MN=2BC,求证：AN=EN+CD；

2

<3)如图3,若NC=30°,点。为宜线8c上一动点，直线。石与直线AC交于点M,当为等腰一角形时，请直接写出此时NCDM的度数.

【考点】几何变换综合题.

【分析】(1)利用直角三角形30°角的性质求出8C=4,BD=\t可得结论：

(2)如图2中，过点4作4”_1。£于从AJ_LBC于J.ATLAN交BC于T.首先证明(4SA),推出AN=47；EN=DT,证明RtZkAMV丝(”L),推出NAN〃=/47V,证明△4VM丝△A73(ASA),

推出NM=37；由例N=Zc,推出8T=Lc,可得8r=。7,，推出AT=Cr,即可解决问题；

22

(3)分四种情形：如图3-1中，当点。与B重合时，ZXADM是等腰直角三角形，如图3-2中，当以。=。时时，，如图3-3中，当M4=MD时，如图3-4中，当D4=OM时，分别利用等腰三角形的性质以及三角

形内角和定理求解即可.

【解答】(1)解：如图1中，

图1

在RlZkABC中，ZBAC=90°,AB=2,ZC=30°,

；.BC=2AB=4,ZB=60°,

^ADIBC,

••・NAO4=90°,

AZBAD=30°,

；・BD=1AB=I,

2

：,CD=BC-BD=4-1=3：

(2)证明：如图2中，过点A作A〃_LOE于〃，AJ_L8C于J,A7\LAN交BC于T.

图2

*：AD=AE,ZD4E=90c,

AZADE=ZE=45°,

VZADfi=45°,

:.NADB=/ADE,

VAJ1DB,AH1.DE,

：.AJ=AH,

'：/7AN=NDAE=90°,

：./EAN=4DAT,

在△AEN和△ADT中，

rZEAN=ZDAT

<AE=AD，

ZE=ZADT

・•・△AEN也AADT(ASA),

：,AN=AT,EN=DT,

在RtAAMV和RtAATV'|J,

[AH=AJ,

lAN=AT，

ARtzMWN^RtA4JT(HL),

:.NANH=ZATJ,

VZA^T=ZC4fi=90°，

:.NNAM=/TAB,

在AANM和△AT3中，

rZNAM=ZTAB

<AN=AT，

,ZANM=ZATB

(ASA),

:.NM=BT,

•：MN='BC,

2

工BT=、BC,

2

:.BT=CT,

：.AT=CT,

:.AN=CT=DT+CD=EN+CD；

解法二：过点A作ATLAN交8CT•点T.

证明△AENg/XADT,推出EN=O7,AN=AT,再证明AT=CT,可得结论.

(3)解：如图3-1中，当点。与8重合时，ZkADM是等腰直角三角形，此时/COM=NABC-NABE=60°-45°=15°.

：,ZAMD=ZDAM=1.(180°-45°)=67.5°,

2

,/ZAMD=ZACB+ZCDM,

.•・/CZW=67.5°-3(T=37.5°.

••・NC£>M=900-ZDCA/=60°.

如图3-4中，当D4=OM时，/D4M=N£)M4,

E

VZADE=ZDAM+ZDMA=45°,

・・・/£>AM=/DMA=22.5°,

.•.ZCDA/=1800-ZDCM-ZDA/C=I800-30°-22.5°=127.5°,

综上所述，满足条件的N