矩阵分析习题及答案

例L6试证：在於”2中矩阵例1」5若在维线性空间中线性变换.〃使得对于V中的

任何向量¥都有-())KO,求在某一基下的

必=[；；].=[；》，=[；3m“"7fwo“w

矩阵表示・

解：由例1.14可知，"个向量)/(£).…，

线性无关，并求a=[:；]在下的坐标・

水"-'什>线性无关，它是y的一个基.又由

，，一)，…,"i(S)]

解：设居a+跖。2十出3a3十%。4=0

=1W<f

=[，(F),"2(f),...,、『.T*),01

11+处ri。i」iriT■1O-

+k+幻

1」LI0.-1h■00-00,

「M+&+&+34+刈+软]10-00

=1=o

l患+63+&4A[+&+k.\-=[f，"律),"2(f…)]01…00

*♦k・■•a•

于是

舟+&+无3+Z=0,Q+%2+=000-00

M+&3+3=0，a+M+A=o.0。…10.d

所以在£,”£),.〃・)，•••一”一下矩阵表示为阶

解之得W(f)n

矩阵

k{—k2=k3==0

-o0…00'

故5,a2,6,6线性无关・

10…00

设

01・・・00

••:•

00•••00

工+J*2+彳3+右11+彳2+131・・・

二.0010.

-川+13+々+八十箱」评注：”维线性空间V中任何一组"个线性无关的向量组都

于是

可以构成V的一个基，因此S,4(£),/〃(§),“.,w—(£)是v

©+072++Is=a，々+彳2二分的一个基.

彳]+13+N&=',才|+彳2+父&=d

例1.23设W是线性空间公匕的线性变换，它在N中基

解之得

a(,a〉四下的矩阵表示是

x[=h+c+d—2a.xz=a—c

-123一

曲=a一•d,=a-6

A=-103

工.心"3，4即为所求之坐标,

.215.

例L14设必是“维处空射的一个触变换,对某个(1)求w在基4=6，耳=6+6,以=ai+a+a$下的矩阵

表示•

有“长序0,〃(6=0,试证：KMf),“，《)・

(2)求一〃在基ai，s，a3下的核与值域.

黜无关.解:(1)由题意知

证版设q[a],a?,。3]=〔3，。2・6]4

11r

ltf+AMf)+/*《)+”,+*0-(6)=。@

[旦,&隰]=011

用，”从左版。式期，由W噂)=。可得.001.

3%)=0设W在基A,旦£下的矩阵表示是B,则

-1-

因为才噂厚0,所以。=0,代人版可用■11r-123-11r

l

B工PAP=011…103011

me+INK)+“,+/*"”)=o②,O01..215.90i.

用01从左■乘②式两端由0y)=0可得/产。，继续下去,-444-

=一-6

可得/产,“=*=0,于是fw(e)"K)严，"可)线性3-4

238.

无关，(2)由于I可齐0,故AX=O只有零解.所以、〃的核是零空

间.由维数定理可知M的值域是线性空间K3.

1-12.解：（1）由题意知例2.8已知A”=Ea为正整数）,证明：A与对角

・-110]相似.

[%，％,。?]=10]]证明：只要证明A的每一个Jordan块都是一阶的•那么

_1-11J与对角矩阵相似,设A的Jordan标准形为

“[!必必]=[。】・％，氏1441

于是

一一110、

[£|,£2，£31=15,。2，03]1。1

_1-11.

那么存在相似变换矩阵p使得尸幺尸=儿因此

r=p-Akp=E

--11一1'

于是有

=。1-1

.101.

其中

--11-V

P=01-1

.101.%X%

故/必为一阶子块，即s=k.所以A与对角矩阵相似.

即为所求过渡矩阵.

设B是线性变换处在基瓦倨限下的矩阵表示，即2—6证明：设的Jordan标准形为

q^[£”£2，£j=[£：，R，&313

「41

于是

1I0141

B.=P-AP=22o|Jt

.302」

(2)由于方程组AX=0的基础解系是口，一1.1丁，所以1

”的核子空间

d,Xd.

N(A)=span{cT1——十%)—span{1-2,2,31'}

且存在可逆矩阵P使

，/的值域

R(A)=span{、"(5)~"(囚),・"(/)}

PiAkP=

—span(ctj+%-q，/+20f,o—5十3a3)

由于£=4,所以

二span-0,0,-

J2=(P】AP)2=尸742P=J=P_4P

=span{[0,0,l了，

从而有

1一16.设久是矩阵A的任一特征值，其对应的特征向量为即i,2,…

布•4a=Za,那么有又力2=后，于是可得（下一].=0,注即

意到a并0,从而有X=l,因此A的特征值只可能是十1或者一1.

q100

1-17.方法同上，1

o2a,1

1-18.证明：设可逆矩阵4的特征值为人对应的特征向量为

a,则Aa=Aa,从而A%a=AT（la）,即Ea=AA-】a,因此4[a=

ja.所以4的特征值为十，对应的特征向量为a.

00

从而

4=1或a,

从而j为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1或o•适当

调整对角线上的元素的顺序，可得方阵

i

0

0J

而且A相似于此矩阵.

3-55-2证明：(1)由教材定理5.2.1可知||A|)f=

山(肝4)]上此即矩阵的Frobenius范数的定义，因此\\A[=

-0-1i-

解：⑴A=100[tr(胪A)方是矩阵范数.

_i00.(2)①||A||—nmax|20,显然有，||A||=0当且仅当A=0.

首先求出矩阵A的特征多项式为I履一A|—2(*+2),所以A

②||kA||=nmax|kay|=I|max\alf\—k||A||.

的特征值为A=Ci,%=-Ci,4=0.*■}1.J

(§)||A+B||=，max\W九max|+〃max\b,\

对于特征值Ci，求得一个特征向量X|=[C,-i,口工»J•')।J)

=IIA||+||B||.

对于特征值一/Ti，求得一个特征向量K=[-c,-i,

对于特征值0,求得一个特征向量*3=[0,1,1丁.n»

④||AB；|—nmaxj<nmax\a\'maxXl^.-l4

由于4为正规矩阵.所以X*2,k是彼此正交的，lk

，{'J/=】'"2i

别将小,小,船单位化即可zimax|q/•nmax也/=(nmax\a,\)(«max也「)―

，，f

Ti.kk./£2

1口上IIA||.||fil|,

=[争，

22222.这表明IIA||是矩阵范数•

卜，年5—4证明：设a€C",且a=[jj,Z2…,J%],,那么

n

于是取IIal|I=yj|jr,[<nmaxU,'=n\\a||

仁问a”

'ZT/To

22所以!RailWila11”

Z2~.又

U21

27Tn

2a

1上Z7||ail=nmaxiJC,I&X=?lHa

LT22

从而有IIa||cWilaII.

而且有2

又

00

IIa||f=Sk,l2<(SiAl)2

UHAU

=0―0x=1>=!

L000J

由此可得IIail2(flalli.

⑶综上所述，有

解：首先求出矩阵4的特征多项式为|AE-A|=N—24+2,511ahM&IEvMl,

所以A的特征值为4=l+i,A2=l-i.

对于特征值l+i.求得一个特征向量篙=口.1尸.

例6.5已知矩阵

对于特征值]一i,求得一个特征向量X[=[—i,lF

'100、

由于A为正规矩阵•所以是彼此正交的，只需分别将

X-刈单位化即可A=-12-1

.002、

求矩阵函数f(A)的Jordan表示.并计算eA,eMtarctany>siny

A,cosnA.

解：首先求出矩阵A的Jordan标准形

z-iooip-

犯一4=1A-21=1

.004一2」L(4一1)(4-2下一

从而有

-1+i

VHAV=

.0

所以A的Jordan标准形为

例6.7已知矩阵A,求矩阵函数"4）的Jordan表示•并计

100一

7=021算e'sin,cosTTA,ln(E**bA).

_002.2100_「2100-

设P=[a],代入AP=FJ,得02000210

(1)A=,(2)A=

(A(x]=a}((E—A)a}=000110020

，.0002-

s4a2=2a2，此即j(2E—A)a2=0.0001

解：(1)矩阵函数”4)的Jordan表示为

1A%二%十2a3l(2E—4)a,=-a2

7■⑵f(2>00'

,0/(2)00

⑷-00/⑴r⑴

.000/(I).

当y（N）=e"时，/（2）=。，，（2）=耐,J（D=e',.r（l）=Ee'，故

001

/(4)=P/(J)P70e2f00

007te'

.000ez.

当/(^)=siny,r时J'(2)=0,.7(2)=一I)=11)40,

故

0-I0。一

当片时J(l)=e,/(2)=人,/72)=小故sin-t-A=

20010

-e00-

,0001.

e"=—e2e2—e2

e当/Q-)=cosh时./(2)=1・/'(2)=0=-1,/(1)=0.故

2

_00e.-100o-

当_fCr〉=e"时,/(l)=e',,f(2)=e",,f'(2)=re",故0100

cosxA=

00-1()

.000-1.

一e，00_

当f(丁)=ln(1+了)时,/(2)=ln3,/'(2)=+.八1)=ln2,

eA=e‘-e2/e"—te21

.00e2/-八1)=同故

11

当/(1)=arctan,y时/(1)=arctan—,/(2)=arctan于J'(2r,ii

442ln3v00

0ln300

ln(£+4)=

工00In2y

arctan700

.000IngJ

A111J_

arctan—=arctan-----arctan—arctan

44一T（2）矩阵函数f（A）的Jordan表示为

00arctan:/(2)f(2)0

/(A)=0/(2)/⑵0

当/(x)-sinyjr时J(l)=lJ⑵=0,/(2)二—，，故

007(2)0

100~)000/(2)-

sin三A=10yI

乙Lt।当/（才）=b时，，⑵=e”,/（2）=归”,/"（2）=限3故

00Oj

合rea0

当ftr)=cosm时J(l)=-1J(2)=l,/(2)=0,故21

-100-2/

eM—0e0

cosxA=-210

000

.00L

,o00e?<_

当/(x)=sin3工时,f(2)=O,，(2)=—，•尸(2)=0,故所以

z乙

/(I)=a。+©+%，+2/

0--00

/(2)=劭+2%+4a2

n.解之用

sin—A=00—y0

乙%=—2/(1)+/⑵,&=2/(1)+3/(1)—2/(2).

0000%=/(2)-/(I)-/(I)

_000OJ故

当/(才)=««叱时J(2)=l,y(2)=0,r(2)=-n2,故f(A)=(-2/(1)+/(2))E+(2/(1)+3/71)-

10一丁木202f(2))A+(f(2)一/(I)一/(D)屋

2!当/O)=e，时,/(l)=e,/(i)=e,f(2)=/,故

0100ex-(e2—2e)E+(5e—2^)A+(e2-2e)A2

0010"2ee0"

0001.=­e00

当/Cr)=ln(l+#)时，/⑵=昂3,尸⑵=..尸(2)—!■，故,4e-3ez3e-2e2e2,

当/Cr)=留时J(D=e'纪'J(2)=e*,故

11,31—呆得°e<4=(-2tel+/)£+(2el+3W-2e2l)A+(e2i-e，—ie^A2

_ep+1)组，0-

0ln340

ln<£+A)==—*er(l-t)0

00ln30--3〃+/。+3)"£+2)-2。*e\

_o00ln3.当/Gr)=smm时(1)=一力"(2)=0,故

-1-1O-

例6.11已知矩阵A,求矩阵函数/<4）的多项式表示.并计sinm4=2AE—3KA+nA2=it]10

算e'e'”,sinKA,COS7rA.--1-10.

22Y-210-当/(w)=cosu时J(D=-1J'(D=O,/(2)=1,故

(1)A=-261⑵A=-100一10O-

L004.一一2-12-cosKA=E—4A+2A2=0—10

L-6—4L

解：(1)首先求出