立体几何-2021年高考数学（理）大题

精做04立体几何

一、空间中线面位置关系的证明

（一）平行关系的证明

[例1]（2021•江西高三其他模拟（理））如图，A3是。。的直径，动点夕在OO所在平面上的

射影恰是。。上的动点C,PC=A3=2,〃是小的中点，P。与B力交于点回尸是PC上的一

个动点.

PC

（1）若C。//平面班尸，求——的值;

FC

（2）若Q为PC的中点，BC=AC,求直线CO与平面跖尸所成角的余弦值.

解：（1）因为CO//平面班F，所以EF//OC,

PCPO

所以，=上.因为〃，。分别为PAAB的中点,

FCEO

PO3PC3

所以点〃为△PA3的重心，所以而=W—=Y

C(1,0,0),P(1,0,2),A(0,1,0),0(0,0,0),B(0,-1,0).

呜。,|）,呜,刹.

11

CD=-

d22历=停曰丽=

设平面BEF的法向量为n=（x,Xz）

f21「

—x+—z=0

EFn=O

:332令x=l，，为=(1J—2)

BEn=Q

—x+y+—z=0

13'3

CDn|xl+（4jX1+（-1）X（-2）_2

cos〈C方㈤

画•问一际7x卜卜；一§

直线CD与平面BE尸所成角的余弦值为更

3

反对策略

（1）证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边

形，或者运用线面平行的性质定理来证明；

（2）证明直线和平面平行，通常有两种方法：一是利用线面平行的判定定理，只要在平面

内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；二是由面面平行的性质：如果两个平面平行,

那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行.第一种方法是常用方法，一般

需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行.第二种方法常用于非

特殊位置的情形.

⑶证明面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②线面垂直的性质（垂直于同

一直线的两平面平行）.利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面

内的两条相交直线与另一个平面平行.

【对点训练1】（2021•河南高三月考（理））

1.如图，在四棱锥P—ABC。中，四边形A8CD是梯形，AB//CD,CD=2AB,点E是

棱PC上的动点（不含端点），F,。分别为BE,AO的中点.

p

E

AB

（1）求证：QF〃平面PCD；

,,_______UUUUUl-—

（2）若BDL平面ABC。，ADVDC,PD=AD=AB^\,PC=3PE>求二面角

P—8。—E的余弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）

（1）取3C的中点连接ME,QM,则可得EW〃CE,所以〃平面PC。，同理

可得QM〃平面PCD,根据面面平行的判定定理，可得平面。底加〃平面PC。，又Qbu平

面即可得证.

UUUULIUUUU

（2）如图建系，求得各点坐标，进而可得的坐标，分别求得平面E6O的法向

量而，平面P处的法向量7坐标，利用二面角的向量求法，代入公式，即可求得答案.

【详解】（1）证明：取BC的中点”，连接Mr，QM,如图所示，

AB

因为点尸，M分别为破，的中点，所以EW〃CE,

又CEu平面PC。，W平面PC。，所以K0〃平面PC。，

同理QM〃平面PCO.

又QMcFM=M,QM,fMu平面。底M,所以平面QEM〃平面PCO.

又QFu平面QFM,

所以QF〃平面PCD

（2）由题意知。P,DA,。。两两垂直，以。为坐标原点，以直线ZM,DC,DP为x,

y,z轴建立空间直角坐标系（如下图），

x

则。（0,0,0）,3（1,1,0）,C（0,2,0）,P（0,0,l）,

___uunuiaiuuruuaiuixii（22

所以丽=（1,1,0）,r>E=r>/j+^=pp+-PC=（0,0,i）+-（0,2,-i）=o,-,-

丽=（0,0,1）.

设平面的法向量机=（X|，X，Z|）,

%+X=0,

m-DB=0即，22

m-DE=01A铲0,

令％=T，则m=（1,一1,1）；

1UUtlUUUUUUI

设平面PBD的法向量n=（x2,y2,z2）DB,DE,DP,

n-DP=0z2=0,

则即《

n-DB-04+y2=0-

令%=-1，则〃=（1,T,。），

UIL

产r\m-n2J6

所以叫犯〃”即=J1+1+Z2=・

由图知二面角P—8D—£为锐二面角，

故二面角F—AD—E的余弦值为逅.

3

点评：解题的关键是熟练掌握面面平行的判定定理和性质定理，并灵活应用，利用向量法

求二面角步骤为①找到两两垂直的三条线建系，②求得所需点的坐标，③求得所需向量,

④求得两个面的法向量，⑤代入向量求夹角公式，结合图象判断，即可得答案.

(二)垂直关系的证明

【例2】(2021•全国高三月考(理))已知三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=1,三棱锥

。一43。中4。43,AQBC,VQC4为全等的等边三角形，QA=&

(1)证明：PQ，平面ABC；

(2)求直线Q3与平面AP。所成角的正弦值.

(1)设A8的中点为。，连接CO,在C£＞上取点M，使得CW=2MD,连接尸M，QM-

因为PA=PB=PC=1,48=BC=C4=夜，

所以△P4B，#BC,VPC4是全等的等腰直角三角形,

PC1PA,PC1PB,PACPB=P,

所以PCJ_平面PAB-

又48U平面尸48,所以PC_Lj十

因为A/lb。为等边三角形，所以。1/8.

又pcnco=c，所以_L平面P。。，

又PMU平面PC。，所以PMJ.48.

同理，PM1BC，ABcBC=B，

所以PM_L平面ABC

因为。01.48,QDcCD=D,

所以48_L平面。8，且。A/u平面。CD,

所以QU_L48.

同理，QM1.BC，ABcBC=B，

所以。M_L平面48C，

所以P，。，A/三点共线，所以20_1平面力8C

(2)由(1)可知PC_L平面848，PALPB'以点。为坐标原点，PA，PB，PC所在直线

分别为x，y,2轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则力(1,0,0),3(0,1,0),P(0,0,0),0(111),

所以而=0,0/)，苏=(i,o,o),而=(i,u)

设平面4尸。的法向量为ii=(x,j\z)»

则卜更=6即卜=°'解得卜3°'

n-PQ=0,[x+y+z=0,[y=-z,

令z=l，则y=T，所以斤=(0,-1.1).

设直线QB与平面力尸。所成角为。，

cn~BQI1

则所日丽|=前7

反对策略

(1)判断(证明)线线垂直的方法

①根据定义；

②如果直线a〃8,a_Lc,则。_Lc；

③如果直线@_1_面a,cca,则@_1。；

④向量法：两条直线的方向向量的数量积为零.

(2)证明直线和平面垂直的常用方法

①利用判定定理：两相交直线a,仁a,a±c,b1c=>c±a-

②a//b,a_La=6_La；

③利用面面平行的性质：。〃£,a_Lana_L£；

④利用面面垂直的性质：a工B,aC8=m,aua,a_Lg«a_L£；aLy,£_L7,

anB=gml_y.

(3)证明面面垂直的主要方法

①利用判定定理：a_L£,aua=a_L£；

②用定义证明.只需判定两平面所成二面角为直二面角；

③如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：。〃£,

a±/=£_L

(4)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交

替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；

(5)证明证明线面位置关系要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、

平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；证明过程一定要严谨，使

用定理时要对照条件、步骤书写要规范.

【对点训练2】(2021•广东湛江市•高三一模)

2.如图，平面46a4平面/庞，AD//BC,BCVAB,AB=BO2A^2,F为CE上一点,且邮_1_

平面/位

(1)证明：4EL平面及方；

(2)若平面力应1与平面。定所成锐二面角为60°,求/I。

答案：(1)见解析；(2)叵

3

(1)由平面48勿，平面/座证明比二面ABE,得至ljBCVAE,由所_1平面ACE,得到BFLAE,

从而证明力反1平面BCE.

(2)过/作而垂直4氏以通为x轴正方向，以而为p轴正方向，以•万为z轴正方向,

建立直角坐标系，用向量法计算可得.

【详解】(1)•.•平面16以4平面/跖46为平面46勿和平面力比'的交线，BCVAB,

J.BC^ABE,：.BC±AE

又曲」平面4X:.BF1AE.

又BCQBF=B,/.4EL平面BCE.

如图示，过4作而垂直力用以5为x轴正方向，以而为了轴正方向，以南为z轴正方

CJj1、

向，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,2,0),E:y,-,0,C(O,2,2),£>(0,0,m),

(A3\_

：.CE=——,—,2,CD=(O,—2,m—2)

I22J

一冬+|y+2z=0

加丝二°,即<

设〃z=(x,y,z)为平面仪应的一个法向量，则,

m-CD=0

0xx-2y+(m-2)z=0

［鬲+毡，m—2,2

不妨取z=2则加

f13J

显然平面4应'的一个法向量］前=(0,0,2)

mm______________4_____________

=cos60

f/3Y~

JG〃2+2—+(加-2)~+4x2

故助长为姮.

3

点评：立体几何解答题的基本结构：

(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理;

（2）第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐

标系，利用向量法计算.

（三）折叠问题与探索性问题

【例3】（2021•安徽高三一模（理））如图，在平面四边形40中，AB=AD,BOCA&,且8cL

CD,以初为折痕把44?〃和4皈向上折起，使点力到达点f的位置，点。到达点厂的位置（区F

不重合）.

E

D

（1）求证：EF[BD；

（2）若平面仍0L平面FBI）,点、6在平面46（%内的正投影G为△?!劭的重心，且直线厮与平面FBD

所成角为60°,求二面角止此〃的余弦值.

（1）如图所示，取8。的中点O，连接"）和£0，

由题意知和△均为等腰三角形，且=DF'BE=ED,

故FOLBD,E01BD.又因为FOr\EO=。.所以BD_L平面EFO,

又因为EFu平面EFO,所以EF1BD.

（2）由（1）知，EO工BD，又因为平面£8。J_平面F80，

平面£80「1平面/由。=8。,£'。＜=平面EBD,所以£0_L平面FBD，

直线EF与平面FBD所成角为Z.EFO，可得ZEFO=60"，

因为FB=FD=G、FB上FD，O为BD中点，所以广。=；80=1，

所以=所以BE=ED=BD=2,

即△EBD为等边三角形，G为等边的中心，

以0为坐标原点，OD方向为x轴正方向，。日的方向为丁轴正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系。-个工，

可得力（0,6。）,8（-100）,。（1。0）上o与冷，

__/R2卡、

贝IJ万=（一1,一石,0）,丽=（2,0,0）,赤=I,—，

、33,

设“I=（x,y,z）为平面ABE法向量，

——__"Gy=0

则，」—，可得＜£2X1G'令z=l，可得x=-几/=J5，

〃[,BE=0x+—y+z=0

33

即平面48£的一个法向量为彳=（-石,血」），

设元=（x.y,z）为平面“0的法向量，

,——2x=0

则与丝=0,即，令z=T，可得x=0,y=26

-BE=0x+——y+----z=0

233

即平面BE。的一个法向量为值=（0,2拉,一1），

则8s如〃2）=丽「6+2+N0+8+V5'

所以二面角4-8£-O的余弦值为;.

E

反对策略

（1）折叠问题分析求解原则：

①折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；

②折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变；

③抓住折叠前后的变量与不变量，画出平面图形和空间直观图，对比分析找出其数量关系

线面位置关系中的（1）（2）探索性问题，主要有两大类，一类存在判断型问题.存在型问题

是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可

能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由.解答这一类问题时，我们可以先假

设结论存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在.另一类是

给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题

（探索条件）.此类问题常采用以下方法：

①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明.

②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.

【对点训练3】（2021•黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三一模（理））

3.已知梯形5EEC如图1所示，其中〃七C,EC=3,BF=2,四边形ABC。是边长

为1的正方形，沿AO将四边形EZMF折起，使得平面EQ4F_L平面A8CD,得到如图2

所示的几何体.

E

C

图2

（1）求证：平面AECJ_平面

（2）若点，在线段3。上，且切与平面3£厂所成角的正弦值为亚，求线段的长度.

9

答案：（1）证明见解析；（2）二.

2

（1）利用折前折后的不变量先证明线面垂直，再进一步得到面面垂直.

（2）建系求平面班F法向量，建立方程求解.

【详解】（1）..,平面平面ABC。，DE^nEDAF

平面&MFn平面ABCD=AD，DEVAD

：.DE_L平面ABCD

,：ACu平面ABCD,DE±AC

•.•四边形ABC。是正方形二ACLBD

'；DE、BDu平面3£>E,DEcBD=D,：.ACBDE

,：ACu平面ACE：.平面AEC，平面BDE

（2）建系如图

z

设平面5所的法向量3=（x，xz）,£（0,0,2）,尸（1,0,1）,3（1,1。

EF•〃二0

则〃=(1,1』)

BF•〃二0

UU11

设”(a,a,0),EH=(a,a,-2)

.76

cos(£7/,〃|=2a—2

GJ2a2+4一9

17

解得"5或"W(舍)

・••DH当

二、空间向量的应用

（一）利用空间向量求线面角

[例4]（2021•甘肃高三一模（理））如图，在四棱锥P-4BC。中，底面48C。为梯形，

PA=PD=2丘，DC=AD=2AB=4^ABLAD^AB/ICD.PADABCD'E

为棱尸8上一点.

p

（l）在平面p/8内能否作一条直线与平面垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能,

请说明理由;

（2）若笠=!时，求直线力£•与平面P8C所成角的正弦值.

PB3

（1）过£•作E//交棱P/于产，£尸为所求作的直线，

因为平面P4Q_L平面48CZ），且48J.4。，

所以48_L平面P/。，

又因为EF//AB，所以£产_L平面P/ZT

（如证明力B_L平面P4D、或寻找尸8上任意一点作平行线、垂线都可）

（2）取力。中点。，8C中点M，连接0"，则0M_L平面P/。，

以O为坐标原点，0A所在直线为X轴，0A/所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直

角坐标系.

p.

则可得4(2,0,0),5(2,2,0),C(-2,4,0),P(0,0,2).则而=(2,2,-2)，SC=(-4,2,0).

x+y-z=0

设平面P8C的法向量为万=（x.y,z）,易得，

-2x+y=Q

不妨取力=（1,2,3）.

所以噌，会

因为P上E■=!I所以荏=424]

PB3『3句

设4E与平面P8C所成角为6，贝iJsin®=

I万1历广〒

所以/E与平面P8C所成角的正弦值为巫.

7

应对策略

（1）利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：

①通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角

就是斜线和平面所成的角；

②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角（或

其补角）.

⑵注意：直线与平面所成角的取值范围是10,

【对点训练4】（2021•广东广州市•高三一模）

4.在边长为2的菱形A8CD中，N3A/）=60。，点E是边的中点（如图1）,将AAD£沿

OE折起到△4OE的位置，连接AB,AC，得到四棱锥（如图2）

图1图2

（1）证明：平面A3E，平面8CDE；

（2）若连接CE,求直线CE与平面AC。所成角的正弦值.

答案：（1）证明见解析，（2）叵

14

（1）连接图1中的B。，证明然后证明。E_L平面ABE即可:

（2）证明平面5C0E,然后以E为原点建立如图空间直角坐标系,然后利用向量

求解即可.

【详解】（1）连接图1中的30,

因为四边形A3CD为菱形，且ZBA£>=60。

所以△480为等边三角形，所以OELA3

所以在图2中有。因为

所以。£，平面48后，因为DEuBCDE,所以平面AfE_L平面3CDE

(2)因为平面48E_L平面BCDE,平面4BEC平面8C£>E=BE,A,E1BE,

AiEuAXBE

所以4七，平面8CDE

以E为原点建立如图空间直角坐标系

所以A（0,0,l）,C（2,G,0）,D（0,G,0）,E（0,0,0）

所以丽=（0,6,-1）,而=（2,6,-1）,配=（2,6,0）

元•=y[3y-z=0

设平面AC。的法向量为〃=（x,y,z）,则<

n-=2x+>/3y-z=Q

则M。』词，所以c<4M>=淘=磊=答

令y=i,

所以直线C£与平面ACO所成角的正弦值考

（二）利用空间向量求二面角

[例5]（2021•贵州高三开学考试（理））如图，在四棱锥P-/I8CO中，平面咖！平面

ABCD,NPBC=90,/lDIIBC,NABC=90，2AB=2AD=41CD=BC=2

(1)求证：co_L平面/>8。；

(2)若直线产。与底面所成的角的余弦值为立，求二面角8-PC-。的正切值.

3

(1)证明：在四边形45co中，ADUBC,/ABC=90=2AB=2AD=4iCD=BC，

所以A/8。,A8c。都为等腰直角三角形，即CDA.DB，

又因为平面胸_|_平面ABCD/PBC=90、平面P8CD平面ABCD=BC,

所以直线尸8_1_平面/8。£)，又C£)u平面/8GD

所以P8_LCO

又PBcBD=B，

所以COJ•平面P8Q.

(2)以8为原点，8C,8P,8/分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

因为直线与底面48C。所成的角的余弦值为且

3，

所以在R3BD中，cos/PO8=吧=也押PD=®PB=2,

PD3

设平面如c和平面w法向量分为为成瓦易知可取而=(o,o,i),

因为定=(2,-2,0),反=(1,0,-1),

所以d。,,

DCii=Q

设所求二面角为仇

所以cos。=而斤=-U，

所卜同G

即lan。=及

反对策略

（1）利用空间向量求二面角，有两种方法：

①分别在二面角a-公尸的面a,万内，沿a,8延伸的方向作向量mil,则

这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；

②通过法向量求解.设®，。，Hh±j3,则两向量的夹角与该二面角相等或互补.

⑵注意：二面角的取值范围是［0,

【对点训练5】（2021•全国高三其他模拟）

5.如图，四棱锥P—ABCD的底面43CD内接于半径为2的圆O,A3为圆。的直径，

AB//CD,2DC=AB,E为A3上一点，且PE_L平面ABCD,ED=M.

（1）求证：PA1DE；

TF

（2）若直线依与平面ABCD所成的角为二，求二面角C-。的余弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）犯叵.

35

（1）连接CO,利用已知条件得到四边形45C0是平行四边形，连接。。，得到△AOD为

等边三角形，利用条件得到DE_LA。，再利用线面垂直关系得到利用线面垂

直的判定定理得到小，平面PAE,进而可得结论.

(2)由(1)可知E£>,EB,EP两两垂直，进而建立空间直角坐标系£-个z得到相关

U111/一一a

向量的坐标，求出平面P8D与平面PBC的法向量〃।,%，利用cos(〃|,〃2)得到二面角

。一必一。的余弦值.

【详解】解：(1)连接CO,

AB//CD,2DC=AB,

AOIICD,且AO=CD,

工四边形4OCO是平行四边形.

连接。O,

•.•圆。的半径为2,

AO=OC=DC=AD=DO=2,

”。。为等边三角形，

.•.在△A8中，A。边上的高为AL>sing=2sing=G.

ED=^,

...DE为A0边上高，

DEIA0.

'：PE_L平面ABC。，

DEu平面ABC。，

:.PELDE,

又DELAE,

AE,PEu平面/^4£,且AEcPE=E,

/.£>£!•平面

B4u平面Q4E,

，PAIDE.

（2）由PEJ_平面ABC0可知，

ZPBE为直线PB与平面ABC£）所成的角,

71

：.ZPBE=-,

4

PE=EB=3.

又由（1）知，ED,EB,石尸两两垂直，

如图，可以以E为坐标原点，以ED,EB,EP所在直线分别为％,z轴建立空间直

角坐标系后-町z.

则3（0,3,0）,C（＞/3,2,0）,。（6,0,0）,P（0,0,3）,

.•.丽=（G,—3,0）,丽=（0,3,-3）,阮=（月1,0）.

设平面95£）的法向量为勺=（%,y,zj,

J而E=0,

则

-3y=0,

得13%-34=t0,

得卜=后，

1弘=4，

令X=1，

则％=（疯1,1）.

设平面PBC的法向量为%=（工2，%，22），

则%=g,Z2=百,

«2=(1,6,6).

COS(晨巧)=“_36_3,105

同同亚*币35

易知二面角。一形-。为锐二面角,

...二面角C—PB—D的余弦值为竺匝.

35

点评：思路点睛：

解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：

（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内;

（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.

（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.

（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.

（2021•山东济宁市•高三一模）

6.如图所示多面体ABC。防中，平面4的，平面ABC。，CF_L平面ABC。，AADE是

正三角形，四边形ABCD是菱形，AB=2,CF=6ZBAD^^.

(1)求证：EF/mABCD^

（2）求二面角E-AF-C的正弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）

O

（1）要证明线面平行，需线证明信线线平行,过点E作EO_LAD交AO于点。，连接0C,

可证明四边形EOb是平行四边形，即可证明线面平行；（2）以。为坐标原点，建立如图

所示的空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值，再求

正弦值.

【详解】证明：（1）过点E作EOLAO交AO于点。，连接08,0C,BD

・平面平面ABCD

平面ADEf］平面ABCD=AD

EOu平面ADE

EO，平面ABC。

又AADE是正三角形，A£>=2

所以E0=6

平面ABC。，CF=6

：.CF//OE,CF=OE

四边形OCEE为平行四边形

，OC//EF

又OCu平面ABCD,Mz平面ABCD

：.EFU^ABCD

TT

（2）因为四边形ABC。是菱形，AB=2,ZBAD=~,OBLAD

故，以。为坐标原点，分别以砺，0B，赤的方向为x轴，）轴，z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系.

AA(1,O,O),B(0,73,0),C(-2,V3,0),Z)(-l,0,0),E(0,0,G),F1-2市四.

.•.荏=(一1,0,@,EF=(-2,73,0),丽=(l,®0)

设平面A£F的一个法向量为分=(x,y,z)

,n-AE=0\~x+\/3z=0r(y=2

由—八得厂，令》=百，得..

n-EF=0[-2x+百y=0[z=l

An=(73,2,1)

：CFJ_平面ABCD：.CF±BD

在菱形ABCD中，8。，AC又bC|AC=CBD1平面ACF

/.而是平面ACF的一个法向量

设二面角E-AF-C的大小为。

IIruuin।阳臼2+2叫3#

则18sq=cos{/t,DB

网丽一2日28

sin0=71-cos20=

8

点评：方法点睛：求二面角的方法通常有两个思路:

一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二

面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；

二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角

平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.

（2021•河南高三月考（理））

7.如图，在四棱锥尸-ABC。中，四边形ABCO为直角梯形，AD//BC,NADC=90。，

平面平面ABC。，。，M分别为A£>,PC的中点，PA=PD=AD=CD=2BC=2.

p

M

/I4\\\

/"--7*

A

（1）求证：8C_L平面PQB；

（2）求二面角A-BM-P的余弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）

217

（1）先证四边形8COQ为矩形。再证SC，PQ,由线面垂直的判定定理即可证明直线8C，

平面PQB；

（2）建立空间坐标系，分别求出平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求

解即可.

【详解】（1）因为。为AO的中点，BC=-AD,所以BC=QD,

2

又因为AO〃BC,所以四边形B8Q为平行四边形.

因为NA0C=9O°,所以四边形BCOQ为矩形，所以

因为Q4=PD,AQ=QD,所以尸

又因为AD〃BC,所以5CLPQ.

因为PQnBQ=Q,所以平面尸Q8.

（2）因为平面以Z>J_平面ABCD,结合（1）易知QA,QB,QP两两垂直,

以。为原点，QA,QB,QP所在直线分别为X,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.

因为。为的中点，PA=PD=AD=CD=2BC=2,

因为在Rt^PQA中，PQ^PA?-AQT爰-f=£，BQ=CD=2,

所以A(1,O,O),8(0,2,0),C(-l,2,0),P(0,0,@,因为M为PC的中点，所以

4申、

M

22

7

回

uiuuuu-1I,用=(0,2「@,

所以AB=(—1,2,0),BM2'司

设平面ABM的法向量为机=(w，y,zj,

m-AB=-%1+2y=0

由，_173，

m-BM=_y~^~~2~Z]=0

令y=l,得匕=2,z、=卡,即为平面ABM的一个法向量，

设平面PBM的法向量为分=(匕，%"2)，

n-PB=ly2-X/3Z2=0

由＜——1百，

n•BM=——x2-y2H-----z2=0

、22

令Z2=6得%=}“0,即。Jog，可为平面网的一个法向量,

设二面角A—助以—P为。，由题意，可得

HA/217

所以cos6

217

即二面角A-BM-P的余弦值为.

217

点评：本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：

(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用

方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.

⑵设玩，万分别为平面a,£的法向量，则二面角〃与〈玩，万〉互补或相等，求解时一定

要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

（2021•广西崇左市•高三二模（理））

8.已知正方体A8CD-4&的棱长为2,2EG分别为AB,BC,CG的中点.

（1）画出平面EFG截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据；

（2）求二面角G-七厂一男的余弦值.

答案：（1）答案见解析；（2）立.

3

（1）取分别为GA，〃4，A41的中点，利用线线平行可得证明；

（2）根据已知建立空间直角坐标系力-孙z,求出平面"G和EFB1的法向量利用向量数

量积公式可得答案.

【详解】（1）取分别为GA，AA，A41的中点，连接截面多边形为

如图所示正六边形EFGHIJ,

H

做图依据如下:

由做图过程知：”,/，分别为&2，。/，441的中点，：£"〃8。1，"://86，

EHHFG,即E,居G,H四点共面,

•;FIHCD\,HGHCD\,

：.FI//HG,所以尸,G,/四点共面E,居G,H,/五点共面,

\-GJ//CA,EF//CA,

..GJ//EF,E,F,G,J四点共面.•.点J在E,F,G,H,I五点确定的平面内，

故E,六点共面.

(2)据题已知可建立如图所示空间直角坐标系D-xyz,则

0(0,0,0),4(2,2,2),E(2,l,0),F(l,2,0),DB；=(2,2,2),

丽=(-1,1,0),函=(0,1,2),

由(1)易知万可=(2,2,2)为平面EFG的一个法向量，

n_LEF\n-EF——x+y=0,

设平面“4法向量为＞=(x,y,z),贝(J，声可得1正；八，

nlEB,1元.£：4=y+2z=0,

令y=2,则x=2,z=-l,

；.a=(2,2,-1)是平面瑁目的一个法向量，

/-Tio\心DB[65/3

/.cos(n,DB.)=---,',=—j=——=——

\/同工网2y/3x33

平面EFG与平面EFB1所成的二面角的余弦值为手.

点评：本题考查了正方体截面的问题、向量法求二面角的问题，关键点是建立空间直角坐

标系求出平面的法向量，考查了学生的空间想象力、计算能力.

（2021•云南高三其他模拟（理））

9.如图，在四棱锥P-ABCD的展开图中，点P分别对应点片，P2,P*,已知A,

。均在线段片《上，且［鸟,鸟。，6C=O,四边形ABC鸟为等腰梯形，AB//CP,,

P3

（1）若M为线段BC的中点，证明：BC_L平面

（2）求二面角的余弦值.

7

答案：（1）证明见解析；（2）

8

（1）由平面图形知空间图形中P。，AD,CD两两相互垂直，这样有平面ABCO,

则产。，BC,连接，取CO的中点E,连接8E,证明△BCD为正三角形，得。M,

这样可得线面垂直;

(2)以。为坐标原点，以方的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz,用空间向量法求二面角.

【详解】(1)证明：由可知po,AD,CO两两相互垂直.

因为Ar>na>=。，所以如，平面45CD,则

连接30,取C。的中点E,连接3E,因为==

所以3C=C£>,BE=AD=s/3CE,所以NBCD=6()。，

从而△38为正三角形，又因为M为的中点，所以DM,5c.

又因为尸DcDW=£>,PD,Z)Mu平面口加，所以BCL平面PZW.

(2)解：以。为坐标原点，以方的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz.

设AB=1,则0(0,0,0),4(石,0,0),B伸」,0),C(0,2,0),P(0,0,l),

从而拓=(6,1,一1),fiC=(-V3,l,0),通=(0,1,0).

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

n-PB=0,f+y—z=0,

则_即'

n-BC—0,—\/3x+y=0,

令x=l,得3=(1,8,2⑹.

平面Q45的法向量而=(%，X，zJ,

m-PB=0H4=°,取玉=1,得平面aw的法向量浣=(1,0,6卜

则玩•通=o'即0

7

由图可知二面角A—依—C为钝角，故二面角A—依―C的余弦值为-三.

O

点评：方法点睛：本题考查证明线面垂直，求二面角.求二面角的方法：

（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论;

（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，

由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）.

（2021•黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三月考（理））

10.如图，在直三棱柱A6C—中，AC1BC,AC=BC=\,A4）=2,ADAAA,

（1）证明：当义=；时，求证：oqj•平面BCQ；

3

（2）当2==时，求二面角。的余弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）上.

21

（1）证明8C_L0G，DGJ-DC即可；

（2）以。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后可得

答案.

【详解】（1）•••直棱柱ABC—44G

cc,_L平面ABC

•「BCu平面ABC

BC±CC,

QAC_L3*ACnCG=C，

.•.BC，平面A4CC

vDC,u平面AACC

.-.BC±PC,,又DC】=DC=n,CC\=2

由勾股定理可得。G，oc

因为。cncs=c,

DC,1平面BCD;

(2)以C为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,

则c(o,o,o),B(o,i,o)，G(o,o,2),D(i,o，T

所以星=(0,-1,2),需=1—1,0,；)

Try-y+2z=0

设平面阳。的一个法向量为£=(x,y,z),则”占=八，即＜

'/[th-DC1=0-x+-z=0

令x=l,则z=2,y=4,所以可取而=(1,4,2),

同理平面BC,C的一个法向量为n=(1,0,0),

V21

/?z||n|V2T

.•・二面角D-BCX-C的余弦值为叵

（2020•全国高考真题（理））

11.如图，在长方体ABC。—中，点£,产分别在棱。4,8瓦上，且2DE=EQ,

BF=2FB[.

（1）证明：点G在平面A£F内；

（2）若4?=2,AD=1,A4,=3,求二面角A-川―4的正弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）叵.

（1）连接GE、&F,证明出四边形AEC£为平行四边形，进而可证得点G在平面AEE

内；

（2）以点G为坐标原点，GA、CM、GC所在直线分别为X、y、z轴建立空间直角坐

标系G-孙Z,利用空间向量法可计算出二面角A-E/-4的余弦值，进而可求得二面角

A-E/-4的正弦值.

【详解】（1）在棱CC|上取点G,使得C1G=；CG,连接。G、FG、GE、C}F,

cB

在长方体—中，AO〃8C且AD=3C,〃C&且6g=