吉林省2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷（含解析）

A.OP=l;l*leB,AN=aU+^-c

学年度下学期期末考试+++

2022-202344433

—3-1-1→—1-1-

C.AP=—a+-b—cD.OM=—b—c

高一数学试题44422

本试卷满分150分，共3页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。5.在一EC中，角4B,C所对的边分别为α,b,c,且c=8,B=f.若ABC有两解，则6的值可

6

一、选择题：共60分

以是（）

（1）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

A.4B.6C.8D.10

是符合题目要求的。

6.关于用统计方法获取、分析数据，下列结论错误的是（）

1.若复数Z满足q=i2O",则忸=（）

A.质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，合理的调查方式为抽样调查

z+l

A.2B.2023C.√2023D.1B.若甲、乙两组数据的标准差满足S甲＜S乙，则可以估计甲比乙更稳定

2.已知直线/的方向向量a=（1,1,0）,平面ɑ的一个法向量为万=（1,1,-#），则直线/与平面α所C.若数据与/63,…，%的平均数为"则数据匕"x,T（i=L2,3,…的平均数为4-方

成的角为（）D.为了解高一学生的视力情况，现有高一男生200人，女生400人，按性别进行分层抽样，样本量

Λ.120°B.60°C.30oD.150°按比例分配，若从女生中抽取的样本量为80,则男生样本容量为60

3.《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，3

7.某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为乙队和丙队答对该题的

高称为“正广”，非高腰边称为“邪”.如图所示，邪长为46，东畔长为2√7,在4处测得C,D

概率都是:.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支

两点处的俯角分别为49°和19°,则正广长约为（注：sin41o≈0.66）（）

队伍答对该题的概率为（）

A.~B.-C.—D.一

23366

8.已知三棱锥。-4BC的顶点都在球。的球面上，底面“BC是边长为3的等边三角形.若三棱

锥。-48。的体积的最大值为喧，则球。的表面积为（）

4

4.如图所示，J健四面体的比的棱比的中点，点死E线段掰匕点屐线段/匕且∕P=3PN,Λ.16πB.12πC.8πD.4π

（2）多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

ON=；OM,设防==，OB=b＞^）C=c＜则下列等式成立的是（）

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、

育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将IOOO名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取

整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（）

C.异面直线48与尸C所成角的余弦值为逆

14

D.直线4C与平面CEE所成角的正弦值为妪

38

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.i是虚数单位，若复数Z=需(bwR)为纯虚数，则6=.

ʌ.。的值为O.005；B.估计成绩低于60分的有25人

14.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行

C.估计这组数据的众数为75D.估计这组数据的第85百分位数为86

取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之

10.已知„是平面单位向量，且亲W=g,若该平面内的向量值满足小I=万G=I,则

一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直

()至该银行卡被锁定.则小王至少尝试两次才能成功的概率是.

在某次调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，部分数据如下表.

A.(eve2)=^B.万MeI-ejC.a=∣(el+e2)D.∖a∖=^γ-15.

样品类别样本容量平均数方差

11.已知“BC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,。，则下列说法正确的是()

A.若4>B,则SiIvI>sin8A1032

B.若/=?,。=5,则"8C外接圆半径为10

6B3053

C.若α=2bcOSC,则“8C为等腰三角形根据这些数据可计算出总样本的方差为.

16.已知在△/!比中，角儿B,C所对的边分别为a,b,c,且α=7,点妫1Gi的中点，已知

D.若b=6,a=2cfB=≡则三角形面积ς,人瓜

3SliABC=673

BDAC=^-,则当角儆到最大值时SinC等于__________.

12.如图所示，A8C。为正方形，平面48C0工平面/6厂，E为N8的中点，AF1.BF,且2

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)2016年1月1日，我国实施“全国二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了

150名已婚男性，其中愿意生育二孩的有IOO名，经统计，该IOO名男性的年龄情况对应的频率分

布直方图如下：

A.（C4+C5）2=20

B.直线BC到平面尸的距离为2

20.（12分）如图，在三棱锥尸T比中，ZACB^0,必底面力比:

P

（1）根据频率分布直方图，估计这IOO名已婚男性的年龄平均值工、众数和样本方差$2（同组数据

用区间的中点值代替，结果精确到个位）：

（1）求证：平面必Ci.平面期G

⑵若在愿意生育二孩的且年龄在［30,34）、［34,38）、［38,42）的三组已婚男性中，用分层抽样的方

（2）若AC=BC=PA,求平面用8与平面磔所成二面角的大小.

法抽取19人，试估计每个年龄段应各抽取多少人？

21.（12分）一个口袋内装有形状、大小相同，编号为1,2,3的3个白球和编号为a的1个黑球.

18.（12分）如图1,菱形力8。。中，4=60。，AB=4,DEJ.AB于E,将根上。沿OE翻折到（1）从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率；

（2）从中连续取两次，每次取一球后放回，甲、乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲

AtED,使4E_L8£,如图2.

胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.

22.（12分）已知在‘8C中，角4aC的对边分别为。力,c,4=150。，点。满足丽=2丽,

SinNB力OSinZCJD3

--------+--------=一

且〃C2。.

f1sin2^

AD=-a--------

（1）求证：3；（2）求SmBSmC的值.

⑵在线段40上是否存在一点凡使E/〃平面48C?若存在，求二的值；若不存在，说明理

FA

由

19.（12分）已知向量满足∣α∣=G,W=2,卜+2倒=JJT.

（1）求向量方「的夹角6的大小;

⑵设向量加=32-彼,万=万+所，若晟♦的夹角为锐角，求实数A的取值范围.

2022-2023学年度下学期期末考试

高一数学答案

一.选择题：

（1）单项选择题（每小题5分，共8题，共40分）

12345678

DCAABDCA

（2）多项选择题（每小题5分，共4题，共20分）

9101112

ACDBCDACDACD

二.填空题（每小题5分，共4题，共20分）

13.-114.-15.3.516.辿

37

三.解答题

17.(10分)

(1)已婚男性的平均年龄亍和样本方差『分别为：

x=24∙0.04+28∙0.08+32∙0.16+36∙0.44+40∙0.16+44∙0.1+48∙0.02≈36,---------2分

s2=(-12)2∙0.04+(-8)2∙0.08+p/-0.16+0-0.44+42-0.16+82∙0.1+122-0.02≈25,

---------4分

众数为36.----------5分

(2)在年龄段［30,34)、［34,38)、［38,42)的频率分别为0.16、0.44、0.16,---------7分

0.16:0.44:0.16=4:11:4，•••人数分别为4人、11人、4人.-------10分

18.(12分)

(1)解：由题可知在菱形/8C。中，N4=60。，AB=BC=CD=DA=4,DElAB,

故NE=E8=2,ED=2y∣3,

所以在四棱锥H-EBC。中，A'E1ED,EB1ED,A'E1EB,

又EDCEB=E,所以HE_L平面EBCr),且HE=NE=2,---------3分

答案第1页，共5页

连接BQ,因为3C=CD=4,ZSCD=60。则SABCo=gx4x26=4百，

所以VC-A'BD=VA∙-BCD=；XNEXSMo=$2×4人=.

故棱锥C-48。的体积为述.-------6分

3

（2）解：存在点尸为4。的中点---------7分

设线段4。的中点为产，线段/'C的中点为G,连接E尸、FG、GB,

因为点尸为HD的中点，点G为/'C的中点，

所以尸G//OC,尸G=LDC=2,

2

又由（1）得，EBHDC,EB=2,

所以FG"EB,FG=EB,------------8分

所以四边形EBG尸为平行四边形，故EF//BG,EF=BG,

又所U平面HBC,BGU平面/2C,

所以EF〃平面HBC,此时点尸为WO的中点，-------10分

故D多F=L-----------------12分

（也可用空间向量解题）

19.（12分）

（1）由m+2司=同,两边平方得青+42彳+47=31，

,/IαI=ʌ/ɜ,W=2,

.∙.3+4）Z+4x4=31,解得。4=3,3分

∙∙∙c°Sedy

,4分

a∙b2

,.∙θ∈[O,π],5分

答案第2页，共5页

...”I------------6分

（2）向量总工的夹角为锐角，等价于玩•万>0且玩,方方向不同.

所以方,近=（筑-5）向+序）="2+a_1A∙3-%52=5%+6>0,解得和>_（,——8分

.∙.a+kb=λ（3a-by7>λa-λh

若雨,万方向相同，设万=丽（2>0）,

.∖a+kb=λ{3a-by3λa-λb,

VZ3不共线，

,I1=3λɪ1

∙∙∖11，解得∕=7，k=--,---------10分

[k=-λ33

综上所述，Ifc的取值范围是卜，和([,+6).---------------12分

20.(12分)

(1)∙.∙P∕1平面4SC,ΛBCLPA.

∙.∙ZACB90°,:.BClAC.

∙.∙P∕CNC=4,P4NCu平面必C,:.8C_L平面尸ZC.

∙.∙8Cu平面PBC,平面Λ4UL平面PBC--------------------5分

(2)在“5C中，取/8中点。，连接C。，则CZ)J

C

在AP/8中，过〃作DEjLP8于£,连接位

由P/1面/8C,得CO_1_尸/,又CDLAB,且PXcNB=RjNJBu平面阴8,

故CoJ"面P/8.

所以CDLPB.又DELPB,且CDCDE=D,CD,DEu平面CDE,故所

以LCE.

答案第3页，共5页

所以NCEO即为二面角力-PB-C的平面角.-----9分

设∕C=8C=P∕=2.由题可得，CZ)=√2，由Δ,BDEsaBP月得,

DEBD√2√6

PAPB2√33

zɔFX

在RtZXCQE中，tanZCED=――=ʌ/ɜ,则/CE。==.------11分

DE3

JT

即平面RI8与平面尸C8所成二面角的大小为---------12分

(也可用空间向量解题)

21.

(D从袋中一次性摸出2个球,所包含的样本点有：(1,2),(1,3),(l,a),(2,3),(2,a),

(3,0),共6个样本点；-------2分

摸出的2个球都是白球，所包含的样本点有：(1,2),(1,3),(2,3),

共3个样本点；-------4分

31

则从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率为P=S=彳；------6分

62

(2)从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的样本点有：(U),(∣,2),(1,3),

(l,α),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,α),(α,l),(0,2),(a,3),(α,α),

共16个样本点；-------8分

则取出的两个球中至少有1个黑球，所包含的样本点有：(l,α),(2,α),(3,α),(α,l),(0,2),

(α,3),(a,a),共7个样本点；----------------10分

因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为P=3，即甲胜的概率为二，则乙胜的概率

1616

为三9＞三7,所以此游戏不公平•----------12分

1616

22.(12分)

_____21

CD=2DB，则C。=针，BD=-a,

,,….,CfBDsinBasinB

在八ABD中sinZBAD=-------=------