四川省德阳市中学江县2023年九年级数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

四川省德阳市中学江县2023年九年级数学第一学期期末教学质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，已知等边△ABC的边长为4，以AB为直径的圆交BC于点F，CF为半径作圆，D是⊙C上一动点，E是BD的中点，当AE最大时，BD的长为（）A． B． C．4 D．62．对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限C．图象是中心对称图形 D．当时，随的增大而增大3．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其天中发生的先后顺序排列，正确的是（）A．①②③④ B．④①③② C．④②③① D．④③②①4．已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A． B． C． D．5．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有名学生，那么所列方程为()A． B．C． D．6．在中，∠C=90°，∠A=2∠B，则的值是（）A． B． C． D．7．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像相交于，两点，过点作轴的平行线，交函数的图像于点，连接，交轴于点，则的面积为（）A． B． C．2 D．8．如图，在矩形中，在上，，交于，连结，则图中与一定相似的三角形是A． B． C． D．和9．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出的位似图形，则位似中心的坐标为（）A． B． C． D．10．如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（）A． B．C．或 D．或12．如图，线段AB是⊙O的直径，弦，，则等于（）.A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B．若∠P＝100°，则∠ACB的大小为_____（度）．14．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式_____．15．如图，在等腰中，，点是以为直径的圆与的交点，若，则图中阴影部分的面积为__________．16．点（5，﹣）关于原点对称的点的坐标为__________．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于点M和点N，则线段MN的长为_____．18．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥BC交AC于E，则DE的长为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点是线段上方抛物线上的一个动点，连结、．设的面积为．点的横坐标为．①试求关于的函数关系式；②请说明当点运动到什么位置时，的面积有最大值？③过点作轴的垂线，交线段于点，再过点做轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）“道路千万条，安全第一条”，《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在据路边处有“车速检测仪”，测得该车从北偏西的点行驶到北偏西的点，所用时间为．（1）试求该车从点到点的平均速度(结果保留根号)；（2）试说明该车是否超速．21．（8分）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形边长均为1个单位．建立坐标系后，△ABC中点C坐标为（0，1）．（1）把△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1坐标．（2）把△ABC以O为位似中心放大，使放大前后对应边长为1：2，画出放大后的△A2B2C2，并写出A2坐标．22．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；（3）若点D是y轴上的一点，且以B,C,D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标；（4）若点E为抛物线的顶点，点F（3，a)是该抛物线上的一点，在轴、轴上分别找点M、N，使四边形EFMN的周长最小，求出点M、N的坐标．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线，交点的横坐标为，将直线，沿轴向下平移个单位长度，得到直线，直线，与轴交于点，与直线，交于点，点的纵坐标为，直线；与轴交于点．（1）求直线的解析式；（2）求的面积24．（10分）甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．（1）若已确定甲打第一场，再从其余3位同学中随机选取1位，则恰好选中乙同学的概率是．（2）请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．25．（12分）如图，等腰中，，点是边上一点，在上取点，使（1）求证:;（2）若，求的长．26．如图，在中，.以为直径的与交于点，与交于点，点在边的延长线上，且.（1）试说明是的切线；（2）过点作，垂足为.若，，求的半径；（3）连接，设的面积为，的面积为，若，，求的长.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得CD⊥BC，根据勾股定理即可求得结论．【详解】解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，连接CD，∵△ABC是等边三角形，AB是直径，∴EF⊥BC，∴F是BC的中点，∵E为BD的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴CD∥EF，∴CD⊥BC，BC=4，CD=2，故BD=，故选：B．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练并正确的作出辅助圆是解题的关键．2、C【分析】根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可．【详解】解：A、∵当x=1时，y=1，∴函数图象过点(1，1)，故本选项错误；B、∵，∴函数图象的每个分支位于第一和第三象限，故本选项错误；C、由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，故本选项正确；D、∵，∴在每个象限内，y随着x的增大而减小，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题重点考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．3、B【分析】北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．【详解】根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北−北−东北−东，即④①③②故选：B．【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．4、D【解析】由点的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，于是排除选项；再根据的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故选项正确．【详解】点与点关于轴对称；由于的图象关于原点对称，因此选项错误；由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，选项正确故选．【点睛】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．5、D【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1．【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，

∴全班共送：（x-1）x=1，

故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x个人是解决问题的关键．6、C【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的值，运用特殊角的三角函数值计算即可．【详解】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=2∠B，∠C=90°，

∴2∠B+∠B+90°=180°，∴∠B=30°，∴∠A=60°，∴．故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用以及特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的三角函数值是解题关键．7、B【分析】先确定A、B两点坐标，然后再确定点C坐标，从而可求△ABC的面积，再根据三角形中位线的性质可知答案.【详解】∵函数与的图像相交于，两点∴联立解得∴点A、B坐标分别是∵过点作轴的平行线，交函数的图像于点∴把代入到中得，解得∴点C的坐标为∴∵OA=OB，OE∥AC∴OE是△ABC的中位线∴故答案选B.【点睛】本题是一道综合题，考查了一次函数与反比例函数和三角形中位线性质，能够充分调动所学知识是解题的关键.8、B【解析】试题分析：根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE，即可得到结果.∵矩形∴∠A=∠D=90°∴∠DEF+∠DFE=90°∵∴∠AEB+∠DEF=90°∴∠AEB=∠DFE∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE∴∽故选B.考点：矩形的性质，相似三角形的判定点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中半径常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.9、C【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心．【详解】如图所示，点P即为位似中点，其坐标为（2，2），故答案为：（2，2）．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似中心的定义是解题关键．10、C【解析】试题解析：∵∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA，∴△BDO∽△BEA，∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=90°，∴△BDO∽△CEO，∵∠CEO=∠CDA=90°，∠ECO=∠DCA，∴△CEO∽△CDA，∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．故选C．11、C【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集．【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或，∴不等式的解集是或.故选C．【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．12、C【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠CAB=40°，然后利用邻补角的定义计算∠AOD的度数．【详解】∵CD⊥AB，∴，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°，∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°.故答案为C.【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO＝360°﹣90°﹣100°﹣90°＝80°，∴．故答案为：1．【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题的关键是掌握辅助线的作法，熟练掌握切线的性质．14、y=﹣2x2(答案不唯一)【分析】由题意知，图象过原点，开口向下则二次项系数为负数，由此可写出满足条件的二次函数的表达式．【详解】解：由题意可得：y=﹣2x2(答案不唯一)．故答案为：y=﹣2x2(答案不唯一)．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．15、【分析】取AB的中点O，连接OD，根据圆周角定理得出，根据阴影部分的面积扇形BOD的面积进行求解．【详解】取AB的中点O，连接OD，∵在等腰中，，，∴，，∴，∴阴影部分的面积扇形BOD的面积，，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积计算公式，通过作辅助线构造三角形与扇形是解题的关键．16、（-5，）【分析】让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．【详解】∵两点关于原点对称，∴横坐标为-5，纵坐标为，故点P（5，−）关于原点对称的点的坐标是：（-5，）．故答案为：（-5，）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．17、．【分析】根据三角形的面积公式求出BC边上的高＝3，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长为2，根据等于高之比即可求出MN．【详解】解：作AQ⊥BC于点Q．∵AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝AB＝6，∵AQ⊥BC，∴BQ＝QC，∴BC边上的高AQ＝BC＝3，∵DE＝DG＝GF＝EF＝BG＝CF，∴DE：BC＝1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB＝1：3，∴AD＝，DE＝AD＝2，∵△AMN∽△AGF，DE边上的高为1，∴MN：GF＝1：3，∴MN：2＝1：3，∴MN＝．故答案为.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大，作辅助线AQ⊥BC是解题的关键．18、2.1【分析】由条件可证出DE＝EC，证明△AED∽△ACB，利用对应边成比例的知识，可求出DE长．【详解】∵CD平分∠ACB交AB于D，∴∠ACD＝∠DCB，又∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∴∠ACD＝∠EDC，∴DE＝EC，设DE＝x，则AE＝1﹣x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴，即，∴x＝2.1．故答案为：2.1．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据相似三角形找到对应线段成比例.三、解答题（共78分）19、（1）；（2）①，②当m=3时，S有最大值，③点P的坐标为（4,6）或（，）．【分析】（1）由，则-12a=6，求得a即可；（2）①过点P作x轴的垂线交AB于点D，先求出AB的表达式y=-x+6，设点，则点D（m，-m+6），然后再表示即可；②由在中，＜0，故S有最大值；③△PDE为等腰直角三角形，则PE=PD，然后再确定函数的对称轴、E点的横坐标，进一步可得|PE|=2m-4，即求得m即可确定P的坐标．【详解】解：（1）由抛物线的表达式可化为，则-12a=6，解得：a=，故抛物线的表达式为：；（2）①过点P作x轴的垂线交AB于点D，由点A(0,6)、B的坐标可得直线AB的表达式为：y=-x+6，设点，则点D（m，-m+6），∴；②∵，＜0∴当m=3时，S有最大值；③∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE=PD，∵点，函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，则|PE|=2m-4，即，解得：m=4或-2或或（舍去-2和）当m=4时，=6；当m=时，=．故点P的坐标为（4,6）或（，）．【点睛】本题属于二次函数综合应用题，主要考查了一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等知识点，掌握并灵活应用所学知识是解答本题的关键．20、（1）；（2）没有超过限速．【分析】（1）分别在、中，利用正切求得、的长，从而求得的长，已知时间路程则可以根据公式求得其速度．（2）将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．此时注意单位的换算．【详解】解：（1）在中，，在中，，．小汽车从到的速度为．（2），又，小汽车没有超过限速．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键．．21、（1）见解析，A1(2，3)；（2）见解析，A2(4，-6)．【分析】（1）根据旋转变换的定义，将三角形的三个顶点分别顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可得；（2）根据位似变换的定义得出点的对应点，顺次连接即可得．【详解】解：（1）如下图所示：即为所求，A1坐标为(2，3)；（2）如下图所示：即为所求，A2坐标为(4，−6)．【点睛】本题考查了旋转作图及图形位似的知识，解答此类题目的关键是就是寻找对应点，要求掌握旋转三要素、位似的特点．22、（1）；（2）△BPC面积的最大值为；（3）D的坐标为（0，1）或（0，）；（4）M（，0），N（0，）【分析】（1）抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-5）=a（x2-4x-5），即-5a=5，解得：a=-1，即可求解；（2）利用S△BPC=×PH×OB=（-x2+4x+5+x-5）=（x-）2+，即可求解；（3）B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，分别求解即可；（4）作点E关于y轴的对称点E′（-2，9），作点F（2，9）关于x轴的对称点F′（3，-8），连接E′、F′分别交x、y轴于点M、N，此时，四边形EFMN的周长最小，即可求解．【详解】解：（1）把，分别代入得：∴∴抛物线的表达式为：．（2）如图，过点P作PH⊥OB交BC于点H令x=0，得y=5∴C（0，5），而B（5，0）∴设直线BC的表达式为：∴∴∴设，则∴∴∴∴△BPC面积的最大值为．（3）如图，∵C（0，5），B（5，0）∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°∴AB=6，BC=要使△BCD与△ABC相似则有或①当时∴则∴D（0，）②当时，CD=AB=6，∴D（0，1）即：D的坐标为（0，1）或（0，）（4）∵∵E为抛物线的顶点，∴E（2，9）如图，作点E关于y轴的对称点E'（﹣2，9），∵F（3，a）在抛物线上，∴F（3，8），∴作点F关于x轴的对称点F'（3，8），则直线E'F'与x轴、y轴的交点即为点M、N设直线E'F'的解析式为：则∴∴直线E'F'的解析式为：∴，0），N（0，）．【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、对称点性质等知识点，其中（4），利用对称点性质求解是此类题目的一般解法，需要掌握．23、（1）y=﹣x+4；（2）1【分析】（1）把x=2代入y=x，得y=1，求出A（2，1）．根据平移规律得出直线l3的解析式为y=x﹣4，求出B（0，﹣4）、C（4，﹣2）．设直线l2的解析式为y=kx+b，将A、C两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线l2的解析式；（2）根据直线l2的解析式求出D（0，4），得出BD=8，再利用三角形的面积公式即可求出△BDC的面积．【详解】解：如图：（1）把x=2代入y=x，得y=1，∴A的坐标为（2，1）．∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，∴直线l3的解析式为y=x﹣4，∴x=0时，y=﹣4，∴B（0，﹣4）．将y=﹣2代入y=x﹣4，得x=4，∴点C的坐标为（4，﹣2）．设直线l2的解析式为y=kx+b，∵直线l2过A（2，1）、C（4，﹣2），∴，解得，∴直线l2的解析式为y=﹣x+4；（2）∵y=﹣x+4，∴x=0时，y=4，∴D（0，4）．∵B（0，﹣4），∴BD=8，∴△BDC的面积=×8×4=1．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的