江苏省启东市建新中学2023届高一年级上册数学期末经典试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.）

1.函数/（x）的大致图像如图所示，则它的解析式是

B./(x)=log2(x+1)

C./(%)=?口/(力=桐

2.已知sina—2cosa=0,贝！|tan

A.-4B.4

1

D.-

33

3.若cosa=—叵，sin2«>0,则tan(万一a)等于。

10

A.-3B.3

33

C.一一D.-

44

4.函数八》）=2工一5零点在下列哪个区间内。.

A.(0,1)B.(l,2)

C.(2,3)D.(3,4)

log2x,x〉0

贝11/（.心）的值

5.设/(x)=<1

(-Y,x<0o

1

A.9

16

1

C.27D.—

81

6.四边形ABC。中，AB^DC.且|而一通|=|而+福J,则四边形43。。是()

A.平行四边形B.菱形

C.矩形D.正方形

“\flog,(x+2),-2<x<0°

7.已知函数，(x=：c,c，若函数8(幻="(/(尤))]2-(。+1)”/(动+43一)恰有8个不同

[x-2x+l,x>0

零点，则实数a的取值范围是()

A.(0,1)B.[0,1)

C.(0,-)D.(0,2)

4

8.已知a=logo63,〃=0.63,c=3°6,贝!)()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

9.已知〃若不等式一m，-3三—1恒成立，则加的最大值为()

3。+Z?ab

A.13B.14

C.15D.16

lg(x2+l),x>0/、

io.已知函数/a)='),则/(一3)二()

/(x+3),x<0

A.0B.1

C.2D.10

11.已知f(x)=sinx—cosx,则下列结论中正确的是。

A./(x)的最大值为2B./(x)在区间0,—上单调递增

Cj(x)的图象关于点对称D.〃x)的最小正周期为万

12.已知集合A={-1,0,1},B={X|X2-X-2=0},那么AD3=()

A.{0}

C.{1}D.0

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

13.tan300的值为

x

14.已知函数/(*)=/3(〃>0,aWl)是偶函数，则。=,则/(x)的最大值为.

15.已知函数.f(x+l)=x2-x+3,那么/(x-l)的表达式是.

16.已知。，b>0,a+2b=\,则的最小值_________.

ab

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(1)一个半径为一的扇形，若它的周长等于乃那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？

3

⑵角。的终边经过点P(T?,4)且cos9二・不则sin。+tan。的值

18.现有三个条件：①对任意的xeR都有/(x+D-/(x)=2x-2；②不等式/(x)<0的解集为｛疝<x<2｝；③

函数y=/(x)的图象过点(3,2).请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解(请将所选条件的序号

填写在答题纸指定位置)

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足(填所选条件的序号).

(1)求函数/(x)的解析式；

⑵设g(x)=/(x)一如，若函数g(x)在区间口，2］上的最小值为3,求实数，"的值.

19.已知函数f(x)=k)g2,og2(8x),函数g(x)=4*-2*“-4

O

(1)求函数/(X)的值域；

(2)若不等式/(x)-g(a)W0对任意实数aw［0,2］恒成立，求实数x的取值范围

20.已知不等式x2+13x+l<0的解集为(tana,tan尸)

sinacos分+cosasinP

(1)求的值;

sinasin/?

(2)求sin2acos2/+cos2asiri?/?的值

21.已知a为第四象限角，且sina+cosa=—求下列各式的值

cosa-2sina

(1)------------；

2cosa-sina

(2)tan(a-15。)

JI

22.已知函数,/(x)=sin(2x+—)

（1）求/（x）的最小正周期;

TT

（2）求人X）在区间［0,万］上的最大值和最小值

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.）

1、D

【解析】由图易知：函数图象关于），轴对称，函数为偶函数，排除A,B；

/（力=/的图象为开口向上的抛物线，显然不适合，

故选D

点睛：识图常用方法

⑴定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征分析解决问题；

⑵定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

⑶函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题

2、C

【解析】已知sinc—2cosa=0,可得tana=2,根据两角差的正切公式计算即可得出结果.

【详解】已知sina—2cosc=0,则tana=2,

tan----tana

711-tana1-2

——a

4

1+tan—tana1+tana1+23

4

故选：C.

【解析】根据已知确定sina<0,从而求得sina=-2叵，进而求得tana=3,根据诱导公式即求得答案.

10

【详解】因为sin2a=2sinacosa>0,coscz=-------<0»

10

所以sina=—3何，贝!Jtana=@^4=3,

10COS6Z

故tan(乃-a)--tana=—3,

故选：A

4、C

【解析】利用零点存在定理进行求解.

【详解】因为/*)=2*-5单调递增，且/(2)=TJ⑶=3；

因为/(2)<0,/(3)>0,所以区间(2,3)内必有一个零点；

故选：C.

【点睛】本题主要考查零点所在区间的判断，判断的依据是零点存在定理，侧重考查数学运算的核心素养.

5、C

log2x,x>0

【解析】因为〃X)=(1丫八，故./4)=1唱。=一3,所以/(/(：))=/(_3)=4尸=27,故选C.

一ooo3

6、C

【解析】由于荏=反，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相

等，故为矩形.

7、A

【解析】利用十字相乘法进行因式分解，然后利用换元法。=/(力，作出/(力的图象，利用数形结合判断根的个数

即可.

【详解】由g(x)=[/(/(功『-(a+l)/(/(x))+a=0，

得[〃〃⑼―IpV(x))—可=0,

解得/(/(x))=l或/(/(x))=a，

作出/(x)的图象如图，

则若〃x)=l,则x=0或x=2,

设f=〃x),由“〃力)=1得/⑺=1,

此时f=0或，=2,

当f=0时，/(x)=r=O,有两根，

当r=2时，/(力=，=2,有一个根，

则必须有/(〃x))=a,aHl有5个根，

设，=/(x),由/(/(%))=。得/。)=。，

若a=0,由/。)=。=0,得力=一1或7=1,

〃力=-1有一个根，〃力=1有两个根，此时有3个根，不满足题意；

若”>1,由〃f)=a,得f>2,/(x)=f有一个根，不满足条件.

若”0,由/“)=。，得一2<r<—1,/(x)=，有一个根，不满足条件；

若0<a<1,由/«)=a,得-1<4<0或0<弓<1或1<J<2,

当_1<乙<0,/(x)=八有一个根，当0<，2<］时，/(x)=，2有3个根，

当1<%<2时，/(力=/3有一个根，此时共有5个根，满足题意.

所以实数a的取值范围为(0,1).

故选：A.

【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法:

(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

⑵分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

⑶数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.一是转化为两个

函数y=g(x),y=〃(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转

化为y=。,y=g(x)的交点个数的图象的交点个数问题

第U卷(非选择题

8、A

【解析】

找中间量0或1进行比较大小，可得结果

306

【详解】«=log063<log06\=0,0<b=0.6<0.6°=l,c=3->3°=1,所以a<\<c,

故选：A.

【点睛】此题考查利用对数函数、指数函数的单调性比较大小，属于基础题

9、D

【解析】用分离参数法转化为m4(：+:130+3恒成立，只需加W+

再利用基本不等式求出(,+[)(3a+/2)的最小值即可.

【详解】因为。>0力>。，所以3。+人>0,

所以加++恒成立，只需-+^j(3a+Z?)

.min

因为4>0,b>0,

由八J3,xn3。3b1、[八n[3a_3b,,

所以|—i—(3ci+Z?)=9H---1---F1210+2J—x—=16,

{ab)y7ba\ba

当且仅当网=独时，即a=。时取等号.

ba

所以m<16.

即m的最大值为16.

故选：D

10、B

【解析】根据分段函数的解析式直接计算即可.

【详解】7(-3)=/(O)=/(3)=lglO=l.

故选：B.

11、B

【解析】利用辅助角公式可得/(x),根据正弦型函数最值、单调性、对称性和最小正周期的求法依次判断各个选项

即可.

【详解】/(x)=sinx一cosx=^2sin［x一

对于A,f(x)=V2,A错误；

)\/max

.一.八3〃.717171

对于B,当XC0,—时，x——G——,

4442

jrjr

由正弦函数在一上单调递增可知：/(X)在0，彳上单调递增，B正确；

对于C,当％=:时，*-3=力则“X)关于X=—成轴对称，C错误；

对于D,“X)最小正周期T=2〃，D错误.

故选：B.

12、B

【解析】解方程确定集合8,然后由交集定义计算

［详解］B={X|X2-X-2=0}={-1,2},/.AnB={-l}

故选：B

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

13、-yfj

【解析】直接按照诱导公式转化计算即可

【详解】tan300°=tan(300°-360°)=tan(-60°)=-tan60°=—6

故答案为：

【点睛】本题考查诱导公式的应用：求值.一般采用“大角化小角，负角化正角”的思路进行转化

14、①.0②

【解析】根据偶函数/(-x)=/(x)即可求〃值；分离常数，根据单调性即可求最大值，或利用基本不等式求最值.

【详解】•••/(X)是偶函数，

.../(-x)=/(x),

ax_ax_rax_ax

则3-*+1=J-1+3*=1+3'，

3'

则3"*=优,

即3'=/，

贝!Ia?=3,贝!Ia=-^3>

则/⑴=吟

2,

当且仅当(布)，=力，即3，=1,则x=0时取等号,

即f(x)的最大值为工，

2

故答案为：A/3,y

15、x2—5x+9

【解析】先用换元法求出/(X)=f-3X+5,进而求出了(x—1)的表达式.

【详解】/(》+1)=/—x+3,令x+l=r,贝Ux=r—1,故

222

/(r)=(Z-l)-(/-l)+3=r-2/+l-r+l+3=r-3z+5,故/(力:/-3x+5,

/(x-l)=(x-l)2-3(x-l)+5=x2-2x+l-3x+3+5=x2-5x+9

故答案为：X2-5X+9

16、3+20

【解析】利用“1”的变形，结合基本不等式，求,」的最小值.

ab

■、乂f11(11\八2ba、〜12ba--c

【详解】—F—=—F—(a+2》)=3d---1—>3+2.-----=3+2j2,

ab\abJah\ab

当且仅当竺=/时，即。=回等号成立，

ab

a+2b=15

r—>解得：a=\/2—1>b—1-f

a-72b2

所以工+L的最小值是3+2五.

ah

故答案为：3+2&

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

[8

17、⑴乃-2,S扇形=/(乃-2),⑵一百

【解析】⑴设弧长为/,所对圆心角为。，则/+2「=4r，即/=(乃-2)r

因为同='=万一2所以a的弧度数是乃-2,

r

从而S扇形=；(4-2)，

⑵角。的终边经过点P(—人，4),

3

所以sin。>0,,/cos0=,

44

所以sine=—,tang=——.

53

Q

所以原式=-]

18、(1)f(x)=x2-3x+2；(2)-3.

([tz>0

【解析】(1)条件①，求出/(x+1)代入根据恒成立可得条件②由一元二次不等式解的性质可得。=-3a；

[一[c=2a

条件③代入可得9a+38+c=2；分别根据选择①②，①③，②③，均可通过联立方程组可得结果；

+3

(2)求出函数的对称轴1=-将对称轴和区间的端点进行比较，根据函数的单调性列出关于小的方程解出即可.

2

【详解】(D条件①：因为/WMaV+Ax+cgwO),

所以f(x+1)-/(x)=a(x+1)2+b(x+l)+c-(ar2+6x+c)

=lax+a+b=2x-29

即2(。一l)x+a+匕+2=。对任意的x恒成立，

23—1)=0a=l

所以a+b=-2，解得

b=-3

条件②：因为不等式/(均<0的解集为{x[l<x<2},

a>0

a>0

所以—2=3,即

<b=—3a.

a

c=2a

£=2

1a

条件③：函数丁=/(工)的图象过点(3,2),所以9〃+3)+c=2.

选择条件(D®：a=l9h=—39c=2,此时/(x)=W一3工+2；

a=1

选择条件①③：卜=—3,

9a+3b+c=2

2

则。=1,/?=—3,c=29此时f(x)=x—3x4-2；

6Z>0

b=-3a

选择条件②③：c,

c=2a

9a+3〃+c=2

则a=l,b=-3,c=2,此时/(%)=/一31+2.

(2)由(1)知g(X)=A：2-(m+3)x+2,其对称轴为x=----,

①当-----<1,即机工一1时，

2

g(x)min=g6=3-(加+3)=-机=3,解得根=一3;

6+3

②当——>2,即加21时，

2

3

^Wmin=g(.2)=6-(2m+6)=-2m=3,解得根=一务(舍);

,71+3

③当1<----<2,即一1<1时，

2

..(机+3)(/M+3)2cc丁5

g(X)min=81-^—1=----+2=3,无解.

综上所述，所求实数m的值为-3.

【点睛】二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关的问题，数形结合，密切联系图象是探求

解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.

19、(1)[-9,+a))

⑵日,4]

4

【解析】(1)化简后由对数函数的性质求解

(2)不等式恒成立，转化为最值问题求解

【小问1详解】

2

/(x)=(log2x-3)(log2x+3)=(log2x)-9

故/(x)的值域为1-9,+8)

【小问2详解】

•.•不等式/(%)<g(a)对任意实数。e[0,2]恒成立，二f(x)<g(a)min

g(a)=4a-2o+,-4=(2a)2-2x20-4=(20-l)2-5

令f=2"，V«e[0,2],Are[1,4]

设〃⑺=(-1)2—5,re[1,4],当f=l时,〃⑴取得最小值-5,即8(初而=-5

2

:./(x)<-5,即(log2x)-9<-5=>-2<log2%<2=>^-<x<4

故x的取值范围为4]

4

20、(1)-13

,、167

(2)—

169

【解析】(1)根据根与系数的关系以及化弦为切求解即可；

(2)由商数关系化弦为切求解即可.

【小问1详解】

2

依题意可知tan。，tan£是方程%+13x+l=0的两个实数根，

tana+tan£--13,

所以10,

tana-tanp=1,

sincrcosy?+cosasinp

sinorcos/7+cosasin/7_cosacos/?cosacos力_tana+tan4

故=-13

sinasin^sinasinMtanatan/7

coscifcos/7

【小问2详解】

sin2drcos2y5+cos2asin2^

sin26zcos2/7+cos2asin/=

sin2a+cos2aUsin2y3+cos2^)

tan2a+tan2/?(tana+tan/?)^-2tanatan/7169-2167

tan2a+l)(tan2^+l)tan'crtan'/J+taircr+tan'/J+l(an2atan2y9+(tana+tan/9)"-2tanatany9+11+169-2+1169

/、11

21、(1)—

10

(八14+25石

23

【解析】先根据同角三角函数的关系求解可得再根据同角三角函数的关系化简等二四

（1）tana=-2，0即可

32cosa-sina

(