卷04（天津卷）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷（解析版）

卷04(天津卷数学)-2021届高考数学冲刺模拟测试卷

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

•如果事件A与事件8互斥，那么P(A3)=P(A)+P(8).

•如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(8).

•球的表面积公式5=4万其中R表示球的半径.

1.设复数z=a+2*aeR)的共朝复数为5，且z+5=2,则复数一目一在复平面内

2-ai

对应点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】

根据已知条件求出。=1，再根据复数的运算法则求解复数上L,即可得到其在复平面

2-ai

内的点所在象限.

【详解】

z+钎勿-2na-l忖」1+2心石(2+i)=2近后

2-ai2-1555

所以对应点位于第一象限.

故选:A

【点睛】

此题考查复数的概念和基本运算以及几何意义，关键在于根据复数的运算法则准确求

解.

2.设集合A={-1,O,1},6={-1,2,3},C={xeH|—则(AB)C=

()

A.{—1}B.{—1,()}C.{-1,1}D.{—1,0,1}

【答案】B

【分析】

计算出集合A8,再利用交集的定义可求得集合(AUB)IC.

【详解】

集合A={-1,0,1},5={-1,2,3}，--.AB={-1,0,1,2,3},

C={xe/?|-l<x<l),/.(AB)C={-1,0}.

故选：B.

【点睛】

本题考查交集与并集的运算，考查计算能力，属于基础题.

3.对于非零向量。、“2。二8”是“。，b共线”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

2

利用向量共线定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解.

【详解】

由20=。，则。、人共线同向，充分性满足；

非零向量”、b，当。，b共线时，则b=/U(/leR),必要性不满足；

故"2a=b”是“a，b共线”的充分不必要条件.

故选：B

【点睛】

本题考查了充分条件、必要条件的定义、向量共线定理，理解充分条件、必要条件的定

义是解题的关键，属于基础题.

4.方程log2》+x=2的解所在的区间为()

A.(0.5,1)B.(1,1.5)C.(1.5,2)D.(2,2.5)

【答案】B

【分析】

令/(x)=log2x+x-2,由函数单调递增及/⑴<0,/(1.5)>0即可得解.

【详解】

令/(x)=log2X+尤-2,易知此函数为增函数，

由/⑴=0+1_2=_1<0,

所以/(x)=log2X+x-2在(1,1.5)上有唯一-零点，即方程bg2x+x=2的解所在的区

间为(1,1.5).

故选B.

【点睛】

本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础

题.

5.已知函数〉=sin（ox+。）的两条相邻的对称轴的间距为现将），=sin（a）x+。）

TT

的图象向左平移二个单位后得到一个偶函数，则夕的一个可能取值为（）

8

3兀

A.—

4

c九

C.0D.——

4

【答案】B

【分析】

求出函数丁=411（5+0）的最小正周期，可求出0的值，然后求出变换后所得函数的

解析式，根据函数的奇偶性可得出关于。的等式，由此可得出结果.

【详解】

由于函数丁=011（如+0）的两条相邻的对称轴的间距为该函数的最小正周期为了,

2^?"

/.(o=——=2,则y=sin(2x+0),

71

将函数y=sin（2x+°）的图象向左平移g个单位后，得到函数

8

7T.J7T1

/(x)=sin2x+—+0=sin|2x+0+：,

8)47

由于函数y=/（x）为偶函数，则夕+；=]+4乃（&£Z）,可得夕=5+.（氏£Z）,

TT

当左=0时，中=一.

4

故选：B.

4

【点睛】

本题考查利用图象变换求函数解析式，同时也考查了利用函数的奇偶性求参数，考查推

理能力与计算能力，属于中等题.

6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半,

中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问，米几何？”如图是

解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=2.5（单位:升），则输入的攵值为,

n=T,S=k

s=s--

n

A.4.5B.6C.7.5D.1（）

【答案】D

【解析】

分析:模拟程序运行,依次写出每次循环得到的忆S的值，当〃=4时,不满足条件〃<4,

推出循环，输出s的值为白，即可求解.

4

详解：模拟程序的运行，可得”=1,S=Z,

kk

满足条件〃<4,执行循环体，n=2,S=k一一二—：

22

KJ

-

2KJ

满足条件〃<4,执行循环体，“k-=

n=3,5=—33-

k

满足条件〃<4,执行循环体，八Sk飞k；

〃=4,S=———=—

344

此时，不满足条件〃<4,推出循环，输出s的值为勺，

4

k

根据题意可得一=2.5,解得左=10,故选D.

4

点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点.解决这类问题：首先,

要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理

解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结

果，完成解答.近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结

合.

11”

7.若a=ln2,=,c=-J（）sinx</v,则a,b,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】B

【分析】

先求得c，再根据。的值，利用指数与根式的关系和对数函数单调性转化江«.再比

较大小.

【详解】

因为c=sinxdx-（-cosx）|J=-（cosn-cos-，

,>/51.o,I1

b=52=——<—，a=In2>Ine?=一,

522

所以a>c>b.

故选：B

【点睛】

本题主要考查实数比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

6

8.设双曲线=8>0）的两条渐近线与圆f+y2=10相交于4,B,C,

。四点，若四边形A8CD的面积为12,则双曲线的离心率是（）

A.叵B.V10C.如或典D.2710

33

【答案】A

【分析】

先由题意，得到四边形ABCO为矩形，设点4%,%）位于第一象限，得到

210

S短形.co=4%为；根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立,求出/=丁，再由四

X。

3

边形面积,得到年进而可求出离心率.

Je2-1

【详解】

根据双曲线与圆的对称性可得，四边形ABC。为矩形；不放设点4（%,%）位于第一象

限，

贝！IS矩形.co=2X（）x2y0=4%为；

r2v2卜

因为双曲线彳一六=1（。>〃>0）的渐近线方程为：y=±-x,

_b22

由:,°一产得十+⑶/2=[0,即色+，广/2=10,所以02=二=£,

/2+%2=10⑴如a%

,1010fl~,10

因此e-=-=—Vf-1,整理得：9e4-100c>2+100=0.解得：/=〈或/=10,

/39

所以e=而或e；又a>h>0，

3

故选：A.

【点睛】

本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

“、,—x+2,x>a/、“、

9.已知函数/(x)={6,函数g(x)=/(%)—以，恰有三个不同的零

x2+3x+2,x<a

点，则。的取值范围是()

A.,3—2>/2^B.~C.(―℃,3-2->/2jD.(3-2\/^,+oo)

【答案】A

【解析】

函数g(x)有3个零点，等价于函数/(x)与>有3个不同的交点，如图，丁="

与y=Jx+2有一个交点，需,若与抛物线有2个交点，需计算相切的时候的

66

斜率，M+3x+2=6tx，△=(〃—3)--8=0,解得：=3-272或a=3+2后

(舍)，所以一<tz<3-2>/2，故选A.

8

第II卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1

个的给3分，全部答对的给5分.

10.在(十―2炉)的展开式中，d项的系数为(用数字作答).

【答案】-80

【分析】

根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解.

【详解】

因为的展开式的通项为方+1二6(+)(-2%2y=C；(-2)rx5^,

令牝二9=5,贝ijr=3,

2

所以炉项的系数为C；(—2)3=—80.

故答案为：-80.

【点睛】

本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.

11.已知圆心为C的圆经过点A(-1,-1)和B(-2,2),且圆心C在直线/：x-y

-1=0上，则圆心为C的圆的标准方程是.

【答案】(X-3)2+(y-2)2=25

【分析】

由已知求出48的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径,

则圆的方程可求.

【详解】

31

由A(-1,-1),B(-2,2),得AB的中点为(一一，一),

22

11(3

又=一，.•.AB的垂直平分线方程为y—5=即x-3y+3=0.

&AB=---1---+--2-3

x-3y+3=0x=3

联立《解得《；

x-y-l=Ob=2

圆心坐标为C(3,2),半径为|CA|=5.

，圆心为C的圆的标准方程是(x-3)2+()，-2)2=25.

故答案为：(X-3)2+(y-2)2=25.

【点睛】

本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题.

12.学校艺术节对同一类的A,B,C,。四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖

揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：

甲说：“。或。作品获得一等奖”；乙说：“8作品获得一等奖”；

丙说：“A，。两项作品未获得一等奖“；丁说："C作品获得一等奖

若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是.

【答案】B

【分析】

首先根据“学校艺术节对A、B.a。四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设

A、B、a。分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即

可得出结果.

10

【详解】

若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；

若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；

若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；

若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意：

综上所述，故B获得一等奖.

【点睛】

本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题

的时候，可以采用依次假设A、8、C,。为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其

是否正确.

13.已知曲线C的极坐标方程是。=4cos6.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x

[,但

x=l+——t

2

轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线/的参数方程是1厂。为参数),

一及，

，-2

若直线/与曲线C相交于A，3两点，则卜

【答案】714

【解析】

分析：该题属于直线被圆截得的弦长问题，先将极坐标方程化为直角坐标方程，将参数

方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，之后应用圆中的特殊三角形勾股定理求得

结果.

详解：由题意可知曲线C的直角坐标方程是f+y2-4x=0,曲线是以(2,0)为圆心,

以2为半径的圆，直线/的普通方程是x-y—1=0,所以圆心到直线的距离

|2-0-1|_C所以同=2,4-；=故答案是血.

VI+T—2

点睛：该题也可以将直线的参数方程代入曲线方程中，整理，求得两根，利用直线参数

方程中参数的几何意义，求得两根差的绝对值，即为结果.

14.长方体ABC。—A4GA的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=6,

A4=l,则球的表面积为.

【答案】8兀

【分析】

根据球的直径等于长方体的对角线长，可求得球的半径，再利用球的表面积公式可得结

果.

【详解】

因为长方体ABC。-A四G2的8个顶点在同一个球面上，

所以球的直径等于长方体的对角线长，

设球的半径为R,因为AB=2，A£>=百，A4|=l,

所以4R2=2?+G?+F=8，球的表面积为4）我2=8万，故答案8兀.

【点睛】

本题主要考查长方体的性质以及球的几何性质，考查了球的表面积公式，意在考查对基

础知识的掌握与应用，属于中档题.

15.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱

中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同的概率是；若变量自为

取出3个球中红球的个数，则匕的数学期望为.

93

【答案】--

505

【分析】

基本事件总数"=103=1000,3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m=103-

12

（23+33+53+C^X22X8+C^X32X7+C^X52X5）=180,由此能求出3个小颜色互不

2

相同的概率；若变量自为取出3个球中红球的个数，则4〜（小历），由此能求出&

的数学期望£（&）.

【详解】

箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，

现从该箱中有放回地依次取出3个小球，

基本事件总数〃=103=1000,

3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数：

m—103-（23+33+53+C3X22X8+CJX32X7+C3X52X5）=180,

则3个小球颜色互不相同的概率是P=—=当＞=—；

n100050

2

若变量m为取出3个球中红球的个数，则&〜（〃，—）,

23

•••&的数学期望E«）=3x—=j.

93

故答案为：.

【点睛】

本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析

能力、运算求解能力，是中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分14分）

在A8C中，4c分别是三个内角的对边，若b=3,c=4,C=2B,且疝b.

（1）求cosB及。的值；

（2）求cos（28+?）的值.

【答案】（1）cosB=-,a=-\（2）-1?5

3318

【分析】

342

（1）由正弦定理可得——=------,再利用二倍角的正弦公式可得cosB=一，从而

sinBsin2B3

7

根据余弦定理可得a=一：

3

（2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得sin25,cos25的值，再由两角和

的余弦公式可得结果.

【详解】

（1）在A6C中，由正弦定理一^一=一乙=一£一，

sinBsinAsinC

汨34

f'?—，

sinBsinC

34342

C=2B»/.----=-------,即-----=------------,解得cos3=一,

sinBsin28sin52sinBcosfi3

在ABC中，由余弦定理〃2="+《2-2accos3，

得。2—3〃+7=0,解得a=3或ab,:.a=—.

333

n/c4]

（2）cosB=—,sinB=—，•**cos2B=2x——1=——,

3399

sin2fi=2x-x—=—

339

1+4•

-18-'

【点睛】

本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三

角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对

14

角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边;

（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

17.（本小题满分15分）

如图，三棱柱ABC—中，平面ABC,AC=BC，AB=24A=4.以AB，

8C为邻边作平行四边形ABC。，连接4。和。G.

（1）求证：A。//平面8CG4；

（2）若二面角A为45。，

①证明：平面AG。，平面4人。；

②求直线aA与平面AG。所成角的正切值.

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②血.

【分析】

（1）连接gC,证明4。//4。，再利用线面平行的判定定理证明.

（2）①取CD的中点O,连接AO，A。，易证为二面角4一。。一4的平面角，

得到AC_LCD,结合4A，平面ABC,得到\AVCD,从而得到ACJ_平面AAD,

再利用AC//AG，由面面垂直的判定定理证明，②过A作AM，4。，根据平面

46。，平面44。，得到AM,平面AG。，可知4AM是直线AA与平面4G。所

成角，然后在府中求解.

【详解】

(1)如图所示

连接BC，在平行四边形A8CD中，AB//CD,AB=CD,

在三棱柱-中，又=AB,

所以A]BJ/CD,AM=CD,所以四边形A£CO是平行四边形，

所以4。//4。，又4。且平面BCG4，BCu平面see4,

所以A。//平面BCG4；

(2)①取CD的中点0,连接AO,A0,因为AC=8C，

所以AOLCD，又因为AA_L平面ABC,

所以4A_LCO,AAcAO=A,所以CD_L平面人质。，所以4O_LCO,

所以4,04为二面角A.-DC-A的平面角，

在心△4。4中，0A=AA=2,AO=；CO,

所以AC_LCD，又因为AC_L4A，AAcD4=4,所以AC,平面4AO,

又因为AC〃AG，4cu平面\CXD,所以平面AG。_L平面4A。：

②过A作AM，4。，因为平面AG。，平面4A。，所以AM_L平面AG。,

16

所以A"是AA在平面4G。上的射影，所以RM是直线AA与平面4G。所成角,

在放中，AA=2,AO=20,tanZAAA/=^=V2.

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理以及线面角二面角

的求法，还考查了转化化归的思想和空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

18.（本小题满分15分）

已知数列｛4｝的前〃项和5“=2手，数列｛%｝满足：4=2,

脸d=2N（〃GN*）.

（1）求数列｛。“｝,｛2｝的通项公式；

(II)求b2i-\~T-(〃wN*)

/=!I%)

n+i

2万，〃为奇数〃+2

【答案】（I）%=〃；(II)(n-l)-2n+l+

n2"

22,〃为偶数

【分析】

（1）直接根据前〃项和与通项的关系求出数列｛凡｝的通项公式，再根据递推关系式

求出数列低｝的通项公式：

C]）i

（11）先根据a,.b2i_i然后利用错位相减求和，整理即可求得出结

I%）2

果.

【详解】

解:⑴当……—曾一0a

当〃=1时，4=S]=1,适合上式，所以：an=n-

<*=瓦=2,%b"=2"M(〃eN*),.•.她T=2"(〃之2),

4+1_2〃_i,(n>2),

.••数列｛5｝的奇数项和偶数项都是首项为2,公比为2的等比数列，

,广,“为奇数

d气“；

2之〃为偶数

2/-1+12i

(II)由(1)可得，4=，，且为一|=2丁=2,，%=2£=2,，

设M=l・x+2・％2+3・炉++〃-x\(xwO,l),①

•*.xM=1,x2+2,%3+3,x44-+(〃—1)•%"+〃•x"+i,②

+|+l

①-②得(l-x)M=1+%2+%3++x"_n.y«__L-------n-x"'

x™'.1/<\c”+i〃+2

:=(«-l)-2+-^-.

/=1ID2i7乙

18

【点睛】

本题考查由凡和s”的关系求数列通项公式，由数列递推公式证明等比数列，以及错位

相减求和的应用，计算量较大.

19.（本小题满分15分）

222

已知椭圆斗+*1（。»>0）的左顶点为A,右焦点为F（c,o），直线/：X=（与X轴

相交于点T，且尸是AT的中点.

（I）求椭圆的离心率；

（II）过点T的直线与椭圆相交于两点，都在x轴上方，并且M在N,T之

间，且N到直线I的距离是M到直线/距离的2倍.

AAS.

①记ANFMANFA的面积分别为S,,S2,求寸；

②若原点。到直线7N的距离为生亘，求椭圆方程.

41

1122

【答案】（1）—；（2）①—；②―1.

222015

【详解】

2

（1）因为尸是AT的中点，所以一。+幺=2c,即（。一2点々为电，又

c

c1

所以a=2c,所以e=—=—；

a2

（2）①解法一：过M,N作直线/的垂线，垂足分别为依题意，

_N__F_—__M__F_—©

NN、—MM1一，

Si

又NF=2MF,故NN】=2MM「故M是NT的中点，，/^=不，

^ATNF2

；

又尸是AT中点，•,=SATNF，■-f4

22

解法二：•••a=2c，,6=及，椭圆方程为9+9=1，/9,0)，T(4c,0),

r223

设M(X，y),刈/,%)，点“在椭圆三+：了=1上，即有弁=3。2一工才,

MF=J（X|-c）2+y；=J（X|-c）2+3c2-1x；

1

=%；—2cX1+4c2=—Xj—2c=2c—x,

221

同理版=2。一,/，

2

S1

又NF=2MF,故2不—々=4c得〃是N,T的中点，.•.瞪”=5,

“77VF，

又尸是AT中点，S^NF=S.TTV/

九2丫2

②解法-：设/(c,0),则椭圆方程为六+注=1,

由①知M是N,7的中点，不妨设”(工0，%),则N(2xo-4c,2%),

22

j+卫二1旦+丸=1

4c23c2

又M,N都在椭圆上，即有｛°3c即｛4c23c2

（2%-4*4公（x0-2c）2y：=1

4c23c24c23c2—4

两式相减得：n_(/一孕_二,解得尤=2。

4c24c244

20

3小

可得y0=X5c，故直线"N的斜率为％=¥—=--

86

7C_4C

4

直线MN的方程为丁=一逝(x—4c)，即6+6>-4乔c=0

6

原点。到直线TMV的距离为d=，

V5+36V41

依题意第。="匹，解得。=道，故椭圆方程为《+*=1.

y/41412015

22

解法二：设R(c,O),则椭圆方程为云+*=1,

由①知”是N,r的中点，故2%1—％2=4。，

直线MN的斜率显然存在，不妨设为左，故其方程为y=/x-4c),与椭圆联立，并

2k2(x-4c)2

消去y得：J+=1,整理得：(4公+3)f_32ck2x+64k2c2-12c2=0,

4c

(*)

32M2

X]+工2=———

1-4k2+3

设M(%，x),N(x,,y,),依题意：｛

64k2c2-12c

一二.不一

16cz2+4。

32cz2

由｛1+/=4,+3解得:

I6ck2-4c

2玉-x2=4c

止+3

I6ck2+4c16ck2-4c64Zr2c2-12c2，解之得：/=且，即％=一延

所以―-------x------——

4公+34k2+34r+3366

直线MN的方程为y=—@(x—4c)，即氐+6y-4&c=0