国际实验学校高中奥数辅导资料之二 数列

国际实验学校高中奥数辅导资料之二数列

一、数列的基础知识

1.数列｛an｝的通项an与前n项的和Sn的关系

它包括两个方面的问题：一是已知Sn求an,二是已知an求Sn；

2.递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列

与等比数列的有关问题，然后解决。

常见类型：

类型[：卜」(吸(P(")RO)(一阶递归)

=a(a为常数)

其特例为：(1)aw+i=pa„+q(p3O)(2)a„+]=pa„+q(n)(prO)

(3)an+l=p｛n｝a„+q(p*O)

解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列''的新数列。

=即”+1+qa„("0,qr0)

类型II：(二阶递归)

at=a,ai=b(a,方为常数)

nn

解题方法:利用特征方程/=px+g,求其根a、⑶构造an=Aa+Bp,代入初始值求得A,B。

类型HI：斯+/=A斯)其中函数犬x)为基本初等函数复合而成。

解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。

二、等差数列与等比数列

1.定义：

2.通项公式与前n项和公式：

函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指

数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。

三.等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？

数列问题的综合性主要表现在

1.数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽.

2.同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的

数列，需相互联系，相互转换.

数列问题的灵活性表现在：

1.需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量

计算.

2.需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系.

例题讲解

1.己知(6—c)log，〃x+(c~a)｝ogmy+(a~b)\ogmz=0①

(1)若a、b、c依次成等差数列，且公差不为0,求证X、)，、z成等比数歹U；

(2)若x、y、z依次成等比数列，且公比不为1,求证a、b、c成等差数列.

2.数列｛““｝的前n项和S,=a-2n+b(neN),则｛斯｝为等比数列的充要条件是

3.设等差数列｛斯｝的前“项和为S”若$7=56,S〃=420,斯7=34,贝U〃=

4.等差数列中,“3+47-00=8,“11-〃4=4,求S13

5.各项均为实数的等比数列｛“〃｝的前〃项之和为S",若Sio=lO,S3O=7O,求S40。

22

6.设｛为｝是首项为1的正项数列，K(n+l)an+i-nan+an+ian-0,(n=l,2,3,…)，则它的通项公式

是an=.

23n

7.已知f(x)=aix+a2x+aax+...+anx,且ai,a2,a3,...,an组成等差数列(n为正偶数)，又

f(l)=n2,f(-l)=n；

(1)求数列｛an｝的通项an；

(2)试比较f(0.5)与3的大小，并说明理由。

8.在1与2之间插入个正数小廊村,…,a。，使这n+2个正数成等比数列；又在1与2之间插

入个正数bi,b2,b3,…,bn，使这n+2个正数成等差数列。记An=aia2a3…an,Bn=bi+b2+b3+...+bn.

(1)求数列｛An｝和｛Bn｝的通项；

(2)当nN7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论。

9.设任意实数*,），满足|小1,|），|<1,求证：1一一1一/l-xy（第19届莫斯科数学竞赛

试题）

10.从〃个数…,/3>2）中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明:

这两部分之和不可能相等

11.已知a„^2+2an_1,求数列｛aj的通项公式。

12.正整数k,g(k)表示k的最大奇因子(例如g(3)=3,g(20)=5),求g(1)+g(2)

+g(3)+……..+g(2n)(其中n£N*)

13.将数字1,2,3,……n填入标号为1,2,3,……,n的n个方格内,每格一个数

字，则标号与数字均不相同的填法有多少种？

14.用1,2,3三个数字写n位数，要求数中不出现紧挨着的两个1,问能构成多少个n位

数？

,,[an^.=7a„+6b„-3

15.设数歹U{aj和{bj满足ac=l,bo=O,且<(n=0,1,2,.......)

H=8a“T+7bn-4

证明：a„(n=0,1,2,是完全平方数

2QTT

16.已知a,b均为正整数,且a>b,sin9=H,),(其中0<。<々)，A产(a2+b2)nsinn。

a2+b22

求证：对一切正整数n,土An土均为整数

2ab

227

17.(1)证明：3-----1-----1-.........<3;

(n-1)!2!3!

(2)求正整数a,b,c,使得对任意neN*(n>2),有

b——--<^-^-+^-=^-4-

<b

(n-2)!2!3!+=n!

18.设A,E为正八边形的相对顶点，顶点4处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从八边形

的任一顶点跳到两相邻顶点中任一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，设青蛙从顶点A恰

好跳n次后到E的方法数为an,求知

19.《,生，…….表示整数12..…,〃的任意一排列，设/(〃)为这些排列的数目,

使得:(1)0=1(2)\ai-ai+i\<2(Al,2,……,n-l).确定/(1996)是否能被3整除

课后练习

1设数列1血…血，….满足。1=。2=1,。3=2,且对任何自然数几,都有1斯+1斯+2=1，又

+］。〃+2。〃+3=。〃+。〃+】+%+2+。〃+3，贝(I〃1+。2+3.+。100的值是

2设正数列的0/2,…，如，…满足由］2一疯工2=261(〃》2)且所0=1.求｛斯｝的通

项公式.

3已知数列｛%｝满足3。“+|+。”=4(〃21),且4=9,其前n项之和为S“，则满足不等式

|S“—〃—6|<—匚的最小整数〃是()

11125

(A)5(B)6(C)7(D)8

4设等差数列｛《J满足3a8=5a”且q>0,s.为其前项之和，则a中最大的是()

(A)S|o(B)S“(0与0(D)、2i

5等比数列｛%］的首项4=1536，公比g=-1，用n“表示它的前n项之积。则□“(〃eN)

最大的是()

(A)n9(B)nH(c)n12(D)n］3

6设数列｛所｝的前项和Sn=2an-l(n=l,2,3,…数列出J满足加=3,6+1=诙+及4=1,2,3….).求

数列｛d｝的前n项和T,.

7已知数列｛""｝满足""+|一一”"T(〃22),xi=a,x2=b,idS„=xi+x2+...+x„,则下列结论

正确的是()

(A)xi(x尸-“,Sioo=26-a(B)x\oo=-b,S［oo=2b-a

(QXIOO=-/J,5Ion-h-a(D)xioo=-a,Soo=b-a

8设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项的和为972,则这样的数

列共有()

(4)2个(8)3个(。4个(05个

9各项均为实数的等比数列｛斯｝前“项和记为S”，若&O=1O,S3O=7O,则S40等于()

(A)150(B)-200(C)150或-200(D)400或-50

10等比数列〃+log23,q+log43,q+log83的公比是.

S”

11设S“=l+2+3+…+〃,〃wN,求危）=（〃+32）S"+I的最大值.

12设｛4｝为等差数列，为他“｝等比数列，且伪=q2,e=出2,a=^2（q＜出），又

lim（优+4+…+么）=①+1,试求｛/｝的首项和公差.

13如图，有一列曲线《‘78’……已知庶所围成的图形是面积为1的等边三角形,

4+1是对4进行如下操作得到：将久的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外

作等边三角形，再将中间部分的线段去掉…）记》为曲线匕所围成图形的面

14删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003

项是（）（A）2046（B）2047（C）2048（D）2049

fl1

__£-

15已知数列0。M，％，•••，凡…，满足关系式（3_"，向）（6+。“）=18且旬=3,则i4的值

是O

16在平面直角坐标系尤oy中，y轴正半轴上的点列｛A“｝与曲线y=（x20）上

的点列低｝满足==L直线44在X轴